# Решение текстовых задач

Алгебра · 7 класс · Уравнения и неравенства
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/7/3-reshenie-tekstovyh-zadach

Урок про решение текстовых задач: как перевести условие на язык уравнения, чем этот способ отличается от решения «по действиям» и как применить оба на задачах про фигуры, детали и движение. Это один параграф темы «Уравнения и неравенства»: правила преобразования уравнений, само линейное уравнение с одной переменной, линейное уравнение с двумя переменными и системы уравнений разбираются в соседних параграфах этого же блока.

## Чему научишься

- Переводить условие текстовой задачи в уравнение, обозначив неизвестное буквой
- Решать задачу и проверять, соответствует ли найденный корень смыслу условия
- Различать решение «по действиям» и решение через уравнение и выбирать способ по ситуации

## С чего начать

Одну и ту же задачу про фермерский сад двое одноклассников решили по-разному: один — пятью отдельными вычислениями «по действиям», другой — одной короткой строчкой с буквой x. У обоих сошёлся правильный ответ. Как одна короткая запись заменяет собой всю цепочку вычислений?

## 1. Как перевести условие задачи на язык уравнения

*Математическая модель и три шага алгоритма*

Текстовая задача — это условие на обычном языке: «в саду вдвое больше яблонь, чем груш», «мастер обработал на 15 деталей больше». Чтобы посчитать ответ, условие нужно перевести в математическую запись — так же, как переводят с одного языка на другой.

**Математическая модель**

Математическая модель ситуации — уравнение (или иная математическая конструкция), составленное по условию реальной ситуации.

**Перевод с языка на язык**

Условие задачи на русском языке и уравнение на языке математики рассказывают об одном и том же. «В саду в 3 раза больше яблонь, чем груш» и «3x, если груш x» — это буквальный перевод одной и той же мысли на другой язык, а не два разных факта.

**Алгоритм решения задачи уравнением**

Алгоритм (схема) решения текстовых задач с помощью уравнений состоит из трёх шагов: 1) по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель); 2) решить полученное уравнение; 3) выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ.

Опорная фраза для запоминания порядка шагов: «Модель → Число → Смысл» — сначала переводим условие в уравнение (модель), потом находим число (решаем), в конце проверяем смысл и отвечаем.

*Рисунок: Три шага решения текстовой задачи уравнением: условие → уравнение → число → проверка смысла и ответ*

*Рисунок: Пятиугольник ABCDE — стороны обозначены буквами, как в задаче ниже*

**Пример: В саду посадили в 3 раза больше яблонь, чем груш. Всего — 48 деревьев. Сколько яблонь и сколько груш?**

1. Шаг 1 (модель): пусть груш x, тогда яблонь — 3x. Всего деревьев 48, значит уравнение: x + 3x = 48
2. Шаг 2 (решение): 4x = 48, отсюда x = 12
3. Шаг 3 (проверка смысла): 12 груш и 3·12 = 36 яблонь. Число деревьев — целое и положительное, условию соответствует
4. Ответ: 12 груш и 36 яблонь

**Пример: Пятиугольник ABCDE: сторона AB втрое длиннее стороны BC, а стороны CD, DE и EA равны BC. Периметр — 35 см. Найди длину каждой стороны**

1. Шаг 1 (модель): пусть BC = x, тогда AB = 3x, а CD = DE = EA = x. Периметр — сумма всех сторон: 3x + x + x + x + x = 35
2. Шаг 2 (решение): 7x = 35, отсюда x = 5
3. Шаг 3 (проверка смысла): BC = CD = DE = EA = 5 см, AB = 15 см — длины положительные, сумма 5+5+5+5+15 = 35 совпадает с условием
4. Ответ: четыре стороны по 5 см, одна сторона 15 см

**Проверь себя:** В задаче про сад шаг 3 — это решение уравнения или проверка смысла ответа?
**Ответ:** Проверка смысла: решение уравнения — это шаг 2, а шаг 3 — убедиться, что корень подходит по смыслу задачи

### Проверь себя

**В саду в 4 раза больше слив, чем абрикосов, а всего 40 деревьев. Если абрикосов обозначить x, какое уравнение верно опишет условие?**
- x + 4 = 40
- 4x = 40
- x + 4x = 40 — верно
- x - 4x = 40
> Слив в 4 раза больше — это 4x, а всего деревьев 40: x + 4x = 40.

