# Тождественные преобразования рациональных выражений

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь
Источник: https://razlozheno.ru/subject/algebra/8/tozhdestvennye-preobrazovaniya-racionalnyh-vyrazhenij

Учимся упрощать выражения из нескольких действий с дробями: по действиям и цепочкой, раскрывать скобки по распределительному свойству, разбирать «многоэтажные» дроби и доказывать тождества.

## Чему научишься

- Упростить рациональное выражение с несколькими действиями — по действиям или цепочкой — и довести его до одной дроби
- Доказать тождество или независимость значения выражения от переменной, преобразуя одну часть к виду другой
- Упростить «многоэтажную» дробь двумя способами и найти допустимые значения переменных

## С чего начать

Берём чудовище: скобки, три этажа дробей, деление, вычитание — а на выходе остаётся просто $a$. Как громоздкое выражение схлопывается в одну букву? И как доказать, что выражение вообще не зависит от $a$, если подставить можно хоть тысячу разных чисел?

## 1. Упрощаем по действиям

*Одна дробь на выходе*

Представь конструктор. Есть куча деталей: скобки, дроби, знаки деления. Правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей — это инструкция сборки. Главное, что она гарантирует: как бы ни была навёрнута конструкция, в конце получится одна аккуратная дробь.

**Главная идея темы**

Правила действий над рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь.

**Как это уложить в голове**

Аналогия: разбираем выражение как уборку в комнате. Сначала прибираем самую внутреннюю коробку (скобки), потом крупные дела (умножение и деление), в конце мелочь (сложение и вычитание). Зацепка-правило самопроверки: если в ответе остались скобки или «лесенка» из дробей, работа не закончена. Ждём одну дробь или даже просто многочлен.

**Порядок действий**

Упрощение рационального выражения, содержащего несколько арифметических действий, можно выполнять по действиям в соответствии с порядком выполнения арифметических действий (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание) либо цепочкой. Здесь идём по действиям.

**Пример: Упростим выражение по действиям**

1. Выражение: $\left(\frac{3a}{a - 2} - \frac{6a}{a^2 - 4a + 4}\right) : \frac{a - 4}{a^2 - 4} - \frac{2a^2 + 8a}{a - 2}$. Сразу заметим: знаменатели не должны быть нулём, поэтому $a \ne 2$, $a \ne -2$, а из-за деления на дробь ещё $a \ne 4$.
2. Действие 1, скобка. Знаменатель $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$. Общий знаменатель $(a-2)^2$: $\frac{3a(a-2) - 6a}{(a-2)^2} = \frac{3a^2 - 12a}{(a-2)^2} = \frac{3a(a-4)}{(a-2)^2}$.
3. Действие 2, деление. Делим на дробь — умножаем на перевёрнутую, а $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$: $\frac{3a(a-4)}{(a-2)^2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a-4} = \frac{3a(a+2)}{a-2}$.
4. Действие 3, вычитание. Знаменатели уже одинаковые: $\frac{3a^2 + 6a - (2a^2 + 8a)}{a - 2} = \frac{a^2 - 2a}{a-2}$.
5. Числитель $a^2 - 2a = a(a-2)$, сокращаем на $a - 2$. Ответ: $a$.

**Неправильно:** При вычитании дробей забывают, что минус относится ко всему числителю: $3a^2 + 6a - 2a^2 + 8a$.
**Правильно:** Числитель вычитаемого берём в скобки: $3a^2 + 6a - (2a^2 + 8a) = a^2 - 2a$.

**Проверь себя:** Какие значения $a$ недопустимы в примере выше? Прикинь в уме.
**Ответ:** $a = 2$, $a = -2$ (нули знаменателей) и $a = 4$ (деление на дробь, равную нулю).

### Проверь себя

**Что позволяют сделать правила действий над рациональными дробями с любым рациональным выражением?**
- Разложить любой многочлен на линейные множители без дробей.
- Превратить его исключительно в целое число.
- Исключить все переменные из выражения.
- Преобразовать его в одну рациональную дробь. — верно
> В материале параграфа прямо указано, что правила действий над рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь.

