# Функция y = k/x и её график

Алгебра · 8 класс · Функции. Числовые функции
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/funkciya-y-k-x-i-eyo-grafik

Разбираем функцию $y = \frac{k}{x}$: что это за зависимость, как выглядит её график, где лежат его ветви и почему график симметричен. В конце используем график, чтобы решать уравнения.

## Чему научишься

- Распознать обратную пропорциональность по формуле $y = \frac{k}{x}$ и построить её график по точкам
- Определить по знаку $k$, в каких координатных четвертях лежат ветви гиперболы, и найти симметричную точку
- Решить уравнение графическим методом и проверить корни подстановкой

## С чего начать

Если ехать вдвое быстрее, то в пути ты проведёшь вдвое меньше времени. Втрое быстрее — втрое меньше. А какая линия получится, если нарисовать это на графике? Прямая, как у $y = kx$, или что-то другое?

## 1. Обратная пропорциональность и гипербола

*Что за зависимость и как выглядит её график*

Начнём с дороги. Путь одинаковый, а скорость меняется. Скорость выросла вдвое — время упало вдвое. Скорость выросла втрое — время упало втрое. Так ведут себя две величины, произведение которых не меняется: одна растёт, а другая во столько же раз уменьшается. Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. Она похожа на очередь в кассу: открыли вдвое больше касс, и каждый стоит вдвое меньше.

**Обратная пропорциональность**

Функцию, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, называют обратной пропорциональностью.

**Формула и обозначения**

$y = \frac{k}{x}$

$x$ — аргумент (независимая переменная), $x \neq 0$.

$y$ — функция (зависимая переменная), $y \neq 0$.

$k$ — коэффициент обратной пропорциональности, постоянное число, $k \neq 0$.

**Как это понять и запомнить**

Аналогия: пирог одного размера делят на $x$ человек. Чем больше людей, тем меньше кусок у каждого, а весь пирог $k$ остаётся прежним. Честная оговорка: «пирог» — это положительное $k$ и положительные $x$. Формула работает и для отрицательных чисел, там пирога уже нет.

Способ запомнить: умножь обе части на $x$, получишь $xy = k$. Произведение $x$ и $y$ у любой точки графика одно и то же. Проверка: для $y = \frac{6}{x}$ точки $(1; 6)$, $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(6; 1)$. Везде $6$.

**Пример: Строим график $y = \frac{6}{x}$ по точкам**

1. Берём значения $x$ и считаем $y = \frac{6}{x}$: при $x = 1$ получаем $y = 6$, при $x = 2$ получаем $y = 3$, при $x = 3$ получаем $y = 2$, при $x = 6$ получаем $y = 1$.
2. Для отрицательных $x$: при $x = -1$ получаем $y = -6$, при $x = -2$ получаем $y = -3$, при $x = -3$ получаем $y = -2$, при $x = -6$ получаем $y = -1$.
3. Отмечаем точки на координатной плоскости и соединяем плавной линией отдельно справа от оси $y$ и отдельно слева. Через $x = 0$ линию не проводим: $0$ не входит в область определения.

*Рисунок: Координатная сетка с осями x и y. Красные точки образуют две ветви кривой, расположенные по разные стороны от начала координат.*

**Гипербола**

Фигуру, являющуюся графиком функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы.

Почему именно две ветви и ни одной точки на осях?

- Число $0$ нельзя подставить вместо $x$, делить на ноль нельзя. Поэтому график не пересекает ось ординат.
- Дробь $\frac{k}{x}$ никогда не равна нулю, пока $k \neq 0$. Поэтому график не пересекает ось абсцисс, а нуля у функции нет.
- Область определения — все числа, кроме $0$. Область значений — тоже все числа, кроме $0$.

**Проверь себя:** Принадлежит ли точка $(4; 2)$ графику функции $y = \frac{8}{x}$? А точка $(3; 3)$?
**Ответ:** Считаем произведение $xy$. У $(4; 2)$ получается $4 \cdot 2 = 8$, это равно $k$, значит принадлежит. У $(3; 3)$ получается $9$, не равно $8$, значит не принадлежит.

