# Свойства степени с целым показателем Алгебра · 8 класс · Числа и вычисления. Степень с целым показателем Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/svojstva-stepeni-s-celym-pokazatelem Пять правил, по которым степени с целыми показателями умножают, делят и возводят в степень. Разберём, откуда они берутся, как их запомнить и когда какое применять. ## Чему научишься - Записать пять свойств степени с целым показателем и сказать, при каких условиях на $a$, $b$, $m$, $n$ они верны - Выбрать нужное свойство по виду выражения и упростить степень с целым показателем - Вычислить значение выражения со степенями, подобного заданию ОГЭ, без калькулятора ## С чего начать Как найти значение $\frac{7^8 \cdot 10^6}{70^6}$ без калькулятора, если числа огромные? Оказывается, всё считается в одну строчку, и ответ — маленькое целое число. ## 1. Умножение степеней, степень степени и степень произведения *Три правила, в которых показатели складываются или перемножаются* Что такое $2^5$? Это пять двоек, перемноженных подряд. Теперь вопрос: сколько двоек будет в произведении $2^5 \cdot 2^3$? Считать не нужно: пять двоек и ещё три двойки — всего восемь. Значит, $2^5 \cdot 2^3 = 2^8$. Из этой картинки вырастают все свойства степени. **Три свойства** Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$ выполняются равенства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$. Для любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$ и любого целого $n$ выполняется равенство $(ab)^n = a^n b^n$. Здесь $a$, $b$ — основания степеней (действительные числа, отличные от нуля), $m$, $n$ — показатели степеней (целые числа). Равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ называют основным свойством степени. **Как это представить и как запомнить** **Образ.** Множители — это кирпичи. $a^m \cdot a^n$: сложили две стопки, в одной $m$ кирпичей, в другой $n$ — стало $m+n$. $(a^m)^n$: взяли $n$ ящиков, в каждом $m$ кирпичей — всего $m \cdot n$. $(ab)^n$: $n$ раз берём пару «$a$ и $b$» — получаем $n$ штук $a$ и $n$ штук $b$. **Запомнить.** Опорный пример: $2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5$. Правило самопроверки: основание при умножении степеней не меняется, меняется только показатель. Если скобка и над ней показатель — показатели перемножаются, если степени просто стоят рядом через знак умножения — складываются. **Оговорка.** Образ с кирпичами наглядно работает для натуральных показателей. Для нулевых и отрицательных показателей верность равенств гарантирует теорема 9.1. **Неправильно:** $2^3 \cdot 2^2 = 4^5$ или $2^3 \cdot 2^2 = 2^6$ **Правильно:** $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$: основание остаётся, показатели складываются **Пример: Упростить и вычислить $(2^3)^2 \cdot 2^{-4}$** 1. Сначала скобка: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$. 2. Теперь произведение с одинаковым основанием: $2^6 \cdot 2^{-4} = 2^{6 + (-4)} = 2^2$. 3. Считаем: $2^2 = 4$. **Проверь себя:** Представьте $3^4 \cdot 3^{-2}$ в виде степени числа $3$ и вычислите. **Ответ:** $3^{4+(-2)} = 3^2 = 9$ **Почему $(ab)^n = a^n b^n$** Для натурального $n$ произведение $(ab)^n$ — это $n$ множителей $ab$. Переставляя множители, соберём отдельно все $a$ и отдельно все $b$: получится $a^n b^n$. Для целых показателей это равенство доказывает теорема 9.1. ### Проверь себя **Какая формула выражает основное свойство степени с целым показателем?** - $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — верно - $(a^m)^n = a^{mn}$ - $a^m : a^n = a^{m-n}$ - $(ab)^n = a^n b^n$ > Именно это равенство называется основным свойством степени, где перемножение степеней с одинаковым основанием сводится к сложению их показателей. **Какое ограничение накладывается на основание $a$ в формуле $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ при произвольных целых показателях $m$ и $n$?** - $a$ должно быть натуральным числом - $a > 0$ - $a \neq 0$ — верно - $a > 1$ > Основание $a$ должно быть отлично от нуля, поскольку целые показатели могут быть отрицательными, а деление на ноль (или возведение нуля в отрицательную степень) не определено. **Как согласно свойствам степеней записывается частное $a^m : a^n$ при $a \neq 0$ и целых $m, n$?