# Точка, прямая, плоскость

Геометрия · 7 класс · Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/7/3-tochka-pryamaya-ploskost

Точка, прямая и плоскость — фигуры, которые нельзя определить через что-то ещё, потому что они самые простые. Разберёмся, как ими пользуются на бумаге, на местности и даже на глобусе.

## Чему научишься

- Объяснишь, почему точку, прямую и плоскость нельзя определить через что-то ещё проще, и дашь для каждой рабочую модель-образ.
- Сформулируешь аксиому «через любые две точки проходит только одна прямая» и применишь её, чтобы объяснить проверку линейки на прямоту.
- Отличишь обычную прямую от геодезической линии и объяснишь, почему самолёты летят по дугам, а не по прямым на плоской карте.

## С чего начать

Самолёт из Москвы в Нью-Йорк на плоской карте летит не по прямой, а по изогнутой дуге через Арктику. Пилот заблудился — или прямая линия на глобусе выглядит совсем не так, как на карте?

## 1. Точка — то, что нельзя определить проще

*Элементарные фигуры и первая из них*

В геометрии есть фигуры, которые невозможно объяснить через что-то ещё более простое — им просто неоткуда взяться из более элементарных понятий.

Элементарные фигуры — простые фигуры, которые невозможно определить через другие фигуры (к ним относят точку, прямую и плоскость).

Раз определить «через что-то попроще» нельзя, для элементарных фигур в геометрии поступают иначе: их поясняют через знакомый образ из жизни, а дальше просто договариваются, как ими пользоваться.

Точка — математическая модель предмета, размерами которого можно пренебречь.

Пылинка, укол иглой, кончик заточенного карандаша, звезда на ночном небе — всё это в жизни имеет крошечный, но реальный размер. Математическая точка размера не имеет вообще: она — просто договорённость о ПОЛОЖЕНИИ, а не о форме или величине. Кружок или засечка, которые рисуют на бумаге, — только пометка, чтобы глазу было за что зацепиться.

*Рисунок: Иллюстрация к понятию точки из учебника*

Точки принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C, D. Так на чертеже вместо «вон та точка слева» можно сказать коротко — «точка A».

**Как запомнить точку**

Правило самопроверки: если у объекта на чертеже вообще нет ни длины, ни ширины — только положение, — перед тобой точка. Как только появляется хоть какая-то протяжённость (пусть даже короткая чёрточка), это уже не точка, а часть отрезка или прямой.

**Проверь себя:** У укола булавкой на бумаге есть крошечный, но реальный диаметр. Является ли этот укол математической точкой?
**Ответ:** Нет — это лишь физическая пометка размером с укол иглой. Математическая точка вообще не имеет размера, укол — только её грубое изображение на бумаге.

### Проверь себя

**Элементарные фигуры (точка, прямая, плоскость) нельзя определить через другие фигуры. Что это значит на практике?**
- Их описывают через сравнение со знакомыми образами (нить, поверхность), а не через ещё более простые фигуры — таких в геометрии просто нет — верно
- Их вообще нельзя нарисовать на бумаге
- Их изучают только в 11 классе, а не в 7-м
- У них нет обозначений буквами
> Раз более простых фигур не существует, точку, прямую и плоскость поясняют через бытовой образ, а не выводят из чего-то ещё элементарного.

**Точку на бумаге всегда рисуют как маленький кружок или засечку, хотя у математической точки нет ни длины, ни ширины. Как это соотносится с определением точки?**
- На самом деле у точки есть очень маленький, но ненулевой размер
- Кружок на бумаге — грубая модель: он лишь показывает положение точки, а не передаёт размер, которого попросту нет — верно
- Рисовать точки неправильно, их можно только называть буквами
- Размер кружка зависит от того, каким карандашом его рисуют
> Кружок — условный значок для глаза; сама точка как математический объект размера не имеет вовсе.

## 2. Прямая: одна и только одна

*Модель, аксиома и проверка линейки*

Прямая — математическая модель натянутой нити, верёвки или луча света.

Если туго натянуть нить между двумя вбитыми в землю колышками, она ляжет по кратчайшему пути и не будет провисать ни в одну сторону — это и есть образ прямой.

**Первая аксиома прямой**

Через любые две точки на плоскости проходит только одна прямая.

**Гвоздь, гвоздь и нитка**

Вбей в доску два гвоздя и натяни между ними нитку — она ляжет только одним-единственным способом, сколько бы раз ты её ни перетягивал. Так же ведёт себя и лазерная указка: направь луч из точки A в точку B — линия одна, второй такой не найти. Это и есть аксиома в действии: два ориентира однозначно задают одну прямую, ни капли свободы для второй не остаётся.

