# Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Алгебра · 8 класс · Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/ravnosilnye-uravneniya-racionalnye-uravneniya

Разбираем, когда два уравнения считаются одним и тем же (равносильными), какие три преобразования их не ломают и как решать рациональное уравнение, где дробь равна нулю.

## Чему научишься

- Объяснять, равносильны ли два уравнения, и применять три правила равносильных преобразований
- Отличать рациональное уравнение от других и распознавать уравнение вида $\frac{A}{B} = 0$
- Решать уравнение $\frac{A}{B} = 0$ по алгоритму и отсекать корни, при которых знаменатель равен нулю

## С чего начать

Уравнение $\frac{x^2-9}{x+3} = 0$: числитель обнуляется при двух значениях $x$, а в ответ попадает только одно. Куда делось второе и почему его нельзя оставить?

## 1. Равносильные уравнения: что можно делать, не портя ответ

*Три правила, которые не меняют корни*

Решая уравнение, мы не сразу видим ответ. Мы шаг за шагом заменяем уравнение на более простое, пока не получится что-то вроде $x = 6$. Вопрос: **откуда мы знаем, что после замены корни остались теми же?** Ответ даёт понятие равносильности.

Представь весы, которые стоят в равновесии. Положишь на обе чаши по одной гире — равновесие сохранится. Снимешь с обеих чаш одинаковый груз — тоже. Заменишь вес на каждой чаше вдвое меньшим — опять всё ровно. Уравнение — такие же весы: пока ты делаешь с обеими частями одно и то же (честно), «равновесие» — то есть набор корней — не меняется.

**Равносильные уравнения**

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

**Как запомнить равносильность**

Аналогия: равносильные уравнения — это две разные записи одного и того же маршрута: можно изменить вывеску или способ описания дороги, но привести они должны к тем же местам.

Зацепка-мнемоника: **равносильные = тот же набор корней; если корней нет, оба остаются без корней.**

Например, $x + 3 = 5$ и $x = 2$ равносильны: у обоих единственный корень $2$. А ещё уравнения $x^2 = -1$ и $0 \cdot x = 1$ тоже равносильны: ни у одного из них нет корней. Второй случай ученики часто забывают, а он входит в определение.

**Правило 1: прибавить или вычесть**

Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

**Как запомнить правило 1**

Аналогия: две чаши весов получают одинаковый груз — равновесие не меняется.

Зацепка-мнемоника: **прибавь или вычти одинаковое с обеих сторон — корни останутся.**

**Правило 2: перенос слагаемого**

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

**Как запомнить правило 2**

Аналогия: слагаемое переезжает через знак равенства и меняет свой знак, как пассажир, который при переходе на другую сторону меняет направление движения.

Зацепка-мнемоника: **переехал через «=» — поменял знак.**

**Правило 3: умножить или разделить**

Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

**Как запомнить правило 3**

Аналогия: обе чаши весов одновременно увеличивают или уменьшают в одинаковое число раз, поэтому соотношение между ними сохраняется.

Зацепка-мнемоника: **умножай или дели обе части одинаково, но ноль не трогай.**

Обрати внимание на слова «отличное от нуля». Умножим $x = 3$ на $0$ и получим $0 = 0$: это верно при любом $x$. Корней стало бесконечно много, хотя был один. Значит, умножение на ноль ломает равносильность, поэтому оно и запрещено. Самопроверка на всех шагах одна: подставь найденный корень в исходное уравнение.

**Пример: Решаем $3x - 7 = x + 5$ и называем правило на каждом шаге**

1. Переносим $x$ влево, а $-7$ вправо, меняя знаки (правило 2): $3x - x = 5 + 7$.
2. Приводим подобные: $2x = 12$.
3. Делим обе части на $2$, а это число не ноль (правило 3): $x = 6$.
4. Проверка: $3 \cdot 6 - 7 = 11$ и $6 + 5 = 11$. Верно, корень $6$.

**Неправильно:** Перенесли слагаемое и забыли сменить знак: $x - 4 = 2x$ превратили в $x = 2x - 4$.
**Правильно:** При переносе знак меняется: $x - 4 = 2x$ даёт $x = 2x + 4$.

**Проверь себя:** Равносильны ли уравнения $2x = 8$ и $x = 4$? А уравнения $2x = 8$ и $0 \cdot x = 0$?
**Ответ:** Первая пара равносильна: разделили обе части на $2$. Вторая нет: у $2x = 8$ один корень $4$, а $0 \cdot x = 0$ верно при любом $x$. Умножать на $0$ нельзя.

