# Примеры на расчёт сопротивления проводника, силы тока и напряжения Физика · 8 класс · Постоянный электрический ток Источник: https://razlozheno.ru/subject/fizika/8/42-primery-na-raschyot-soprotivleniya-provodnika-sily-toka-i Урок о том, как рассчитать сопротивление проводника по его длине, сечению и материалу, и как с помощью закона Ома находить силу тока или напряжение в электрической цепи. ## Чему научишься - Вычислять сопротивление проводника по формуле $R=\frac{\rho l}{S}$, зная его длину, площадь сечения и материал - Применять закон Ома $I=\frac{U}{R}$ для расчёта силы тока или напряжения в цепи - Объяснять, как изменение длины или сечения проводника влияет на его сопротивление ## С чего начать Два одинаковых фонарика подключили к одинаковым батарейкам, но провод внутри одного — тонкий и длинный, а у другого — толстый и короткий. Первый фонарик светит еле-еле, второй — ярко. Почему толщина и длина провода вообще влияют на яркость лампочки? ## 1. Сопротивление проводника: от чего оно зависит *Длина, толщина и материал провода мешают току по-разному* Провод — это не «пустая труба» для тока, а материал, который ток преодолевает с трудом. Чем труднее — тем больше сопротивление $R$. От чего зависит эта трудность? **Сопротивление проводника** $R=\dfrac{\rho l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения. **Узкий и длинный коридор** Представь узкий длинный коридор, забитый людьми, которые пытаются пройти — чем он длиннее и уже, тем труднее пройти. Провод — тот же коридор для электронов: длиннее ($l$ больше) и тоньше ($S$ меньше) — сопротивление больше. Мнемоника: «длина и узость — враги тока». *Рисунок: Цилиндрический провод с обозначенной длиной l и сечением S на срезе* **Пример: Посчитаем сопротивление медного провода** 1. Дано: медный провод, $\rho=0{,}017$ Ом·мм²/м, длина $l=2$ м, сечение $S=0{,}5$ мм² 2. Подставляем в формулу: $R=\dfrac{0{,}017\cdot 2}{0{,}5}$ 3. Считаем числитель: $0{,}017\cdot 2=0{,}034$ 4. Делим на сечение: $R=\dfrac{0{,}034}{0{,}5}=0{,}068$ Ом **Проверь себя:** Если сечение провода уменьшить вдвое, а длину и материал не менять — что будет с сопротивлением? **Ответ:** Сопротивление увеличится вдвое: $S$ стоит в знаменателе, уменьшение знаменателя увеличивает результат. ### Проверь себя **Два медных провода одинаковой длины, но у первого площадь сечения вдвое больше, чем у второго. У какого провода сопротивление больше?** - У первого — чем толще провод, тем больше сопротивление - У второго — сопротивление обратно пропорционально площади сечения — верно - У обоих одинаковое — площадь сечения не влияет - Нельзя сказать без длины проводов > $R=\frac{\rho l}{S}$: чем больше $S$ в знаменателе, тем меньше $R$. Толстый провод — меньшее сопротивление. **Медный провод длиной 2 м и сечением 0,5 мм² имеет удельное сопротивление $\rho=0{,}017$ Ом·мм²/м. Чему равно его сопротивление?** - $R=\frac{0{,}017\cdot 2}{0{,}5}=0{,}068$ Ом — верно - $R=0{,}017\cdot 2\cdot 0{,}5=0{,}017$ Ом - $R=\frac{0{,}5}{0{,}017\cdot 2}\approx 14{,}7$ Ом - $R=0{,}017+2+0{,}5=2{,}517$ Ом > Подставляем в $R=\frac{\rho l}{S}$: числитель $0{,}017\cdot 2=0{,}034$, делим на $0{,}5$ — получаем $0{,}068$ Ом. **Провод удлинили вдвое и одновременно заменили металл на другой с вдвое меньшим удельным сопротивлением. Как изменится общее сопротивление провода?