# Тождественно равные выражения. Тождества Алгебра · 7 класс · Алгебраические выражения Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/7/tozhdestvenno-ravnye-vyrazheniya-tozhdestva Урок о том, почему некоторые равенства верны всегда — при любых числах вместо букв — и как этим пользоваться, чтобы считать и упрощать выражения быстрее. Это первый урок темы: допустимые значения переменных, вычисления по формулам, приведение подобных слагаемых, свойства степеней, действия с многочленами и формулы сокращённого умножения разбирают следующие уроки этого же блока. ## Чему научишься - Отличать тождественно равные выражения от просто похожих на вид - Применять переместительный, сочетательный и распределительный законы для упрощения выражений - Проверять подстановкой числа, является ли равенство тождеством, и находить контрпример, если нет ## С чего начать Сосчитай в уме: $17+38+3$. Многие сначала складывают $38+3=41$, потом прибавляют $17$ — так проще, чем считать по порядку. Почему так можно делать с любыми числами и всегда получать один и тот же ответ? ## 1. Тождественно равные выражения и тождества *Когда два разных на вид выражения — на самом деле одно и то же* Возьмём выражения $2(3+4)$ и $2\cdot 3+2\cdot 4$. Оба равны 14 — но это не совпадение. Проверь с другими числами, например с $2(5+1)$ и $2\cdot 5+2\cdot 1$: снова получится одно и то же, $12$. Такие выражения называют тождественно равными. **Тождественно равные выражения** Выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. **Разные пути в одну точку** Как два разных маршрута до одного и того же дома — идёшь через парк или напрямик, приходишь в одно место. Так и $2(3+4)$ и $2\cdot 3+2\cdot 4$ — разная запись, но всегда один и тот же результат. Мнемоника: «выглядят по-разному — приходят в одну точку». *Рисунок: Две ветвящиеся дорожки-формулы сходятся в одной точке-значении* **Тождество** Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. **Пример: Проверим на нескольких числах, похоже ли $2(a+1)=2a+2$ на тождество** 1. При $a=3$: слева $2(3+1)=8$, справа $2\cdot 3+2=8$ — совпало 2. При $a=0$: слева $2(0+1)=2$, справа $2\cdot 0+2=2$ — совпало 3. При $a=-5$: слева $2(-5+1)=-8$, справа $2\cdot(-5)+2=-8$ — совпало 4. Совпадение на трёх разных числах (включая ноль и отрицательное) — сильный намёк, что это тождество, но сама по себе проверка ничего не доказывает: чисел бесконечно много, все не перебрать 5. Настоящее доказательство — раскрыть скобки по распределительному закону (часть 3): $2(a+1)=2a+2$ дословно, значит равенство верно для ЛЮБОГО $a$, а не только для проверенных **Тождественное преобразование** Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. **Переодеться, оставшись собой** Тождественное преобразование — как переодеться в другую одежду: выглядишь иначе, но человек тот же самый. Заменил $2(a+1)$ на $2a+2$ — запись другая, а значение при любом $a$ то же. Мнемоника: «поменял вид — не поменял суть». *Рисунок: Один силуэт в двух разных нарядах со стрелкой равенства между ними* **Проверь себя:** Верно ли равенство $x+3=3+x$ при $x=-2$? А при любом $x$? **Ответ:** При $x=-2$: обе части равны $1$. И при любом $x$ обе части совпадают — это тождество (доказывается переместительным законом, часть 2). ### Проверь себя **Валя посчитала $2(3+4)$ и получила 14, а Зина посчитала $2\cdot 3+2\cdot 4$ и тоже получила 14. Можно ли назвать эти два выражения тождественно равными?** - Да, потому что их значения равны при любых числах в скобках, не только для 3 и 4 — верно - Нет, это совпадение чисел - Да, но только для чисел 3 и 4 - Нет, тождественно равными бывают только числовые выражения без единой буквы-переменной внутри них > Тождественно равные — совпадают при ЛЮБЫХ значениях переменных, не для одного частного случая; можно проверить ещё парой чисел. **Паша утверждает, что $x+5$ и $5+x$ — тождественно равные выражения, а вот $x+5$ и $x+6$ — нет. Прав ли он?