**Почему перенос слагаемого — это на самом деле правило 1**

Возьмём $x - 4 = 2x$. Прибавим к обеим частям число $4$ (правило 1): $x - 4 + 4 = 2x + 4$, то есть $x = 2x + 4$. Слагаемое $-4$ «переехало» вправо и стало $+4$. Значит, перенос — просто короткая запись прибавления числа к обеим частям.

### Проверь себя

**Какие два уравнения называют равносильными?**
- Уравнения, имеющие одинаковые степени и коэффициенты.
- Уравнения, которые имеют хотя бы один общий корень.
- Уравнения, в которых переменные входят в одинаковых степенях.
- Два уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней. — верно
> Это точное определение равносильности из текста учебного материала.

**Почему уравнения $x^2 = -5$ и $|x| = -3$ являются равносильными?**
- Потому что они имеют общий корень $x = 0$.
- Потому что они оба содержат переменную в левой части.
- Потому что левые части уравнений всегда отрицательны.
- Потому что каждое из этих уравнений не имеет корней. — верно
> По определению, два уравнения без корней считаются равносильными.

**Почему уравнения $(x - 2)(x + 1) = 0$ и $x - 2 = 0$ не являются равносильными?**
- Потому что при перемножении скобок получается выражение с неподходящими коэффициентами.
- Потому что число $2$ является корнем только первого уравнения.
- Потому что первое уравнение является квадратным, а второе — линейным.
- Потому что корень $-1$ первого уравнения не является корнем второго уравнения. — верно
> Первое уравнение имеет два корня ($2$ и $-1$), а второе — только один ($2$), поэтому их корнеевые множества не совпадают.

**Какое из перечисленных преобразований приводит к получению уравнения, равносильного данному?**
- Прибавление к обеим частям данного уравнения одного и того же числа (или вычитание из них одного и того же числа). — верно
- Умножение обеих частей уравнения на переменную $x$.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Деление обеих частей уравнения на переменную $x$.
> Согласно свойствам уравнений с одной переменной, прибавление одного и того же числа сохраняет равносильность.

**Какое правило действует при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую для сохранения равносильности?**
- Знак слагаемого менять не нужно.
- Нужно изменить знак слагаемого на противоположный и разделить его на $2$.
- Знак слагаемого нужно изменить на противоположный. — верно
- Переносить можно только слагаемые без переменных.
> При переносе любого слагаемого с изменением знака на противоположный получается уравнение, равносильное данному.

**На какое число можно умножить или разделить обе части уравнения, чтобы получить равносильное уравнение?**
- На любое действительное число.
- На одно и то же отличное от нуля число. — верно
- На любое число, включая ноль.
- На любое отрицательное число, но не на положительное.
> Умножение или деление обеих частей на не равное нулю число всегда дает равносильное уравнение.

**Являются ли равносильными уравнения $x + 2 = 10$ и $3x = 24$ (Упражнение 205.1)?**
- Нет, так как эти уравнения имеют разные коэффициенты.
- Да, так как первое уравнение получается из второго вычитанием.
- Да, так как корень каждого из этих уравнений равен 8. — верно
- Нет, так как первое уравнение имеет корень 8, а второе — 3.
> Оба уравнения имеют один и тот же единственный корень $x=8$, следовательно, они равносильны.

**Являются ли равносильными уравнения $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$ (Упражнение 205.3)?**
- Нет, так как корень 0 второго уравнения не является корнем первого уравнения. — верно
- Да, так как корень 5 является общим для обоих уравнений.
- Да, так как при делении второго уравнения на x получается первое.
- Нет, так как первое уравнение имеет два корня, а второе — один.
> Второе уравнение имеет два корня ($0$ и $5$), а первое — один ($5$). Значит, они не равносильны.

**Почему уравнения $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$ считаются равносильными (Упражнение 205.5)?**
- По той причине, что оба выражения содержат переменную в степени.
- По той причине, что оба имеют корень $x = 0$.
- По той причине, что обе части уравнений можно разделить на 2.
- По той причине, что каждое из этих уравнений не имеет корней. — верно
> Дробь с числителем $6$ не может быть равна $0$, а квадрат не может быть равен $-4$. По определению такие уравнения равносильны.

