# Рациональные дроби

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/racionalnye-drobi

Рациональные дроби помогают записывать и преобразовывать выражения, в которых числа и переменные соединены действиями. Главное здесь не запомнить отдельные правила, а научиться видеть ограничения: какое значение нельзя подставлять, какое преобразование сохраняет значение дроби и какой порядок действий выбрать.

## Чему научишься

- находить допустимые значения переменных и область определения рационального выражения
- сокращать рациональные дроби и выполнять с ними сложение, вычитание, умножение и деление
- преобразовывать выражения с рациональными дробями и выбирать подходящий способ для решения задачи

## С чего начать

Почему выражение, которое выглядит как обычная дробь, иногда нельзя вычислить, подставив любое число вместо переменной? И как превратить громоздкую алгебраическую дробь в короткую, не изменив её значения?

## 1. Из чего состоит рациональное выражение

*Сначала выясним, какие выражения относят к рациональным и где у них границы допустимого*

Начнём с различия между двумя похожими записями. В выражении $\frac{7}{3}$ деление идёт на число, отличное от нуля. В выражении $\frac{7}{x}$ деление идёт на выражение с переменной, поэтому значение зависит от того, чему равна $x$.

**Классификация выражений**

Целые выражения — выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число. Дробные выражения — выражения, которые содержат деление на выражение с переменными. Рациональные выражения — целые и дробные выражения.

*Рисунок: Схема классификации выражений с выделенными группами целых, дробных и рациональных выражений.*

Рациональная дробь выглядит как дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются многочленами. Например, $\frac{x+2}{x-5}$ и $\frac{3x^2-1}{2x+7}$ — рациональные дроби. Запись $\frac{4}{x+1}$ тоже подходит: число $4$ является многочленом.

**Каноническое определение**

Рациональная дробь: $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены, причём $B$ — не нулевой многочлен.

**Образ и способ запомнить**

Представь рациональную дробь как коробку: сверху лежит числитель, снизу — знаменатель. Дно коробки не должно исчезать, поэтому знаменатель нельзя превращать в нуль. Мнемоника: «дробь держится на знаменателе».

Допустимыми будут не все значения переменной. Нужно найти те, при которых знаменатель не равен нулю. Для $\frac{x+2}{x-5}$ запрещено только $x=5$, потому что тогда знаменатель равен нулю. Все остальные значения допустимы.

**Допустимые значения**

Допустимые значения переменных, входящих в рациональное выражение — все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл (то есть замена переменных числами не приводит к делению на нуль).

**Пример: Находим допустимые значения**

1. Рассмотрим выражение $\frac{2x-1}{x^2-9}$. Ограничение создаёт только знаменатель.
2. Приравняем знаменатель к нулю: $x^2-9=0$. Отсюда $x=3$ или $x=-3$.
3. Исключаем эти два значения. Допустимые значения: все $x$, кроме $3$ и $-3$.

**Проверь себя:** Какое значение нельзя подставить в выражение $\frac{5}{2x+6}$?
**Ответ:** Нельзя подставить $x=-3$, потому что $2x+6=0$.

**Почему проверяем именно знаменатель**

Числитель может быть равен нулю: тогда значение дроби равно нулю, если знаменатель не равен нулю. Нельзя делить именно на нуль, поэтому область допустимых значений находят по знаменателю.

### Проверь себя

**Какое из следующих утверждений верно описывает определение рациональной дроби?**
- Это выражение, состоящее только из суммы целых чисел и дробей.
- Это любая дробь, в числителе которой стоит число, а в знаменателе — переменная.
- Это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены, причём $B$ — не нулевой многочлен. — верно
- Это дробь, значение которой всегда является целым числом.
> Данное определение точно соответствует источнику, указывая на многочлены в обеих частях дроби и условие ненулевого знаменателя.

**Что из перечисленного является характерным признаком дробного выражения?**
- Наличие операции деления на выражение с переменными. — верно
- Обязательное наличие знака корня в числителе.
- Деление на любое число, отличное от нуля.
- Наличие только действий сложения и вычитания.
> Именно деление на переменную или выражение с ней отличает дробное выражение от целого.

**Как называются все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл?**
- Положительные значения переменных.
- Целые значения переменных.
- Допустимые значения переменных. — верно
- Корни рационального уравнения.
> Это официальный термин для обозначения области определения, где выражение не приводит к делению на нуль.