** - Не прав, они все тождественно равны - Прав: первая пара совпадает при любом $x$, вторая отличается на 1 при любом $x$ — верно - Не прав: тождественно равными бывают только числовые выражения, где вообще нет ни одной буквы-переменной - Прав только для $x=0$ > Подставь любое число: $x+5$ и $5+x$ всегда равны, а $x+5$ и $x+6$ всегда отличаются на 1. **Костя составил равенство $2x+3=3+2x$ и назвал его тождеством, а равенство $2x+3=9$ тождеством назвать нельзя. Почему?** - Оба тождества, просто второе сложнее - Ни одно из них не тождество - Первое верно для любого $x$, второе — только для $x=3$ — верно - Второе тождество, а первое — нет, потому что там есть числа 2 и 3 > Тождество должно быть верным при ЛЮБОМ значении переменной; $2x+3=9$ верно только при одном конкретном $x$. ## 2. Переместительный и сочетательный законы *Слагаемые и множители можно переставлять и перегруппировывать* Ты и так всегда считал так, просто не называл это законом: порядок, в котором складываешь числа, не важен. **Переместительный закон** $a+b=b+a$ — для сложения. $ab=ba$ — для умножения. **Надеть носки** Как ни надень два носка — сначала левый, потом правый, или наоборот — результат один: обе ноги в носках. Так и здесь: **пере**ставил слагаемые (или множители) местами — ничего не изменилось. Мнемоника: «переместительный — переставил, не пересчитывал». **Пример: Применим переместительный закон** 1. Нужно посчитать $8+97$ 2. Переставим: $97+8$ — считать проще, ведь к 97 прибавить 8 привычнее «в уме» 3. Получаем $105$ — тот же ответ, что дал бы прямой счёт $8+97$ **Сочетательный закон** $(a+b)+c=a+(b+c)$ — для сложения. $(ab)c=a(bc)$ — для умножения. **Фотография двух групп** Собери 6 друзей в две группы по-разному — сначала 2 и 4, потом сфотографируй как 3 и 3 — на фото всё равно 6 человек. Скобки — это просто способ сгруппировать при подсчёте, само число не меняется. Опорное число: «$(2+3)+4$ и $2+(3+4)$ — оба дают $9$». **Пример: Применим сочетательный закон** 1. Нужно посчитать $25+68+75$ 2. Перегруппируем: $(25+75)+68$ 3. $25+75=100$, значит $100+68=168$ — быстрее, чем считать по порядку ### Проверь себя **У кассы Аня и Боря подошли в одном порядке, потом Аня встала после Бори — сумма денег в кассе от перестановки покупателей не изменится. Какой закон здесь работает по смыслу?** - Распределительный - Закон сложения дробей - Сочетательный - Переместительный — верно > Переместительный закон: от перестановки слагаемых/множителей сумма или произведение не меняются. **Нужно посчитать $25+37+75$. Удобнее сначала сложить 25 и 75, получить 100, потом прибавить 37. Какой закон разрешает так группировать слагаемые?** - Сочетательный — верно - Переместительный - Распределительный - Тождественное преобразование > Сочетательный закон разрешает переставлять скобки: $(a+b)+c=a+(b+c)$. **Аня посчитала $(2+3)+4=9$, а Боря — $2+(3+4)=9$: ответы совпали. Значит ли это, что сочетательный закон верен только для чисел 2, 3, 4, или для любых трёх чисел?** - Только для этих трёх конкретных чисел — 2, 3 и 4, для любых других чисел результат нужно проверять заново отдельно - Для любых трёх чисел — это и есть смысл тождества: скобки можно переставлять всегда — верно - Только если числа положительные - Только если сумма меньше 10 > Тождество верно при любых значениях переменных — конкретные числа 2, 3, 4 лишь пример, а не условие. ## 3. Распределительный закон и проверка тождеств *Как раскрывать скобки и как убедиться, что равенство — не тождество* Переместительный и сочетательный законы работают с ОДНИМ действием — только сложение или только умножение. Распределительный закон связывает сразу два действия: умножение и сложение внутри скобок. **Распределительный закон** $a(b+c)=ab+ac$ **Раздать подарки двум группам** У тебя одинаковый подарок для каждого из $b$ друзей в одной комнате и для каждого из $c$ друзей в другой. Раздать по одному подарку каждому ($ab+ac$) — то же самое, что сначала посчитать