**Какой порядок действий следует выбрать при упрощении выражения $\left( \frac{3a}{a-2} - \frac{6a}{a^2-4a+4} \right) : \frac{a-4}{a^2-4} - \frac{2a^2+8a}{a-2}$ по отдельным шагам?**
- 1) Деление; 2) Вычитание в скобках; 3) Внешнее вычитание.
- 1) Вычитание в скобках; 2) Деление; 3) Внешнее вычитание. — верно
- 1) Вычитание в скобках; 2) Внешнее вычитание; 3) Деление.
- 1) Внешнее вычитание; 2) Вычитание в скобках; 3) Деление.
> По правилам арифметических действий сначала выполняются действия в скобках, затем деление, а в последнюю очередь — вычитание вне скобок.

**Чему равен результат выполнения первого действия (вычитание в скобках) $\frac{3a}{a-2} - \frac{6a}{a^2-4a+4}$ из Примера 1 параграфа?**
- $\frac{3a^2 - 6a}{(a-2)^2}$
- $\frac{3a - 6a}{a - 2}$
- $\frac{3a^2}{(a-2)^2}$
- $\frac{3a^2 - 12a}{(a-2)^2}$ — верно
> Приводя к общему знаменателю $(a-2)^2$, получаем $\frac{3a(a-2) - 6a}{(a-2)^2} = \frac{3a^2 - 6a - 6a}{(a-2)^2} = \frac{3a^2 - 12a}{(a-2)^2}$.

**Какой результат получается после выполнения второго действия (деления) $\frac{3a^2 - 12a}{(a-2)^2} : \frac{a-4}{a^2-4}$ из Примера 1 параграфа?**
- $\frac{3a}{a-2}$
- $\frac{3a^2 - 12a}{a-4}$
- $\frac{3a(a-4)}{a+2}$
- $\frac{3a^2 + 6a}{a-2}$ — верно
> Заменив деление умножением на перевернутую дробь и раскладывая $3a^2-12a = 3a(a-4)$ и $a^2-4 = (a-2)(a+2)$, получаем $\frac{3a(a+2)}{a-2} = \frac{3a^2+6a}{a-2}$.

**Чему равно окончательное упрощенное значение выражения $\left( \frac{3a}{a-2} - \frac{6a}{a^2-4a+4} \right) : \frac{a-4}{a^2-4} - \frac{2a^2+8a}{a-2}$ из Примера 1?**
- 1
- $3a$
- $a$ — верно
- $a + 2$
> После выполнения всех действий получаем $\frac{3a^2+6a - (2a^2+8a)}{a-2} = \frac{a^2-2a}{a-2} = \frac{a(a-2)}{a-2} = a$.

**Упростите выражение из № 176 (1): $\left( \frac{a}{3} + \frac{a}{4} \right) \cdot \frac{6}{a^2}$.**
- $\frac{7}{2a}$ — верно
- $\frac{2a}{7}$
- $\frac{7a}{2}$
- $\frac{7}{12a}$
> Сложив дроби в скобках, получаем $\frac{7a}{12} \cdot \frac{6}{a^2} = \frac{42a}{12a^2} = \frac{7}{2a}$.

**Упростите выражение из № 176 (2): $\frac{a^2 b}{a-b} \cdot \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right)$.**
- $b$
- $ab$
- $a$ — верно
- $\frac{a}{a-b}$
> Вычитание в скобках дает $\frac{a-b}{ab}$. Тогда $\frac{a^2 b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{ab} = \frac{a^2 b}{ab} = a$.

**Упростите выражение из № 176 (3): $\left( 1 + \frac{a}{b} \right) : \left( 1 - \frac{a}{b} \right)$.**
- $\frac{b+a}{b-a}$ — верно
- $\frac{b-a}{b+a}$
- $-1$
- 1
> Преобразуем скобки: $\frac{b+a}{b} : \frac{b-a}{b} = \frac{b+a}{b} \cdot \frac{b}{b-a} = \frac{b+a}{b-a}$.

**Упростите выражение из № 176 (4): $\left( \frac{a^2}{b^2} - \frac{2a}{b} + 1 \right) \cdot \frac{b}{a-b}$.**
- $a - b$
- $\frac{a-b}{b}$ — верно
- $\frac{b}{a-b}$
- $\frac{a+b}{b}$
> Выражение в скобках свертывается в квадрат разности $\left(\frac{a}{b} - 1\right)^2 = \frac{(a-b)^2}{b^2}$. После умножения на $\frac{b}{a-b}$ получаем $\frac{a-b}{b}$.