## 2. Сохраняем и упрощаем дробь

*Основное свойство объясняет, почему дробь можно преобразовать, не меняя её значения*

У дроби есть удобное свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится. Это алгебраический аналог того, как $\frac{2}{3}$ и $\frac{4}{6}$ обозначают одну и ту же долю.

**Основное свойство алгебраической дроби**

Если $C$ — выражение, не равное нулю, то $\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$ и $\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B}$ при допустимых значениях переменных.

**Как не перепутать правило**

Представь, что числитель и знаменатель — верхняя и нижняя чаши весов. Чтобы весы остались в равновесии, обе чаши умножают на один и тот же ненулевой множитель. Запомни: «умножили верх — умножь и низ; разделили верх — раздели и низ».

Сокращение — это применение основного свойства в обратную сторону. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители, затем убери одинаковый ненулевой множитель. Нельзя сокращать отдельные слагаемые: в выражении $\frac{x+3}{x}$ нельзя «сократить $x$».

**Пример: Сокращаем рациональную дробь**

1. Рассмотрим $\frac{x^2-9}{x^2+3x}$. Разложим числитель: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
2. Разложим знаменатель: $x^2+3x=x(x+3)$.
3. Получаем $\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}$. При $x\ne0$ и $x\ne-3$ сокращаем общий множитель $x+3$ и получаем $\frac{x-3}{x}$.
4. Ограничения исходной дроби сохраняются: $x\ne0$ и $x\ne-3$, даже если в сокращённой записи значение $x=-3$ уже не видно в знаменателе.

**Типичная ошибка**

Неверно: $\frac{x+5}{x}=5$. Сокращать можно только общий множитель, а $x+5$ — сумма, не произведение. Верно оставить дробь $\frac{x+5}{x}$ или преобразовывать её другим способом.

**Проверь себя:** Какой множитель можно сократить в дроби $\frac{(a-2)(a+1)}{(a+1)(a+5)}$?
**Ответ:** Можно сократить общий множитель $a+1$, учитывая исходные ограничения $a\ne-1$ и $a\ne-5$.

**Зачем сохранять ограничения**

Сокращённая запись может иметь смысл при значении, которое было запрещено исходной дробью. Например, после сокращения исчезает множитель знаменателя, но исходное выражение при соответствующем значении всё равно не определено.

### Проверь себя

**Какое действие, согласно программе, является ключевым при применении основного свойства алгебраической дроби?**
- Сокращение дробей. — верно
- Умножение только числителя на переменную.
- Перенос слагаемых из числителя в знаменатель.
- Возведение всей дроби в квадрат.
> Основное свойство позволяет делить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой многочлен, что и есть сокращение.

**Какое из следующих выражений относится к целым выражениям?**
- $\frac{5}{x + y}$
- $\frac{x + y}{5}$ — верно
- $a + \frac{1}{b}$
- $x^2 - 2x + \frac{x}{y}$
> Деление на число $5$ не делает выражение дробным; целые выражения допускают деление на отличные от нуля числа.

**При каком условии замена переменных числами в рациональном выражении НЕВОЗМОЖНА?**
- Если числитель дроби становится равным нулю.
- Если в результате получается отрицательное число.
- Если замена приводит к делению на нуль. — верно
- Если вместо переменной подставляется дробное число.
> Деление на нуль не определено, поэтому такие значения переменных считаются недопустимыми.

## 3. Действия с рациональными дробями

*Выбираем действие по знакомому числовому правилу и не забываем об ограничениях*

С рациональными дробями действуют почти так же, как с числовыми. При умножении перемножают числители и знаменатели. При делении умножают первую дробь на дробь, обратную второй. При сложении и вычитании сначала приводят дроби к общему знаменателю.

**Порядок действий**

Для сложения или вычитания используют общий знаменатель: $\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}$. Для умножения: $\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$. Для деления: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$.

**Бытовая аналогия и память**

Сложение дробей похоже на складывание кусочков пиццы: сначала куски должны быть одного размера, то есть нужен общий знаменатель. Умножение соединяет числители с числителями и знаменатели со знаменателями. Деление переворачивает вторую дробь. Мнемоника: «сложить — общий низ, умножить — по этажам, разделить — вторую перевернуть».

**Пример: Складываем дроби с разными знаменателями**

1. Вычислим $\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}$. Ограничения: $x\ne0$ и $x\ne-1$.
2. Общий знаменатель равен $x(x+1)$. Домножаем первую дробь на $x+1$, вторую — на $x$.
3. Получаем $\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}$.
4. Складываем числители: $\frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}$.

