# Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление

Физика · 8 класс · Постоянный электрический ток
Источник: https://razlozheno.ru/subject/fizika/8/41-raschyot-soprotivleniya-provodnika-udelnoe-soprotivlenie

Разбираемся, от чего зависит сопротивление проводника, и учимся считать его по длине, толщине и веществу — по формуле $R = \frac{\rho l}{S}$.

## Чему научишься

- Рассчитывать сопротивление проводника по его длине, площади сечения и веществу.
- Находить удельное сопротивление $\rho$ из измеренных $R$, $S$ и $l$ и читать таблицу веществ.
- Предсказывать без вычислений, какой из двух проводников имеет большее сопротивление.

## С чего начать

Через шнур чайника и через спираль внутри него течёт один и тот же ток. Почему тогда спираль раскаляется докрасна, а шнур остаётся холодным?

## 1. От чего зависит сопротивление

*Три причины, которые нашёл Ом*

Когда по металлическому проводнику идёт ток, свободные электроны разгоняются полем и то и дело налетают на ионы кристаллической решётки. Каждое столкновение тормозит электрон. Представь коридор с колоннами: чем чаще колонны и чем длиннее коридор, тем труднее сквозь него пробежать толпе.

**Что такое сопротивление**

**Сопротивление** — величина, характеризующая свойство проводника препятствовать прохождению тока.

Ом проверил на опыте, от чего оно зависит. На доске натягивают четыре проволоки и сравнивают их попарно: две одинаковой толщины из никеля, но разной длины; две одинаковой длины, но разной толщины; две одинаковых по размерам, но из разных веществ — никеля и нихрома.

*Рисунок: Электрическая цепь: источник питания, ключ, амперметр и вольтметр, подключённые к деревянной подставке с несколькими натянутыми проволоками.*

Результат опыта: сопротивление проводника **прямо пропорционально его длине**, **обратно пропорционально площади поперечного сечения** и **зависит от вещества**, из которого он сделан.

**Сопротивление проводника**

$R = \frac{\rho l}{S}$

где $R$ — сопротивление проводника, $\rho$ — удельное сопротивление вещества, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

**Как это запомнить**

Вода в трубе: чем **длиннее** труба, тем труднее прогнать воду — значит $l$ стоит **сверху**, оно мешает. Чем **шире** труба, тем легче — значит $S$ стоит **снизу**, оно помогает. А $\rho$ — это «шершавость» самой трубы изнутри, свойство материала.

Проверка себя: **удлинил вдвое — сопротивление вдвое больше; взял вдвое толще — вдвое меньше**. Получилось наоборот — где-то перевернул дробь.

**Проверь себя:** Две одинаковые медные проволоки. Одну растянули так, что она стала вдвое длиннее (сечение не менялось). Что с её сопротивлением?
**Ответ:** Оно выросло вдвое: $l$ в числителе, значит $R$ прямо пропорционально длине.

### Проверь себя

**Взяли два медных провода одинаковой длины: у первого сечение $1$ мм², у второго $5$ мм². У какого сопротивление меньше и во сколько раз?**
- У первого, в $5$ раз
- У второго, в $5$ раз — верно
- У второго, в $25$ раз
- Сопротивления равны
> $S$ стоит в знаменателе: сечение больше в $5$ раз — сопротивление меньше во столько же раз.

**Кусок проволоки разрезали пополам и обе половинки свили вместе. Как изменилось сопротивление получившегося проводника?**
- Уменьшилось в $4$ раза — верно
- Уменьшилось в $2$ раза
- Не изменилось совсем
- Увеличилось в $2$ раза
> Длина стала вдвое меньше (делим на $2$), а сечение вдвое больше (ещё делим на $2$): вместе — в $4$ раза меньше.

## 2. Удельное сопротивление — паспорт вещества

*Почему провода медные, а спираль нихромовая*

В формуле осталась буква $\rho$ (греческая «ро»). Она отвечает за вещество и не зависит от того, какой кусок мы взяли: у меди своё значение, у нихрома своё.