**Упростите выражение из № 176 (7): $\frac{x-2}{x+2} \cdot \left( x - \frac{x^2}{x-2} \right)$.**
- $-\frac{2x}{x+2}$ — верно
- $-\frac{2x}{x-2}$
- $\frac{2x}{x+2}$
- $x$
> В скобках: $\frac{x(x-2) - x^2}{x-2} = \frac{-2x}{x-2}$. Умножая на $\frac{x-2}{x+2}$ и сокращая $(x-2)$, получаем $-\frac{2x}{x+2}$.

**Упростите выражение из № 177 (1): $\left( x + \frac{x}{y} \right) : \left( x - \frac{x}{y} \right)$.**
- $\frac{y+1}{y-1}$ — верно
- $\frac{x(y+1)}{y-1}$
- 1
- $\frac{y-1}{y+1}$
> Выносим $x$ в обеих скобках: $x\left(1+\frac{1}{y}\right) : x\left(1-\frac{1}{y}\right) = \frac{y+1}{y} : \frac{y-1}{y} = \frac{y+1}{y-1}$.

**Упростите выражение из № 177 (3): $\left( \frac{m}{m-1} - 1 \right) : \frac{m}{mn-n}$.**
- $\frac{m}{n}$
- $\frac{n}{m}$ — верно
- $\frac{1}{m}$
- $n$
> Скобка равна $\frac{m - (m-1)}{m-1} = \frac{1}{m-1}$. Затем $\frac{1}{m-1} \cdot \frac{n(m-1)}{m} = \frac{n}{m}$.

**Упростите выражение из № 177 (4): $\left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) \cdot \frac{4ab}{a-b}$.**
- $4(a-b)$
- $4ab$
- $4(a+b)$ — верно
- $\frac{4}{a+b}$
> Разность равна $\frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$. При умножении на $\frac{4ab}{a-b}$ сокращаются $ab$ и $(a-b)$, остается $4(a+b)$.

**Выполните действия из № 179 (2): $\left( \frac{m-1}{m+1} - \frac{m+1}{m-1} \right) : \frac{4m}{m^2-1}$.**
- 1
- $\frac{1}{m^2-1}$
- $-4m$
- $-1$ — верно
> Приводя к общему знаменателю: $\frac{(m-1)^2 - (m+1)^2}{m^2-1} = \frac{-4m}{m^2-1}$. Деление на $\frac{4m}{m^2-1}$ дает $-1$.

**Упростите выражение из № 180 (5): $\frac{a}{b} - \frac{a^2-b^2}{b^2} : \frac{a+b}{b}$.**
- $\frac{a-b}{b}$
- $\frac{2a-b}{b}$
- 0
- 1 — верно
> Деление дает $\frac{(a-b)(a+b)}{b^2} \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{a-b}{b}$. Затем $\frac{a}{b} - \frac{a-b}{b} = \frac{a - a + b}{b} = \frac{b}{b} = 1$.

**Упростите выражение из № 180 (7): $\left( a - \frac{9a-9}{a+3} \right) : \frac{a^2-3a}{a+3}$.**
- $\frac{a}{a-3}$
- $\frac{a+3}{a}$
- $\frac{a-3}{a}$ — верно
- $a - 3$
> Числитель скобки равен $a(a+3) - (9a-9) = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$. Деление на $\frac{a(a-3)}{a+3}$ дает $\frac{(a-3)^2}{a(a-3)} = \frac{a-3}{a}$.

**Упростите выражение из № 186 (2): $\frac{a - \frac{6a-9}{a}}{1 - \frac{3}{a}}$.**
- $a - 3$ — верно
- $\frac{1}{a-3}$
- $\frac{a-3}{a}$
- $a + 3$
> Числитель равен $\frac{a^2-6a+9}{a} = \frac{(a-3)^2}{a}$. Знаменатель равен $\frac{a-3}{a}$. Деление дает $\frac{(a-3)^2}{a} \cdot \frac{a}{a-3} = a-3$.