### Проверь себя

**Какой формулой задаётся функция, называемая обратной пропорциональностью?**
- $y = \frac{x}{k}$, где $k \neq 0$
- $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$ — верно
- $y = kx$, где $k \neq 0$
- $y = x + k$, где $k \neq 0$
> Формула вида $y = \frac{k}{x}$ при коэффициенте $k \neq 0$ по определению задаёт обратную пропорциональность.

**Какова область определения функции $y = \frac{k}{x}$ при $k \neq 0$?**
- Все действительные числа
- Все числа, кроме $k$
- Все положительные числа
- Все числа, кроме 0 — верно
> Деление на ноль не имеет смысла, поэтому допустимыми значениями аргумента $x$ являются любые числа, кроме нуля.

**Какова область значений функции $y = \frac{k}{x}$ при $k \neq 0$?**
- Все неотрицательные числа
- Все положительные числа
- Все числа, кроме 0 — верно
- Все числа от $-k$ до $k$
> Уравнение $\frac{k}{x} = 0$ при $k \neq 0$ не имеет решений, поэтому ордината $y$ не может принимать значение 0.

**Как называется график функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$?**
- Гипербола — верно
- Прямая
- Парабола
- Окружность
> График функции обратной пропорциональности называется гиперболой.

**Сколько общих точек имеет график функции $y = \frac{k}{x}$ ($k \neq 0$) с осями координат?**
- Одну точку $O(0; 0)$
- Бесконечно много точек
- Ни одной точки — верно
- Две точки
> Так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$, график не пересекает ни ось абсцисс, ни ось ординат.

**Какая из приведенных функций является обратной пропорциональностью?**
- $y = -\frac{0{,}8}{x}$ — верно
- $y = \frac{x}{2}$
- $y = 2x$
- $y = \frac{2x}{3}$
> Формула имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $k = -0{,}8 \neq 0$.

**Какая из приведенных функций НЕ является обратной пропорциональностью?**
- $y = \frac{3}{2x}$
- $y = \frac{3}{x}$
- $y = \frac{3x}{2}$ — верно
- $y = -\frac{3}{x}$
> Это формула вида $y = kx$ (где $k = 1{,}5$), задающая прямую пропорциональность.

**Дана функция $y = \frac{24}{x}$. Найдите значение функции при $x = -3$.**
- $8$
- $-72$
- $-0{,}125$
- $-8$ — верно
> Подставляя $x = -3$ в формулу, получаем $y = \frac{24}{-3} = -8$.

**Дана функция $y = \frac{24}{x}$. Найдите значение аргумента $x$, при котором значение функции равно $12$.**
- $-2$
- $2$ — верно
- $288$
- $0{,}5$
> Из уравнения $12 = \frac{24}{x}$ находим $x = \frac{24}{12} = 2$.

**При каком значении коэффициента $k$ график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-3; 0{,}6)$?**
- $-1{,}8$ — верно
- $-0{,}2$
- $-3{,}6$
- $-2{,}4$
> Подставив координаты точки $A$ в формулу $y = \frac{k}{x}$, получаем $0{,}6 = \frac{k}{-3}$, откуда $k = 0{,}6 \cdot (-3) = -1{,}8$.

**Задана функция $y = -\frac{36}{x}$. Чему равно значение функции при $x = 0{,}9$?**
- $-32{,}4$
- $-4$
- $40$
- $-40$ — верно
> Подставив $x = 0{,}9$, получаем $y = -\frac{36}{0{,}9} = -\frac{360}{9} = -40$.

**Проходит ли график функции $y = \frac{28}{x}$ через точку $A(-4; -7)$?**
- Нет, не проходит, так как координаты точки отрицательны
- Да, проходит — верно
- Да, но только если $x > 0$
- Нет, не проходит, так как $28$ не делится на $-7$ с остатком
> Подстановка $x = -4$ дает $y = \frac{28}{-4} = -7$, что совпадает с ординатой точки $A$.

