# Основное свойство рациональной дроби

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/2-osnovnoe-svojstvo-racionalnoj-drobi

Главный инструмент работы с рациональными дробями — основное свойство: числитель и знаменатель можно умножить или сократить на один и тот же ненулевой многочлен. Разбираем, почему это тождество «при допустимых значениях», как сокращать и приводить дроби к общему знаменателю, куда девать минус и почему у графика после сокращения появляется выколотая точка.

## Чему научишься

- Объяснять, чем тождество для дробей отличается от тождества для целых выражений, и находить допустимые значения переменной.
- Сокращать рациональную дробь: раскладывать числитель и знаменатель на множители и убирать общий ненулевой множитель, не трогая слагаемые.
- Приводить дробь к заданному знаменателю и две дроби — к общему знаменателю, правильно обращаясь со знаком минус.

## С чего начать

Сократи дробь $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ — получится $x + 1$, обычная прямая. Но в учебнике график этой функции нарисован с дыркой: одна точка прямой выколота. Откуда дырка, если мы честно сократили и ничего не потеряли? И что ещё «теряется» при сокращении дробей, кроме этой точки?

## 1. Тождество для дробей: «при любых допустимых»

*Почему старое определение из 7 класса пришлось уточнить*

В 7 классе всё было просто: равенство $3a - 1 + 2a + 5 = 5a + 4$ — тождество, потому что верно при любом $a$. Подставь что угодно — сойдётся.

Теперь разделим обе части на $a + 1$: $\frac{3a - 1 + 2a + 5}{a + 1} = \frac{5a + 4}{a + 1}$. Это равенство тоже хочется назвать тождеством — но при $a = -1$ обе дроби вообще не имеют смысла: в знаменателе ноль. «При любых значениях» уже не работает. Поэтому определение уточняют одним словом — **допустимых**.

**Тождественно равные выражения**

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют **тождественно равными**.

**Как понять и запомнить: тождественно равные**

Представь двое весов, на которых лежат два выражения. Подставил $a = 5$ — стрелки совпали. Подставил $a = 100$ — снова совпали. И так при каждом значении, которое вообще разрешено подставлять. Если хоть при одном допустимом значении стрелки разошлись — выражения не тождественно равны.

Зацепка: **ТОЖДЕственно равные — значит одинаковые при каждом допустимом значении переменных.**

*Рисунок: Две одинаковые чаши весов показывают равновесие снова и снова при разных подставляемых значениях*

**Тождество**

Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют **тождеством**.

Например, $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ — тождество: оно верно при всех допустимых $a$, то есть при всех $a$, кроме $a = 2$.

**Как понять и запомнить: тождество и допустимые значения**

Слово «допустимые» — это охранник на входе: он пропускает любое значение переменной, кроме тех, что обнуляют знаменатель. Внутри — тождество работает без исключений; снаружи — просто нет смысла проверять.

Зацепки: **ТОЖДЕство — равенство остаётся ТОЖДЕ при любых допустимых значениях.** **ДОПУСТИМЫЕ значения пропускают только то, что не обнуляет знаменатель.**

**Пример: Является ли тождеством равенство $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m}{7}$?**

1. Находим допустимые значения: слева знаменатель $7m$, значит $m \ne 0$. Справа знаменатель $7$ — ограничений нет.
2. При $m \ne 0$ дробь слева можно сократить на $m$: $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m \cdot m}{7 \cdot m} = \frac{3m}{7}$.
3. Равенство верно при всех допустимых $m$ (то есть при $m \ne 0$) — это тождество.

**Проверь себя:** Прикинь: при каких $a$ равенство $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ проверять нельзя — и мешает ли это ему быть тождеством?
**Ответ:** При $a = 2$ — знаменатель обращается в ноль. Не мешает: тождество обязано выполняться только при допустимых значениях, а $a = 2$ к ним не относится.

### Проверь себя

**Какие выражения называются тождественно равными?**
- Выражения, которые имеют одинаковый набор переменных, независимо от их значений.
- Выражения, которые принимают одинаковые значения хотя бы в одной точке.
- Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных. — верно
- Выражения, результат вычисления которых всегда равен нулю.
> Это определение подчеркивает, что равенство должно сохраняться на всей области определения выражения.

