# Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/3-slozhenie-i-vychitanie-racionalnyh-drobej-s-odinakovymi-znamenatelyami

Учимся складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели совпадают: работаем только с числителями, а знаменатель остаётся неизменным.

## Чему научишься

- Складывать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями
- Вычитать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, не теряя знак у числителя
- Приводить подобные слагаемые в числителе после сложения/вычитания и указывать недопустимые значения переменной

## С чего начать

Дробь $\frac{7}{x-2}$ выглядит страшнее, чем обычная $\frac{7}{5}$ — а складывать такие дроби с одинаковым знаменателем на самом деле даже проще, чем числовые дроби с разными знаменателями. Почему тут не нужен общий знаменатель?

## 1. Сложение дробей с одинаковым знаменателем

*Складываем только числители*

Если знаменатели у двух дробей одинаковые, дробь уже «нарезана» на одинаковые кусочки — осталось только сосчитать их. $\frac{a}{c}$ — это $a$ кусков размера $c$-х долей, $\frac{b}{c}$ — ещё $b$ таких же кусков.

**Правило сложения**

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Представь пиццу, разрезанную на $c$ одинаковых кусков. Съели $a$ кусков утром и $b$ кусков вечером — всего съедено $a+b$ кусков, а размер каждого куска (знаменатель) не изменился. Так же ведут себя и дроби с буквами: буквы — просто «номера кусочков», сама нарезка $c$ не трогается.

Способ запомнить (самопроверка): у ответа знаменатель должен быть **точно таким же**, как у исходных дробей. Появился новый знаменатель — где-то ошибка.

**Пример: Складываем числовую и буквенную дробь**

1. $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}$ — знаменатель $9$ не тронули, сложили только числители.
2. $\frac{3x}{x+1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3x+2}{x+1}$ — та же логика: знаменатель $x+1$ остаётся, в числителе получаем $3x+2$.

**Проверь себя:** Прикинь в уме: чему равно $\frac{4}{7}+\frac{1}{7}$?
**Ответ:** $\frac{5}{7}$ — числители $4$ и $1$ сложили, знаменатель $7$ оставили без изменений.

### Проверь себя

**Какое из следующих утверждений верно описывает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями?**
- Нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй.
- Нужно сложить числители, а знаменатель оставить тот же. — верно
- Нужно сложить числители, а знаменатели перемножить.
- Нужно сложить и числители, и знаменатели.
> Это фундаментальное правило сложения дробей, где общее количество долей (знаменатель) не меняется, а их число (числители) суммируется.

**Представьте дробь $\frac{x + 3}{x}$ в виде суммы целого и дробного выражений.**
- $x + \frac{3}{x}$
- $1 + \frac{3}{x}$ — верно
- $\frac{1}{x} + 3$
- $3 + \frac{1}{x}$
> При почленном делении числителя на знаменатель получаем $\frac{x}{x} + \frac{3}{x}$, что упрощается до $1 + \frac{3}{x}$.

**Какое значение $n$ из перечисленных является натуральным числом, при котором значение выражения $\frac{n + 6}{n}$ целое?**
- $3$ — верно
- $5$
- $0$
- $4$
> Представив дробь как $1 + \frac{6}{n}$, мы видим, что при $n = 3$ дробная часть $\frac{6}{3} = 2$ становится целой.

**Чему равен знаменатель результата при сложении дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{2x}{y}$?**
- $0$
- $y$ — верно
- $2y$
- $y^2$
> При сложении дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается неизменным.

## 2. Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

*Осторожно со скобками*

Вычитание работает по тому же принципу, но здесь легко ошибиться со знаком, если числитель второй дроби — не одно число, а целое выражение.

**Правило вычитания**

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тот же.

Та же пицца из $c$ кусков: было $a$ кусков, у тебя забрали $b$ кусков — осталось $a-b$ кусков того же размера $c$.

Способ запомнить (самопроверка): если числитель второй дроби — сумма из нескольких букв, при вычитании он берётся в скобки целиком, а минус раскрывается на каждое слагаемое: $-(x+2) = -x-2$, а не $-x+2$. Забыл скобки — потерял знак.

**Неправильно:** $\frac{5x}{x+3} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{5x - x - 2}{x+3}$
**Правильно:** $\frac{5x}{x+3} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{5x - (x-2)}{x+3} = \frac{5x - x + 2}{x+3} = \frac{4x+2}{x+3}$

**Пример: Вычитаем дроби с буквенным числителем**

1. $\frac{7}{y} - \frac{3}{y} = \frac{7-3}{y} = \frac{4}{y}$
2. $\frac{2x+1}{x-5} - \frac{x-4}{x-5} = \frac{(2x+1)-(x-4)}{x-5} = \frac{2x+1-x+4}{x-5} = \frac{x+5}{x-5}$

**Проверь себя:** Прикинь: $\frac{9}{n} - \frac{4}{n}$ — что получится?
**Ответ:** $\frac{5}{n}$ — вычли числители, знаменатель $n$ оставили.