** - Не изменится: удвоение $l$ и уменьшение $\rho$ вдвое компенсируют друг друга — верно - Увеличится вдвое, потому что провод стал длиннее - Уменьшится вдвое, потому что металл лучше проводит - Увеличится в четыре раза > $R=\frac{\rho l}{S}$ — в числителе теперь $\frac{\rho}{2}\cdot 2l=\rho l$, то есть числитель тот же, что и раньше. ## 2. Закон Ома: как связаны сила тока и напряжение *Чем больше напряжение и меньше сопротивление, тем сильнее ток* Сопротивление мы теперь умеем считать. Осталось понять, как оно вместе с напряжением определяет силу тока в цепи. **Закон Ома для участка цепи** $I=\dfrac{U}{R}$, откуда также $U=IR$, где $U$ — напряжение, $I$ — сила тока, $R$ — сопротивление. **Вода в трубе** Электрический ток похож на воду, текущую по трубе под напором. Напряжение $U$ — это разница уровней воды (напор), сопротивление $R$ — узость трубы, а сила тока $I$ — сколько воды протекает в секунду. Больше напор или шире труба — вода течёт быстрее. Мнемоника: «напор растёт — течёт быстрее; труба уже — течёт медленнее». *Рисунок: Два сосуда, соединенных трубкой, с вертикальной стрелкой между уровнями жидкости* **Пример: Найдём силу тока через лампу** 1. Дано: напряжение на лампе $U=12$ В, сопротивление лампы $R=4$ Ом 2. Подставляем в закон Ома: $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{12}{4}$ 3. Получаем $I=3$ А **Проверь себя:** Напряжение на резисторе увеличили вдвое, сопротивление не меняли. Что стало с силой тока? **Ответ:** Сила тока тоже увеличилась вдвое — по закону Ома $I$ прямо пропорциональна $U$ при постоянном $R$. ### Проверь себя **В цепи напряжение 12 В, сопротивление лампы 4 Ом. Чему равна сила тока через лампу?** - $I=\frac{12}{4}=3$ А — верно - $I=12\cdot 4=48$ А - $I=\frac{4}{12}\approx 0{,}33$ А - $I=12-4=8$ А > Закон Ома: $I=\frac{U}{R}$, подставляем числа напрямую. **Лампу с сопротивлением 6 Ом подключили к источнику, и через неё пошёл ток 0,5 А. Какое напряжение на лампе?** - $U=\frac{6}{0{,}5}=12$ В - $U=6-0{,}5=5{,}5$ В - $U=IR=0{,}5\cdot 6=3$ В — верно - $U=0{,}5+6=6{,}5$ В > Из закона Ома $U=IR$: перемножаем силу тока и сопротивление. **Соня увеличила напряжение на резисторе втрое, а сопротивление резистора не менялось. Что произошло с силой тока?** - Сила тока уменьшилась втрое - Сила тока не изменилась, ведь сопротивление то же - Сила тока увеличилась в девять раз - Сила тока тоже увеличилась втрое — верно > $I=\frac{U}{R}$ — при постоянном $R$ сила тока прямо пропорциональна напряжению. ## 3. Собираем обе формулы: расчёт по параметрам провода *Когда сопротивление неизвестно напрямую, но известны размеры провода* Иногда в задаче не дают готовое сопротивление — известны только длина, сечение и материал провода, а также напряжение. Тогда формулу сопротивления подставляют прямо в закон Ома. **Ток и напряжение через параметры провода** $I=\dfrac{US}{\rho l}$ и $U=\dfrac{I\rho l}{S}$ — закон Ома, в который вместо $R$ подставлена формула сопротивления $R=\dfrac{\rho l}{S}$. **Один и тот же кран, разные подписи на вентиле** Это не новый закон, а тот же закон Ома, просто на вентиле вместо надписи «$R$» теперь написано «$\frac{\rho l}{S}$» — сути крана это не меняет. Мнемоника: «увидел $\rho l/S$ вместо $R$ — просто подставь и посчитай, закон тот же». *Рисунок: Схема электрической цепи с резистором, подписанным двумя равнозначными способами* **Пример: Подставим одну формулу в другую** 1. Есть закон Ома $I=\dfrac{U}{R}$ и формула сопротивления $R=\dfrac{\rho l}{S}$ 2. Подставляем вторую в первую вместо $R$: $I=\dfrac{U}{\frac{\rho l}{S}}$ 