**Что такое тождество?**
- Равенство, в котором отсутствуют переменные.
- Любое математическое выражение, содержащее знак равенства.
- Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных. — верно
- Уравнение, имеющее конечное число корней.
> Тождество — это утверждение о равенстве двух выражений, которое остается верным для всех значений из их области определения.

**Если мы получили новую дробь путем умножения числителя и знаменателя исходной дроби на ненулевой многочлен, как соотносятся эти две дроби?**
- Они тождественно равны. — верно
- Новая дробь всегда больше исходной.
- Они равны только при положительных значениях переменных.
- Их значения противоположны по знаку.
> Это прямое следствие применения основного свойства рациональной дроби.

## 2. Основное свойство: умножай сверху и снизу одинаково

*Откуда берётся сокращение дробей*

Ты давно знаешь основное свойство отношения: $\frac{a}{b} = \frac{am}{bm}$, где $a$, $b$ и $m$ — числа, причём $b \ne 0$ и $m \ne 0$. Половина пиццы — это $\frac{1}{2}$, и она же $\frac{2}{4}$, и $\frac{4}{8}$: режь каждый кусок пополам сколько хочешь, доля не меняется.

Рациональные дроби устроены так же — только вместо чисел множители могут быть многочленами.

**Основное свойство рациональной дроби**

**Основное свойство рациональной дроби:** если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

**Основное свойство в записи**

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $A$, $B$, $C$ — многочлены, причём $B$ и $C$ — ненулевые многочлены.

Читать можно в обе стороны. Слева направо — **приведение к новому знаменателю** (домножили на $C$). Справа налево — **сокращение дроби**** на множитель **$C$: выражение $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ заменяем тождественно равной дробью $\frac{A}{B}$.

**Как понять и запомнить: основное свойство**

Дробь — это отношение, «во сколько раз верх больше низа». Если и верх, и низ увеличить в одно и то же число раз, отношение не изменится — как масштаб на карте: карту увеличили вдвое, а дорога по-прежнему втрое длиннее реки. Одно условие: множитель не должен быть нулём, иначе низ станет нулём и дробь потеряет смысл.

Зацепка: **Один и тот же ненулевой множитель — и числитель, и знаменатель: дробь остаётся той же.** А для сокращения — правило самопроверки: **сокращай общий ненулевой множитель сверху и снизу одновременно; один бок без другого нельзя.**

Сокращение — это всегда два шага: **1) разложить** числитель и знаменатель на множители, **2) найти общий множитель** и убрать его сверху и снизу. Шаг 1 часто пропускают — и тогда сокращать нечего. И третий, невидимый шаг: **запомнить ограничения** исходной дроби (знаменатель не ноль) — после сокращения их в записи уже не видно, а действуют они по-прежнему.

**Пример: Сократи дробь $\frac{6a^3b^2}{24a^2b^4}$**

1. Одночлены $6a^3b^2$ и $24a^2b^4$ имеют общий множитель $6a^2b^2$ (берём наименьший коэффициент-делитель и наименьшие степени каждой буквы).
2. Выносим его: $\frac{6a^3b^2}{24a^2b^4} = \frac{a \cdot 6a^2b^2}{4b^2 \cdot 6a^2b^2}$.
3. Сокращаем на $6a^2b^2$: получаем $\frac{a}{4b^2}$. Допустимые значения те же, что у исходной дроби: $a \ne 0$, $b \ne 0$.

**Пример: Сократи дробь $\frac{3x + 15y}{3x}$**

1. В числителе — сумма, а сокращать можно только множители. Раскладываем: $3x + 15y = 3(x + 5y)$.
2. $\frac{3x + 15y}{3x} = \frac{3(x + 5y)}{3x}$ — теперь сверху и снизу есть общий множитель $3$.
3. Сокращаем на $3$: $\frac{x + 5y}{x}$ при $x \ne 0$. Дальше сокращать нельзя: $x$ в числителе — слагаемое, а не множитель.

