# Расчёт количества теплоты. Уравнение теплового баланса

Физика · 8 класс · Тепловые процессы
Источник: https://razlozheno.ru/subject/fizika/8/raschyot-kolichestva-teploty-uravnenie-teplovogo-balansa

Как считать теплоту, которую тело получает при нагревании и отдаёт при остывании. Что такое тепловое равновесие и как уравнение теплового баланса помогает найти конечную температуру смеси и удельную теплоёмкость вещества.

## Чему научишься

- Вычислять количество теплоты, полученное или отданное телом, по формуле $Q = c m (t_2 - t_1)$ или $Q = c m (t_1 - t_2)$
- Составлять уравнение теплового баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$ для смешивания воды и находить конечную температуру
- Находить удельную теплоёмкость вещества по данным задачи или по графику зависимости $t$ от $Q$

## С чего начать

Налили в термокружку 120 г кипятка (100 °C) и добавили 60 г холодного чая (10 °C). Середина между 100 и 10 — это 55 °C. Но в кружке устанавливается 70 °C. Почему смесь теплее «середины» и как это вычислить, не заглядывая в термометр?

## 1. Сколько теплоты нужно, чтобы нагреть тело

*От чего зависит количество теплоты и как его посчитать*

Поставьте на огонь маленький ковшик и большую кастрюлю с водой. Ковшик закипит быстро, кастрюля нескоро. Огонь один и тот же, значит, дело в том, **сколько теплоты нужно** телу, чтобы нагреться. Эту теплоту можно посчитать.

*Рисунок: Металлическая ёмкость с жидкостью над горящим костром*

Представьте, что теплота — это «порции тепла», которыми тело «заправляют», как бак бензином. Сколько порций нужно? Это зависит от трёх вещей:

- **от массы **$m$: в два раза больше воды — в два раза больше порций;
- **от того, на сколько градусов греем**: нагреть на 40 °C вдвое дороже, чем на 20 °C;
- **от вещества**: на один и тот же нагрев кг воды и кг железа нужно разное количество теплоты. Эту «цену» вещества задаёт удельная теплоёмкость $c$.

**Количество теплоты при нагревании и охлаждении**

Получаемое при нагревании: $Q = c m (t_2 - t_1)$

Отдаваемое при охлаждении: $Q = c m (t_1 - t_2)$

$Q$ — количество теплоты (Дж); $c$ — удельная теплоёмкость вещества ($\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$); $m$ — масса тела (кг); $t_1$ — начальная температура (°C); $t_2$ — конечная температура (°C).

**Как это работает и как запомнить**

**Аналогия.** Это счёт в магазине: цена за единицу ($c$) умножается на количество товара ($m$) и на число «шагов» по температуре ($t_2 - t_1$). Три множителя — три сомножителя в формуле.

**Правило самопроверки****.** Скобка — всегда «большая температура минус меньшая», поэтому $Q$ получается положительным. При нагревании большая — конечная $t_2$, при охлаждении — начальная $t_1$. Отрицательное $Q$ — значит, вы перепутали порядок.

**Чему равно **$c$** на деле.** Из исторической справки: калория — это количество теплоты, нужное для нагревания 1 г воды на 1 °C, и $1$ кал $= 4{,}1868$ Дж. Значит, 1 кг воды на каждый градус «берёт» около 4200 Дж. Для воды берут $c = 4200$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$.

**Пример: Нагреваем воду**

1. Условие: воду массой $m = 2$ кг нагрели от $t_1 = 20$ °C до $t_2 = 70$ °C. Удельную теплоёмкость возьмём $c = 4200$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$. Найти $Q$.
2. Нагревание, поэтому формула $Q = c m (t_2 - t_1)$. Сначала скобка: $t_2 - t_1 = 70 - 20 = 50$ °C.
3. Подставляем: $Q = 4200 \cdot 2 \cdot 50 = 420\,000$ Дж.
4. Ответ: $420$ кДж. Проверка единиц: $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)} \cdot$ кг $\cdot$ °C $=$ Дж.

**Две формулы — один смысл**

| Признак | Нагревание | Охлаждение |
| --- | --- | --- |
| Что делает тело | получает теплоту | отдаёт теплоту |
| Формула | $Q = c m (t_2 - t_1)$ | $Q = c m (t_1 - t_2)$ |
| Какая температура больше | конечная $t_2$ | начальная $t_1$ |
| Знак $Q$ при правильной скобке | положительный | положительный |

**Проверь себя:** Тело массой 1 кг и тело массой 3 кг из одного вещества нагрели на одно и то же число градусов. Во сколько раз различаются количества теплоты?
**Ответ:** В 3 раза: $c$ и $t_2 - t_1$ одинаковы, а $Q$ прямо пропорционально массе. Второму телу нужно в 3 раза больше теплоты.