**Уравнение решили и получили x = 12, но по смыслу задачи количество деревьев не может быть дробным или отрицательным. К какому шагу алгоритма это относится?**
- Шаг 1: построение модели
- Шаг 2: решение уравнения
- Шаг 3: проверка смысла и запись ответа — верно
- Это отдельный, четвёртый шаг
> Проверка, подходит ли корень по смыслу условия, — это ровно третий шаг алгоритма.

**В задаче про пятиугольник периметр был бы не 35, а 70 см при тех же соотношениях сторон. Во сколько раз изменилось бы значение x?**
- Не изменилось бы
- Увеличилось бы вдвое — верно
- Увеличилось бы вчетверо
- Уменьшилось бы вдвое
> Уравнение 7x = 70 вместо 7x = 35 — правая часть выросла вдвое, значит и x = 10 вместо x = 5, тоже вдвое.

## 2. Один ответ — двумя способами

*«По действиям» и через уравнение*

Задачу про сад (48 деревьев, яблонь втрое больше груш) можно решить и совсем без буквы x — раскладывая условие на равные доли и считая шаг за шагом.

**Арифметический способ**

Арифметический способ («решение по действиям») — способ решения задач, при котором ответ получают в результате последовательного вычисления значений числовых выражений.

**Пример: Та же задача про сад: 48 деревьев, яблонь втрое больше груш — решение по действиям**

1. Разложим все деревья на равные доли: груши — 1 доля, яблони — 3 доли, всего 1 + 3 = 4 доли
2. Одна доля равна 48 : 4 = 12 — это число груш
3. Яблонь втрое больше: 12 · 3 = 36
4. Проверка: 12 + 36 = 48 — совпадает с условием. Ответ тот же, что и через уравнение

**Два способа решения одной и той же задачи**

| Способ | Как считают | Когда удобнее |
| --- | --- | --- |
| По действиям | Раскладывают на равные доли и считают шаг за шагом, без буквы | Когда связь между величинами — простое деление на равные части |
| Через уравнение | Обозначают неизвестное буквой x и составляют равенство | Когда связи в условии сложнее, чем деление на равные доли |

**Неправильно:** Если задачу решили по действиям, значит через уравнение её решить нельзя
**Правильно:** Любую такую задачу можно решить и через уравнение — это просто два разных пути к одному и тому же верному ответу

**Проверь себя:** В задаче про сад через уравнение получили x = 12 груш. Какое число получилось при решении по действиям на том же шаге про доли?
**Ответ:** Тоже 12 — одна доля при делении 48 на 4 доли

### Проверь себя

**В задаче про сад (48 деревьев, яблонь втрое больше груш) при решении «по действиям» всего получилось 4 равные доли. Сколько деревьев в одной доле?**
- 4
- 48
- 36
- 12 — верно
> 48 : 4 = 12 деревьев в одной доле — это и есть число груш.

**Витя говорит: раз задачу про сад решили по действиям, значит через уравнение её в принципе решить нельзя. Прав ли он?**
- Прав — у задачи только один верный способ
- Не прав: оба способа дают один и тот же верный ответ — верно
- Прав, потому что там дробные доли
- Не прав, но уравнение дало бы другой ответ
> Способы разные, а верный ответ у задачи один — оба пути к нему приводят.

**Для какой задачи решение «по действиям» обычно менее удобно: где всё делится на равные доли, или где связи между величинами сложнее (разности, «на столько-то больше/меньше»)?**
- Где всё делится на равные доли
- Где связи между величинами сложнее — верно
- Способ одинаково удобен в обоих случаях
- Это зависит только от размера чисел в условии
> Сложные связи (разности, комбинации условий) обычно легче описать уравнением, чем разложить на равные доли.

## 3. Задачи на детали и на движение

*Единицы: детали, километры, часы*

В текстовых задачах числа почти всегда идут вместе с единицами: детали, километры, часы, скорость в км/ч. Их нельзя перепутывать местами — единица подсказывает, какая величина перед тобой.