** - $a^{n-m}$ - $a^{m+n}$ - $a^{m/n}$ - $a^{m-n}$ — верно > Теорема 9.3 утверждает, что при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя. **Если $m$ и $n$ — целые отрицательные числа, то какими числами будут $-m$ и $-n$?** - Дробными нецелыми числами - Равными нулю - Натуральными числами — верно - Отрицательными целыми числами > Число, противоположное отрицательному целому числу, является положительным целым, то есть натуральным. **Представьте выражение $a^{-14} \cdot a^{12}$ в виде степени с основанием $a$.** - $a^{-168}$ - $a^{-26}$ - $a^{-2}$ — верно - $a^2$ > По основному свойству степени показателей складываются: $-14 + 12 = -2$. **Представьте выражение $a^{-5} : a^{-9}$ в виде степени с основанием $a$.** - $a^{45}$ - $a^{-4}$ - $a^{-14}$ - $a^4$ — верно > При делении показателей вычитаются: $-5 - (-9) = -5 + 9 = 4$. **Упростите выражение $(a^{-4})^{-2} \cdot a^{-7} : a^6$.** - $a^5$ - $a^{-5}$ — верно - $a^{-3}$ - $a^{-7}$ > Сначала возводим степень в степень: $(-4) \cdot (-2) = 8$. Затем последовательно выполняем умножение и деление: $8 + (-7) - 6 = 1 - 6 = -5$. **Упростите выражение $(a^{-2} + 9)(a^{-2} - 4) - (a^{-2} + 6)(a^{-2} - 6)$.** - $-5a^{-2}$ - $a^{-4} + 5a^{-2}$ - $5a^{-2} - 72$ - $5a^{-2}$ — верно > Раскрываем скобки: $(a^{-4} - 4a^{-2} + 9a^{-2} - 36) - (a^{-4} - 36) = a^{-4} + 5a^{-2} - 36 - a^{-4} + 36 = 5a^{-2}$. **Представьте выражение $a^{-2} - 4$ в виде произведения.** - $(a^{-2} - 2)(a^{-2} + 2)$ - $(a^{-1} - 2)^2$ - $(a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$ — верно - $(a^{-1} - 4)(a^{-1} + 4)$ > Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^{-1}$, $y = 2$. **Порядок числа $a$ равен $-4$. Определите порядок числа $10a$.** - $-5$ - $-3$ — верно - $-40$ - $4$ > Если $a = k \cdot 10^{-4}$ ($1 \le k < 10$), то $10a = 10 \cdot k \cdot 10^{-4} = k \cdot 10^{-3}$, значит порядок равен $-3$. **Порядок числа $a$ равен $-4$. Определите порядок числа $0{,}1a$.** - $-0{,}4$ - $-5$ — верно - $0{,}4$ - $-3$ > Умножение на $0{,}1 = 10^{-1}$ уменьшает показатель степени десятки на $1$: $-4 + (-1) = -5$. **Порядок числа $b$ равен $3$. Определите порядок числа $1000b$.** - $6$ — верно - $9$ - $0$ - $3000$ > Число $1000 = 10^3$, поэтому при умножении показатели складываются: $3 + 3 = 6$. ## 2. Деление степеней и степень дроби *Показатели вычитаются, а дробь возводится в степень по частям* Деление — это сокращение дроби. В дроби $\frac{2^5}{2^3}$ вверху пять двоек, внизу три. Три пары сокращаются, остаётся две двойки: $2^2$. Показатели при этом вычитаются: $5 - 3 = 2$. **Ещё два свойства** Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$ выполняется равенство $a^m : a^n = a^{m-n}$. Для любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$ и любого целого $n$ выполняется равенство $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$. Вместе с предыдущими тремя равенствами их называют свойствами степени с целым показателем. **Как это представить и как запомнить** **Образ.** Деление — это дружная очередь на сокращение: сколько множителей внизу, столько и вычёркиваем сверху. Остаётся разность. Дробь в степени — это класс, в котором каждый (и числитель, и знаменатель) делает упражнение $n$ раз: возводим в степень отдельно верх и низ. **Запомнить.** Правило «верх минус низ»: из показателя делимого вычитаем показатель делителя, а не наоборот. Опорный пример: $\frac{2^5}{2^3} = \frac{32}{8} = 4 = 2^2$. Самопроверка: если показатель верха меньше, ответ получится с отрицательным показателем, и это нормально. **Оговорка.** Сокращение двоек буквально работает для натуральных показателей. Для остальных целых показателей верность равенства даёт теорема 9.3. **Умножение и деление степеней с одним основанием** | | Умножение | Деление | | --- | --- | --- | | Запись | $a^m \cdot a^n$ | $a^m : a^n$ | | Результат | $a^{m+n}$ | $a^{m-n}$ | | Что делаем с показателями | складываем | вычитаем: верх минус низ | | Основание | не меняется | не меняется | | Условие | $a \neq 0$, $m$, $n$ целые | $a \neq 0$, $m$, $n$ целые | **Пример: Упростить $\frac{3^7}{3^9}$ и $\left(\frac{2}{5}\right)^3$** 1. Первое: $\frac{3^7}{3^9} = 3^{7-9} = 3^{-2}$. Показатель вышел отрицательным, потому что внизу двоек больше, чем наверху. 