**Почему именно произведение**

Если удвоить массу, придётся нагревать вдвое больше вещества — вдвое больше теплоты. Если удвоить число градусов, каждая часть вещества получает вдвое больше. Эти два эффекта перемножаются, а вещество задаёт коэффициент $c$. Поэтому $Q$ — произведение $c$, $m$ и разности температур.

### Проверь себя

**По какой формуле рассчитывают количество теплоты $Q$, получаемое телом массой $m$ при его нагревании от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $t_2$?**
- $Q = \frac{c}{m}(t_2 - t_1)$
- $Q = cm(t_2 - t_1)$ — верно
- $Q = cm(t_1 + t_2)$
- $Q = cm(t_1 - t_2)$
> Формула отражает прямую пропорциональную зависимость количества теплоты от удельной теплоёмкости, массы и разности между конечной и начальной температурой.

**Какая формула используется для определения количества теплоты, отдаваемого телом массой $m$ при охлаждении от начальной температуры $t_1$ до конечной $t_2$?**
- $Q = c(t_1 - t_2)$
- $Q = cm(t_2 - t_1)$
- $Q = \frac{cm}{t_1 - t_2}$
- $Q = cm(t_1 - t_2)$ — верно
> При охлаждении начальная температура $t_1$ больше конечной $t_2$, поэтому их разность положительна.

**В примере из параграфа при нагревании воды в алюминиевом котелке на костре общее переданное количество теплоты рассчитывается как:**
- $Q = Q_1 + Q_2$, где $Q_1$ — теплота для котелка, а $Q_2$ — теплота для воды — верно
- $Q = Q_2 - Q_1$, где из теплоты воды вычитается теплота котелка
- $Q = Q_2$, так как теплотой, пошедшей на котелок, пренебрегают
- $Q = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ как среднее значение теплоты
> Источником теплоты одновременно нагреваются и сам котелок, и находящаяся в нём вода.

**Как определяется масса воды $m$, если известен её объём $V$ и плотность $\rho$?**
- $m = \rho + V$
- $m = \rho V$ — верно
- $m = \frac{V}{\rho}$
- $m = \frac{\rho}{V}$
> Масса равна произведению плотности вещества на занимаемый им объём.

**Что происходит с внутренней энергией воды массой $2\text{ кг}$ при её остывании от $95^\circ\text{C}$ до $25^\circ\text{C}$?**
- Внутренняя энергия увеличивается, так как изменяется температура
- Внутренняя энергия сначала увеличивается, а затем уменьшается
- Внутренняя энергия остается неизменной, так как не меняется масса
- Внутренняя энергия уменьшается на величину выделенного количества теплоты — верно
> При охлаждении тело отдаёт теплоту в окружающую среду, поэтому его внутренняя энергия снижается.

**При расчёте количества теплоты, необходимого для нагревания льда массой $1{,}5\text{ кг}$ от $-30^\circ\text{C}$ на $20^\circ\text{C}$, какая величина выражает изменение температуры $\Delta t$?**
- $-10^\circ\text{C}$
- $-30^\circ\text{C}$
- $50^\circ\text{C}$
- $20^\circ\text{C}$ — верно
> Фраза «нагревание на $20^\circ\text{C}$» указывает на готовую разность температур $(t_2 - t_1) = 20^\circ\text{C}$.

**Что происходит с конечной температурой $t_2$ по сравнению с начальной $t_1$, если тело отдаёт теплоту в процессе охлаждения?**
- $t_2 = t_1$
- $t_2 < t_1$ — верно
- $t_2 > t_1$
- $t_2 = 0^\circ\text{C}$ всегда
> Отдача теплоты приводит к охлаждению тела, то есть к снижению его температуры.

**В формуле $Q_2 = c_2 \rho V_2 (t_2 - t_1)$ из примера 1 для воды, произведение $\rho V_2$ выражает какую физическую величину?**
- Удельную теплоёмкость воды
- Площадь дна сосуда
- Плотность котелка
- Массу воды $m_2$ — верно
> Масса жидкости выражается через её плотность и объём по формуле $m = \rho V$.