**Имеет ли уравнение $\frac{6}{x} = 0$ решения?**
- Имеет решение $x = 6$
- Не имеет решений, так как числитель равен 6 (не равен 0), а дробь равна нулю только при нулевом числителе — верно
- Имеет решение $x = 0$
- Имеет бесконечно много решений
> Дробь может равняться нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определен.

## 2. Свойства: четверти и симметрия

*Куда смотрят ветви и чем $y = \frac{k}{x}$ отличается от $y = kx$*

Где лягут ветви — зависит от знака $k$. Вспомни $xy = k$. Если $k > 0$, то $x$ и $y$ у каждой точки одного знака: оба плюс (первая четверть) или оба минус (третья). Если $k < 0$, знаки разные: плюс-минус (четвёртая четверть) или минус-плюс (вторая).

**Расположение ветвей**

Если $k > 0$, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Если $k < 0$, ветви расположены во II и IV координатных четвертях.

Теперь про симметрию. Возьми точку графика $A(x_0; y_0)$, то есть $y_0 = \frac{k}{x_0}$. Поменяй у $x_0$ знак — получится $-x_0$. Число $k$ делится на противоположное число, значит и ответ станет противоположным. Так мы приходим к равенству $-y_0 = -\frac{k}{x_0}$. Значит, точка $B(-x_0; -y_0)$ тоже лежит на графике. Эти две точки — как отражения друг друга через начало координат.

**Центр симметрии**

$-y_0 = -\frac{k}{x_0}$

Если точка $A(x_0; y_0)$ принадлежит графику, то точка $B(-x_0; -y_0)$ также принадлежит ему. $O(0; 0)$ — начало координат, центр симметрии гиперболы.

**Как это понять и запомнить**

Аналогия: поверни лист с гиперболой на пол-оборота вокруг начала координат. Правая верхняя ветвь ляжет на левую нижнюю, а график совпадёт сам с собой. Оговорка: зеркалом относительно одной оси это не получить, нужен именно поворот на пол-оборота вокруг точки $O$.

Способ запомнить: знак $k$ — это знак произведения $xy$. Плюс — «одинаковые знаки» — четверти I и III. Минус — «разные знаки» — четверти II и IV. Правило самопроверки: если точка $(a; b)$ на графике, то и $(-a; -b)$ тоже.

**Нечётная функция**

Функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения, называют нечётной. Функция $y = \frac{k}{x}$ нечётная.

**Пример: Функция $y = -\frac{8}{x}$**

1. Здесь $k = -8$, то есть $k < 0$. Значит, ветви лежат во II и IV четвертях.
2. Берём $x = 2$: $y = -\frac{8}{2} = -4$. Точка $(2; -4)$ — это IV четверть, всё сходится.
3. Симметричная точка: $(-2; 4)$. Проверяем: $-\frac{8}{-2} = 4$, она на графике, II четверть.

**Неправильно:** График $y = \frac{k}{x}$ — это одна линия, которая где-то пересекает ось $y$.
**Правильно:** Это две отдельные ветви. Ось $y$ график не пересекает, потому что $x = 0$ не входит в область определения. Ось $x$ тоже не пересекает: нуля у функции нет.

**Две пропорциональности рядом**

| Признак | $y = kx$ | $y = \frac{k}{x}$ |
| --- | --- | --- |
| Как называется | прямая пропорциональность | обратная пропорциональность |
| Вид графика | прямая через $O(0; 0)$ | гипербола из двух ветвей |
| Область определения | все числа | все числа, кроме $0$ |
| Что постоянно | отношение $\frac{y}{x}$ | произведение $xy$ |
| Симметрия | нечётная функция | нечётная функция |

**Проверь себя:** В каких четвертях лежит график $y = \frac{5}{x}$? А $y = -\frac{5}{x}$? Какая точка симметрична $(1; 5)$ относительно начала координат?
**Ответ:** Для $y = \frac{5}{x}$ это I и III четверти, для $y = -\frac{5}{x}$ это II и IV. Симметричная точка: $(-1; -5)$.