**Подставьте вместо $x$ выражение $\frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$ (№ 192 (1)) и упростите полученное выражение.**
- $\frac{b^2}{a^2}$
- $\frac{a}{b}$
- $-\frac{a^2}{b^2}$
- $\frac{a^2}{b^2}$ — верно
> Числитель: $\frac{ab}{a+b} - a = \frac{-a^2}{a+b}$. Знаменатель: $\frac{ab}{a+b} - b = \frac{-b^2}{a+b}$. Их отношение равен $\frac{-a^2}{-b^2} = \frac{a^2}{b^2}$.

## 2. Цепочкой и с распределительным свойством

*Доказываем, что значение не зависит от $a$*

Пошаговое упрощение с отдельными пунктами длинное. Есть второй путь: писать всё одной строкой-цепочкой, где каждое звено равно предыдущему. Он короче, но требует внимания. Заодно им доказывают две вещи: тождество (левая часть превращается в правую) и независимость значения выражения от переменной.

**Цепочка**

Аналогия: цепь из звеньев. Каждое звено держится за предыдущее, между ними нет разрывов: одно выражение равно следующему, потом следующему — и так до ответа. Зацепка: ЦЕПОЧКОЙ — как звенья цепи, преобразуй выражение шаг за шагом, сцепляя одно действие со следующим.

*Рисунок: Несколько металлических звеньев цепи, каждое плавно переходит в следующее*

**Что помогает в преобразованиях**

При преобразовании рациональных выражений могут применяться распределительное свойство умножения и основное свойство дроби (умножение числителя и знаменателя составной дроби на общий знаменатель входящих в неё дробей).

**Пример: Значение не зависит от $a$**

1. Выражение: $\frac{3a}{a - 3} + \frac{a + 5}{18 - 6a} \cdot \frac{54a}{5a + a^2}$. Допустимые значения: $a \ne 3$, $a \ne 0$, $a \ne -5$.
2. Раскладываем на множители: $18 - 6a = -6(a - 3)$ и $5a + a^2 = a(a + 5)$.
3. Умножение: $\frac{a + 5}{-6(a - 3)} \cdot \frac{54a}{a(a + 5)} = -\frac{9}{a - 3}$ (сократили $a + 5$, $a$ и $6$).
4. Сложение: $\frac{3a}{a - 3} - \frac{9}{a - 3} = \frac{3a - 9}{a - 3} = \frac{3(a - 3)}{a - 3} = 3$.
5. Ответ: $3$ при всех допустимых $a$. Переменная исчезла — значит, значение от неё не зависит.

**Пример: Доказываем тождество, раскрыв скобки**

1. Докажем: $\left(\frac{a - 7}{3a - 1} + \frac{a - 7}{a + 1}\right) \cdot \frac{3a - 1}{a^2 - 7a} = \frac{4}{a + 1}$. Берём левую часть и приводим к виду правой. Допустимо: $a \ne \frac{1}{3}$, $a \ne -1$, $a \ne 0$, $a \ne 7$.
2. Умножаем каждое слагаемое в скобке на вторую дробь (распределительное свойство), при этом $a^2 - 7a = a(a - 7)$: $\frac{a-7}{3a-1} \cdot \frac{3a-1}{a(a-7)} = \frac{1}{a}$.
3. Второе слагаемое: $\frac{a-7}{a+1} \cdot \frac{3a-1}{a(a-7)} = \frac{3a-1}{a(a+1)}$.
4. Складываем: $\frac{1}{a} + \frac{3a-1}{a(a+1)} = \frac{a + 1 + 3a - 1}{a(a+1)} = \frac{4a}{a(a+1)} = \frac{4}{a+1}$.
5. Левая часть превратилась в правую — тождество доказано.

**Два способа упрощения**

| Признак | По действиям | Цепочкой |
| --- | --- | --- |
| Как записываем | каждое действие отдельно | одна строка равенств |
| Что видно | промежуточные результаты | только ход преобразований |
| Когда удобно | длинные выражения | короткие, тождества |
| Где риск | долго писать | потерять знак или скобку |

**Проверь себя:** Чему равно $\frac{3a - 9}{a - 3}$ при $a \ne 3$?
**Ответ:** $3$: числитель равен $3(a-3)$, сокращаем на $a - 3$.

