# Геометрические фигуры

Геометрия · 7 класс · Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/7/2-geometricheskie-figury

На этом уроке мы узнаем, что изучает планиметрия, познакомимся с точкой, окружностью и её радиусом, а также научимся правильно находить периметр и площадь прямоугольника.

## Чему научишься

- Разбираться, из каких простейших элементов (точек) состоят геометрические фигуры на плоскости, и узнавать окружность по её центру и радиусу.
- Различать понятия окружности, её центра и радиуса.
- Находить периметр и площадь прямоугольника по формуле $S = a \cdot b$ и использовать правильные единицы измерения.

## С чего начать

Представь, что тебе нужно огородить прямоугольный загон для кроликов и постелить внутри газонный ковёр. Забор продаётся в метрах, а ковёр — в квадратных метрах. Почему для одного и того же загона нужны совершенно разные единицы измерения?

## 1. Что изучают в геометрии: точки и фигуры на плоскости

Все видимые нам предметы имеют форму и размер. В геометрии их описывают с помощью плоских фигур. Раздел геометрии, который изучает такие фигуры, называется планиметрией.

**Планиметрия**

**Планиметрия** — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.

Из чего же складывается любое изображение или чертёж? Из самых элементарных частичек — точек.

**Точка**

**Точка** — простейшая и неделимая геометрическая фигура, из которой состоят другие фигуры.

**Геометрическая фигура**

**Геометрическая фигура** — любое множество точек.

**Аналогия с пикселями**

Точка в геометрии похожа на пиксель на экране смартфона. Сам пиксель неделим, но из миллионов пикселей собираются линии, фотографии и сложные фигуры.

*Рисунок: Примеры простейших геометрических фигур на плоскости*

**Способ запомнить**

Проверка себя: если можешь **пересчитать** объекты по отдельности (1, 2, 3 точки) — это фигуры из точек. Если объект — просто «россыпь точек без счёта» (например, целая закрашенная область), суть не меняется: это тоже множество точек, просто их бесконечно много.

**Проверь себя:** Является ли отдельная точка геометрической фигурой?
**Ответ:** Да, точка — это простейшая геометрическая фигура, состоящая из самой себя.

### Проверь себя

**На бумаге поставили пять точек в разных местах, не соединяя их линиями. Можно ли назвать получившийся рисунок геометрической фигурой?**
- Да — геометрическая фигура — это любое множество точек, а пять точек уже образуют такое множество — верно
- Нет — фигурой считается только замкнутый контур вроде окружности или многоугольника
- Нет — точки нужно сначала соединить отрезками, иначе это не фигура
- Да, но только если все пять точек лежат на одной прямой
> По определению геометрическая фигура — любое множество точек, значит и пять отдельно стоящих точек уже образуют фигуру.

## 2. Окружность: центр и радиус

Один из самых совершенных и симметричных контуров на плоскости — это окружность.

**Окружность**

**Окружность** — замкнутая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра.

**Центр окружности**

**Центр окружности** — точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.

**Радиус**

**Радиус** — расстояние от центра окружности до любой ее точки.

**Аналогия с колесом и циркулем**

Представь велосипедное колесо: втулка в середине — это центр, а металлические спицы — это радиусы. Сколько бы спиц ты ни измерил, их длина одинакова! А если вращать циркуль, ножка с иголкой будет центром, а расстояние между ножками — радиусом.

*Рисунок: Окружность, её центр и радиус*

**Пример: Расстояние от центра до точки на окружности**

1. Условие: Радиус окружности равен $5\text{ см}$. На каком расстоянии от центра находится точка $A$, лежащая на этой окружности?
2. Решение: По определению радиус — это расстояние от центра окружности до любой ее точки.
3. Ответ: Точка $A$ находится на расстоянии $5\text{ см}$ от центра.

**Способ запомнить**

Проверка себя: возьми линейку и измерь от центра до линии окружности в **двух разных местах** — числа обязаны совпасть. Не совпали — либо это не окружность, либо один из отрезков проведён не из центра.

**Проверь себя:** Если расстояние от центра до точки на линии окружности равно $7\text{ см}$, чему равен её радиус?
**Ответ:** Радиус равен $7\text{ см}$, так как все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра.

### Проверь себя

**Задира измерил на глаз расстояния между разными парами точек одной и той же окружности: получилось то 6 см, то 9 см. Значит ли это, что окружность начерчена неправильно?**
- Нет — одинаковым обязано быть только расстояние от КАЖДОЙ точки окружности до её центра, а расстояния между разными точками окружности друг с другом могут отличаться — верно
- Да — у настоящей окружности все точки должны быть на одинаковом расстоянии друг от друга
- Нет, но только если разница между 6 см и 9 см меньше радиуса
- Да, потому что радиус у одной окружности не может меняться
> Определение радиуса говорит про расстояние до ЦЕНТРА, а не про расстояние между точками самой окружности друг с другом — эти отрезки (хорды) закономерно разной длины.