**Пример: Как это спрашивают на ОГЭ: соответствие**

1. На ОГЭ в задании №11 к графикам подбирают формулы. Нужны три приёма, и все они у тебя уже есть.
2. Первый приём: если график состоит из двух ветвей, это обратная пропорциональность $y = \frac{k}{x}$. Прямая через начало координат — это $y = kx$.
3. Второй приём: определи ветви по четвертям. I и III значит $k > 0$, II и IV значит $k < 0$.
4. Третий приём: подставь пару точек и проверь, что $xy$ равно $k$.

### Проверь себя

**В каких координатных четвертях расположены ветви гиперболы $y = \frac{k}{x}$, если $k > 0$?**
- Во II и IV четвертях
- В I и II четвертях
- В III и IV четвертях
- В I и III четвертях — верно
> При $k > 0$ знаки $x$ и $y$ совпадают, поэтому при $x > 0$ получаем $y > 0$ (I четверть), а при $x < 0$ получаем $y < 0$ (III четверть).

**В каких координатных четвертях расположены ветви гиперболы $y = \frac{k}{x}$, если $k < 0$?**
- В I и III четвертях
- В I и IV четвертях
- Во II и III четвертях
- Во II и IV четвертях — верно
> При $k < 0$ знаки $x$ и $y$ противоположны, поэтому при $x < 0$ получаем $y > 0$ (II четверть), а при $x > 0$ получаем $y < 0$ (IV четверть).

**Какая точка является центром симметрии гиперболы $y = \frac{k}{x}$?**
- Точка $(0; k)$
- Точка $(1; 1)$
- Начало координат $O(0; 0)$ — верно
- Точка $(k; k)$
> Если точка $A(x_0; y_0)$ принадлежит гиперболе, то и точка $B(-x_0; -y_0)$ принадлежит ей, что означает центральную симметрию относительно точки $(0; 0)$.

**К какому классу функций по свойству симметрии относится функция $y = \frac{k}{x}$?**
- Чётная функция
- Периодическая функция
- Нечётная функция — верно
- Возрастающая функция
> Функция принимают противоположные значения при противоположных значениях аргумента, то есть является нечётной.

**Из скольких частей состоит гипербола и как они называются?**
- Из четырёх частей, называемых дугами
- Из одной непрерывной линии
- Из двух частей, называемых полупрямыми
- Из двух частей, называемых ветвями гиперболы — верно
> График функции $y = \frac{k}{x}$ разрывается при $x = 0$ и состоит из двух отдельных гладких линий — ветвей.

**Если точка $A(x_0; y_0)$ принадлежит гиперболе $y = \frac{k}{x}$, какая из следующих точек гарантированно принадлежит этой же гиперболе?**
- $B(-x_0; y_0)$
- $B(x_0; -y_0)$
- $B(y_0; x_0)$
- $B(-x_0; -y_0)$ — верно
> Так как верно равенство $-y_0 = \frac{k}{-x_0}$, точка с противоположными координатами также лежит на графике.

**Что происходит с расстоянием от точек графика $y = \frac{k}{x}$ до оси абсцисс при увеличении модуля аргумента $|x|$?**
- Расстояние остаётся постоянным и равным $|k|$
- Расстояние уменьшается до нуля и гипербола пересекает ось
- Расстояние уменьшается и может стать сколь угодно малым, но никогда не станет равным 0 — верно
- Расстояние увеличивается пропорционально $|x|$
> Чем больше модуль аргумента, тем меньше модуль соответствующего значения функции, то есть ордината приближается к нулю.

**Найдите координаты всех точек графика функции $y = \frac{64}{x}$, у которых абсцисса равна ординате.**
- $(8; 8)$ и $(-8; -8)$ — верно
- $(64; 64)$ и $(-64; -64)$
- $(8; -8)$ и $(-8; 8)$
- $(32; 32)$ и $(-32; -32)$
> Положив $y = x$, получаем уравнение $x = \frac{64}{x} \Rightarrow x^2 = 64$, откуда $x_1 = 8$ ($y_1 = 8$) и $x_2 = -8$ ($y_2 = -8$).

