# Функция y = x^2 и её график

Алгебра · 8 класс · Функции. Числовые функции
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/funkciya-y-x-2-i-eyo-grafik

Строим график $y = x^2$ по точкам и узнаём, как выглядит парабола. Потом читаем по графику его свойства и учимся отличать параболу от других графиков, как это просят на ОГЭ.

## Чему научишься

- Построишь график $y = x^2$ по таблице значений и назовёшь вершину и ветви параболы
- Прочитаешь по графику область определения, область значений, нуль и чётность функции $y = x^2$
- Отличишь параболу $y = x^2$ от других графиков и найдёшь по рисунку решения уравнения вроде $x^2 = x + 2$

## С чего начать

Возьмём $x = 3$ и $x = -3$. Числа разные, а $y$ у них получается один и тот же. Что тогда будет с графиком, если на каждую пару противоположных $x$ приходится одна и та же высота?

## 1. Строим график $y = x^2$ по точкам

*Таблица, вершина и ветви*

Начнём с простого. В функции $y = x^2$ ты сам выбираешь число $x$ и возводишь его в квадрат. Получается $y$. Здесь $x$ — независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (функция). Каждой паре $(x; y)$ соответствует точка на плоскости. Если взять много таких точек и соединить их плавной линией, получится график.

Квадрат числа — это площадь квадрата со стороной $x$. Сторона 1 даёт площадь 1, сторона 2 даёт 4, сторона 3 даёт 9. Площадь растёт всё быстрее: сторона выросла на 1, а площадь прибавляет всё больше. Поэтому график не будет прямой линией. Он будет всё круче уходить вверх.

**Функция**

$y = x^2$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), $y$ — зависимая переменная (функция).

**Как это увидеть и как не забыть**

Представь глубокую пиалу, а на её дне шарик. Дно — самая низкая точка, дальше стенки поднимаются вверх, и чем дальше от середины, тем круче. Левая стенка — зеркальная копия правой. Так же устроен график $y = x^2$. Чтобы вспомнить, как он выглядит, держи в голове опорные числа: $1 \to 1$, $2 \to 4$, $3 \to 9$. И правило самопроверки: квадрат никогда не бывает отрицательным, значит, график никогда не уходит под ось $x$. Если на твоём рисунке есть точка ниже оси, ты ошибся.

*Рисунок: Глубокая чаша вида сбоку, на дне шарик, через дно проходит вертикальная пунктирная ось, левая и правая стенки зеркальны*

**Пример: Строим график по таблице**

1. Берём значения $x$ от $-3$ до $3$ и считаем $y = x^2$.
2. Получаем таблицу: $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ и $y = 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9$.
3. Отмечаем точки $(-3; 9)$, $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, $(3; 9)$.
4. Соединяем точки плавной линией, не ломаной. Рядом с $(0; 0)$ линия гладко проходит дно.

**Неправильно:** $(-3)^2 = -9$, значит, точка $(-3; -9)$ лежит под осью $x$.
**Правильно:** $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, поэтому точка $(-3; 9)$ лежит над осью $x$, на той же высоте, что и $(3; 9)$.

**Парабола**

График функции $y = x^2$ называют параболой.

**Вершина и ветви**

Точка с координатами $(0; 0)$ делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной параболы.

**Проверь себя:** Какая точка с абсциссой $x = -4$ лежит на параболе $y = x^2$?
**Ответ:** $(-4; 16)$, потому что $(-4)^2 = 16$.

### Проверь себя

**Что является областью определения функции $y = x^2$?**
- Только неотрицательные числа
- Все числа — верно
- Все числа, кроме нуля
- Только положительные числа
> Операция возведения в квадрат выполнима для абсолютно любого действительного числа $x$.

**Что является областью значений функции $y = x^2$?**
- Только положительные числа
- Все числа
- Все неположительные числа
- Все неотрицательные числа — верно
> Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($x^2 \geqslant 0$), поэтому $y$ принимает только неотрицательные значения.

**Проходит ли график функции $y = x^2$ через точку $A(-8; 64)$?**
- Не проходит, так как абсцисса точки отрицательна
- Проходит, так как $-8 \cdot 2 = -16$
- Не проходит, так как $(-8)^2 = -64$
- Проходит, так как $(-8)^2 = 64$ — верно
> Подстановка абсциссы $x = -8$ в формулу функции дает ординату $y = 64$, что совпадает с координатами точки $A$.