**Пример: Сократи дробь $\frac{y^2 + 4y + 4}{y^2 + 2y}$**

1. Раскладываем числитель по формуле квадрата суммы: $y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2$.
2. Раскладываем знаменатель, вынося общий множитель: $y^2 + 2y = y(y + 2)$.
3. $\frac{(y + 2)^2}{y(y + 2)}$ — общий множитель $y + 2$. Сокращаем: $\frac{y + 2}{y}$.
4. Не забываем ограничения исходной дроби: её знаменатель $y(y + 2)$ не равен нулю, значит $y \ne 0$ и $y \ne -2$. Ответ $\frac{y + 2}{y}$ тождественно равен исходной дроби именно при этих $y$ — множитель $y + 2$, на который сократили, тоже не должен быть нулём.

**Неправильно:** $\frac{3x + 15y}{3x} = 15y$ — сократил $3x$ сверху и снизу.
**Правильно:** $3x$ в числителе — слагаемое, а не множитель, его сокращать нельзя. Сначала вынеси общий множитель: $\frac{3(x + 5y)}{3x} = \frac{x + 5y}{x}$. Проверка подстановкой: при $x = 1$, $y = 1$ левая дробь равна $\frac{18}{3} = 6$, а «ответ» $15y = 15$ — не сходится.

**Неправильно:** $\frac{y + 2}{y} = 2$ — сократил $y$ в числителе и знаменателе.
**Правильно:** В числителе $y + 2$ — сумма, $y$ там не множитель. Дробь $\frac{y + 2}{y}$ дальше не сокращается. Правило самопроверки: сокращаем только то, что стоит через знак умножения сверху И снизу.

**Проверь себя:** Прикинь в уме: на что сокращается $\frac{5x}{20x}$ и что получится?
**Ответ:** На $5x$: $\frac{5x}{20x} = \frac{1 \cdot 5x}{4 \cdot 5x} = \frac{1}{4}$ (при $x \ne 0$).

### Проверь себя

**Как формулируется основное свойство рациональной дроби?**
- Если к числителю и знаменателю рациональной дроби прибавить один и тот же многочлен, то значение дроби не изменится.
- Любую рациональную дробь можно заменить на обратную ей без изменения области допустимых значений.
- Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной. — верно
- Если числитель дроби умножить на ненулевой многочлен, а знаменатель оставить прежним, получится тождественно равная дробь.
> Это определение описывает фундаментальный принцип эквивалентности дробей при умножении обеих частей на ненулевое выражение.

**Какая из формул выражает основное свойство рациональной дроби?**
- $\frac{A}{B} = \frac{A^C}{B^C}$, где $C$ — натуральное число
- $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $B$ и $C$ — ненулевые многочлены — верно
- $\frac{A}{B} = A \cdot B^{-1}$, где $B \ne 0$
- $\frac{A}{B} = \frac{A + C}{B + C}$, где $B \ne 0$
> Данная формула иллюстрирует возможность расширения дроби на множитель $C$, сохраняя её значение.

**Какое из правил изменения знаков в рациональной дроби указано верно?**
- $\frac{-A}{B} = -\frac{A}{B}$ — верно
- $\frac{-A}{-B} = -\frac{A}{B}$
- $-\frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$
- $\frac{-A}{B} = \frac{A}{B}$
> Вынесение минуса из числителя перед дробь является стандартным тождественным преобразованием.

## 3. Минус и его три места

*Как сокращать, когда множители «почти одинаковые»*

Из основного свойства есть маленькое, но очень полезное следствие: умножь числитель и знаменатель на $-1$ (это ненулевой многочлен!) — дробь не изменится. Отсюда все правила про минус.

**Знак минус у дроби**

$\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$

$\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$

То есть у минуса есть три равноправных места: в числителе, в знаменателе или перед всей дробью. А два минуса (сверху и снизу сразу) взаимно уничтожаются.

**Как понять и запомнить: минус**

Минус — пассажир, которому всё равно, где сидеть: наверху, внизу или перед дробью — дробь та же. А если пассажиров двое, один наверху и один внизу, они выходят вместе: $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$. Это и есть «умножили сверху и снизу на $-1$» — частный случай основного свойства.

