# Введение в алгебру

Алгебра · 7 класс · Алгебраические выражения
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/7/1-vvedenie-v-algebru

Урок открывает алгебру: зачем в математике появляются буквы вместо чисел, чем алгебраическое выражение отличается от числового и как одна формула считает периметр сразу для всех прямоугольников. Это первый параграф большой темы «Алгебраические выражения» — раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, степени, многочлены и формулы сокращённого умножения разбираются в следующих параграфах этого же блока.

## Чему научишься

- Отличать числовое выражение от выражения с переменной и находить его значение при заданных числах
- Различать среди алгебраических выражений целые (без деления на переменную) и остальные
- Применять формулу периметра прямоугольника P = 2(a + b) для любых чисел a и b

## С чего начать

Мастер кладёт бордюр вокруг прямоугольных клумб на участке — они все разного размера: одна узкая и длинная, другая почти квадратная. Можно ли посчитать периметр КАЖДОЙ клумбы одной и той же короткой записью, не выводя формулу заново для каждой?

## 1. Буквы вместо чисел: зачем?

*Переменные и значение выражения*

Представь ларёк, где пирожок стоит 30 рублей. Цена покупки зависит от того, сколько пирожков берёшь: 1 — 30 рублей, 2 — 60, 5 — 150. Каждый раз считать заново неудобно. Гораздо удобнее один раз записать правило: цена = 30 · (число пирожков) — и подставлять любое количество. Вот это место для количества, куда можно подставлять числа, в математике и называют буквой-переменной. Оговорка: подставлять можно не совсем любое число — есть выражения, где, например, нельзя делить на 0, и такие запрещённые значения переменной приходится держать в уме.

**Переменная**

Буквы, которые можно заменять произвольными числами, называют переменными, а само буквенное выражение — выражением с переменными (или с переменной, если она одна).

Если в выражении с переменной подставить вместо буквы конкретное число и довести вычисление до конца, получится значение выражения при этом числе. У числового выражения (без букв) значение вообще одно и не меняется — как у 3 + 5, это всегда 8.

**Значение выражения**

Число, получаемое в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением числового выражения.

**Пример: Найди значение выражения 3x + 5 при x = 4**

1. Подставляем число 4 вместо буквы x: 3·4 + 5
2. Считаем по порядку действий: сначала умножение — 3·4 = 12
3. Затем сложение: 12 + 5 = 17
4. Значение выражения 3x + 5 при x = 4 равно 17

**Пример: То же выражение 3x + 5, но x = 0**

1. Подставляем 0 вместо x: 3·0 + 5
2. 3·0 = 0, значит выражение упрощается до 0 + 5
3. Значение равно 5 — та же запись даёт другое число для другого x

**Проверь себя:** Выражение 2y - 1. Чему равно его значение при y = 6?
**Ответ:** 2·6 - 1 = 12 - 1 = 11

### Проверь себя

**В выражении 4x - 7 переменная x. Чему равно значение выражения при x = 3?**
- 19
- -19
- 5 — верно
- 12
> 4·3 - 7 = 12 - 7 = 5.

**Костя считал значение выражения 3(x + 2) при x = 4 так: 3·4 + 2 = 14. Он прав?**
- Да, 14 — верный ответ
- Нет, сначала сложить x + 2, получится 18 — верно
- Нет, правильный ответ 20
- Да, но проще было умножить сразу
> Скобки выполняются первыми: x + 2 = 6, затем 3·6 = 18.

**У выражения 7 + 8 есть переменная?**
- Нет, это числовое выражение с одним значением — верно
- Да, переменная — это число 7
- Да, переменная — это число 8
- Нет, но значение у него меняется
> Букв в записи нет — это числовое выражение, его значение постоянно и равно 15.

**Выражение 5m + 2n. Во сколько раз изменится его значение, если m и n оба увеличить втрое?**
- Увеличится втрое — верно
- Не изменится
- Увеличится вдвое
- Увеличится в девять раз
> 5·(3m) + 2·(3n) = 3·(5m + 2n) — весь результат умножился на 3.

## 2. Периметр одной формулой на все прямоугольники

*Формула P = 2(a + b)*

Вернёмся к бордюру вокруг клумбы. У любого прямоугольника ровно два вида сторон: длина и ширина, а сторон каждого вида — по две одинаковых. Обозначим длину буквой a, ширину — буквой b. Тогда периметр (сумма длин всех сторон) — это a + b + a + b, то есть дважды сумма a и b.

**Периметр прямоугольника**

$P = 2(a + b)$ — периметр прямоугольника со сторонами a и b

**Рамка из реек**

Представь прямоугольную рамку, сколоченную из деревянных реек: один длинный брусок и один короткий уже дают ровно половину рамки, a + b. Материала на всю рамку нужно вдвое больше — отсюда и удвоение: 2(a + b).

Опорная фраза для запоминания: «сложил соседние стороны — удвоил». Если в ответе получилось меньше, чем удвоенная бо́льшая сторона, — где-то забыли одну пару сторон.