### Проверь себя

**Какое свойство умножения целесообразно применить при доказательстве тождества $\left( \frac{a-7}{3a-1} + \frac{a-7}{a+1} \right) \cdot \frac{3a-1}{a^2-7a} = \frac{4}{a+1}$, чтобы не приводить дроби в скобках к общему знаменателю?**
- Переместительное свойство сложения.
- Основное свойство пропорции.
- Распределительное свойство умножения относительно сложения. — верно
- Сочетательное свойство умножения.
> Применение распределительного свойства $(x+y)c = xc + yc$ позволяет умножить каждое слагаемое в скобках на дробь за скобками и сразу сократить множители.

**В Примере 2 доказывается, что значение выражения $\frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{18-6a} \cdot \frac{54a}{5a+a^2}$ не зависит от $a$. Чему равно это значение?**
- 0
- -3
- 3 — верно
- 9
> После упрощения произведения получаем $\frac{3a}{a-3} - \frac{9}{a-3} = \frac{3(a-3)}{a-3} = 3$.

**При преобразовании знаменателя $18 - 6a$ к виду с множителем $(a - 3)$ в Примере 2, как изменяется знак перед соответствующей дробью?**
- Плюс меняется на умножение.
- Знак меняется на противоположный только у числителя.
- Знак перед дробью остается плюсом, так как за скобки выносится $+6$.
- Выносится знак «минус», поэтому плюс перед произведением меняется на минус. — верно
> Так как $18 - 6a = -6(a - 3)$, вынесение отрицательного числа за скобки меняет знак сложения перед дробью на вычитание.

**Что означает метод выполнения тождественных преобразований рационального выражения «цепочкой»?**
- Преобразование только знаменателей с оставлением числителей без изменений.
- Последовательная запись всех упрощающих равенств в одну строку без разбиения на нумерованные действия. — верно
- Решение уравнения путем переноса всех слагаемых в одну сторону.
- Замена всех переменных последовательными натуральными числами.
> В параграфе показано, что преобразования можно выполнять не по отдельным пунктам (1, 2, 3...), а последовательной цепочкой равенств.

## 3. «Многоэтажные» дроби

*Два способа, один результат*

Бывает, что дробь стоит внутри числителя или знаменателя другой дроби. Такую составную дробь называют многоэтажной. Выглядит страшно, но сводится к уже знакомому. Есть два способа, и оба используют то, что дробная черта — это деление.

**Дом с этажами**

Аналогия: многоэтажный дом. Внизу этаж знаменателя, наверху этаж числителя, а на каждом этаже свои квартиры-дроби. Наша задача — спуститься по лестнице до одного этажа. Зацепка: МНОГОЭТАЖНЫХ дробей — представь дробь как многоэтажный дом, один этаж дроби стоит внутри другого.

*Рисунок: Многоэтажный дом, на каждом этаже которого находится ещё одна математическая дробь*

**Пример: Составная дробь двумя способами**

1. Дробь: $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$. Допустимо: $a$, $b$, $c$ не равны нулю.
2. Способ 1, деление. Числитель: $\frac{bc + ac + ab}{abc}$. Знаменатель: $\frac{c + a + b}{abc}$. Записываем как частное: $\frac{bc + ac + ab}{abc} : \frac{c + a + b}{abc} = \frac{bc + ac + ab}{abc} \cdot \frac{abc}{c + a + b}$.
3. Сокращаем $abc$: получаем $\frac{bc + ac + ab}{c + a + b}$.
4. Способ 2, основное свойство дроби. Общий знаменатель всех входящих дробей — $abc$. Умножаем на него числитель и знаменатель составной дроби.
5. Числитель: $\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \cdot abc = bc + ac + ab$. Знаменатель: $\left(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}\right) \cdot abc = c + a + b$.
6. Результат тот же: $\frac{bc + ac + ab}{c + a + b}$.

**Способы упрощения многоэтажной дроби**

| Признак | Как частное | Через общий знаменатель |
| --- | --- | --- |
| Идея | дробная черта — деление | основное свойство дроби |
| Шаги | свернуть верх и низ отдельно | умножить верх и низ на общий знаменатель |
| Плюс | всегда работает | убирает этажи сразу |
| Результат | одинаковый | одинаковый |

**Проверь себя:** На какое выражение умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{1}{x} - 1}$, чтобы избавиться от этажей?
**Ответ:** На $x$ (при $x \ne 0$). Получится $\frac{1 + x}{1 - x}$.

