# Линейное уравнение с одной переменной

Алгебра · 7 класс · Уравнения и неравенства
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/7/2-linejnoe-uravnenie-s-odnoj-peremennoj

Урок про линейное уравнение с одной переменной: что это за уравнение, как его решать по чёткому правилу и почему иногда у него нет решения — а иногда решений бесконечно много. Это один параграф темы «Уравнения и неравенства»: правила преобразования и равносильность уравнений, решение текстовых задач, линейное уравнение с двумя переменными и системы уравнений разбираются в соседних параграфах этого же блока.

## Чему научишься

- Узнавать линейное уравнение вида ax = b и называть его коэффициенты a и b
- Решать линейное уравнение по правилу x = b/a, когда a ≠ 0
- Определять по числам a и b, есть ли у уравнения одно решение, бесконечно много или ни одного

## С чего начать

Два уравнения выглядят почти одинаково: 5x = 15 и 0x = 15. Первое решается за секунду. А второе — сколько ни пробуй числа вместо x, ответа не найти никогда. Почему одна и та же на вид запись в одном случае даёт число, а в другом — не даёт вообще ничего?

## 1. Что такое линейное уравнение

*Вид ax = b и его коэффициенты*

Уравнение — это равенство с переменной, которое верно не для любого x, а только для некоторых (или одного) чисел. Среди всех уравнений есть самый простой вид: слева переменная, умноженная на число, справа просто число. Такое уравнение и называют линейным.

**Линейное уравнение**

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа.

Числа a и b — не любые буквы, а конкретные коэффициенты конкретного уравнения. В записи 5x = 15 коэффициент a = 5, а b = 15. В записи -2x = 8 коэффициент a = -2, b = 8.

**Пример: Назови a и b в уравнении 7x = 21**

1. Сравниваем запись с общим видом ax = b
2. Перед x стоит число 7 — значит a = 7
3. Справа от знака равенства стоит 21 — значит b = 21

**Пример: А если уравнение записано как x = 4?**

1. Перед x нет явного числа — но подразумевается коэффициент 1: 1·x = 4
2. Значит a = 1, b = 4
3. Это тоже линейное уравнение, просто с самым простым коэффициентом

**Проверь себя:** Уравнение -3x = 9. Чему равны a и b?
**Ответ:** a = -3, b = 9

### Проверь себя

**В уравнении 8x = 24 (форма ax = b) чему равен коэффициент a?**
- 1
- 24
- 8 — верно
- 3
> a — число перед переменной x, здесь это 8.

**Серёжа думает, что у уравнения x = 4 коэффициента a вообще нет, ведь перед иксом ничего не написано. Прав ли он?**
- Прав, коэффициента здесь действительно нет
- Не прав: подразумевается a = 1 — верно
- Прав, но только для дробных чисел
- Не прав: на самом деле a = 4
> x — это то же самое, что 1·x, коэффициент просто не пишут явно.

**Кто-то назвал уравнение x² = 9 линейным, потому что в нём одна переменная. Согласен с этим?**
- Да, переменная действительно одна
- Да, ведь справа обычное число
- Нет: x стоит в квадрате, а не просто умножен на число — верно
- Нет, потому что 9 — квадрат числа
> Линейное уравнение требует вид ax = b — переменную без степени, только умноженную на число.

## 2. Как найти x: правило x = b/a

*Решение линейного уравнения*

Уравнение — как весы в равновесии: то, что стоит слева, по значению равно тому, что справа. Если сделать с обеими чашками весов одно и то же действие, равновесие не нарушится. В уравнении ax = b слева x умножен на a — чтобы остался один x, обе части нужно разделить на a.

**Решение уравнения ax = b**

$x = \frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$

**Весы в равновесии**

Представь весы: слева гиря ax, справа гиря b, и они уравновешены. Если обе чашки одновременно разделить на a (например, снять с каждой одинаковую долю груза), весы останутся в равновесии — поэтому x = b/a получается делением ОБЕИХ частей на одно и то же число a.

Опорное правило для запоминания: «свободное число дели на коэффициент перед x» — b всегда наверху дроби, a внизу, а не наоборот.

*Рисунок: Весы в равновесии: слева ax, справа b — деление обеих чашек на a сохраняет равновесие и даёт x = b/a*

**Пример: Реши уравнение 3x = 12**

1. Сравниваем с общим видом ax = b: здесь a = 3, b = 12
2. По правилу x = b/a: x = 12 / 3
3. x = 4
4. Проверка: 3·4 = 12 — совпадает с правой частью, корень найден правильно

**Пример: Реши уравнение -2x = 10**

1. Здесь a = -2, b = 10
2. x = 10 / (-2)
3. x = -5
4. Проверка: -2·(-5) = 10 — совпадает с правой частью

**Неправильно:** В уравнении -2x = 10 корень x = 5, потому что 2·5 = 10
**Правильно:** Знак терять нельзя: делить надо именно на -2, а не на 2. x = 10 / (-2) = -5, а не 5

**Проверь себя:** Прикинь в уме корень уравнения 6x = 18
**Ответ:** x = 18/6 = 3

### Проверь себя

**Реши уравнение 5x = 35.**
- x = 5
- x = 6
- x = 7 — верно
- x = 175
> x = 35 / 5 = 7.

**Паша решал -4x = 20 и получил x = -5. Он прав?**
- Да, всё верно — верно
- Нет, правильный корень 5
- Нет, правильный корень -80
- Нет, у уравнения нет корня
> x = 20 / (-4) = -5, Паша посчитал верно.