**Проходит ли график функции $y = x^2$ через точку $B(-9; -81)$?**
- Не проходит, так как область значений функции состоит только из неотрицательных чисел — верно
- Проходит, так как $(-9)^2 = -81$
- Не проходит, так как абсцисса должна быть равна ординате
- Проходит, так как модуль ординаты равен квадрату абсциссы
> Ордината точки $B$ отрицательна ($-81$), что противоречит свойству $y \geqslant 0$ для параболы $y = x^2$.

**Чему равно значение функции $y = x^2$, если значение аргумента равно $-1.2$?**
- $2.4$
- $-2.4$
- $-1.44$
- $1.44$ — верно
> При возведении отрицательного десятичного дроби $-1.2$ в квадрат получаем $(-1.2) \cdot (-1.2) = 1.44$.

**Дана кусочно-заданная функция f(x) = \begin{cases} 4, & x \leqslant -2 \ x^2, & -2 < x < 1 \ 2x - 1, & x \geqslant 1 \end{cases}. Найдите значение $f(-3)$.**
- $4$ — верно
- $-7$
- $0$
- $9$
> Аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $x \leqslant -2$, поэтому значение функции определяется первой строкой и равно $4$.

**Дана кусочно-заданная функция f(x) = \begin{cases} 4, & x \leqslant -2 \ x^2, & -2 < x < 1 \ 2x - 1, & x \geqslant 1 \end{cases}. Найдите значение $f(0.5)$.**
- $4$
- $0$
- $0.25$ — верно
- $1$
> Аргумент $x = 0.5$ лежит в интервале $-2 < x < 1$, поэтому значение рассчитывается как $x^2$: $0.5^2 = 0.25$.

**Дана кусочно-заданная функция f(x) = \begin{cases} 4, & x \leqslant -2 \ x^2, & -2 < x < 1 \ 2x - 1, & x \geqslant 1 \end{cases}. Найдите значение $f(3)$.**
- $5$ — верно
- $4$
- $6$
- $9$
> Так как $x = 3 \geqslant 1$, применяем третью формулу $2x - 1$: $2 \cdot 3 - 1 = 5$.

**График функции $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$ совпадает с графиком функции $y = x^2$ при всех значениях $x$, КРОМЕ:**
- $x = 1$
- $x = 0$
- $x = -2$
- $x = -1$ — верно
> При $x = -1$ знаменатель $x + 1$ равен нулю, из-за чего исходная дробная функция не определена в этой точке.

**Чему равно значение аргумента $x$, если значение функции $y = x^2$ равно $0$?**
- Такого значения не существует
- $0$ — верно
- Любому неотрицательному числу
- $1$ и $-1$
> Единственным числом, квадрат которого равен нулю, является сам ноль ($0^2 = 0$).

**Какое из перечисленных чисел НЕ входит в область значений функции $y = x^2$?**
- $0$
- $100$
- $0.25$
- $-0.01$ — верно
> Область значений состоит из всех неотрицательных чисел ($y \geqslant 0$), поэтому отрицательные числа в неё не входят.

**Проходит ли график функции $y = x^2$ через точку $C(0.5; 2.5)$?**
- Не проходит, так как $(0.5)^2 = 0.25 \ne 2.5$ — верно
- Проходит, так как $0.5 \cdot 5 = 2.5$
- Проходит, так как обе координаты положительны
- Не проходит, так как абсцисса меньше единицы
> Возведение в квадрат абсциссы $0.5$ дает $0.25$, что не совпадает с ординатой $2.5$.

**Если точка $M(-3; y)$ принадлежит графику функции $y = x^2$, чему равна её ордината $y$?**
- $-6$
- $6$
- $9$ — верно
- $-9$
> Подставив $x = -3$ в формулу функции, получаем $y = (-3)^2 = 9$.

**Какие из следующих точек принадлежат графику функции $y = x^2$?**
- $(0.1; 0.01)$ — верно
- $(-2.5; 6.25)$
- $(-3; -9)$
- $(1.5; 2.25)$
> Точный расчет квадрата абсциссы $0.1^2 = 0.01$ совпадает с заданной ординатой.