**Найдите координаты всех точек графика функции $y = -\frac{25}{x}$, у которых абсцисса и ордината — противоположные числа.**
- $(5; 5)$ и $(-5; -5)$
- $(5; -5)$ и $(-5; 5)$ — верно
- Только точка $(5; -5)$
- $(25; -25)$ и $(-25; 25)$
> Условие $y = -x$ дает $-x = -\frac{25}{x} \Rightarrow x^2 = 25$, откуда $x_1 = 5, y_1 = -5$ и $x_2 = -5, y_2 = 5$.

## 3. Где мы встречаем и как решать уравнения графиком

*Реальные процессы и графический метод*

Обратная пропорциональность встречается постоянно. Время в пути при одном и том же пути: больше скорость, меньше время. Цепь с реостатом: больше сопротивление, меньше сила тока. Если провод, лампа и источник те же, то, увеличивая сопротивление реостатом, мы уменьшаем ток, и лампа горит тусклее.

*Рисунок: График зависимости t в часах от v в км/ч с красной убывающей кривой.*

*Рисунок: Схема электрической цепи: батарея, реостат, выключатель и лампа.*

*Рисунок: График зависимости I в амперах от R в омах с красной убывающей кривой.*

Теперь главный приём. Уравнение $\frac{4}{x} = x - 3$ без алгебры решить трудно, а на картинке оно видно сразу. Левую часть считаем за функцию $y = \frac{4}{x}$, правую — за $y = x - 3$. Решить уравнение значит найти такие $x$, где значения двух функций совпали. На графиках это точки пересечения.

**Графический метод**

Метод решения уравнений, основанный на построении графиков функций в одной системе координат и нахождении абсцисс точек их пересечения, называют графическим методом.

**Как это понять и запомнить**

Аналогия: два бегуна идут по своим дорожкам. Уравнение спрашивает, где они окажутся в одной точке. Оговорка: графиком можно найти корни только настолько точно, насколько точно нарисован чертёж, поэтому проверка нужна всегда.

Способ запомнить: корни — это абсциссы, то есть ответ ищем по оси $x$, а не по $y$. Правило самопроверки: найденный корень подставь в обе части уравнения.

**Пример: Решаем $\frac{4}{x} = x - 3$ графически**

1. Строим в одной системе координат гиперболу $y = \frac{4}{x}$ ($k = 4 > 0$, ветви в I и III четвертях) и прямую $y = x - 3$.
2. Смотрим на точки пересечения. Их две: $(4; 1)$ и $(-1; -4)$. Абсциссы этих точек равны $4$ и $-1$.
3. Проверка подстановкой. Для $x = 4$: левая часть $\frac{4}{4} = 1$, правая часть $4 - 3 = 1$, верно. Для $x = -1$: левая часть $\frac{4}{-1} = -4$, правая часть $-1 - 3 = -4$, верно.
4. Ответ: $4$ и $-1$.

*Рисунок: Координатная плоскость с графиками $y = \frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ и пунктирными вертикальными и горизонтальными линиями.*

**Почему график нечётной функции симметричен относительно начала координат**

Нечётность значит: при замене $x$ на $-x$ значение функции меняет знак. Точка $A(x_0; y_0)$ переходит в точку $B(-x_0; -y_0)$. Это в точности поворот плоскости на пол-оборота вокруг $O(0; 0)$. Поэтому все нечётные функции, и $y = kx$, и $y = \frac{k}{x}$, имеют начало координат центром симметрии.

**Проверь себя:** Почему после чтения корней с графика нужно проверять их подстановкой?
**Ответ:** Чертёж приблизительный: точка пересечения может оказаться чуть в стороне от целых значений. Подстановка даёт точный ответ.

### Проверь себя

**Стороны прямоугольника равны $x$ см и $y$ см, а его площадь равна $18\text{ см}^2$. Какая формула выражает зависимость $y$ от $x$?**
- $y = 18 - x$
- $y = \frac{x}{18}$
- $y = \frac{18}{x}$ — верно
- $y = 18x$
> Так как площадь прямоугольника $S = xy = 18$, выражая $y$, получаем $y = \frac{18}{x}$.