**Почему допустимые значения смотрим в начале**

Ответ вроде $a$ выглядит так, будто подойдёт любое число. Но исходное выражение при $a = 2$, $a = -2$ или $a = 4$ вообще не имеет смысла. Поэтому ограничения выписываем до сокращений: после сокращения они исчезают из вида выражения, но не из условия.

### Проверь себя

**Каким образом в Пример 4 учебного текста «многоэтажная» дробь $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$ упрощается в один шаг с помощью основного свойства дроби?**
- Прибавлением одночлена $abc$ к числителю и знаменателю.
- Возведением числителя и знаменателя в квадрат.
- Делением числителя и знаменателя на $(a+b+c)$.
- Умножением числителя и знаменателя дроби на одночлен $abc$. — верно
> Умножение числителя и знаменателя на наименьший общий знаменатель всех внутренних дробей ($abc$) сразу избавляет от всех «этажей».

**Какое упрощенное выражение получается в результате решения Примера 4: $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$?**
- $\frac{bc + ac + ab}{c + a + b}$ — верно
- 1
- $\frac{c + a + b}{bc + ac + ab}$
- $abc$
> При умножении числителя и знаменателя на $abc$ получаем в числителе $bc + ac + ab$, а в знаменателе $c + a + b$.

**Упростите «многоэтажную» дробь из № 186 (1): $\frac{a - \frac{a^2}{a+1}}{a - \frac{a}{a+1}}$.**
- 1
- $\frac{a}{a+1}$
- $a$
- $\frac{1}{a}$ — верно
> Числитель равен $\frac{a^2+a-a^2}{a+1} = \frac{a}{a+1}$. Знаменатель равен $\frac{a^2+a-a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}$. Их отношение равно $\frac{a}{a+1} \cdot \frac{a+1}{a^2} = \frac{1}{a}$.

**Упростите составную дробь из № 187 (1): $\frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a}}$.**
- 1
- $\frac{a^2+b^2}{a^2}$
- $\frac{a^2 - b^2}{b^2}$
- $\frac{a^2 + b^2}{b^2}$ — верно
> Верхняя часть после приведения к $a(a+b)$ дает $\frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$. Нижная часть дает $\frac{a^2-(a^2-b^2)}{a(a+b)} = \frac{b^2}{a(a+b)}$. Отношение равно $\frac{a^2+b^2}{b^2}$.

## Итог

- Любое рациональное выражение правилами действий над дробями сводится к рациональной дроби.
- Порядок: скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание — либо сразу цепочкой.
- Сначала выписываем допустимые значения переменной, потом упрощаем.
- Тождество доказываем, приводя одну часть равенства к виду другой.
- Многоэтажную дробь упрощаем как частное или умножением на общий знаменатель.

## Шпаргалка

### Порядок упрощения

1. **Допустимые значения** — выписать, что обнуляет знаменатели и делитель
2. **Скобки** — привести к общему знаменателю
3. **Умножение и деление** — делим — умножаем на перевёрнутую дробь
4. **Сложение и вычитание** — общий знаменатель, минус относится ко всему числителю
5. **Сокращение** — разложить на множители, сократить общие

### Приёмы и когда их брать

- **Распределительное свойство** — раскрыть скобку, умножив на каждое слагаемое
- **Основное свойство дроби** — умножить числитель и знаменатель на одно выражение
- **Тождество** — преобразовать одну часть к виду другой
- **Независимость от переменной** — переменная сократилась, остался результат
- **Многоэтажная дробь** — дробь внутри числителя или знаменателя дроби

### Два способа упрощения

| Признак | По действиям | Цепочкой |
| --- | --- | --- |
| Запись | отдельные шаги | одна строка равенств |
| Удобно | длинные выражения | короткие, тождества |
| Риск | долго писать | потерять знак |

## Любопытное

- Громоздкое выражение с тремя действиями и делением из первого примера в итоге превращается просто в $a$.
- Выражение $\frac{3a}{a - 3} + \frac{a + 5}{18 - 6a} \cdot \frac{54a}{5a + a^2}$ равно $3$ при любом допустимом $a$.