## 2. Свойства $y = x^2$ и симметрия

*Чётность, нуль и область значений*

Вернёмся к вопросу из начала. Пары $x = 3$ и $x = -3$ дают одну высоту $y = 9$. То же самое с $2$ и $-2$ и с любой другой парой противоположных чисел. Значит, на параболе точки приходятся парами: одна слева от оси $y$, вторая справа, обе на одной высоте. Так выходит симметрия: если сложить рисунок по оси $y$, левая ветвь ляжет точно на правую.

**Симметрия точек**

Если точка $A(x_0; y_0)$ принадлежит параболе, то $y_0 = x_0^2$ и $y_0 = (-x_0)^2$. Значит, точка $B(-x_0; y_0)$ также принадлежит этой параболе.

**Как это увидеть и как не забыть**

Это как лист бумаги, сложенный по оси $y$: ось — линия сгиба, две ветви совпадают при складывании. Запомни правило самопроверки: у точки и её «зеркальной пары» меняется только знак абсциссы, а $y$ остаётся тем же. Нашёл на параболе $(5; 25)$ — сразу знаешь, что есть и $(-5; 25)$.

**Ось симметрии**

Ось ординат (ось $y$) — ось симметрии параболы $y = x^2$.

**Чётная функция**

Функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает равные значения, называют чётной. Функция $y = x^2$ является чётной.

**Нуль функции**

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно $0$. У функции $y = x^2$ нуль один: $x = 0$.

Теперь соберём свойства, которые читаются по графику:

- область определения — все числа, ведь возвести в квадрат можно любое число;
- область значений — все неотрицательные числа, то есть $y \geq 0$, ведь квадрат не бывает отрицательным;
- график проходит через начало координат, точку $(0; 0)$;
- нуль функции: $x = 0$;
- функция чётная, значения при противоположных $x$ равны.

**Проверь себя:** Точка $(-6; 36)$ лежит на параболе $y = x^2$. Какая ещё точка с таким же $y$ лежит на ней?
**Ответ:** $(6; 36)$ — это симметричная точка относительно оси $y$.

**Почему именно чётность**

Раз $(-x)^2 = x^2$ для любого $x$, значения функции в точках $x$ и $-x$ равны всегда, а не для отдельных чисел. Поэтому симметрия получается у всего графика целиком.

### Проверь себя

**Найдите все значения аргумента, при которых значение функции $y = x^2$ равно $2500$.**
- Только $50$
- Только $-50$
- $50$ и $-50$ — верно
- $1250$ и $-1250$
> Уравнение $x^2 = 2500$ имеет два противоположных корня, так как $50^2 = 2500$ и $(-50)^2 = 2500$.

**Какие из перечисленных свойств справедливы для функции $y = x^2$ и её графика?**
- График функции проходит через начало координат $(0; 0)$.
- Осью симметрии параболы является ось ординат. — верно
- Областью значений функции являются все неотрицательные числа.
- График функции расположен в третьей и четвёртой координатных четвертях.
> Противоположным значениям аргумента $x$ и $-x$ соответствует одно и то же значение $y$, что обеспечивает зеркальную симметрию относительно оси $y$.

## 3. График в деле: уравнения и задание ОГЭ

*Узнаём параболу среди других графиков*

Зачем нам такой график? Он помогает решать уравнения без формул. Чтобы решить $x^2 = x + 2$, рисуем в одной системе координат параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 2$. Абсциссы точек пересечения и есть решения уравнения.

*Рисунок: Парабола $y = x^2$ и прямая $y = x + 2$ в одной системе координат, штриховая вертикаль при $x = 2$*

**Пример: Решаем $x^2 = x + 2$ по графику**

1. Строим параболу $y = x^2$ и прямую $y = x + 2$ в одной системе координат.
2. Смотрим точки пересечения: их абсциссы равны $-1$ и $2$.
3. Проверяем подстановкой: при $x = 2$ слева $4$, справа $2 + 2 = 4$. При $x = -1$ слева $1$, справа $-1 + 2 = 1$.
4. Ответ: $x = -1$ и $x = 2$.

Второе применение — задание ОГЭ №11: по рисунку графика надо угадать формулу. Так это спрашивают на экзамене, поэтому нужен быстрый приём: смотришь на форму линии и ищешь, где вершина.