**У уравнения ax = b коэффициент a увеличили вдвое, а b не тронули. Что произойдёт с корнем x?**
- Корень вырастет вдвое
- Корень станет равен нулю
- Корень уменьшится вдвое — верно
- Корень останется прежним
> x = b/(2a) — знаменатель вырос вдвое, значит частное уменьшилось вдвое.

## 3. Особые случаи: без решения и с решениями без счёта

*Когда a = 0*

Вернёмся к загадке из начала урока: 5x = 15 и 0x = 15. В первом a = 5 — обычный случай, x = 15/5 = 3. А во втором a = 0: разделить на 0 нельзя, правило x = b/a здесь просто не работает. Разберём, что происходит в таких уравнениях отдельно.

**Когда решений бесконечно много**

$0x = 0 \quad (a = 0,\ b = 0)$ — подходит любое число x

**Пустые чашки весов**

Представь весы, на обе чашки которых умножение на 0 не кладёт вообще ничего — какой бы груз x ты ни задумал, до весов он просто не доходит. Раз обе чашки пусты и без того в равновесии, весы уравновешены при любом x.

Уравнение 0x = 0 верно для абсолютно любого x: умножь ноль на что угодно — получится ноль, и слева, и справа будет 0 = 0. Значит, корень не один, а сразу все числа.

**Когда решений нет совсем**

$0x = b \quad (a = 0,\ b \neq 0)$ — корней не существует

**Пустая чашка против гири**

Теперь одна чашка весов по-прежнему пуста (0x), а на другую всё равно просят положить гирю b. Сколько ни перебирай x, до пустой чашки груз не доходит — а гиря b на другой чашке никуда не девается. Весы никогда не уравновесятся.

А вот 0x = 15 не верно ни при каком x: сколько ни умножай на 0, слева получится 0, а справа стоит 15 — они никогда не совпадут. У такого уравнения корней нет.

*Рисунок: Слева: обе чашки пусты — весы всегда в равновесии (корней бесконечно много). Справа: одна чашка пуста, а на другой гиря b — равновесия нет никогда (корней нет)*

**Три случая уравнения ax = b**

| Случай | Пример | Число корней |
| --- | --- | --- |
| a ≠ 0 | 5x = 15 | Один корень: x = 3 |
| a = 0, b = 0 | 0x = 0 | Бесконечно много корней (любое x) |
| a = 0, b ≠ 0 | 0x = 15 | Корней нет |

**Неправильно:** Если в уравнении переменная x пропала, значит, где-то ошибка в решении
**Правильно:** Это нормальный итог: если получилось верное числовое равенство (0 = 0) — корней бесконечно много, если неверное (0 = 15) — корней нет вообще

**Проверь себя:** Сколько корней у уравнения 0x = 0?
**Ответ:** Бесконечно много — подходит любое число

### Проверь себя

**Уравнение 0x = 8. Сколько у него корней?**
- Один: x = 8
- Один: x = 0
- Бесконечно много
- Ни одного — верно
> 0·x всегда равно 0, а 0 не совпадает с 8 — подходящего x не существует.

**После долгих преобразований уравнение свелось к виду 0x = 0. Что это означает?**
- Где-то допущена ошибка, надо решать заново
- Уравнение вообще не имеет решений
- Подходит абсолютно любое число — верно
- Единственный корень — ноль
> 0 = 0 — верное равенство при любом x, значит корней бесконечно много.

**При каком значении a уравнение ax = 10 не будет иметь ни одного решения?**
- a = 1
- a = 10
- a = -1
- a = 0 — верно
> При a = 0 получаем 0x = 10 — такое равенство не выполняется ни при каком x.

## Ключевые термины

- **Линейное уравнение с одной переменной** — Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и b — некоторые числа
- **Коэффициенты уравнения** — Числа a и b в записи ax = b; a стоит при переменной, b — свободное число справа
- **Корень уравнения** — Число, при подстановке которого вместо x равенство становится верным

## Итог

- Линейное уравнение имеет вид ax = b, где a и b — числа
- Если a ≠ 0, у уравнения ровно один корень: x = b/a
- Если a = 0 и b = 0 — корней бесконечно много (подходит любое число)
- Если a = 0 и b ≠ 0 — у уравнения нет ни одного корня

## Шпаргалка

**ax = b** — линейное уравнение. Если a ≠ 0: x = b/a. Если a = 0 и b = 0: корней бесконечно много. Если a = 0 и b ≠ 0: корней нет.

## Любопытное

- Слово «уравнение» появилось в русском языке как перевод латинского aequatio — «уравнивание», то есть приведение двух частей к равенству.