# Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/slozhenie-i-vychitanie-racionalnyh-drobej-s-raznymi-znamenatelyami

Как складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели — разные многочлены.

## Чему научишься

- Находить общий знаменатель для дробей с разными, в том числе буквенными, знаменателями
- Складывать и вычитать рациональные дроби по формуле, приводя их к общему знаменателю
- Замечать и не допускать ошибку сложения числителей и знаменателей по отдельности

## С чего начать

Сложи $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$ — здесь дроби с разными «знаменателями-буквами», и просто написать одну дробь над другой не получится. Как быть?

## 1. Что такое общий знаменатель дробей

Ты уже складывал обычные дроби с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Чтобы это сделать, дроби приводили к общему знаменателю — например, к $6$. С рациональными дробями, где вместо чисел стоят многочлены, работает та же идея: нельзя сложить $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$ «в лоб» — сначала знаменатели нужно сделать одинаковыми.

**Правило приведения к общему знаменателю**

Чтобы выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями, их с помощью основного свойства рациональной дроби приводят к общему знаменателю (к дробям с одинаковыми знаменателями), а затем складывают или вычитают по правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

**Пример: Ищем общий знаменатель**

1. Даны дроби $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{x+1}$ — знаменатели $x$ и $x+1$ разные и общих множителей не имеют.
2. В качестве общего знаменателя берём произведение $x(x+1)$ — оно делится и на $x$, и на $x+1$.
3. Первую дробь умножаем на $\frac{x+1}{x+1}$, вторую — на $\frac{x}{x}$: получаем $\frac{2(x+1)}{x(x+1)}$ и $\frac{3x}{x(x+1)}$.

**Проверь себя:** Какой общий знаменатель у дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{5}{a+3}$?
**Ответ:** $a(a+3)$

### Проверь себя

**Как согласно правилу выполняется сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?**
- Числители складывают или вычитают между собой, а знаменатели также складывают или вычитают между собой.
- Знаменатели дробей сокращают, после чего складывают оставшиеся числители.
- Дроби с помощью основного свойства приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают их числители по правилу действий с одинаковыми знаменателями. — верно
- Числитель первой дроби умножают на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби оставляют без изменений.
> Приведение к общему знаменателю позволяет свести операцию к действиям с дробями, имеющими равные знаменатели, сохраняя общее значение выражений.

**Что всегда представляет собой результат суммы или разности двух рациональных дробей?**
- Рациональная дробь. — верно
- Целое выражение без знаменателя.
- Иррациональное выражение.
- Числовая константа.
> Множество рациональных дробей замкнуто относительно операций сложения и вычитания, поэтому результат всегда остаётся рациональной дробью.

## 2. Складываем и вычитаем: формулы

Когда знаменатели уже одинаковы (или ты их только что уравнял), дроби складывают и вычитают по единому правилу.

**Сложение дробей**

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$

Здесь $A$, $B$, $C$, $D$ — многочлены (выражения), где $B \ne 0$, $D \ne 0$.

**Вычитание дробей**

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$

**Почему знаменатели перемножаются**

Общий знаменатель $B \cdot D$ — это как общая мера для двух разных «кусков»: одна дробь измеряется в долях $B$, другая — в долях $D$, и превратить обе в доли $B \cdot D$ можно, домножив каждую на недостающий кусок. А чтобы не перепутать, где в дроби знаменатель: ЗНаменатель — начинается на буквосочетание ЗН, подсказывая, что он находится ЗНизу дроби.

*Рисунок: Крупная стрелка указывает строго вниз из-под горизонтальной черты дроби*

**Пример: Складываем дроби с разными знаменателями**

1. Знаменатели $x+2$ и $x-2$ общих множителей не имеют, общий знаменатель — их произведение $(x+2)(x-2)$.
2. По формуле: $A=1$, $B=x+2$, $C=3$, $D=x-2$. Числитель: $1\cdot(x-2)+3\cdot(x+2) = x-2+3x+6 = 4x+4$.
3. Получаем $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-2} = \frac{4x+4}{(x+2)(x-2)}$.