**Пример: В первый день мастер обработал x деталей, во второй — на 15 деталей больше. Всего за два дня — 71 деталь. Сколько деталей мастер обработал в первый день?**

1. Шаг 1 (модель): во второй день деталей x + 15. Всего за два дня: x + (x + 15) = 71
2. Шаг 2 (решение): 2x + 15 = 71, значит 2x = 56, x = 28
3. Шаг 3 (проверка смысла): в первый день 28 деталей, во второй 28 + 15 = 43. Оба числа целые и положительные, сумма 28 + 43 = 71 совпадает с условием
4. Ответ: в первый день — 28 деталей

*Рисунок: Иллюстрация к задаче на движение*

**Пример: Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа после его старта в том же направлении выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов после СВОЕГО старта мотоциклист догонит велосипедиста?**

1. Шаг 1 (модель): пусть x — часы в пути у мотоциклиста. К этому моменту велосипедист в пути уже x + 2 часа. Расстояние велосипедиста: 15(x + 2), расстояние мотоциклиста: 45x. В момент встречи расстояния равны: 45x = 15(x + 2)
2. Шаг 2 (решение): 45x = 15x + 30, значит 30x = 30, x = 1
3. Шаг 3 (проверка смысла): за 1 час мотоциклист проедет 45 км; велосипедист за 1 + 2 = 3 часа проедет 15·3 = 45 км — расстояния совпали
4. Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 1 час после своего старта

**Неправильно:** Раз мотоциклист едет втрое быстрее велосипедиста (45 против 15 км/ч), значит он догонит его втрое быстрее, чем через 2 часа форы, то есть примерно за 40 минут
**Правильно:** Скорость и время связаны не так просто — нужно составить уравнение расстояний и решить его; на самом деле верный ответ 1 час, что видно только из уравнения, а не из прикидки на глаз

**Проверь себя:** Какая единица измерения у числа 45 в задаче про мотоциклиста?
**Ответ:** км/ч — это скорость

### Проверь себя

**У мастера в первый день было x деталей, во второй — на 15 больше, всего за два дня 71 деталь. Какое уравнение верно опишет условие?**
- x + 15 = 71
- x + (x + 15) = 71 — верно
- 2x = 71
- x - 15 = 71
> Во второй день деталей x + 15, а сумма деталей за оба дня равна 71.

**Велосипедист едет со скоростью 12 км/ч. Мотоциклист стартует на 3 часа позже в том же направлении со скоростью 24 км/ч. Через сколько часов после своего старта мотоциклист догонит велосипедиста?**
- 1 час
- 2 часа
- 3 часа — верно
- 6 часов
> 24x = 12(x + 3) → 24x = 12x + 36 → 12x = 36 → x = 3.

**Если бы мотоциклист выехал НАВСТРЕЧУ велосипедисту, а не вдогонку, что изменилось бы в уравнении расстояний?**
- Ничего бы не изменилось
- Вместо разности скоростей в решении участвовала бы их сумма — верно
- Скорости пришлось бы поменять местами
- Время получилось бы отрицательным
> При встречном движении сближение идёт суммой скоростей, а не разностью, как при погоне.

## Ключевые термины

- **Математическая модель ситуации** — Уравнение (или иная математическая конструкция), составленное по условию реальной ситуации
- **Арифметический способ** — Решение задачи последовательным вычислением значений числовых выражений, без уравнения

## Итог

- Математическая модель задачи — уравнение или другая математическая запись условия
- Алгоритм решения через уравнение — три шага: составить, решить, проверить смысл и ответить
- Арифметический способ («по действиям») и решение через уравнение — разные пути к одному верному ответу
- Числа в задаче всегда идут с единицами (детали, км, ч, км/ч) — путать их местами нельзя

## Шпаргалка

**Модель** — уравнение по условию. **Алгоритм:** 1) составить уравнение, 2) решить, 3) проверить смысл корня и ответить. **По действиям** — то же самое без буквы x, последовательными вычислениями. Единицы (детали, км, ч, км/ч) в уравнении переставлять местами нельзя.

## Любопытное

- Задачи «на движение» и «на работу», которые решают через равные доли или через уравнение, — один из самых старых типов задач в математике: похожие по духу формулировки про путников и сосуды встречаются в математических текстах прошлого.