2. Второе: $\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$. **Проверь себя:** Чему равно $\frac{10^9}{10^6}$ в виде степени и числом? **Ответ:** $10^{9-6} = 10^3 = 1000$ ### Проверь себя **Чему равно выражение $(a^m)^n$ для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$?** - $a^{m+n}$ - $a^{m^n}$ - $a^{m-n}$ - $a^{mn}$ — верно > При возведении степени в степень показатели перемножаются согласно Теореме 9.1. **В доказательстве теоремы о делении степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ отношение $\frac{a^m}{a^n}$ переписывают в виде произведения. Какого именно?** - $a^m \cdot a^{-n}$ — верно - $a^{-m} \cdot a^{-n}$ - $a^m \cdot (-a^n)$ - $a^{-m} \cdot a^n$ > Деление на $a^n$ равносильно умножению на $a^{-n}$, после чего применяется основное свойство степени $a^m \cdot a^{-n} = a^{m+(-n)} = a^{m-n}$. **Какое равенство выражает верное правило для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и целого $n$?** - $\left(\frac{a}{b}\right)^n = a^n \cdot b^n$ - $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^{-n}}{b^n}$ - $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^{-n}}$ - $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ — верно > Теорема 9.4 показывает, что при возведении дроби в степень в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель. **Упростите выражение $0{,}6 m^2 n^{-6} \cdot \frac{1}{3} m^{-4} n^3$.** - $0{,}2 m^{-2} n^{-3}$ — верно - $1{,}8 m^{-2} n^{-3}$ - $0{,}2 m^{-8} n^{-18}$ - $0{,}2 m^2 n^{-2}$ > Перемножаем коэффициенты $0{,}6 \cdot \frac{1}{3} = 0{,}2$ и степени с одинаковыми основаниями: $m^{2 + (-4)} = m^{-2}$ и $n^{-6 + 3} = n^{-3}$. **Выполните умножение $(3{,}4 \cdot 10^{14}) \cdot (7 \cdot 10^{-8})$ и запишите результат в стандартном виде.** - $2{,}38 \cdot 10^7$ — верно - $238 \cdot 10^5$ - $23{,}8 \cdot 10^6$ - $2{,}38 \cdot 10^6$ > Перемножив числа, получаем $(3{,}4 \cdot 7) \cdot (10^{14} \cdot 10^{-8}) = 23{,}8 \cdot 10^6 = 2{,}38 \cdot 10 \cdot 10^6 = 2{,}38 \cdot 10^7$. **Выполните вычисления $\frac{5{,}4 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^8}$ и запишите результат в стандартном виде.** - $6 \cdot 10^{-4}$ — верно - $0{,}6 \cdot 10^{-3}$ - $6 \cdot 10^3$ - $6 \cdot 10^{-3}$ > Вычисляем: $\frac{5{,}4}{9} \cdot 10^{5-8} = 0{,}6 \cdot 10^{-3} = 6 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 6 \cdot 10^{-4}$. **Известно, что масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, а Луны — $7{,}4 \cdot 10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли (ответ округлите до единиц)?** - $81$ — верно - $12$ - $811$ - $8$ > Делим массу Земли на массу Луны: $\frac{6 \cdot 10^{24}}{7{,}4 \cdot 10^{22}} = \frac{600}{7{,}4} \approx 81{,}08$, что при округлении до единиц дает $81$. **Чему равно выражение $(ab)^n$ для любых ненулевых $a, b$ и целого $n$?** - $a^n b^n$ — верно - $a^n + b^n$ - $(a+b)^n$ - $a^{n}b$ > По теореме 9.1 при возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень. ## 3. Когда какое свойство применять: разбор задания ОГЭ *Как свойства работают вместе в одном выражении* В задании №8 ОГЭ часто встречаются числа вроде $70^6$. Такое число не считают в лоб. Его раскладывают на множители, и тогда пригодится свойство $(ab)^n = a^n b^n$, а потом сокращение степеней по свойству деления. Так это спрашивают на ОГЭ, поэтому прием стоит отработать. **Что смотреть в выражении** Одинаковые основания через знак умножения — показатели складываем. Одинаковые основания через деление — показатели вычитаем. Скобка со степенью и ещё одним показателем — показатели перемножаем. Основание — произведение или дробь — раскладываем по свойствам $(ab)^n = a^n b^n$ и $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$. **Пример: Найти значение $\frac{3^7 \cdot 10^5}{30^5}$** 1. Раскладываем знаменатель: $30^5 = (3 \cdot 10)^5 = 3^5 \cdot 10^5$. 2. Подставляем: $\frac{3^7 \cdot 10^5}{3^5 \cdot 10^5}$. Множитель $10^5$ сокращается. 3. Остаётся $\frac{3^7}{3^5} = 3^{7-5} = 3^2 = 9$. **Проверь себя:** Упростите $\frac{5^6 \cdot 2^4}{10^4}$. **Ответ:** $10^4 = 5^4 \cdot 2^4$, после сокращения $2^4$ остаётся $\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$ ### Проверь себя **Найдите значение выражения $(5^{-5})^{-4} : (5^{-7})^{-3}$.