**Пример: Вычитаем дроби с разными знаменателями**

1. Общий знаменатель для $\frac{5}{x} - \frac{2}{x+1}$ — $x(x+1)$.
2. Числитель по формуле: $5\cdot(x+1) - 2\cdot x = 5x+5-2x = 3x+5$.
3. Итог: $\frac{5}{x} - \frac{2}{x+1} = \frac{3x+5}{x(x+1)}$.

**Неправильно:** $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-2} = \frac{1+3}{(x+2)+(x-2)} = \frac{4}{2x}$
**Правильно:** Числители и знаменатели по отдельности не складывают — сначала приводят к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$, потом складывают числители по формуле.

### Проверь себя

**Какая из формул выражает правило вычитания рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$?**
- $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A - C}{B - D}$
- $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C - B \cdot D}{B \cdot D}$
- $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$ — верно
- $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot B - C \cdot D}{B \cdot D}$
> Приведение к общему знаменателю $B \cdot D$ дает дополнительные множители $D$ для первого числителя и $B$ для второго.

**Каким образом целое выражение $3c$ представляется в виде дроби при вычитании из рациональной дроби $\frac{21c^2}{7c-2}$?**
- В виде дроби со знаменателем $1$: $\frac{3c}{1}$. — верно
- В виде дроби со знаменателем $7c-2$: $\frac{3c}{7c-2}$.
- В виде дроби $\frac{3c}{3c}$.
- В виде дроби $\frac{1}{3c}$.
> Любое целое выражение можно записать в виде дроби с делителем $1$, что позволяет далее привести его к нужному общему знаменателю.

**Согласно формуле $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$, какими являются дополнительные множители для первой и второй дробей соответственно?**
- Для первой дроби — $B$, для второй дроби — $D$.
- Для первой дроби — $D$, для второй дроби — $B$. — верно
- Для обеих дробей дополнительный множитель одинаков и равен $B \cdot D$.
- Для первой дроби — $C$, для второй дроби — $A$.
> При общем знаменателе $B \cdot D$ первая дробь домножается на $D$ (знаменатель второй), а вторая — на $B$ (знаменатель первой).

**Какое ограничение обязательна содержать спецификация многочленов $B$ и $D$ в записи рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$?**
- $B = D$
- $B \ne 0$ и $D \ne 0$ — верно
- $B > 0$ и $D > 0$
- $A \ne 0$ и $C \ne 0$
> Знаменатели рациональных дробей не могут быть равны нулю, так как деление на ноль в алгебре не определено.

## 3. Общий знаменатель для многочленов

Знаменатели рациональных дробей часто оказываются многочленами, которые можно разложить на множители, — тогда общий знаменатель ищут не как прямое произведение, а через разложение.

**Как выбрать общий знаменатель**

При нахождении общего знаменателя рациональных дробей можно выбрать выражение, равное произведению знаменателей данных дробей, либо предварительно разложить знаменатели дробей на множители.

**Пример: Разложение знаменателей перед сложением**

1. Даны $\frac{3}{x^2-4} + \frac{2}{x-2}$. Раскладываем $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ по формуле разности квадратов.
2. Теперь у дробей знаменатели $(x-2)(x+2)$ и $x-2$ — общий знаменатель $(x-2)(x+2)$, а не их прямое произведение.
3. Дополнительный множитель для второй дроби — $(x+2)$: $\frac{3}{(x-2)(x+2)} + \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3+2x+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+7}{(x-2)(x+2)}$.

Заметь: результат сложения — снова дробь вида $\frac{A}{B}$, то есть рациональная. Сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями — с результатом можно снова складывать, вычитать или упрощать дальше.

**Зачем это нужно на ОГЭ**

Приведение дробей к общему знаменателю — рабочий приём при решении дробно-рациональных неравенств вроде $x \le \frac{9}{x}$: чтобы сравнить части с разными знаменателями, их переносят в одну сторону и приводят к общему знаменателю, а уже потом анализируют знак результата. Так это спрашивают на ОГЭ.