**Удельное сопротивление**

**Удельное сопротивление** — физическая величина, показывающая, каким сопротивлением обладает проводник длиной $1$ м, площадью поперечного сечения $1$ м², изготовленный из данного вещества.

Из основной формулы удельное сопротивление легко выразить — это нужно, когда $\rho$ хотят измерить: взяли кусок проволоки, измерили $R$, линейкой длину, микрометром толщину.

**Как найти удельное сопротивление**

$\rho = \frac{R S}{l}$

Единица — $Ом \cdot м$ (ом-метр). Сечение проводов обычно меряют в мм², поэтому в таблицах чаще стоит $Ом \cdot мм^2 / м$.

*Рисунок: Два одинаковых по длине и толщине стержня рядом: внутри медного редкие препятствия и широкий поток стрелок, внутри нихромового препятствия часто и поток стрелок узкий.*

**Как это запомнить**

$\rho$ — это **паспорт вещества**: сопротивление образца-эталона длиной $1$ м и сечением $1$ мм². Хочешь другой кусок — умножь на его длину и раздели на его сечение.

Опорное число: **нихромовая проволока **$1$** м и **$1$** мм² даёт **$1{,}1$** Ом**. Медная такая же — всего $0{,}017$ Ом, почти в $65$ раз меньше. Отсюда правило проверки: у металлов-проводников $\rho$ — это сотые доли, у сплавов для нагревателей — около единицы.

**Удельное сопротивление, $Ом \cdot мм^2 / м$ (таблица 9 учебника)**

| Вещество | $\rho$ | Где применяют |
| --- | --- | --- |
| Серебро | $0{,}016$ | контакты в точной технике |
| Медь | $0{,}017$ | провода и кабели |
| Алюминий | $0{,}028$ | линии электропередачи |
| Никелин | $0{,}40$ | реостаты |
| Нихром | $1{,}1$ | спирали нагревателей |

Теперь понятно, почему провода делают из меди, а спираль чайника — из нихрома. Проводу нужно доставить ток и не греться: берём вещество с маленьким $\rho$. Спирали, наоборот, нужно греться — берём большое $\rho$, да ещё и наматываем подлиннее и потоньше.

**Почему у веществ разное $\rho$**

Ионы решётки у разных металлов несут разный заряд и стоят на разных расстояниях друг от друга. Значит, свободные электроны на своём пути сталкиваются с ними по-разному часто — отсюда и разное сопротивление одинаковых по размеру проводников.

### Проверь себя

**Что означает запись «удельное сопротивление меди $0{,}017$ $Ом \cdot мм^2 / м$»?**
- Любой медный провод имеет сопротивление $0{,}017$ Ом
- Медь выдерживает ток до $0{,}017$ А
- Медный провод длиной $1$ м и сечением $1$ мм² имеет $0{,}017$ Ом — верно
- Сопротивление меди растёт на $0{,}017$ Ом за метр толщины
> $\rho$ — сопротивление образца-эталона: длина $1$ м, сечение $1$ мм².

**Два проводника одинаковой длины и сечения: медный и вольфрамовый ($\rho$ вольфрама $0{,}055$). У какого сопротивление больше?**
- У вольфрамового, примерно втрое — верно
- У медного, примерно втрое
- Они равны, размеры же одинаковы
- У вольфрамового, ровно в $55$ раз
> Размеры одинаковы, решает $\rho$: $0{,}055$ против $0{,}017$ — больше примерно в $3$ раза.

## 3. Считаем и предсказываем

*Разбор задачи и приём для экзамена*

Порядок всегда один: выписать $\rho$ из таблицы, перевести длину в метры, сечение — в мм² (чтобы совпало с единицей $\rho$ из таблицы), и подставить.