Способ запомнить — правило самопроверки: $a - b$** и **$b - a$** ****отличаются только знаком****, **$b - a = -(a - b)$. Увидел «перевёрнутую разность» — вынеси $-1$ и сокращай.

**Пример: Сократи дробь $\frac{4a - 20}{5a - a^2}$**

1. Раскладываем: $4a - 20 = 4(a - 5)$, $5a - a^2 = a(5 - a)$.
2. Множители $a - 5$ и $5 - a$ — «перевёрнутые» разности: $5 - a = -(a - 5)$. Значит $a(5 - a) = -a(a - 5)$.
3. $\frac{4(a - 5)}{-a(a - 5)}$ — сокращаем на $a - 5$: $\frac{4}{-a}$.
4. Минус переносим перед дробь: $-\frac{4}{a}$. Ограничения — из исходного знаменателя $a(5 - a) \ne 0$: $a \ne 0$ и $a \ne 5$; при $a = 5$ мы сокращали бы на ноль.

**Неправильно:** $\frac{a - 5}{5 - a} = 1$ — «одно и то же сверху и снизу».
**Правильно:** Это не одно и то же: $5 - a = -(a - 5)$. Правильно: $\frac{a - 5}{5 - a} = \frac{a - 5}{-(a - 5)} = -1$. Проверь при $a = 6$: $\frac{1}{-1} = -1$.

**Проверь себя:** Упрости: $-\frac{-a}{-b}$.
**Ответ:** Внутри дроби два минуса уничтожаются: $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$. Остаётся минус перед дробью: $-\frac{a}{b}$.

### Проверь себя

**Верно ли тождество $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$?**
- Нет, так как выражения имеют разные знаки в числителях.
- Только в случае, если $A$ и $B$ — положительные числа.
- Да, так как одновременная смена знаков в числителе и знаменателе не меняет значения дроби. — верно
- Да, но только если $A = B$.
> Это следствие основного свойства: умножение числителя и знаменателя на $-1$ (ненулевой многочлен) дает тождественно равную дробь.

**Какое условие является обязательным для многочлена $C$ при использовании формулы $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$?**
- $C$ должен быть константой (числом).
- $C$ должен быть равен $B$.
- $C$ должен быть ненулевым многочленом. — верно
- $C$ должен иметь степень выше, чем у $A$.
> Умножение на нуль превращает знаменатель в нуль, что делает выражение лишенным смысла, поэтому $C$ не может быть нулем.

## 4. Свойство в обратную сторону: новый и общий знаменатель

*И ответ про дырку в графике*

Теперь читаем основное свойство слева направо: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$. Хотим получить знаменатель побольше — домножаем и верх, и низ на **дополнительный множитель** $C$. Как его найти? Поделить новый знаменатель на старый.

**Пример: Приведи дробь $\frac{a^2}{5bc^3}$ к знаменателю $15ab^3c^5$**

1. Ищем дополнительный множитель: $15ab^3c^5 = 5bc^3 \cdot 3ab^2c^2$, значит $C = 3ab^2c^2$.
2. Умножаем числитель и знаменатель на $3ab^2c^2$: $\frac{a^2 \cdot 3ab^2c^2}{5bc^3 \cdot 3ab^2c^2}$.
3. Ответ: $\frac{3a^3b^2c^2}{15ab^3c^5}$. Дополнительный множитель $3ab^2c^2$ не должен быть нулём, поэтому появляется новое ограничение $a \ne 0$ (к старым $b \ne 0$, $c \ne 0$) — равенство тождественно при этих значениях.

**Пример: Приведи дробь $\frac{a}{a + 2b}$ к знаменателю $a^2 - 4b^2$**

1. Раскладываем новый знаменатель: $a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$. Дополнительный множитель — $a - 2b$.
2. $\frac{a}{a + 2b} = \frac{a(a - 2b)}{(a + 2b)(a - 2b)} = \frac{a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2}$.
3. Ограничения: было $a + 2b \ne 0$, добавилось $a - 2b \ne 0$ (множитель не должен быть нулём) — то есть $a \ne \pm 2b$.