## 2. Теплообмен и тепловое равновесие: уравнение теплового баланса

*Куда уходит теплота горячего тела*

Когда горячее и холодное тела соприкасаются, происходит **теплообмен**: горячее остывает и отдаёт теплоту, холодное нагревается и получает её. Так продолжается, пока температуры не сравняются. Установившаяся температура — это температура **теплового равновесия** $t$ (конечная установившаяся температура смеси).

Теплота при этом не пропадает, а переходит от одного тела к другому. Это как перевод денег с карты на карту: у одного убыло, у другого прибыло ровно столько же. Если система закрыта и с окружающей средой не обменивается, то общая сумма не меняется.

**Уравнение теплового баланса**

Математическое выражение закона сохранения энергии при теплообмене: если теплообмен происходит в системе тел, которая не обменивается энергией с окружающей средой, то количество теплоты, отданное одними телами системы, равно количеству теплоты, полученному другими её телами ($Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$).

**Уравнение теплового баланса**

$Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$

$Q_{\text{отд}}$ — количество теплоты, отданное телами системы; $Q_{\text{пол}}$ — количество теплоты, полученное телами системы; $t$ — температура теплового равновесия.

**Как это работает и как запомнить**

**Аналогия.** Перевод денег между картами: сколько списали с одной, столько зачислили на другую. Горячая вода — «карта», с которой списывают теплоту.

**Правило самопроверки.** Отдаёт — слева, получает — справа: $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$, «отдал = получил». А итоговая $t$ всегда лежит между начальными температурами тел: не выше горячей и не ниже холодной.

**Пример: Кипяток и чай в термокружке**

1. Условие: в термокружке смешали 120 г кипятка при 100 °C и 60 г чая при 10 °C. Установилась температура $t = 70$ °C. Потерями энергии пренебрегаем, свойства чая считаем такими же, как у воды: $c = 4200$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$. Покажем, что $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$.
2. Массы в кг: $m_1 = 0{,}12$ кг (кипяток), $m_2 = 0{,}06$ кг (чай).
3. Кипяток остывает от 100 до 70 °C, поэтому $Q_{\text{отд}} = c m_1 (100 - 70) = 4200 \cdot 0{,}12 \cdot 30 = 15\,120$ Дж.
4. Чай нагревается от 10 до 70 °C, поэтому $Q_{\text{пол}} = c m_2 (70 - 10) = 4200 \cdot 0{,}06 \cdot 60 = 15\,120$ Дж.
5. Получили $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}} = 15\,120$ Дж: равенство выполняется, значит, 70 °C — действительно температура теплового равновесия.

**Пример: Найдём конечную температуру, не зная её**

1. Те же жидкости, но $t$ неизвестна. Кипяток остывает до $t$, чай нагревается до $t$.
2. Пишем баланс: $c m_1 (100 - t) = c m_2 (t - 10)$. Теплоёмкость $c$ одинаковая, на неё сокращаем.
3. Подставляем массы: $0{,}12 (100 - t) = 0{,}06 (t - 10)$. Раскрываем скобки: $12 - 0{,}12 t = 0{,}06 t - 0{,}6$.
4. Собираем: $12{,}6 = 0{,}18 t$, откуда $t = 70$ °C. Совпало с опытом.

**Неправильно:** Смешали кипяток и холодную воду — значит, температура смеси равна среднему арифметическому: $\frac{100 + 10}{2} = 55$ °C.
**Правильно:** Среднее годится только при равных массах. Теплоты зависят от масс: кипятка вдвое больше, он «перетягивает», и $t = 70$ °C. Ищите $t$ из баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$.

**Проверь себя:** Горячая и холодная вода одинаковой массы смешиваются в закрытом сосуде: 80 °C и 20 °C. Какой будет $t$ и почему?
**Ответ:** $t = 50$ °C. Массы и $c$ равны, поэтому на сколько градусов остыла горячая, на столько нагрелась холодная: $80 - t = t - 20$.

### Проверь себя

**Что представляет собой уравнение теплового баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$?**
- Математическое выражение закона сохранения энергии при теплообмене — верно
- Уравнение для определения массы жидкости при смешивании
- Закон зависимости удельной теплоёмкости от температуры
- Формулу связи внутренней энергии и механической работы
> Уравнение показывает, что тепловая энергия не исчезает и не возникает из ниоткуда, а передаётся от одних тел к другим.