## 2. Рациональные уравнения и уравнение $\frac{A}{B} = 0$

*Когда дробь равна нулю*

Теперь возьмёмся за уравнения с дробями. У них появляется новая опасность: знаменатель не должен обращаться в нуль. Сначала назовём сам вид уравнений.

**Рациональное уравнение**

Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным.

**Как запомнить рациональное уравнение**

Аналогия: рациональное уравнение — это конструктор, собранный из чисел и переменной с помощью разрешённых арифметических действий, включая деление.

Зацепка-мнемоника: **рациональное уравнение = обе части рациональные выражения.**

Примеры рациональных уравнений: $2x + 3 = x^2 - 1$ (обе части — многочлены) и $\frac{x-5}{x+1} = 0$ (слева дробь). Слово «рациональный» здесь означает «составленный из чисел и $x$ с помощью сложения, вычитания, умножения и деления».

Теперь главный вопрос: когда дробь равна нулю? Представь, что в пакете лежат конфеты и их делят между друзьями. Каждому достанется ноль конфет, только если **в пакете ноль конфет** (числитель — ноль) **и при этом есть с кем делить** (знаменатель не ноль). Если делить не на кого (знаменатель — ноль), задача вообще не имеет смысла: делить на ноль нельзя. Вот и весь смысл формулы.

**Дробь равна нулю**

$\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0$ и $B \neq 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Здесь $A$, $B$ — многочлены.

**Как запомнить**

Аналогия: конфеты в пакете — это числитель $A$, друзья, между которыми делим, — знаменатель $B$. Пусто в пакете и есть с кем делить — каждому ноль. Делить не на кого — вопрос не имеет смысла.

Зацепка-самопроверка: **дробь равна нулю — числитель ноль, знаменатель не ноль; знаменатель ноль — стоп.**

**Алгоритм решения $\frac{A}{B} = 0$**

Алгоритм решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где $A$ и $B$ — многочлены: 1) решить уравнение $A = 0$; 2) проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию $B \neq 0$; 3) корни, удовлетворяющие условию $B \neq 0$, включить в ответ.

**Пример: Решаем $\frac{x-5}{x+1} = 0$**

1. Шаг 1. Решаем $A = 0$: $x - 5 = 0$, откуда $x = 5$.
2. Шаг 2. Проверяем условие $B \neq 0$: при $x = 5$ знаменатель $5 + 1 = 6$, это не ноль. Корень подходит.
3. Шаг 3. Включаем в ответ. Ответ: $5$.

**Пример: Решаем $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ — уравнение из вопроса в начале**

1. Шаг 1. Решаем $A = 0$: $x^2 - 9 = 0$, то есть $x^2 = 9$. Получаем два кандидата: $x = 3$ и $x = -3$.
2. Шаг 2. Проверяем $B \neq 0$. При $x = 3$: $3 + 3 = 6$, не ноль, корень подходит. При $x = -3$: $-3 + 3 = 0$, знаменатель равен нулю, корень не подходит.
3. Шаг 3. В ответ идёт только то, что прошло проверку. Ответ: $3$.

**Пример: Решаем $\frac{x^2 - 4x}{x - 4} = 0$**

1. Шаг 1. $x^2 - 4x = 0$, то есть $x(x - 4) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x = 4$.
2. Шаг 2. При $x = 0$: $0 - 4 = -4$, не ноль, подходит. При $x = 4$: $4 - 4 = 0$, не подходит.
3. Шаг 3. Ответ: $0$.

**Две части дроби играют разные роли**

|  | Числитель $A$ | Знаменатель $B$ |
| --- | --- | --- |
| Что требуем | $A = 0$ | $B \neq 0$ |
| Что делаем | решаем уравнение | только проверяем найденные корни |
| Если корень не подошёл | — | отбрасываем, в ответ не идёт |

**Неправильно:** В $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ нашли корни числителя $3$ и $-3$ и записали в ответ оба.
**Правильно:** Корень $-3$ обращает знаменатель в ноль, его отбрасываем. Ответ: $3$.

**Проверь себя:** Решите $\frac{x + 2}{x - 2} = 0$ и объясните, почему $2$ не может быть ответом.
**Ответ:** Из $x + 2 = 0$ получаем $x = -2$. Знаменатель при этом $-4$, не ноль, значит ответ $-2$. Число $2$ вообще не корень числителя, а ещё оно обнуляет знаменатель.

