# Две прямые на плоскости

Геометрия · 7 класс · Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/7/4-dve-pryamye-na-ploskosti

Разберёмся, что бывает, когда на плоскости встречаются две прямые: расходятся навсегда или пересекаются — и почему пересечься дважды у них не получится. А заодно посчитаем, сколько точек пересечения дадут сразу много прямых.

## Чему научишься

- Отличишь параллельные прямые от пересекающихся и объяснишь, почему две прямые не могут пересечься дважды.
- Различишь аксиому и теорему и разберёшь доказательство «от противного» на конкретном примере.
- Посчитаешь по формуле n(n-1)/2, сколько точек пересечения дадут n прямых и сколько прямых пройдёт через n точек.

## С чего начать

Рельсы двух путей на вокзале никогда не встречаются, а две трамвайные линии в городе почти всегда пересекаются. А может ли пара прямых сначала пересечься, потом разойтись — а дальше снова сойтись во второй точке?

## 1. Параллельные и пересекающиеся

*Два способа, которыми могут вести себя две прямые*

Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не имеют общих точек.

Пересекающиеся прямые — прямые на плоскости, имеющие только одну общую точку.

*Рисунок: Параллельные и пересекающиеся прямые*

Для двух РАЗЛИЧНЫХ прямых на плоскости третьего варианта нет: либо у них вообще нет общих точек (параллельны), либо есть ровно одна (пересекаются). Провести две различные прямые так, чтобы они сначала пересеклись, потом разошлись, а потом снова сошлись, — невозможно, и на это есть теорема. (Если же речь не о двух разных прямых, а об одной и той же прямой, начерченной как будто дважды, — общих точек у неё с собой, конечно, бесконечно много: это уже не пересечение, а полное совпадение.)

**Теорема о пересечении прямых**

Две прямые на плоскости могут пересекаться не более чем в одной точке.

**Рельсы и трамвайные пути**

Прямые рельсы — как две линейки, приложенные к столу: если они не идут строго бок о бок (не параллельны), то соприкоснутся ровно в одной точке и разойдутся навсегда в обе стороны. Второй раз столкнуться им попросту негде — прямая не умеет заворачивать обратно к уже пройденному месту.

*Рисунок: Две прямые пересекаются не более чем в одной точке*

**Как запомнить и проверить**

Правило самопроверки: насчитал у пары прямых на чертеже ДВЕ общие точки? Не бывает — либо ты ошибся в построении, либо это на самом деле одна и та же прямая, а не две разные.

А вот через ОДНУ точку, наоборот, прямых можно провести сколько угодно.

**Теорема о прямых через точку**

Через данную точку плоскости можно провести любое число прямых.

*Рисунок: Пучок прямых, проходящих через одну точку*

**Одна точка — или две: сколько прямых пройдёт**

| Условие | Сколько прямых | Почему |
| --- | --- | --- |
| Через ОДНУ точку | Бесконечно много | Ничто не ограничивает направление прямой, кроме единственной точки, через которую она проходит |
| Через ДВЕ различные точки | Ровно одна | Направление уже задано самими точками — первая аксиома прямой |

**Пример: Определи по чертежу: прямые a и b параллельны или пересекаются**

1. Посмотри, есть ли у прямых a и b хотя бы одна общая точка на чертеже (или при мысленном продолжении в обе стороны).
2. Если общей точки нет и не появится, сколько ни продолжай прямые в обе стороны, — прямые параллельны.
3. Если общая точка есть — отметь её; по теореме такая точка ровно одна, второй у этой же пары прямых не найдётся.
4. Проверка: если тебе кажется, что нашлось ДВЕ общие точки — пересмотри чертёж, скорее всего, это одна и та же прямая, изображённая дважды.

**Проверь себя:** Через точку A провели 100 разных прямых. Можно ли провести ещё одну?
**Ответ:** Да: через данную точку плоскости можно провести любое число прямых, ограничения по количеству нет.

### Проверь себя

**На плоскости есть две прямые. Как понять, что они параллельны, а не пересекаются?**
- У них нет ни одной общей точки, сколько бы их ни продолжать — верно
- Они обязательно образуют прямой угол ровно в девяносто градусов между собой
- Они находятся на разном расстоянии от начала координат
- Одна из них короче другой
> Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не имеют общих точек, независимо от того, как далеко их продолжать.

**Через одну и ту же точку A на плоскости провели пять разных прямых. Сколько ещё прямых через эту точку теоретически можно провести?**
- Ни одной больше — через точку проходит ровно 5 прямых
- Ещё сколько угодно — через данную точку можно провести любое число прямых — верно
- Ещё максимум одну
- Это зависит от того, есть ли рядом другая точка
> Теорема: через данную точку плоскости можно провести любое число прямых — ограничения на количество нет.

## 2. Аксиома, теорема и доказательство «от противного»

*Как из уже известного логически получают новое*

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства.

Теорема — утверждение, которое строго доказывается с опорой на аксиомы и ранее доказанные теоремы.