**Пример: Приведи дробь $\frac{a - b}{2a - 3b}$ к знаменателю $3b - 2a$**

1. Новый знаменатель — «перевёрнутый» старый: $3b - 2a = -(2a - 3b)$. Дополнительный множитель — число $-1$.
2. $\frac{a - b}{2a - 3b} = \frac{(a - b) \cdot (-1)}{(2a - 3b) \cdot (-1)} = \frac{b - a}{3b - 2a}$.

**Общий знаменатель двух дробей — как его выбирать**

Произведение знаменателей всегда подойдёт, но обычно оно слишком большое. Удобнее собрать общий знаменатель так:

- коэффициент — **наименьшее общее кратное** коэффициентов;
- каждая переменная (или скобка) — в **наибольшей степени**, в которой она встречается в знаменателях;
- знаменатели-многочлены сначала **разложить на множители**.

**Пример: Приведи к общему знаменателю $\frac{2m}{9a^2b^6}$ и $\frac{5n^2}{6a^4b^3}$**

1. Произведение знаменателей — $54a^6b^9$, громоздко. Собираем удобный: НОК чисел $9$ и $6$ — это $18$; $a$ в наибольшей степени — $a^4$; $b$ — $b^6$. Общий знаменатель $18a^4b^6$.
2. Дополнительный множитель первой дроби: $18a^4b^6 = 9a^2b^6 \cdot 2a^2$, то есть $2a^2$. Получаем $\frac{2m \cdot 2a^2}{9a^2b^6 \cdot 2a^2} = \frac{4a^2m}{18a^4b^6}$.
3. Для второй: $18a^4b^6 = 6a^4b^3 \cdot 3b^3$, множитель $3b^3$. Получаем $\frac{5n^2 \cdot 3b^3}{6a^4b^3 \cdot 3b^3} = \frac{15b^3n^2}{18a^4b^6}$.
4. Допустимые значения не изменились: $a \ne 0$, $b \ne 0$ — дополнительные множители $2a^2$ и $3b^3$ при таких $a$ и $b$ ненулевые.

**Пример: Приведи к общему знаменателю $\frac{4a^2}{a^2 - 36}$ и $\frac{6}{a^2 + 6a}$**

1. Сначала раскладываем знаменатели: $a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6)$, $a^2 + 6a = a(a + 6)$.
2. Общий знаменатель — каждый множитель по одному разу: $a(a + 6)(a - 6)$.
3. Первой дроби не хватает множителя $a$: $\frac{4a^2}{(a + 6)(a - 6)} = \frac{4a^3}{a(a + 6)(a - 6)} = \frac{4a^3}{a^3 - 36a}$.
4. Второй не хватает $a - 6$: $\frac{6}{a(a + 6)} = \frac{6(a - 6)}{a(a + 6)(a - 6)} = \frac{6a - 36}{a^3 - 36a}$.
5. Ограничения объединяются: $a \ne 0$, $a \ne 6$, $a \ne -6$ — общий знаменатель $a(a + 6)(a - 6)$ не должен обращаться в ноль.

И наконец — дырка в графике. Функция $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ определена при всех $x$, кроме $1$. Сокращаем: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ — но **только при **$x \ne 1$, ведь тождество работает лишь на допустимых значениях. Поэтому график — вся прямая $y = x + 1$, кроме одной точки с абсциссой $1$: её выкалывают.

*Рисунок: График с осями координат: прямая линия с выколотой точкой, отмеченной пустым кружком, и пунктирными линиями к осям*

**Почему так: то же сокращение в уравнении с параметром**

Решим уравнение $(a^2 - 9)x = a + 3$ для каждого $a$. Запишем его как $(a + 3)(a - 3)x = a + 3$ — хочется сократить на $a + 3$, но это можно только при $a \ne -3$. Поэтому три случая. При $a = 3$: $0x = 6$ — корней нет. При $a = -3$: $0x = 0$ — корень любое число. При $a \ne 3$ и $a \ne -3$: $x = \frac{a + 3}{(a + 3)(a - 3)} = \frac{1}{a - 3}$. Та же идея, что и с графиком: сокращать можно, но запрещённые значения разбираются отдельно.