**Какая формула является математической моделью зависимости количества товара $y$ (в кг), купленного на 500 рублей, от цены 1 кг этого товара $x$ (в рублях)?**
- $y = \frac{x}{500}$
- $y = 500x$
- $y = 500 - x$
- $y = \frac{500}{x}$ — верно
> Количество купленного товара равно стоимости всех покупок, делённой на цену одного килограмма.

**Если скорость автомобиля увеличится в 2 раза, как изменится время, необходимое для прохождения того же расстояния?**
- Уменьшится на 2 часа
- Уменьшится в 2 раза — верно
- Увеличится в 2 раза
- Не изменится
> Время и скорость при постоянном пути находятся в обратной пропорциональной зависимости ($t = \frac{S}{v}$).

**В чём заключается графический метод решения уравнения вида $\frac{k}{x} = f(x)$?**
- В нахождении абсцисс точек пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = f(x)$ — верно
- В вычислении значения коэффициента $k$ по заданной точке
- В нахождении ординат точек пересечения графика $y = \frac{k}{x}$ с осями координат
- В подстановке случайных чисел вместо $x$ до получения верного равенства
> Решением уравнения служат значения аргумента $x$, при которых ординаты двух функций совпадают, то есть абсциссы точек пересечения их графиков.

## Ключевые термины

- **Обратная пропорциональность** — Функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$.
- **Гипербола** — График функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$; состоит из двух ветвей.
- **Ветви гиперболы** — Две части, из которых состоит гипербола.
- **Нечётная функция** — Функция, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения.
- **Графический метод** — Решение уравнений построением графиков в одной системе координат и поиском абсцисс точек пересечения.

## Итог

- Обратная пропорциональность — функция $y = \frac{k}{x}$, $k \neq 0$. Её график — гипербола из двух ветвей.
- Область определения и область значений — все числа, кроме $0$. Нулей у функции нет, оси график не пересекает.
- Если $k > 0$, ветви в I и III четвертях. Если $k < 0$, ветви во II и IV.
- Функция нечётная: если $A(x_0; y_0)$ на графике, то $B(-x_0; -y_0)$ тоже. Центр симметрии — $O(0; 0)$.
- Графический метод: строим графики обеих частей уравнения, корни — абсциссы точек пересечения, проверка подстановкой обязательна.

## Шпаргалка

### Формулы функций

- **$y = \frac{k}{x}$** — обратная пропорциональность, $k \neq 0$
- **$xy = k$** — произведение координат точки гиперболы постоянно
- **$-y_0 = -\frac{k}{x_0}$** — симметричная точка тоже на графике
- **$y = kx$** — прямая пропорциональность, график — прямая

### Свойства гиперболы

- **Область определения** — все числа, кроме $0$
- **Область значений** — все числа, кроме $0$
- **Нуль функции** — не существует
- **Пересечение с осями** — график не пересекает ни ось $x$, ни ось $y$
- **$k > 0$** — ветви в I и III четвертях
- **$k < 0$** — ветви во II и IV четвертях

### Две пропорциональности

| Признак | $y = kx$ | $y = \frac{k}{x}$ |
| --- | --- | --- |
| График | прямая | гипербола |
| Область определения | все числа | кроме $0$ |
| Что постоянно | $\frac{y}{x}$ | $xy$ |
| Чётность | нечётная | нечётная |

### Графический метод

1. **Разделить** — запиши левую и правую части как две функции
2. **Построить** — нарисуй оба графика в одной системе координат
3. **Найти** — отметь точки пересечения и прочитай их абсциссы
4. **Проверить** — подставь корни в исходное уравнение

## Любопытное

- У гиперболы нет ни одной точки на осях координат: ось $y$ запрещает деление на ноль, а ось $x$ запрещает то, что $\frac{k}{x}$ равно нулю при $k \neq 0$.
- Чем дальше от начала координат уходит ветвь гиперболы, тем ближе она подходит к осям, но ни разу их не касается.