*Рисунок: Фундамент и этаж дома — образ аксиомы и теоремы*

**Фундамент и этаж**

Аксиома — как фундамент дома: его просто закладывают, ничем снизу не подпирая, и дальше не оспаривают. Теорема — этаж, построенный НА фундаменте: он держится только потому, что под ним есть опора (аксиомы и уже доказанные теоремы), и это можно строго проверить.

**Как запомнить разницу**

Опорное слово: аксиома — «принимаем», теорема — «доказываем». Если тебя просят ДОКАЗАТЬ факт — это теорема; если факт даётся без доказательства, как исходная договорённость, — аксиома.

Один из самых красивых способов доказывать теоремы — доказательство «от противного».

Доказательство «от противного» (от противоположного) — метод доказательства, при котором исходят из предположения, что нужные утверждения неверны, и логическим путём получают противоречие с аксиомами или теоремами.

**Как запомнить метод «от противного»**

Опорный образ — «поймать на лжи»: сначала веришь предположению-обманщику («допустим, неверно»), затем находишь в его словах нестыковку с уже известными фактами — и обманщик проваливается. Значит, права была ИСХОДНАЯ мысль, а не та, что ты временно допустил.

**Пример: Доказываем «от противного»: две прямые пересекаются не более чем в одной точке**

1. Предположим противное: пусть прямые a и b — РАЗНЫЕ прямые, но пересекаются сразу в двух точках, назовём их M и N.
2. Тогда через точки M и N проходят сразу две прямые — a и b.
3. Но по первой аксиоме прямой через любые две точки проходит только ОДНА прямая.
4. Получили противоречие: a и b обязаны совпасть, то есть на самом деле это одна и та же прямая, а не две разные — а мы предполагали, что они разные.
5. Значит, исходное предположение неверно, и две различные прямые не могут иметь двух общих точек: они пересекаются не более чем в одной.

*Рисунок: Иллюстрация к доказательству теоремы о пересечении прямых*

Кроме теорем, у прямой есть и более тонкие аксиомы, которые кажутся очевидными, но их всё равно нужно проговорить отдельно — иначе доказательства держались бы на «на глаз видно», а не на строгой логике.

**Аксиома Гильберта: точка на прямой и вне её**

Для любой прямой на плоскости всегда можно взять точку, которая лежит на этой прямой, и точку, которая не лежит на ней.

**Аксиома Гильберта: точка между точками**

Между любыми двумя точками на прямой всегда можно взять ещё одну точку.

Вторая из этих аксиом означает, что на любом отрезке прямой точек бесконечно много: сколько бы ты ни нашёл новую точку между двумя соседними, между ней и любой из исходных снова найдётся ещё одна — и так без конца.

**Проверь себя:** Верно ли, что аксиому Гильберта о точке между точками нужно доказывать, как теорему?
**Ответ:** Нет — это аксиома, её принимают без доказательства, как договорённость о свойствах прямой.

### Проверь себя

**В геометрии аксиому и теорему часто путают. В чём разница между ними?**
- Аксиома — это всегда формула, а теорема — только текст
- Теоремы формулируют раньше аксиом
- Аксиому принимают без доказательства, а теорему строго доказывают, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы — верно
- Разницы нет, это два названия одного и того же
> Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства; теорема — то, что строго доказывается с опорой на аксиомы и ранее доказанные теоремы.

**В доказательстве «от противного» сначала предполагают, что верно утверждение, обратное тому, что нужно доказать. Что делают дальше?**
- Сразу считают исходное утверждение доказанным
- Логически выводят из этого предположения противоречие с уже известными аксиомами или теоремами — и тем самым опровергают само предположение — верно
- Ищут числовой пример, подтверждающий обратное утверждение
- Спрашивают мнение большинства учеников класса
> Суть метода: из предположения «неверно» логически получают противоречие, а значит, предположение ложно и верно исходное утверждение.

## 3. Считаем прямые и точки пересечения

*Формула n(n-1)/2 — и рукопожатия на вечеринке*

Одна пара прямых даёт максимум одну точку пересечения. А сколько точек получится, если на плоскости провести сразу много прямых так, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

**Наибольшее число точек пересечения n прямых**

Формула наибольшего числа точек пересечения n прямых на плоскости: N = 1 + 2 + ... + (n - 1) = n * (n - 1) / 2.

**Рукопожатия на вечеринке**

Представь вечеринку из n гостей, где каждый жмёт руку каждому ровно один раз. Число рукопожатий — это в точности число ПАР гостей, а не сумма чьих-то отдельных действий. У прямых то же самое: каждая пара прямых общего положения даёт ровно одну точку пересечения, и всего таких пар n(n-1)/2 — столько же, сколько рукопожатий.

*Рисунок: Несколько прямых общего положения и точки их пересечения*

**Опорное число для самопроверки**

Запомни маленький случай: 3 прямые общего положения (как три стороны треугольника) дают ровно 3 точки пересечения. Если для n=3 по твоим расчётам вышло не 3 — где-то ошибка в формуле или в счёте.