**При каком главном условии строго справедливо уравнение теплового баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$?**
- Взаимодействуют только вещества в жидком агрегатном состоянии
- Система тел не обменивается энергией с окружающей средой — верно
- Все тела в системе имеют одинаковую массу
- Процесс теплообмена происходит при постоянной температуре окружающей среды
> Баланс соблюдается, когда вся отданная одними телами теплота без потерь принимается другими телами системы.

**В примере с смешиванием кипятка и холодного чая в термокружке количество теплоты, отданное кипятком, и полученное чаем, оказалось одинаковым ($15120\text{ Дж}$). Почему тепловые потери не повлияли на результат?**
- Теплообмен с термокружкой полностью отсутствует по законам физики
- Потери энергии в окружающую среду и термокружку были малы и не обнаружены проведенными измерениями — верно
- Масса кипятка была ровно в два раза больше массы чая
- Заваренный чай имеет намного меньшую удельную теплоёмкость, чем вода
> Термокружка хорошо изолирует содержимое, а её теплоёмкость незначительна по сравнению с жидкостью.

**Для каких практических целей в физике и технике широко применяется уравнение теплового баланса?**
- Для измерения атмосферного давления
- Для вычисления работы сил трения
- Для определения скорости движения молекул жидкости
- Для расчета установившейся температуры смеси и необходимого количества веществ — верно
> Уравнение позволяет рассчитывать параметры теплового равновесия в системах тел.

**Ученик опустил металлическое тело с температурой $100^\circ\text{C}$ в холодную воду. Как соотнесутся температуры тела и воды после установления теплового равновесия?**
- Температура тела останется выше температуры воды
- Температура всегда устанавливается равной $0^\circ\text{C}$
- Температуры тела и воды станут одинаковыми — верно
- Температура воды станет выше температуры тела
> Состояние теплового равновесия характеризуется прекращением теплообмена из-за равенства температур всех тел в системе.

**В задаче 6 из упражнения рассматривается опыт с опусканием металлического тела в воду. В случае (б) вода налита в алюминиевый стакан. Как изменится выражение для полученной теплоты по сравнению со случаем (а), где стакан не учитывался?**
- Уравнение теплового баланса станет невозможно составить
- Количество теплоты, полученное водой, станет равным нулю
- К теплоте, полученной водой, добавится теплота, полученная алюминиевым стаканом — верно
- Отданное металлическим телом количество теплоты уменьшится вдвое
> Стакан соприкасается с водой и нагревается вместе с ней, принимая часть энергии от нагретого тела.

**Мальчик доливает в аквариум с водой ($10\text{ л}$ при $10^\circ\text{C}$) воду с температурой $40^\circ\text{C}$. Установилась температура $t = 20^\circ\text{C}$. Какое выражение описывает количество теплоты, полученное холодной водой?**
- $Q_{\text{пол}} = c m_1 (20^\circ\text{C} - 10^\circ\text{C})$ — верно
- $Q_{\text{пол}} = c m_1 (40^\circ\text{C} - 10^\circ\text{C})$
- $Q_{\text{пол}} = c m_1 (40^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C})$
- $Q_{\text{пол}} = c m_1 \cdot 20^\circ\text{C}$
> Холодная вода нагревается от своей начальной температуры $10^\circ\text{C}$ до конечной установившейся $20^\circ\text{C}$.

**Какое из следующих утверждений является правильным согласно материалу параграфа?**
- Уравнение теплового баланса выражает закон сохранения энергии при теплообмене — верно
- Удельная теплоёмкость вещества зависит от массы взятого тела
- При охлаждении тела его внутренняя энергия увеличивается
- Количество теплоты в СИ измеряется в килограммах
> Оно утверждает, что в замкнутой системе отданная тепловая энергия равна полученной.

**Если в изолированной системе, состоящей из двух тел, одно тело отдало $500\text{ Дж}$ теплоты, то сколько теплоты получило второе тело?**
- $250\text{ Дж}$
- $0\text{ Дж}$
- $500\text{ Дж}$ — верно
- $1000\text{ Дж}$
> Согласно уравнению теплового баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$, вся отданная энергия без потерь принимается вторым телом.

## 3. Находим удельную теплоёмкость и читаем графики

*Формулу можно «перевернуть»*

Формула $Q = c m (t_2 - t_1)$ связывает четыре величины. Если известны три, четвёртая находится. Так определяют удельную теплоёмкость неизвестного вещества: нагревают тело, измеряют массу, температуры и вложенную теплоту.