3. Упрощаем дробь: $I=\dfrac{US}{\rho l}$ 4. Так же можно получить и напряжение через параметры провода: $U=IR=\dfrac{I\rho l}{S}$ Такое сравнение проводников по размерам — реальное задание ОГЭ: там просят выбрать пару стержней, отличающихся только ОДНИМ параметром, чтобы проверить именно его влияние на сопротивление. Задачи на общее сопротивление и мощность цепи из нескольких приборов (последовательное/параллельное соединение) — тема отдельного урока, здесь её не разбираем. **Неправильно:** Чтобы проверить зависимость сопротивления от площади сечения, беру любые два стержня из списка — какая разница **Правильно:** Беру стержни, у которых ВСЁ одинаково, кроме площади сечения — иначе непонятно, что именно повлияло на результат. **Проверь себя:** Даны провод с $\rho$, $l$, $S$ и напряжение $U$ на нём. Как быстрее всего найти силу тока, не считая $R$ отдельным шагом? **Ответ:** Подставить формулу сопротивления сразу в закон Ома: $I=\dfrac{US}{\rho l}$. ### Проверь себя **Известны длина провода, площадь сечения и удельное сопротивление материала, а также напряжение на проводе. Как найти силу тока, не вычисляя $R$ отдельным действием?** - Сложить все данные величины - Подставить $R=\frac{\rho l}{S}$ прямо в закон Ома: $I=\frac{US}{\rho l}$ — верно - Умножить напряжение на длину провода - Это невозможно без отдельного вычисления $R$ > Подстановка одной формулы в другую — комбинированная формула $I=\frac{US}{\rho l}$, канон из ядра. **Нужно экспериментально проверить, как сопротивление стержня зависит от площади его поперечного сечения. Стержни А и Б — одной длины и материала, но разной толщины; стержень В — другой длины. Какую пару стержней для этого использовать?** - А и Б — отличаются только площадью сечения, остальное одинаково — верно - А и В — чем больше пар, тем точнее опыт - Б и В — они самые разные по виду - Любую пару — материал важнее сечения > Чтобы проверить зависимость ИМЕННО от площади сечения, все остальные величины ($\rho$, $l$) должны совпадать — так на ОГЭ и спрашивают это задание. **Провод стал вдвое длиннее и одновременно вдвое тоньше (площадь сечения уменьшилась вдвое). Как изменилось сопротивление?** - Увеличилось в 4 раза — верно - Не изменилось - Увеличилось вдвое - Уменьшилось вдвое > $R=\frac{\rho l}{S}$: числитель вырос вдвое (длина), знаменатель уменьшился вдвое (сечение) — итого рост в $2\cdot 2=4$ раза. ## Ключевые термины - **Сопротивление ($R$)** — Мера того, насколько проводник затрудняет прохождение тока - **Удельное сопротивление ($\rho$)** — Характеристика материала — сопротивление проводника длиной 1 м и сечением 1 мм² - **Закон Ома** — Сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению: $I=\frac{U}{R}$ ## Итог - Сопротивление проводника: $R=\frac{\rho l}{S}$ — растёт с длиной, падает с ростом сечения - Закон Ома: $I=\frac{U}{R}$ и $U=IR$ — связывают напряжение, ток и сопротивление - Формулы можно подставлять друг в друга: $I=\frac{US}{\rho l}$, если сопротивление не дано напрямую - Чтобы проверить влияние одного параметра, остальные при сравнении должны быть одинаковыми ## Шпаргалка **Сопротивление**: $R=\dfrac{\rho l}{S}$ — растёт с длиной $l$, падает с сечением $S$. **Закон Ома**: $I=\dfrac{U}{R}$, откуда $U=IR$. **Вместе**: $I=\dfrac{US}{\rho l}$. ## Любопытное - Георг Ом открыл свой закон в 1826 году, но научное сообщество сначала встретило работу скептически — она казалась «слишком простой», чтобы описывать электричество.