*Рисунок: Прямая, проходящая через две отмеченные точки*

**Как запомнить аксиому**

Правило самопроверки: если для одних и тех же двух точек у тебя на чертеже получились как будто ДВЕ разные прямые — ищи ошибку. По аксиоме их обязано быть ровно столько же, сколько один: одна прямая на пару точек, ни каплей больше.

На местности прямую линию проводят похожим способом — через вехи.

Провешивание прямой — способ проведения прямой линии на местности с помощью вех (или оптических/лазерных приборов).

*Рисунок: Провешивание прямой на местности с помощью вех*

**Пример: Как аксиома помогает проверить линейку на прямоту**

1. Отметь на бумаге две точки A и B.
2. Приложи край линейки к обеим точкам и проведи по нему линию — от A до B.
3. Переверни линейку тем же краем и снова приложи её к точкам A и B.
4. Проведи вторую линию через те же точки A и B.
5. Если край линейки действительно прямой, обе проведённые линии совпадут: через A и B проходит только одна прямая (аксиома), и второй линии просто неоткуда взяться.
6. Если линии разошлись — край линейки неровный, а не прямой.

**Проверь себя:** Через одну-единственную точку A можно провести бесконечно много прямых. Не противоречит ли это первой аксиоме прямой?
**Ответ:** Нет: аксиома говорит про ДВЕ точки — их прямая единственна. Через одну точку прямых действительно бесконечно много, это разные условия.

### Проверь себя

**Землемер вбил в землю два колышка и туго натянул между ними нить. Сколько разных прямых линий пройдёт через эти две точки, если нить абсолютно прямая?**
- Ровно одна — верно
- Две — в обе стороны от нити
- Бесконечно много, в зависимости от натяжения
- Ни одной, натянутая нить не считается прямой
> Через две точки на плоскости проходит только одна прямая — это и есть первая аксиома прямой.

**Чтобы проверить, действительно ли ровный край линейки прямой, по нему проводят линию, затем переворачивают линейку и проводят линию ещё раз через те же две точки. Если край и правда прямой, что должно произойти?**
- Вторая линия обязательно окажется короче первой, чем бы ты ни чертил
- Линии пересекутся ровно в одной новой точке где-то посередине
- Проверка вообще ничего не покажет — линейку так не проверяют
- Обе линии совпадут, потому что через две точки можно провести только одну прямую — верно
> Если край линейки прямой, любая проведённая по нему через A и B линия — та же самая единственная прямая, поэтому линии совпадут.

## 3. Плоскость и геодезическая линия

*От школьной тетради до глобуса*

Плоскость — математическая модель ровной поверхности. Поверхность считают плоскостью, если прямая, проходящая через любые две её точки, целиком лежит на этой поверхности.

*Рисунок: Иллюстрация плоскости из учебника*

**Как проверить и запомнить плоскость**

Правило самопроверки: приложи линейку к поверхности в любых двух точках. Линия каждый раз ложится на неё целиком, не приподнимаясь и не «проваливаясь», — поверхность плоская. У мятого листа бумаги или у шара такой фокус не пройдёт.

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, лежащих в одной плоскости.

Весь курс геометрии 7 класса — это в основном планиметрия: треугольники, углы, окружности на листе бумаги. Объёмные тела (кубы, шары, пирамиды) изучает уже другой раздел — стереометрия, и до неё дело дойдёт позже.

Свойство прямой линии — прямая линия проходит по самому короткому пути между любыми двумя своими точками.

А что если поверхность не плоская, а изогнутая — например, поверхность глобуса? Тогда обычная прямая линия (например, прочерченная линейкой сквозь толщу Земли) уже не лежит на поверхности — она уходит внутрь шара. Но у кратчайшего пути ПО ПОВЕРХНОСТИ есть своё название.

Геодезическая линия — линия, представляющая собой кратчайший маршрут между двумя точками на данной поверхности.

*Рисунок: Геодезическая линия на глобусе — дуга большого круга между двумя городами*

**Нитка на глобусе**

Возьми настоящий глобус и нитку. Растяни нитку туго по ЕГО ПОВЕРХНОСТИ между двумя городами, не протыкая шар иголкой напрямую. Нитка сама ляжет вдоль дуги большого круга — кратчайшего пути по поверхности. Именно по такой дуге и летают самолёты дальних рейсов: на плоской карте маршрут выглядит изогнутым, а на самом глобусе это самый короткий из возможных путей.