**Кстати, про ОГЭ**

На ОГЭ в задании 20 встречаются дробно-рациональные неравенства вроде $x \le \frac{9}{x}$. Сам способ их решения ты пройдёшь позже, но первый шаг там всегда один: перенести всё в одну часть и привести к общему знаменателю — ровно то, что мы делали в этой части. Ученик, который путает слагаемые с множителями или теряет допустимые значения, ошибается уже на этом шаге.

**Проверь себя:** Прикинь: какой общий знаменатель удобнее всего взять для $\frac{1}{a + b}$ и $\frac{1}{a - b}$?
**Ответ:** Произведение $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$: $\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a^2 - b^2}$, $\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a^2 - b^2}$.

### Проверь себя

**В выражении $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ какими объектами являются $A, B$ и $C$ согласно материалу?**
- Иррациональные функции
- Многочлены — верно
- Только целые числа
- Только положительные переменные
> В теории рациональных дробей компоненты $A, B$ и $C$ определяются как многочлены.

**Где может располагаться знак минус в выражении, тождественно равном $\frac{-A}{B}$?**
- Только перед всей дробью.
- В знаменателе или перед всей дробью. — верно
- Только в числителе.
- Одновременно в числителе и знаменателе.
> Согласно свойствам, $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$, что позволяет свободно перемещать один знак минус.

## Ключевые термины

- **Тождественно равные выражения** — Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных.
- **Тождество** — Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных.
- **Основное свойство рациональной дроби** — Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$.
- **Сокращение дроби** — Замена дроби $\frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ тождественно равной ей дробью $\frac{A}{B}$ — сокращение на множитель $C$.
- **Дополнительный множитель** — Многочлен $C$, на который умножают числитель и знаменатель, чтобы привести дробь к новому знаменателю.

## Итог

- Для дробей тождество — равенство при всех допустимых значениях переменных (знаменатель не ноль): $\frac{a - 2}{a - 2} = 1$ при $a \ne 2$.
- Основное свойство: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, где $B$ и $C$ — ненулевые многочлены. Справа налево — сокращение, слева направо — приведение к новому знаменателю.
- Сокращать можно только общий множитель, и только сверху и снизу одновременно; сначала разложи числитель и знаменатель на множители.
- Минус: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$, $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$; «перевёрнутая разность» $b - a = -(a - b)$.
- Общий знаменатель: НОК коэффициентов, каждая переменная и скобка — в наибольшей степени; после сокращения помни о выколотых значениях (дырка в графике при $x = 1$).

## Шпаргалка

**Тождество для дробей** — равенство при всех **допустимых** значениях (знаменатель $\ne 0$).

**Основное свойство:** $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$, $B \ne 0$, $C \ne 0$ — многочлены.

**Сокращение:** 1) разложить на множители, 2) убрать общий множитель сверху и снизу. Слагаемые не сокращаются! $\frac{3x + 15y}{3x} = \frac{x + 5y}{x}$.

**Минус:** $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$; $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$; $b - a = -(a - b)$, поэтому $\frac{a - 5}{5 - a} = -1$.

**Новый знаменатель:** дополнительный множитель $=$ новый знаменатель $:$ старый; домножить верх и низ.

**Общий знаменатель:** НОК коэффициентов, каждая переменная/скобка в наибольшей степени; знаменатели сперва разложить: $a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6)$, $a^2 + 6a = a(a + 6)$ → общий $a(a + 6)(a - 6)$.

**После сокращения** помни о запрещённых значениях: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ при $x \ne 1$ — точка выколота.

## Любопытное

- График функции $y = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ — это прямая с одной выколотой точкой: дробь не определена при $x = 1$, и после сокращения об этом легко забыть. Такие «дырки» — любимая ловушка в задачах с графиками.
- Уравнение $(a^2 - 9)x = a + 3$ при $a = -3$ имеет бесконечно много корней, а при $a = 3$ — ни одного: всё решает, можно ли сократить на $a + 3$.