** - $\frac{1}{25}$ - $25$ - $\frac{1}{5}$ — верно - $5$ > Первое выражение равно $5^{(-5)\cdot(-4)} = 5^{20}$, второе $5^{(-7)\cdot(-3)} = 5^{21}$. Деление дает $5^{20 - 21} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. **Вычислите значение выражения $16^{-9} \cdot 8^{12}$.** - $1$ — верно - $0$ - $128$ - $2$ > Представим числа через основание $2$: $16^{-9} = (2^4)^{-9} = 2^{-36}$, а $8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{36}$. Их произведение равно $2^{-36 + 36} = 2^0 = 1$. **Вычислите значение выражения $\frac{6^{-3}}{18^{-3}}$.** - $3$ - $27$ — верно - $9$ - $\frac{1}{27}$ > По правилу возведения дроби в степень: $\frac{6^{-3}}{18^{-3}} = \left(\frac{6}{18}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$. **Вынесите за скобки степень с основанием $a$ и наименьшим из данных показателей из выражения $a^{-3} - 2a^{-4}$.** - $a^{-3}(1 - 2a^{-1})$ - $a^{-3}(a - 2)$ - $a^{-4}(a - 2)$ — верно - $a^{-4}(1 - 2a)$ > Наименьший показатель равен $-4$. Вынося $a^{-4}$, получаем $a^{-3} / a^{-4} = a^{-3 - (-4)} = a^1 = a$, поэтому результат $a^{-4}(a - 2)$. **Какую степень с основанием $a$ следует вынести за скобки как имеющую наименьший показатель в выражении $a^3 - 2a^{-4}$?** - $a^{-4}$ — верно - $a^3$ - $a^0$ - $a^{-1}$ > Сравнивая показатели $3$ и $-4$, видим, что $-4 < 3$, поэтому наименьший показатель — это $-4$, и выносить надо $a^{-4}$. **Разложите выражение $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$ на множители.** - $(m^{-2} - 3p^{-1})^2$ — верно - $(m^{-2} + 3p^{-1})^2$ - $(m^{-4} - 3p^{-2})^2$ - $(m^{-2} - 9p^{-1})^2$ > Выражение представляет собой квадрат разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = m^{-2}$, $y = 3p^{-1}$. ## Ключевые термины - **Основание степени** — Число $a$ в записи $a^n$, в свойствах — действительное число, отличное от нуля. - **Показатель степени** — Число $n$ в записи $a^n$, в свойствах — целое число. - **Свойства степени с целым показателем** — Свойствами степени с целым показателем называют равенства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m : a^n = a^{m-n}$, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$. - **Основное свойство степени** — Равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ называют основным свойством степени. ## Итог - При умножении степеней с одним основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - При делении показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$ - Степень степени: показатели перемножаются, $(a^m)^n = a^{mn}$ - Произведение и дробь возводят в степень по частям: $(ab)^n = a^n b^n$, $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ - Во всех свойствах основания не равны нулю, показатели целые ## Шпаргалка ### Пять свойств степени - **$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$** — умножение с одним основанием - **$a^m : a^n = a^{m-n}$** — деление с одним основанием - **$(a^m)^n = a^{mn}$** — степень в степени - **$(ab)^n = a^n b^n$** — степень произведения - **$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$** — степень дроби ### Как решать выражение со степенями 1. **Разложить основание** — составное число записать как произведение, например $70 = 7 \cdot 10$ 2. **Применить свойства** — раскрыть $(ab)^n$ и привести к одинаковым основаниям 3. **Сократить** — одинаковые степени сократить, показатели вычесть 4. **Вычислить** — остаток записать числом ### Условия и ловушки - **Основания** — $a \neq 0$, $b \neq 0$ - **Показатели** — целые числа - **$a^2 \cdot a^3$** — это $a^5$, а не $a^6$ ### Умножение и деление | | Умножение | Деление | | --- | --- | --- | | Результат | $a^{m+n}$ | $a^{m-n}$ | | Показатели | складываем | вычитаем | | Основание | не меняется | не меняется | ## Любопытное - $2^{10} = 1024$ — почти ровно тысяча, поэтому $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ примерно равно миллиону. - Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ превращает умножение в сложение показателей — именно на этом когда-то строились логарифмические таблицы.