**Пример: Умножаем и делим**

1. Для произведения $\frac{x}{x-2}\cdot\frac{x^2-4}{3x}$ раскладываем $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
2. Получаем $\frac{x}{x-2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{3x}$. При допустимых значениях сокращаем $x$ и $x-2$, результат равен $\frac{x+2}{3}$.
3. Для деления $\frac{x+1}{x}:\frac{x+1}{x-2}$ умножаем на обратную дробь: $\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x-2}{x+1}=\frac{x-2}{x}$. Ограничения исходного выражения: $x\ne0$, $x\ne-1$, $x\ne2$.

**Проверь себя:** Какой общий знаменатель удобно выбрать для $\frac{1}{a-2}+\frac{2}{a+2}$?
**Ответ:** Удобный общий знаменатель — $(a-2)(a+2)$, при этом $a\ne2$ и $a\ne-2$.

**Алгоритм преобразования**

Сначала выпиши ограничения по исходным знаменателям. Затем разложи многочлены на множители, выбери действие, выполни его, сократи общие множители и проверь, не потерялись ли исходные ограничения.

Такой порядок нужен не только для примеров. Если в формуле величина записана через дробь, преобразование помогает выразить нужную переменную. Например, из равенства $S=\frac{ab}{2}$ можно получить $a=\frac{2S}{b}$ при $b\ne0$: умножаем обе части на $2$, затем делим на $b$.

**Проверка результата**

После преобразования можно подставить любое допустимое число и сравнить исходное и полученное выражения. Например, для $x=2$ выражение с ограничением $x\ne2$ проверять нельзя: это не допустимое значение исходной записи.

### Проверь себя

**Что обязан уметь ученик в рамках блока «Рациональные дроби» при работе с формулами из физики или геометрии?**
- Заучивать формулы без понимания их структуры.
- Использовать только калькулятор без письменных вычислений.
- Рисовать графики всех физических процессов.
- Выражать одни переменные через другие. — верно
> Это программное требование (ФРП), направленное на применение навыков преобразования дробей в прикладных задачах.

**Что объединяет целые и дробные выражения в математической классификации?**
- Они всегда равны рациональной дроби.
- Они не могут содержать отрицательных чисел.
- Их значения всегда являются целыми числами.
- Они составляют группу рациональных выражений. — верно
> Согласно определению, рациональные выражения включают в себя как целые, так и дробные виды.

**Какое из этих действий НЕ указано в программном содержании для изучения в данном блоке?**
- Преобразование рациональных выражений.
- Нахождение области определения.
- Сложение и вычитание дробей.
- Извлечение кубического корня из дроби. — верно
> В тексте программы перечислены сложение, вычитание, умножение, деление и сокращение, но не работа с корнями.

## Ключевые термины

- **Целые выражения** — Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число.
- **Дробные выражения** — Выражения, содержащие деление на выражение с переменными.
- **Рациональные выражения** — Целые и дробные выражения.
- **Допустимые значения переменных** — Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл и не возникает деления на нуль.
- **Рациональная дробь** — Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

## Итог

- Рациональная дробь имеет вид $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены, а $B$ — не нулевой многочлен.
- Допустимые значения находят по условию: знаменатель не должен быть равен нулю.
- Числитель и знаменатель можно умножать или делить на одно и то же ненулевое выражение.
- Сокращают только общие множители, а при сложении и вычитании сначала приводят дроби к общему знаменателю.
- При любом преобразовании сохраняют ограничения исходного выражения.

## Шпаргалка

### Формулы дробей

- **$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}$** — сложение дробей с общим знаменателем
- **$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$** — умножение дробей
- **$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}$** — деление — умножение на обратную

### Работа с дробями

1. **Ограничения** — $C = 0$ → значение исключить
2. **Разложение** — разложить многочлены на множители
3. **Сокращение** — сокращать только общие множители, не слагаемые
4. **Сложение/вычитание** — привести к общему знаменателю
5. **Деление** — умножить на обратную дробь
6. **Итог** — сохранить исходные ограничения

## Любопытное

- Одна и та же рациональная дробь может иметь разные записи: преобразования позволяют выбрать форму, удобную для вычисления или решения задачи.
- Сокращение дроби похоже на удаление общего множителя, но область допустимых значений определяется исходной, а не только сокращённой записью.