**Сложение и вычитание рядом**

|  | Сложение | Вычитание |
| --- | --- | --- |
| Что делаем с числителями | складываем $a+b$ | вычитаем $a-b$ |
| Знаменатель | не меняется ($c$) | не меняется ($c$) |
| Частая ошибка | почти не бывает | забыть скобки вокруг числителя второй дроби |

### Проверь себя

**Как правильно выполнить вычитание $\frac{a}{c} - \frac{b - d}{c}$?**
- $\frac{a - b}{c} - d$
- $\frac{a - b - d}{c}$
- $\frac{a - b + d}{c}$ — верно
- $\frac{a - b + d}{2c}$
> Поскольку вычитается весь числитель второй дроби, перед ним ставится минус, что меняет знаки всех слагаемых внутри него.

**Чему равен результат упрощения выражения $\frac{4}{2a - 1} + \frac{2a - 3}{1 - 2a}$?**
- $\frac{2a + 1}{2a - 1}$
- $\frac{2a - 1}{0}$
- $\frac{1 + 2a}{1 - 2a}$
- $\frac{7 - 2a}{2a - 1}$ — верно
> Сначала необходимо привести дроби к общему знаменателю, изменив знак перед второй дробью и в её знаменателе, что дает $\frac{4 - (2a - 3)}{2a - 1}$.

**Если $\frac{a}{b} = -2$, чему равно значение выражения $\frac{a - b}{a}$?**
- $3$
- $0.5$
- $-1$
- $1.5$ — верно
> Выражение можно представить как $1 - \frac{b}{a}$. Если $\frac{a}{b} = -2$, то $\frac{b}{a} = -0.5$, тогда $1 - (-0.5) = 1.5$.

## 3. Упрощаем результат и помним про ОДЗ

*Подобные слагаемые и недопустимые значения*

После сложения или вычитания в числителе часто можно привести подобные слагаемые и получить более простой ответ. А ещё важно помнить: знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю — значения переменной, при которых это происходит, называются **недопустимыми** (область допустимых значений, ОДЗ).

**Пример: Приводим подобные в числителе**

1. $\frac{3x+4}{x-1} + \frac{x-4}{x-1} = \frac{3x+4+x-4}{x-1} = \frac{4x}{x-1}$
2. Здесь важно: $x \ne 1$, иначе знаменатель $x-1$ обратится в нуль и дробь потеряет смысл.

**Проверь себя:** В дроби $\frac{5}{x+2}$ какое значение $x$ недопустимо?
**Ответ:** $x = -2$ — при нём знаменатель $x+2$ равен $0$.

Кстати: умение уверенно складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем — первый шаг к заданиям ОГЭ на дробно-рациональные неравенства (№20), где несколько дробей сначала собирают в одну, а потом уже решают неравенство.

### Проверь себя

**При каком условии можно складывать рациональные дроби по формуле $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$?**
- Если знаменатель $c \ne 0$. — верно
- Если $a + b$ делится на $c$ без остатка.
- Только если $c$ является одночленом.
- Только если $a$ и $b$ — положительные числа.
> Деление на ноль не определено, поэтому рациональная дробь существует только при ненулевом знаменателе.

**Выполните вычитание дробей: $\frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1}$.**
- $x - 1$ — верно
- $\frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$
- $x + 1$
- $\frac{(x + 1)^2}{x - 1}$
> После вычитания в числителе образуется квадрат разности $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, который сокращается на знаменатель $x - 1$.

**Упростите выражение: $\frac{m^2}{(m - 5)^2} - \frac{25}{(m - 5)^2}$.**
- $m + 5$
- $1$
- $\frac{m + 5}{m - 5}$ — верно
- $\frac{m - 5}{m + 5}$
> Числитель раскладывается как разность квадратов $(m-5)(m+5)$, после чего сокращается одна степень знаменателя.

## Ключевые термины

- **Рациональная дробь** — Дробь вида $\frac{a}{c}$, где $a$ и $c$ — числа или алгебраические выражения, $c \ne 0$.
- **Числитель** — Верхняя часть дроби — то, что складывается или вычитается при одинаковых знаменателях.
- **Знаменатель** — Нижняя часть дроби — при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями остаётся без изменений.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Значения переменной, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

## Итог

- Одинаковые знаменатели складываются и вычитаются без поиска общего знаменателя — работаем только с числителями.
- $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$, а $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.
- При вычитании числитель второй дроби берётся в скобки целиком, чтобы не потерять знак.
- Знаменатель в ответе всегда совпадает с исходным — это способ проверить себя.
- Значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, недопустимы (ОДЗ).

## Шпаргалка

### Формулы

- **$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$** — сложение — сложить числители
- **$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$** — вычитание — вычесть числители

### Проверка себя

- **Знаменатель ответа** — совпадает с исходным
- **Числитель при вычитании** — берётся в скобках целиком
- **ОДЗ** — знаменатель $\ne 0$

### Сложение vs вычитание

|  | Сложение | Вычитание |
| --- | --- | --- |
| Числители | $a+b$ | $a-b$ |
| Опасность | почти нет | потерять знак без скобок |

## Любопытное

- Слово «дробь» появилось от того, что число буквально «дробится» на части: числитель показывает, сколько частей взяли, знаменатель — как назван размер каждой части.
- Дробная черта — это застывший знак деления: $\frac{a}{c}$ означает то же самое, что $a : c$, только записано горизонтально.