**Пример: Сколько точек пересечения дадут 4 прямые общего положения**

1. Первая прямая пересечений ни с кем ещё не дала — она одна.
2. Вторая прямая пересекает первую — плюс 1 точка (итого 1).
3. Третья прямая пересекает и первую, и вторую — плюс 2 точки (итого 1 + 2 = 3).
4. Четвёртая прямая пересекает все три предыдущие — плюс 3 точки (итого 1 + 2 + 3 = 6).
5. Проверка по формуле: N = 4 × 3 / 2 = 6 — совпадает.

**Почему 1 + 2 + ... + (n-1) равно n(n-1)/2**

Запиши сумму дважды: один раз по возрастанию (1, 2, ..., n-1), второй раз по убыванию (n-1, n-2, ..., 1), и сложи пары друг под другом. Каждая пара в сумме даёт одно и то же число — n. Пар всего n-1, значит удвоенная сумма равна (n-1) × n, а сама сумма — n(n-1)/2. Этим приёмом, по легенде, ещё в детстве пользовался Гаусс.

Похожий вопрос можно задать наоборот: сколько прямых потребуется, чтобы соединить между собой n точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой?

**Число прямых через n точек**

Формула числа прямых через n точек (никакие три не лежат на одной прямой): N = n * (n - 1) / 2.

*Рисунок: Прямые, соединяющие каждую пару из нескольких точек*

**Опорное число для самопроверки**

Тот же маленький случай наоборот: 3 точки (не на одной прямой) дают ровно 3 прямые — стороны треугольника. Формула для точек и для прямых работает одинаково, потому что это одна и та же задача про число пар.

**Одна и та же формула — для разных объектов**

| Что считаем | Формула | На 5 объектах |
| --- | --- | --- |
| Точки пересечения n прямых общего положения | n(n-1)/2 | 5 прямых → 10 точек |
| Прямые через n точек (никакие 3 не на одной) | n(n-1)/2 | 5 точек → 10 прямых |

**Проверь себя:** Почему формулы для «точек пересечения n прямых» и «прямых через n точек» выглядят одинаково?
**Ответ:** Потому что в обоих случаях считают число способов выбрать пару из n объектов — прямых или точек, — а таких пар всегда n(n-1)/2.

### Проверь себя

**На плоскости провели 5 прямых общего положения (никакие две не параллельны, никакие три не проходят через одну точку). Сколько точек пересечения получится по формуле N = n(n-1)/2?**
- 10 — верно
- 20
- 5
- 25
> N = 5 × 4 / 2 = 10 — именно столько точек пересечения дадут 5 прямых общего положения.

**На плоскости отметили 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько разных прямых можно провести через все их пары?**
- 6
- 15 — верно
- 12
- 36
> N = 6 × 5 / 2 = 15 — столько же, сколько «рукопожатий» получилось бы у шести человек на вечеринке, где каждый пожал руку каждому ровно один раз.

## Ключевые термины

- **Параллельные прямые** — Прямые на плоскости, которые не имеют общих точек.
- **Пересекающиеся прямые** — Прямые на плоскости, имеющие только одну общую точку.
- **Аксиома** — Утверждение, принимаемое без доказательства.
- **Теорема** — Утверждение, которое строго доказывается с опорой на аксиомы и ранее доказанные теоремы.
- **Доказательство «от противного»** — Метод доказательства, при котором исходят из предположения, что нужное утверждение неверно, и логическим путём получают противоречие с аксиомами или теоремами.

## Итог

- Две прямые на плоскости либо параллельны (общих точек нет), либо пересекаются — и тогда общая точка ровно одна, дважды пересечься нельзя.
- Аксиому принимают без доказательства, теорему строго доказывают из аксиом; доказательство «от противного» получает противоречие из неверного предположения.
- Аксиомы Гильберта уточняют очевидные на вид свойства прямой: на ней есть и точки вне её, и бесконечно много точек между любыми двумя.
- Формула n(n-1)/2 считает число способов выбрать пару объектов — она даёт и наибольшее число точек пересечения n прямых, и число прямых через n точек.

## Шпаргалка

- Параллельные прямые: общих точек нет. Пересекающиеся: общая точка ровно одна.
- Теорема: две прямые пересекаются не более чем в одной точке (доказывается от противного через аксиому «через 2 точки — 1 прямая»).
- Через одну точку можно провести любое число прямых.
- Аксиома — без доказательства; теорема — доказывается из аксиом.
- Аксиомы Гильберта: у прямой есть точки вне её; между любыми двумя точками прямой есть ещё одна.
- N = n(n-1)/2 — и наибольшее число точек пересечения n прямых, и число прямых через n точек (никакие 3 не на одной).

## Любопытное

- Приём «сложить сумму дважды — по возрастанию и по убыванию», который выводит формулу n(n-1)/2, приписывают маленькому Карлу Гауссу: по легенде, он так почти мгновенно сложил числа от 1 до 100 в начальной школе.
- Давид Гильберт в конце XIX века переписал систему аксиом Евклида заново, потому что у самого Евклида нашлись логические пробелы, которые тот считал «очевидными» и не проговорил — например, что между двумя точками на прямой всегда есть ещё одна.