**Удельная теплоёмкость из той же формулы**

Делим формулу на $m (t_2 - t_1)$ и получаем $c = \frac{Q}{m (t_2 - t_1)}$. Для охлаждения в знаменателе стоит $(t_1 - t_2)$. Единица: $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$, то есть сколько джоулей нужно, чтобы нагреть 1 кг на 1 °C.

**Пример: Находим $c$**

1. Условие: телу массой $m = 2$ кг сообщили $Q = 32\,000$ Дж. Оно нагрелось от 20 до 60 °C. Найти $c$.
2. Разность температур: $t_2 - t_1 = 60 - 20 = 40$ °C.
3. Считаем: $c = \frac{32\,000}{2 \cdot 40} = 400$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$.

**Зачем это знать.** Такие задачи спрашивают на ОГЭ (задание №8 — найти удельную теплоёмкость по графику, №14 — разобрать график теплообмена), поэтому читать график надо уметь.

*Рисунок: График температуры от количества теплоты: красная линия возрастает от 40 до примерно 90 градусов*

Как читать график $t(Q)$: берём два любых удобных значения, смотрим, сколько теплоты $Q$ ушло на разность температур $t_2 - t_1$, и подставляем в $c = \frac{Q}{m (t_2 - t_1)}$. Чем круче линия, тем меньше $c m$: тело нагревается легко. Если на графике есть горизонтальный участок, температура не меняется, а формула $Q = c m (t_2 - t_1)$ там не работает: теплота идёт на другой процесс (например, плавление льда), и это отдельная тема.

**Неправильно:** Тело остывает, значит, $Q = c m (t_2 - t_1)$ получится отрицательным, и это нормально.
**Правильно:** При охлаждении берём $Q = c m (t_1 - t_2)$: так $Q$ — это положительное количество отданной теплоты, и его удобно приравнивать к $Q_{\text{пол}}$.

**Проверь себя:** Тело массой 4 кг остыло с 90 до 40 °C, отдав 50 000 Дж. Какая у него $c$?
**Ответ:** $c = \frac{50\,000}{4 \cdot (90 - 40)} = 250$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$.

### Проверь себя

**Что обозначает величина $c$ в формуле расчёта количества теплоты $Q = cm\Delta t$?**
- Удельная теплоёмкость вещества — верно
- Коэффициент теплового расширения
- Скорость теплообмена
- Температура фазового перехода
> Коэффициент $c$ показывает, какое количество теплоты необходимо для нагревания $1\text{ кг}$ данного вещества на $1^\circ\text{C}$.

**В каких единицах Международной системы (СИ) измеряется удельная теплоёмкость вещества $c$?**
- $\text{Дж}/(\text{кг}\cdot^\circ\text{C})$ — верно
- $\text{кал}/(\text{г}\cdot^\circ\text{C})$
- $\text{Дж}/^\circ\text{C}$
- $\text{Дж}\cdot\text{кг}/^\circ\text{C}$
> Удельная теплоёмкость выражает количество теплоты в джоулях, необходимое для изменения температуры $1\text{ кг}$ вещества на $1^\circ\text{C}$.

**На рисунке 28 учебного материала приведён график $t(Q)$ для медного тела. Какой параметр тела показывает точка пересечения графика с осью температур при $Q = 0\text{ кДж}$?**
- Начальную температуру тела — верно
- Удельную теплоёмкость меди
- Конечную температуру тела
- Массу тела
> При нулевом переданном количестве теплоты значение на оси температур соответствует начальному состоянию тела.

**Исходя из графика на рисунке 28, где температура медного тела поднимается от $40^\circ\text{C}$ до $80^\circ\text{C}$ при передаче $8\text{ кДж}$ теплоты, как изменилась температура тела?**
- Увеличилась на $40^\circ\text{C}$ — верно
- Уменьшилась на $40^\circ\text{C}$
- Увеличилась на $120^\circ\text{C}$
- Увеличилась на $80^\circ\text{C}$
> Разность между конечной и начальной температурой составляет $80^\circ\text{C} - 40^\circ\text{C} = 40^\circ\text{C}$.

**Что исторически принималось за $1\text{ калорию}$ ($1\text{ кал}$)?**
- Количество теплоты, выделяемое при сгорании $1\text{ г}$ угля
- Количество теплоты для нагревания $1\text{ г}$ воды на $1^\circ\text{C}$ — верно
- Работа, совершаемая силой в $1\text{ Н}$ на расстоянии $1\text{ м}$
- Количество теплоты для нагревания $1\text{ кг}$ воды на $1^\circ\text{C}$
> Это первоначальное историческое определение калории, сформулированное во второй половине XVIII века.