### Проверь себя

**Какое уравнение называют рациональным?**
- Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями. — верно
- Уравнение, содержащее только целые числа в коэффициентах.
- Уравнение, содержащее дробь с переменной только в числителе.
- Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.
> Это точное определение рационального уравнения из параграфа.

**Является ли линейное уравнение с одной переменной вида $ax = b$ рациональным уравнением?**
- Нет, так как в нем нет дробей с переменной в знаменателе.
- Да, но только при условии $a = 0$.
- Нет, линейные уравнения образуют отдельный класс нерациональных уравнений.
- Да, так как обе его части являются рациональными выражениями. — верно
> В тексте отмечается, что линейное уравнение с одной переменной $ax = b$ является рациональным.

**При каком условии дробь $\frac{A}{B}$ равна нулю?**
- Когда и числитель $A$, и знаменатель $B$ равны нулю.
- Когда знаменатель $B$ равен нулю, а числитель $A$ отличен от нуля.
- Когда сумма $A + B$ равна нулю.
- Когда числитель $A$ равен нулю, а знаменатель $B$ отличен от нуля. — верно
> Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

**Какой системе равносильно рациональное уравнение вида $\frac{A}{B} = 0$?**
- Системе \left{ \begin{array}{l} A \neq 0, \ B = 0. \end{array} \right.
- Системе \left{ \begin{array}{l} A = 0, \ B \neq 0. \end{array} \right. — верно
- Уравнению $A \cdot B = 0$.
- Уравнению $A + B = 0$.
> В параграфе указано, что решение $\frac{A}{B}=0$ сводится к этой системе условий.

**Каков первый шаг в алгоритме решения уравнения вида $\frac{A}{B} = 0$, где $A$ и $B$ — многочлены?**
- Разделить числитель $A$ на знаменатель $B$.
- Подставить значение $x = 0$ в исходное уравнение.
- Найти корни уравнения $B = 0$.
- Решить уравнение $A = 0$. — верно
> Первый пункт алгоритма из параграфа — приравнять числитель к нулю и решить уравнение $A=0$.

**Чему равен корень уравнения $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2 - 4x + 3} = 0$?**
- Числам $x = 1$ и $x = -1$.
- Только $x = -1$. — верно
- Только $x = 1$.
- Уравнение не имеет корней.
> При $x=-1$ числитель равен $0$, а знаменатель равен $8 \neq 0$, поэтому $-1$ является единственным корнем.

**Какое число является решением системы \left{ \begin{array}{l} 1800 - 30x = 0, \ x(x + 10) \neq 0? \end{array} \right.**
- x = 0
- x = 60 — верно
- x = -10
- x = 30
> Из первого уравнения $30x = 1800 \implies x = 60$, и $60(60+10) = 4200 \neq 0$.

**К какому базовому виду можно свести любое рациональное уравнение?**
- К виду $ax + b = cx + d$.
- К виду $x^2 + px + q = 0$.
- К виду $\frac{A}{B} = 0$. — верно
- К виду $|x| = a$.
> Любое рациональное выражение можно представить в виде дроби, поэтому все рациональные уравнения сводятся к $\frac{A}{B}=0$.

**Сколько корней имеет уравнение $\frac{3x + 5}{6x + 3} + \frac{1}{4x^2 - 1} = \frac{x}{2x - 1}$ из Примера 2?**
- Один корень: $x = 0,5$.
- Один корень: $x = -0,5$.
- Корней нет. — верно
- Два корня: $x = 0,5$ и $x = -0,5$.
> Единственный полученный корень $x=0,5$ противоречит условию $x \neq 0,5$, поэтому исходное уравнение не имеет корней.

**Каков ответ при решении уравнения $\frac{2x^2 - 4x - 16}{x - 4} - x = 0$ (Пример 3)?**
- x = -4 — верно
- Корней нет.
- x = 4 и x = -4
- x = 4
> Приведении к общей дроби дает $\frac{x^2-16}{x-4}=0$. Корни числителя $4$ и $-4$. Подходит только $-4$.

**Какое уравнение служит математической моделью задачи о движении лодки (Пример 4), проплывшей 3 км по течению и 2 км против течения за 30 минут (скорость течения 2 км/ч)?**
- \frac{3}{x+2} + \frac{2}{x-2} = 30
- \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+2} = \frac{1}{2}
- \frac{3}{x} + \frac{2}{x} = 0,5
- \frac{3}{x+2} + \frac{2}{x-2} = \frac{1}{2} — верно
> Время по течению $\frac{3}{x+2}$, против течения $\frac{2}{x-2}$, а общее время $30$ мин $= \frac{1}{2}$ часа.