**Как запомнить геодезическую линию**

Опорное правило: геодезическая линия — это то, во что превращается «кратчайший путь», когда поверхность перестаёт быть плоской. На плоскости кратчайший путь — обычная прямая; на шаре — дуга большого круга; название меняется, а идея («самый короткий путь по самой поверхности») остаётся одной и той же.

**Почему прямая линия на карте — не кратчайший путь на глобусе**

Плоские карты искажают шарообразную поверхность Земли — это неизбежно, как ни расплющивай мандариновую кожуру, она не ляжет идеально ровно. Прямая линия, проведённая линейкой на такой карте, кратчайшим маршрутом на реальном глобусе почти никогда не будет. Кратчайшим будет именно дуга большого круга — геодезическая линия.

**Проверь себя:** На плоской карте мира линия экватора — прямая горизонтальная черта. Является ли экватор геодезической линией на глобусе?
**Ответ:** Да: экватор — окружность, делящая шар ровно пополам (большой круг), поэтому дуга по экватору между двумя его точками — кратчайший путь по поверхности, то есть геодезическая линия.

### Проверь себя

**На большинстве плоских карт маршрут самолёта Москва — Нью-Йорк выглядит изогнутой дугой, а не прямой линией. Это ошибка навигатора?**
- Да, правильный маршрут — прямая линия точно по линейке на карте
- Нет, самолёты специально летят дальше, чтобы сэкономить топливо
- Нет: это геодезическая линия — кратчайший путь по поверхности шара, который на плоской карте неизбежно искажается в дугу — верно
- Нет, это просто ошибка печати на карте
> Кратчайший путь по поверхности шара — геодезическая линия (дуга большого круга); при переносе на плоскую карту она искажается и выглядит дугой.

**Планиметрия занимается фигурами, лежащими в одной плоскости. Какой из примеров НЕ относится к планиметрии?**
- Треугольник, начерченный на листе бумаги
- Объём пирамиды с квадратным основанием — верно
- Окружность на школьной доске
- Угол между двумя прямыми на чертеже
> Объём — характеристика пространственного тела, а не плоской фигуры; такими телами занимается стереометрия, не планиметрия.

## Ключевые термины

- **Элементарные фигуры** — Простые фигуры, которые невозможно определить через другие фигуры (точка, прямая, плоскость).
- **Точка** — Математическая модель предмета, размерами которого можно пренебречь.
- **Прямая** — Математическая модель натянутой нити, верёвки или луча света.
- **Первая аксиома прямой** — Через любые две точки на плоскости проходит только одна прямая.
- **Провешивание прямой** — Способ проведения прямой линии на местности с помощью вех (или оптических/лазерных приборов).
- **Плоскость** — Математическая модель ровной поверхности. Поверхность считают плоскостью, если прямая, проходящая через любые две её точки, целиком лежит на этой поверхности.
- **Планиметрия** — Раздел геометрии, изучающий свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, лежащих в одной плоскости.
- **Геодезическая линия** — Линия, представляющая собой кратчайший маршрут между двумя точками на данной поверхности.

## Итог

- Точка, прямая и плоскость — элементарные фигуры: их нельзя определить через что-то ещё более простое, только через знакомый образ.
- Первая аксиома прямой: через любые две точки на плоскости проходит только одна прямая — на ней держится, например, проверка линейки на прямоту.
- Плоскость — поверхность, на которой целиком лежит прямая, проведённая через любые две её точки; фигуры на плоскости изучает планиметрия.
- Геодезическая линия обобщает свойство прямой (кратчайший путь) на любую поверхность — на глобусе это дуга большого круга, а не прямая с плоской карты.

## Шпаргалка

- Элементарные фигуры (точка, прямая, плоскость) нельзя определить через другие фигуры.
- Точка — модель предмета без размера; обозначается заглавной буквой (A, B, C).
- Прямая — модель натянутой нити; обозначается строчной буквой (a) или записью через две точки: AB или (AB) — обе формы верны.
- Первая аксиома прямой: через любые две точки проходит только одна прямая.
- Провешивание — проведение прямой на местности с помощью вех или лазерных приборов.
- Плоскость: прямая через любые две её точки целиком лежит на ней. Планиметрия изучает плоские фигуры.
- Свойство прямой: кратчайший путь между двумя точками. На искривлённой поверхности эту роль играет геодезическая линия.

## Любопытное

- Слово «геодезия» и термин «геодезическая линия» происходят от того же корня, что и «геометрия» — оба восходят к древнегреческому «гео» («земля»).
- Пилоты дальних авиарейсов действительно прокладывают маршрут по дуге большого круга — именно поэтому рейс из Москвы в Лос-Анджелес пролетает над Северным полюсом, хотя на плоской карте это кажется огромным крюком.