**Каково точное соотношение между калорией и джоулем, приведенное в тексте параграфа?**
- $1\text{ кал} = 100\text{ Дж}$
- $1\text{ кал} = 1000\text{ Дж}$
- $1\text{ Дж} = 4{,}1868\text{ кал}$
- $1\text{ кал} = 4{,}1868\text{ Дж}$ — верно
> Данный коэффициент перевода связывает внесистемную единицу калорию с джоулем.

**Какая из приведенных ниже единиц НЕ является единицей Международной системы СИ для величин, входящих в формулу $Q = cm(t_2 - t_1)$?**
- Градус Цельсия
- Килограмм
- Калория — верно
- Джоуль
> Калория является внесистемной исторической единицей измерения количества теплоты.

**Когда во второй половине XVIII века начинали проводить первые измерения количества теплоты, какие физические понятия еще НЕ были введены?**
- Масса и объём
- Плотность и температура
- Работа и энергия — верно
- Твёрдое и жидкое состояние
> В тот период понятия работы и энергии ещё не были сформулированы в физике.

**Если воде массой $250\text{ г}$ сообщают количество теплоты $2200\text{ кал}$, какой первый шаг необходимо сделать для вычисления изменения температуры в системах расчёта СИ?**
- Перевести количество теплоты из калорий в джоули — верно
- Разделить калории на массу в граммах без перевода
- Приравнять значение в калориях к градусам Цельсия
- Перевести массу из граммов в тонны
> Для расчётов по формуле с удельной теплоёмкостью в $\text{Дж}/(\text{кг}\cdot^\circ\text{C})$ теплоту следует перевести в СИ.

## Ключевые термины

- **Удельная теплоёмкость вещества** — Величина $c$ в формуле $Q = c m (t_2 - t_1)$, измеряется в $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$.
- **Тепловое равновесие** — Состояние, при котором температуры тел сравнялись; установившаяся температура смеси обозначается $t$.
- **Уравнение теплового баланса** — Математическое выражение закона сохранения энергии при теплообмене: $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$ в системе, не обменивающейся энергией с окружающей средой.

## Итог

- Нагревание: $Q = c m (t_2 - t_1)$, охлаждение: $Q = c m (t_1 - t_2)$. Скобка — всегда «больше минус меньше».
- $c$ измеряется в $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$, масса — в кг, $Q$ — в Дж.
- Уравнение теплового баланса: $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$ (система без обмена с окружающей средой).
- Конечная температура смеси $t$ лежит между начальными, и не обязательно посередине.
- Удельную теплоёмкость находят так: $c = \frac{Q}{m (t_2 - t_1)}$.

## Шпаргалка

### Формулы теплоты

- **$Q = c m (t_2 - t_1)$** — тело нагревается и получает теплоту
- **$Q = c m (t_1 - t_2)$** — тело остывает и отдаёт теплоту
- **$Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$** — тепловой баланс при теплообмене в закрытой системе
- **$c = \frac{Q}{m (t_2 - t_1)}$** — находим удельную теплоёмкость

### Величины и единицы

- **$Q$** — количество теплоты, Дж
- **$c$** — удельная теплоёмкость, $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$
- **$m$** — масса тела, кг
- **$t$** — температура теплового равновесия, °C
- **1 кал** — $4{,}1868$ Дж

### Задача на смешивание

1. **Кто отдаёт** — определи тела, у которых температура выше $t$
2. **Запиши $Q$** — для отдающего $c m (t_1 - t)$, для получающего $c m (t - t_1)$
3. **Баланс** — приравняй $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$
4. **Реши** — найди $t$ и проверь, что она между начальными

### Нагревание и охлаждение

| Признак | Нагревание | Охлаждение |
| --- | --- | --- |
| Теплота | получает | отдаёт |
| Скобка | $t_2 - t_1$ | $t_1 - t_2$ |
| Большая температура | конечная | начальная |

## Любопытное

- Калория (кал) — внесистемная единица количества теплоты: $1$ кал $= 4{,}1868$ Дж. Это теплота для нагревания 1 г воды на 1 °C.
- Из определения калории следует: 1 кг воды на 1 °C берёт около 4200 Дж, поэтому для воды берут $c = 4200$ $\text{Дж/(кг} \cdot {}^\circ\text{C)}$.