**Найдите корень уравнения $\frac{x - 6}{x - 4} = 0$ (Упражнение 207.1).**
- x = 6 — верно
- x = 4
- x = 6 и x = 4
- Корней нет.
> При $x=6$ числитель равен нулю, а знаменатель $6-4 = 2 \neq 0$.

**Чему равны корни уравнения $\frac{x - 2}{x^2 - 4} = 0$ (Упражнение 207.2)?**
- Уравнение не имеет корней. — верно
- x = -2
- x = 2
- x = 2 и x = -2
> Единственный потенциальный корень числителя $x=2$ делает знаменатель равным $0$, следовательно, корней нет.

**Чему равен корень уравнения $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ (Упражнение 207.3)?**
- x = 2
- x = -2 — верно
- Уравнение не имеет корней.
- x = 2 и x = -2
> Числитель $x^2-4=0$ при $x=2$ и $x=-2$. Но при $x=2$ знаменатель $0$. Остается только $x=-2$.

**Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$ (Упражнение 209)?**
- 1
- 3
- 5
- 7 — верно
> Уравнение $\frac{15-x}{19-x} = \frac{2}{3} \implies 3(15-x) = 2(19-x) \implies 45-3x = 38-2x \implies x = 7$.

**При каких значениях параметра $a$ уравнение $\frac{x + a}{x^2 - 4} = 0$ не имеет корней (Упражнение 220)?**
- При любых значениях a
- При a = 0
- При a = 4
- При a = 2 и a = -2 — верно
> Единственный потенциальный корень $x=-a$. Он должен совпасть с корнями знаменателя $x=2$ или $x=-2$, то есть $-a=2 \implies a=-2$ или $-a=-2 \implies a=2$.

**Чему равна скорость лодки в стоячей воде в задаче из Примера 4 параграфа?**
- 10 км/ч — верно
- 5 км/ч
- 0 км/ч
- 12 км/ч
> Корни уравнения системы $x=0$ и $x=10$. Корень $0$ не имеет физического смысла, поэтому ответ $10$ км/ч.

## Ключевые термины

- **Равносильные уравнения** — Уравнения, имеющие одни и те же корни, или такие, что каждое из них не имеет корней.
- **Рациональное уравнение** — Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями.
- **Условие равенства дроби нулю** — Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

## Итог

- Равносильные уравнения имеют одни и те же корни или оба не имеют корней
- Не меняют корни: прибавить или вычесть число, перенести слагаемое со сменой знака, умножить или разделить на число, не равное нулю
- Рациональное уравнение — это уравнение, обе части которого рациональные выражения
- Дробь $\frac{A}{B}$ равна нулю, когда $A = 0$ и $B \neq 0$
- Решаем $\frac{A}{B} = 0$ так: решить $A = 0$, проверить $B \neq 0$, подходящие корни записать в ответ

## Шпаргалка

### Дробь и нуль

- **$\frac{A}{B} = 0$** — верно, когда $A = 0$ и $B \neq 0$
- **$B \neq 0$** — условие, которое проверяют у каждого корня $A = 0$

### Алгоритм для $\frac{A}{B} = 0$

1. **Числитель** — решить уравнение $A = 0$
2. **Проверка** — подставить корни в $B$, оставить те, где $B \neq 0$
3. **Ответ** — записать корни, прошедшие проверку

### Равносильные преобразования

- **Прибавить или вычесть число** — к обеим частям, корни те же
- **Перенос слагаемого** — со сменой знака, корни те же
- **Умножить или разделить** — на число, не равное нулю, корни те же
- **Умножить на $0$** — нельзя: равносильность теряется

### Числитель и знаменатель

|  | Числитель $A$ | Знаменатель $B$ |
| --- | --- | --- |
| Условие | $A = 0$ | $B \neq 0$ |
| Действие | решить | проверить |
| Плохой корень | — | отбросить |

## Любопытное

- Слово «рациональный» идёт от латинского ratio — «отношение», то есть дробь. Поэтому дроби и рациональные выражения — родня.
- Если умножить уравнение $x = 3$ на $0$, получится $0 = 0$: верно при любом $x$. Вот почему в правиле стоит «отличное от нуля».