*Рисунок: Прямоугольник со сторонами a и b — обе короткие стороны равны b, обе длинные равны a*

**Пример: Периметр клумбы длиной 5 м и шириной 3 м**

1. Подставляем a = 5, b = 3 в формулу P = 2(a + b)
2. Сначала складываем в скобке: a + b = 5 + 3 = 8
3. Затем удваиваем: P = 2·8 = 16
4. На бордюр вокруг клумбы уйдёт 16 метров ленты

**Неправильно:** P = a + b — периметр прямоугольника со сторонами 5 и 3 равен 5 + 3 = 8
**Правильно:** У прямоугольника по ДВЕ стороны каждой длины, поэтому сумму нужно удвоить: P = 2(a + b) = 2·8 = 16, а не 8

**Проверь себя:** Прикинь в уме: периметр прямоугольника со сторонами 10 и 4?
**Ответ:** 2·(10+4) = 2·14 = 28

### Проверь себя

**Стороны прямоугольника 6 см и 2 см. Чему равен периметр?**
- 8 см
- 12 см
- 16 см — верно
- 24 см
> P = 2(6 + 2) = 2·8 = 16 см.

**У прямоугольника сторону a увеличили вдвое, сторону b не трогали. Что стало с периметром?**
- Периметр вырос ровно вдвое
- Периметр не изменился
- Периметр вырос, но не вдвое — верно
- Периметр уменьшился
> P = 2(2a + b) = 4a + 2b — выросла только часть суммы, значит рост меньше, чем в 2 раза (если a ≠ b).

**Квадрат — это прямоугольник, у которого a = b = 5. Подходит ли для его периметра та же формула P = 2(a + b)?**
- Нет, у квадрата своя, отдельная формула
- Да, подставляем a = b = 5 и получаем 20 — верно
- Нет, формула только для вытянутых прямоугольников
- Да, но результат будет неверным
> Квадрат — частный случай прямоугольника, формула работает: P = 2(5+5) = 20.

## 3. Какие бывают алгебраические выражения

*Числовые, буквенные и целые выражения*

Все выражения, что нам встретятся в алгебре, делятся по одному простому признаку: есть в записи буквы или нет, и если есть — участвуют ли они в делении.

*Рисунок: Схема: как классифицируются алгебраические выражения*

**Алгебраическое выражение**

Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями.

**Целое выражение**

Алгебраические выражения, не содержащие деления на выражения с переменными, называют целыми выражениями.

Выражения 3x + 5 и 2(a+b) — целые: в них есть умножение и сложение с буквами, но нет деления НА букву. А вот выражение 10 / x — уже не целое: тут делят именно на переменную.

**Неправильно:** 5 / x — целое выражение, ведь тут только одно действие деления
**Правильно:** Целое выражение не терпит деления именно НА переменную. 5 / x делит на x — значит, это уже не целое, а другой вид алгебраического выражения

**Проверь себя:** Выражение 7a - 2b: это целое выражение?
**Ответ:** Да — деления на переменную здесь нет, только умножение и вычитание

### Проверь себя

**Выражение x/3 + 1. Это целое выражение?**
- Да, ведь дробь тут одна
- Нет, в нём вообще нет переменной
- Да, деление здесь на число 3, а не на переменную — верно
- Нет, деление есть — значит не целое
> Запрет касается деления на выражение с переменной; деление на число 3 не мешает выражению быть целым.

**Дима говорит: «12 + 8 — это буквенное выражение». Прав ли он?**
- Прав, оно ведь алгебраическое
- Не прав — букв в записи нет, это числовое выражение — верно
- Прав, потому что есть сложение
- Не прав, потому что значение неизвестно
> Буквенное выражение обязано содержать переменную; 12 + 8 — числовое, у него единственное значение 20.

**Выражение 6 / y. К какому виду оно относится?**
- Целое выражение
- Не целое — деление на переменную y — верно
- Числовое выражение
- Определить нельзя без значения y
> Деление именно на букву y выводит выражение из разряда целых.

## Ключевые термины

- **Переменная** — Буква, которую можно заменять произвольными числами
- **Алгебраическое выражение** — Числовое выражение или выражение с переменными
- **Целое выражение** — Алгебраическое выражение без деления на выражение с переменной

## Итог

- Переменная — буква, вместо которой можно подставлять любое число
- Значение выражения с переменной зависит от того, какое число подставили
- Целое выражение — алгебраическое выражение без деления на переменную
- Периметр любого прямоугольника считается одной формулой: P = 2(a + b)

## Шпаргалка

**Переменная** — буква вместо любого числа. **Значение выражения** — число, полученное после подстановки. **Целое выражение** — без деления на переменную. **Периметр прямоугольника:** P = 2(a + b).

## Любопытное

- Слово «алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» — так называлась книга среднеазиатского математика аль-Хорезми (IX век), посвящённая решению уравнений через общие правила, а не подбором чисел.