## 3. Периметр и площадь прямоугольника: забор и газон

Когда нужно измерить геометрическую фигуру, важно различать её границу и её внутреннюю поверхность.

**Периметр**

**Периметр геометрической фигуры** — длина ее границы или сумма длин всех ее сторон.

**Площадь прямоугольника**

**Площадь прямоугольника** — величина, равная произведению двух его соседних сторон.

**Формула площади прямоугольника**

$S = a \cdot b$ — площадь прямоугольника, где $a$ и $b$ — длины его соседних сторон

**Обозначения и единицы измерения**

Обозначения: $P$ — периметр, $S$ — площадь. Единицы длины (для периметра и сторон): $\text{м}$ (метр), $\text{см}$ (сантиметр). Единицы площади: $\text{м}^2$ (квадратный метр), $\text{см}^2$ (квадратный сантиметр).

**Способ запомнить и самопроверка**

1. **Периметр (**$P$**)** — это забор вокруг участка: суммируем длину всех сторон по контуру.
2. **Площадь (**$S$**)** — это застилка пола квадратными плиточками $1 \times 1$: умножаем ширину на длину.
3. **Правило самопроверка:** Если просят найти площадь, ответ всегда должен быть в «квадратных» единицах (например, $\text{см}^2$), так как перемножаются две длины!

*Рисунок: Прямоугольник со сторонами a и b*

**Неправильно:** Площадь прямоугольника со сторонами $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$ равна $12\text{ см}$.
**Правильно:** Площадь прямоугольника со сторонами $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$ равна $12\text{ см}^2$. (Единицы площади обязательно квадратные!)

**Пример: Расчёт периметра и площади комнаты**

1. Условие: Длина комнаты прямоугольной формы $a = 6\text{ м}$, а ширина $b = 4\text{ м}$. Найдите её периметр и площадь.
2. Шаг 1: Найдём периметр $P$. У прямоугольника противоположные стороны равны: $P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20\text{ м}$.
3. Шаг 2: Найдём площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$. Подставляем значения: $S = 6 \cdot 4 = 24\text{ м}^2$.
4. Ответ: $P = 20\text{ м}$, $S = 24\text{ м}^2$.

**Проверь себя:** Стороны прямоугольника равны $5\text{ см}$ и $2\text{ см}$. Чему равна его площадь?
**Ответ:** $S = 5 \cdot 2 = 10\text{ см}^2$.

### Проверь себя

**Какова площадь прямоугольника со сторонами $5\text{ см}$ и $8\text{ см}$?**
- $26\text{ см}$
- $40\text{ см}^2$ — верно
- $40\text{ см}$
- $13\text{ см}^2$
> По формуле площади прямоугольника $S = a \cdot b = 5 \cdot 8 = 40\text{ см}^2$.

## Ключевые термины

- **Планиметрия** — Раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.
- **Точка** — Простейшая и неделимая геометрическая фигура, из которой состоят другие фигуры.
- **Геометрическая фигура** — Любое множество точек.
- **Окружность** — Замкнутая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра.
- **Центр окружности** — Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности.
- **Радиус** — Расстояние от центра окружности до любой ее точки.
- **Периметр** — Длина границы геометрической фигуры или сумма длин всех ее сторон.
- **Площадь прямоугольника** — Величина, равная произведению двух его соседних сторон.

## Итог

- Планиметрия изучает фигуры на плоскости, а любая фигура состоит из точек.
- Окружность — замкнутая линия, все точки которой удалены от центра на одинаковое расстояние — радиус.
- Периметр $P$ — длина границы фигуры (сумма длин всех сторон), измеряется в м или см.
- Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ показывает размер поверхности и измеряется в м² или см².

## Шпаргалка

### Краткая шпаргалка по теме «Геометрические фигуры»

- **Планиметрия** — геометрия на плоскости.
- **Точка** — простейшая неделимая фигура.
- **Окружность**: замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра на расстояние, равное **радиусу**.
- **Периметр (**$P$**)**: длина границы (сумма сторон). Единицы: $\text{м}$, $\text{см}$.
- **Площадь прямоугольника (**$S$**)**: $S = a \cdot b$. Единицы: $\text{м}^2$, $\text{см}^2$.

## Любопытное

- Слово «периметр» происходит от греческих слов «пери» (вокруг) и «метрео» (измеряю) — буквально «измерение вокруг»!
- У окружности бесконечно много осей симметрии — она совпадает сама с собой при повороте вокруг центра на ЛЮБОЙ угол. Для сравнения: у квадрата это получается только при повороте на 90°, 180°, 270° и 360° — и ни при каком другом угле.