**Как различить графики по виду**

| Признак | $y = x$ | $y = x^2$ | $y = -x^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| Вид линии | прямая | парабола | парабола |
| Через $(0; 0)$ | проходит | проходит, это вершина | проходит, это вершина |
| Куда идут ветви | нет ветвей | вверх | вниз |
| Есть точки с $y < 0$ | есть | нет | есть |

**Пример: Сопоставляем графики и формулы**

1. Даны формулы: 1) $y = x^2$, 2) $y = -x^2$, 3) $y = x$. Графики: А — прямая через начало координат, Б — парабола с вершиной в начале, ветви вниз, В — парабола с вершиной в начале, ветви вверх.
2. А — прямая, значит, формула без квадрата: это 3.
3. Б — парабола с ветвями вниз, весь график под осью $x$ или на ней: это 2.
4. В — парабола с ветвями вверх: это 1.
5. Ответ: А — 3, Б — 2, В — 1.

**Проверь себя:** График проходит через $(2; 4)$ и $(-2; 4)$ и имеет вершину в $(0; 0)$. Прямая это или парабола?
**Ответ:** Парабола $y = x^2$: у прямой не бывает двух точек с одинаковым $y$ и противоположными $x$, да ещё с вершиной.

### Проверь себя

**Каковы координаты точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$?**
- $(2; 4)$ — верно
- $(-2; 4)$
- $(2; 2)$
- $(4; 2)$
> Приравнивание выражений $x^2 = 4x - 4$ приводит к уравнению $(x - 2)^2 = 0$, единственным корнем которого является $x = 2$, откуда $y = 2^2 = 4$.

**Какое количество решений имеет система уравнений \begin{cases} y = x^2 \ y = -2 \end{cases}?**
- $1$
- Бесконечно много
- $2$
- $0$ — верно
> Область значений $y = x^2$ включает только $y \geqslant 0$, поэтому парабола и прямая $y = -2$ не имеют общих точек.

**Какое количество решений имеет система уравнений \begin{cases} y = x^2 \ y = 2 \end{cases}?**
- $0$
- $4$
- $1$
- $2$ — верно
> Прямая $y = 2$ проходит параллельно оси абсцисс выше начала координат и пересекает параболу в двух точках.

**Какое количество решений имеет графическое уравнение $x^2 = x - 1$?**
- $0$ — верно
- Бесконечно много
- $2$
- $1$
> График параболы $y = x^2$ расположен строго выше прямой $y = x - 1$, поэтому они не имеют точек пересечения.

## Ключевые термины

- **Парабола** — График функции $y = x^2$.
- **Вершина параболы** — Точка $(0; 0)$, делящая параболу на две ветви.
- **Чётная функция** — Функция, принимающая равные значения при противоположных значениях аргумента.
- **Нуль функции** — Значение аргумента, при котором значение функции равно $0$.

## Итог

- График $y = x^2$ называют параболой, его вершина — точка $(0; 0)$.
- Область определения — все числа, область значений — $y \geq 0$.
- Функция чётная: $(-x_0)^2 = x_0^2$, ось $y$ — ось симметрии параболы.
- Нуль функции $y = x^2$ — это $x = 0$.
- На ОГЭ параболу узнают по вершине в начале координат и ветвям вверх.

## Шпаргалка

### Формулы параболы

- **$y = x^2$** — парабола с вершиной в начале координат
- **$y_0 = x_0^2$** — точка $A(x_0; y_0)$ на параболе
- **$y_0 = (-x_0)^2$** — симметричная точка $B(-x_0; y_0)$ тоже на параболе

### Свойства $y = x^2$

- **Область определения** — все числа
- **Область значений** — $y \geq 0$
- **Нуль функции** — $x = 0$
- **Вершина** — точка $(0; 0)$
- **Ось симметрии** — ось $y$
- **Чётность** — функция чётная

### Узнай график

| Признак | $y = x$ | $y = x^2$ | $y = -x^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| Вид | прямая | парабола | парабола |
| Ветви | нет | вверх | вниз |
| Точки с $y < 0$ | есть | нет | есть |

## Любопытное

- Название «квадрат» не случайно: $x^2$ — это площадь квадрата со стороной $x$.
- Парабола $y = x^2$ касается оси $x$ только в одной точке, $(0; 0)$, ведь нуль функции единственный.