всех людей вместе ($b+c$), а потом раздать всем сразу ($a(b+c)$). Мнемоника: «умножаем на каждого по отдельности — итог не меняется». *Рисунок: Схема: множитель a со стрелками к группе b и группе c по отдельности и к их сумме* **Пример: Раскроем скобки** 1. Нужно упростить $5(x+3)$ 2. По распределительному закону умножаем 5 на каждое слагаемое: $5\cdot x+5\cdot 3$ 3. Получаем $5x+15$ А как проверить, что равенство — тождество, если формулу подсказать некому? Подставь по очереди несколько разных чисел (не забудь ноль и отрицательное) — если хоть раз не сошлось, это не тождество. **Неправильно:** $(a+b)^2=a^2+b^2$ — ведь квадрат суммы это же просто квадраты слагаемых **Правильно:** При $a=1,b=1$: слева $4$, справа $2$ — не совпало, значит равенство не тождество. Правильно: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. **Проверь себя:** Является ли $2(x-1)=2x-1$ тождеством? Проверь на $x=5$. **Ответ:** При $x=5$: слева $2(5-1)=8$, справа $2\cdot 5-1=9$ — не совпало, значит это не тождество (забыли умножить 2 на 1). ### Проверь себя **У каждого из 3 друзей по 2 яблока и по 2 груши. Общее число фруктов можно посчитать как $3\cdot 2+3\cdot 2$ (яблоки и груши отдельно) или как $3\cdot(2+2)$ (сразу по каждому) — ответы совпадут. Это пример какого закона?** - Переместительного - Сочетательного - Распределительного — верно - Это случайное совпадение чисел, закона тут нет > Распределительный закон: $a(b+c)=ab+ac$ — умножение можно «раздать» по каждому слагаемому. **Нужно упростить $5(x+3)$. Раскрыв скобки по распределительному закону, получится $5x+15$. А если раскрыть неверно и написать $5x+3$ — в чём ошибка?** - Забыли поменять местами $x$ и 3 - 3 нельзя умножать на 5, потому что это число - Ошибки нет, оба варианта верны - Умножили 5 только на $x$, забыли умножить на 3 — верно > По распределительному закону множитель применяется к КАЖДОМУ слагаемому в скобках, а не к одному. **Костя решил, что $(a+b)^2$ тождественно равно $a^2+b^2$, и проверил на $a=1,b=1$: $(1+1)^2=4$, а $1^2+1^2=2$ — не сошлось. Костя решил, что это исключение только для единиц, а для других чисел работает. Прав ли он?** - Не прав: раз равенство не выполнилось хотя бы для одной пары чисел, это не тождество вообще — верно - Прав, для больших чисел совпадёт - Прав, если $a=b$ - Не прав, потому что квадрат нельзя раскрывать > Для тождества достаточно ОДНОГО контрпримера, чтобы опровергнуть равенство целиком — дальше проверять не нужно. ## Ключевые термины - **Тождественно равные выражения** — Выражения, значения которых равны при любых значениях переменных - **Тождество** — Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных - **Тождественное преобразование** — Замена выражения другим, тождественно равным ему ## Итог - Тождественно равные выражения совпадают по значению при ЛЮБЫХ числах, а не для одного частного случая - Переместительный закон: $a+b=b+a$, $ab=ba$ — можно менять порядок слагаемых/множителей - Сочетательный закон: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$ — можно перегруппировывать скобками - Распределительный закон: $a(b+c)=ab+ac$ — умножение раскрывается по каждому слагаемому - Чтобы опровергнуть тождество, достаточно ОДНОГО числа, на котором равенство не выполняется ## Шпаргалка ### Свойства действий - **$a+b=b+a$** — переместительный закон сложения - **$ab=ba$** — переместительный закон умножения - **$(a+b)+c=a+(b+c)$** — сочетательный закон сложения - **$(ab)c=a(bc)$** — сочетательный закон умножения - **$a(b+c)=ab+ac$** — распределительный закон умножения относительно сложения ### Понятия и проверка - **Тождество** — равенство, верное при любых значениях переменных - **Как опровергнуть** — хватит одного числа-контрпримера ## Любопытное - Не все действия «прощают» перестановку: $5-3\ne 3-5$ и $10:2\ne 2:10$. Переместительный закон работает только для сложения и умножения — вычитание и деление не подчиняются этому правилу вообще.