**Пример: Сопротивление нихромовой проволоки**

1. Дано: нихром, $l = 1$ м, $S = 1$ мм². Найти $R$.
2. По таблице $\rho = 1{,}1$ $Ом \cdot мм^2 / м$.
3. Подставляем: $R = \frac{\rho l}{S} = \frac{1{,}1 \cdot 1}{1}$.
4. Получаем $R = 1{,}1$ Ом.

**Пример: Провод из 20 тонких жилок**

1. Телефонный провод: $20$ медных проволочек по $0{,}05$ мм² каждая, длина $1{,}5$ м.
2. Жилки идут рядом, поэтому их сечения складываются: $S = 20 \cdot 0{,}05 = 1$ мм².
3. Медь: $\rho = 0{,}017$ $Ом \cdot мм^2 / м$.
4. $R = \frac{0{,}017 \cdot 1{,}5}{1} \approx 0{,}026$ Ом — почти ноль, провод почти не мешает току.

На ОГЭ эту тему спрашивают не «дай определение», а иначе: показывают несколько стержней и просят выбрать пару для опыта. Приём простой: **чтобы проверить зависимость от одной величины, все остальные должны совпадать**. Ищешь зависимость от сечения — бери два стержня одинаковой длины и из одного вещества, но разной толщины.

**Неправильно:** Сечение $2$ мм² перевели в метры как $0{,}002$ м² и подставили в формулу вместе с табличным $\rho$.
**Правильно:** Если $\rho$ взято из таблицы в $Ом \cdot мм^2 / м$, то сечение подставляют в мм², а длину — в метрах. Единицы должны сойтись.

**Проверь себя:** Нужно проверить, зависит ли сопротивление от вещества. Какие два стержня взять?
**Ответ:** Одинаковой длины и одинакового сечения, но из разных веществ — тогда разница в $R$ объясняется только веществом.

### Проверь себя

**Сопротивление какой проволоки больше: медной длиной $10$ см или медной длиной $60$ см (сечения одинаковы)?**
- Длинной, в $6$ раз — верно
- Короткой, в $6$ раз
- Длинной, в $50$ раз
- Одинаковое, вещество же одно
> $R$ прямо пропорционально длине: $60 : 10 = 6$.

**Нужно установить зависимость сопротивления от площади сечения. Пара стержней подходит, если у них…**
- разные вещество и толщина, длина любая
- одинаковое вещество и длина, толщина разная — верно
- одинаковая толщина, а длина и вещество разные
- разная длина при одинаковой толщине
> Меняем только исследуемую величину — сечение, остальное держим одинаковым.

## Ключевые термины

- **Сопротивление** — Величина, характеризующая свойство проводника препятствовать прохождению тока.
- **Удельное сопротивление** — Физическая величина, показывающая, каким сопротивлением обладает проводник длиной $1$ м, площадью поперечного сечения $1$ м², изготовленный из данного вещества.

## Итог

- Сопротивление мешает току: электроны сталкиваются с ионами решётки.
- $R = \frac{\rho l}{S}$: длиннее — больше, толще — меньше, вещество задаёт $\rho$.
- $\rho$ — паспорт вещества: сопротивление образца длиной $1$ м и сечением $1$ мм².
- Медь $0{,}017$ — для проводов, нихром $1{,}1$ — для спиралей нагревателей.
- Чтобы проверить зависимость от одной величины, все остальные держат одинаковыми.

## Шпаргалка

$R = \frac{\rho l}{S}$ · $\rho = \frac{R S}{l}$ · единица $\rho$ — $Ом \cdot мм^2 / м$ (или $Ом \cdot м$) · длину подставляют в метрах, сечение в мм² · медь $0{,}017$, алюминий $0{,}028$, никелин $0{,}40$, нихром $1{,}1$.

## Любопытное

- Лучший проводник — серебро ($0{,}016$), но провода делают из меди ($0{,}017$): разница почти незаметна, а цена отличается в разы.
- У эбонита удельное сопротивление порядка $10^{20}$ — в десять тысяч триллионов раз больше, чем у графита ($13$). Поэтому одно вещество изолятор, а другое нет.