**Проверь себя:** Как разложить знаменатель $x^2-9$ перед поиском общего знаменателя?
**Ответ:** $x^2-9=(x-3)(x+3)$

### Проверь себя

**Какое выражение МОЖНО выбрать в качестве общего знаменателя при сложении рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$?**
- Произведение числителей $A \cdot C$.
- Разность знаменателей $B - D$.
- Произведение знаменателей $B \cdot D$ или выражение, полученное разложением знаменателей на множители. — верно
- Сумму знаменателей $B + D$.
> Общим знаменателем может служить как прямое произведение знаменателей, так и их наименьшее общее кратное, найденное через разложение на множители.

**Какой наименьший общий знаменатель следует выбрать для приведения дробей $\frac{b+1}{abc}$ и $\frac{1-a}{a^2c}$?**
- $a^2c$
- $a^3b^2c^2$
- $abc$
- $a^2bc$ — верно
> Одночлен $a^2bc$ содержит переменные $a$, $b$, $c$ в наименьших степенях, достаточных для деления на оба знаменателя.

**Какое преобразование знаков необходимо выполнить в дроби $\frac{6}{7-n}$, чтобы привести её к общему знаменателю с дробью $\frac{10n+14}{(n-7)(n+7)}$?**
- Вынести знак «минус» из знаменателя $7-n$, заменив его на $(n-7)$ и изменив знак перед дробью на противоположный. — верно
- Умножить только числитель на $-1$, не меняя знаменатель.
- Заменить знаменатель $7-n$ на $n+7$ без изменения знака перед дробью.
- Возвести знаменатель $7-n$ в квадрат.
> Вынесение знака «минус» из знаменателя меняет $7-n$ на $n-7$, что позволяет использовать общий множитель с изменением знака операции.

**Какой общий знаменатель рационально выбрать для дробей $\frac{m}{7m+7n}$ и $\frac{n}{7m-7n}$ после предварительного разложения их знаменателей на множители?**
- $7(m+n)(m-n)$ — верно
- $(7m+7n)(7m-7n)$
- $7(m+n)$
- $49(m+n)(m-n)$
> После вынесения общего множителя $7$ знаменатели принимают вид $7(m+n)$ и $7(m-n)$, откуда наименьший общий знаменатель равен $7(m+n)(m-n)$.

## Ключевые термины

- **Общий знаменатель** — Выражение, на которое делится каждый из знаменателей складываемых дробей
- **Дополнительный множитель** — То, на что умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель
- **Рациональная дробь** — Дробь вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены, $B \ne 0$

## Итог

- Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю по основному свойству дроби.
- Сложение: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$; вычитание — так же, но со знаком минус между слагаемыми числителя.
- Перед поиском общего знаменателя знаменатели выгодно разложить на множители.
- Числители и знаменатели по отдельности складывать нельзя — это частая ошибка.
- Сумма и разность рациональных дробей — снова рациональная дробь.

## Шпаргалка

### Формулы сложения и вычитания

- **$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$** — сложение дробей с разными знаменателями
- **$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$** — вычитание дробей с разными знаменателями

### Порядок действий

1. **Знаменатели** — разложить на множители, если можно
2. **Общий знаменатель** — взять произведение или общее выражение
3. **Множители** — найти дополнительный для каждой дроби
4. **Числители** — умножить и сложить или вычесть
5. **Результат** — сократить дробь, если возможно

### Частые ошибки

- **Сложили числители и знаменатели** — неверно: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\ne\frac{A+C}{B+D}$
- **Забыли множитель у второй дроби** — числитель умножают на весь недостающий множитель

## Любопытное

- Сумма и разность двух рациональных дробей — тоже рациональная дробь.
- Общий знаменатель необязательно брать как произведение знаменателей — иногда выгоднее сначала разложить знаменатели на множители.