# Отрезки и лучи

Геометрия · 7 класс · Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/7/5-otrezki-i-luchi

Отрезок и луч — родственники прямой, но со своими правилами. Разберёмся, что значит «точка лежит между», как измеряют длину отрезка и почему её можно отложить от начала луча только одним способом.

## Чему научишься

- Определишь, какая из трёх точек прямой лежит между двумя другими, и объяснишь, зачем это отдельно проговаривать аксиомой.
- Отличишь отрезок от луча и запишешь их обозначения ([AB], [OA)).
- Применишь аксиомы длины отрезка (AC + BC = AB и единственность откладывания) для решения задач на отрезки.

## С чего начать

Тебе дали линейку без единой отметки — просто ровную деревянную планку без цифр. Можно ли ей вообще хоть как-то измерить длину стола?

## 1. Точки на прямой: кто между кем

*Отрезок и луч рождаются из идеи «между»*

Если на прямой отметить три точки, на глаз сразу видно, какая из них лежит посередине. Но «на глаз видно» — не аргумент для доказательств, поэтому у геометрии на этот счёт есть отдельная аксиома.

Вторая аксиома прямой: из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.

*Рисунок: На окружности понятие «между» неоднозначно — иллюстрация к тому, почему аксиома говорит именно о прямой*

**Почему аксиома работает только на прямой**

На окружности с тремя точками всё иначе: канон не определяет для окружности понятие «между», и не случайно — глядя на три точки на окружности, нельзя однозначно назвать одну из них «лежащей между» двумя другими: смотря в какую сторону обходить окружность, «средней» покажется то одна, то другая точка. Именно поэтому аксиома специально уточняет «на одной прямой»: только там понятие «между» однозначно, без выбора направления обхода.

Отрезок AB: все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.

Луч (полупрямая): все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.

*Рисунок: Точки А и В лежат на прямой «по одну сторону» от точки О*

**Как запомнить: отрезок, луч, прямая**

Способ запомнить — посчитай «хозяев»-концов, которые ПРИНАДЛЕЖАТ фигуре: у отрезка их два (оба конца), у луча один (начало), у прямой — ни одного. Чем меньше хозяев, тем длиннее фигура: отрезок конечен, луч бесконечен в одну сторону, прямая — в обе.

Обозначают эти фигуры так: [AB] или [BA] — отрезок с концами в точках A и B; [OA) — луч с началом в точке O, проходящий через точку A; (AB) — прямая линия, проходящая через точки A и B. Квадратная скобка у точки означает «эта точка принадлежит фигуре», круглая у луча — «дальше фигура не ограничена».

**Проверь себя:** У отрезка [AB] и у прямой (AB) — общие точки A и B, но чем отрезок отличается от прямой?
**Ответ:** Отрезок ограничен точками A и B и содержит только точки между ними; прямая (AB) продолжается через A и B в обе стороны бесконечно.

### Проверь себя

**На прямой отмечены точки A, B и C так, что точка B лежит между A и C. Может ли одновременно точка A лежать между B и C?**
- Нет — согласно второй аксиоме прямой, из трёх точек одной прямой только одна лежит между двумя другими — верно
- Да, обе точки вполне могут одновременно лежать между двумя другими, если очень аккуратно и точно начертить всю прямую целиком
- Это целиком зависит от того, как именно их начертили на бумаге
- Да, но только если отрезок AC получился очень длинным
> Вторая аксиома прямой гарантирует, что из трёх точек одной прямой ровно одна лежит между двумя другими — сразу две точки этой роли занимать не могут.

**На окружности отметили три точки. Можно ли однозначно сказать, какая из них лежит «между» двумя другими — так же, как на прямой?**
- Да, средняя по расположению точка всегда лежит между остальными
- Нет — на окружности нет одной выделенной точки между двумя другими, эта аксиома работает только для точек на одной прямой — верно
- Да, если считать все три точки строго по часовой стрелке
- Да, между — всегда та точка, что ближе всего к центру окружности
> На окружности любую из трёх точек можно назвать «между» двумя другими в зависимости от направления обхода — однозначности нет, в отличие от прямой.

## 2. Три аксиомы длины отрезка

*Как измеряют отрезки и почему это всегда однозначно*

Длина отрезка: число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.

**Первая аксиома отрезков**

Первая аксиома отрезков: каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.

*Рисунок: Отрезок, принятый за единицу длины, укладывается вдоль измеряемого отрезка*

Именно поэтому неразмеченной линейкой стол всё-таки можно измерить: достаточно принять саму линейку за единицу длины и посчитать, сколько раз она целиком уложится вдоль стола. Если линейка уложилась ровно, число уложений и есть точная длина стола — только не в метрах, а в «линейках». А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, его длину неразмеченной линейкой уже не измеришь так же точно — можно только прикинуть на глаз или уточнить, сложив линейку пополам и приложив половину.

**Как запомнить первую аксиому**

Опорное правило: единица длины — это ДОГОВОРЁННОСТЬ, а не природная константа. Смени единицу измерения — число изменится, а сам отрезок останется тем же самым куском прямой.

**Как запомнить: a > 0**

a > 0 (длина любого отрезка больше нуля). Способ самопроверки: если в решении задачи получилась отрицательная или нулевая длина — это верный признак ошибки в вычислениях, а не необычный ответ.

**Вторая аксиома отрезков: сложение длин**

AC + BC = AB (для любой точки C, принадлежащей отрезку AB)

**Дорога через контрольный пункт**

Представь прямую дорогу от дома (A) до школы (B) с ларьком (C) ровно на этом пути. Расстояние от дома до ларька плюс расстояние от ларька до школы всегда равно расстоянию от дома до школы напрямую — но только если ларёк стоит РОВНО на дороге, а не в стороне. У отрезка то же самое: если C принадлежит отрезку AB, то AC + CB = AB.

*Рисунок: Точка C между точками A и B на отрезке AB*

**Правило самопроверки для AC + CB = AB**

Посчитал AC и CB по отдельности — их сумма ОБЯЗАНА дать ровно AB. Не сошлось: либо точка C на самом деле не лежит на отрезке AB, либо где-то ошибка в измерении или вычислении.

**Пример: Отрезок AB = 12 см, точка C делит его так, что AC = 5 см. Найди CB**

1. По второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB.
2. Подставляем известное: 5 + CB = 12.
3. CB = 12 − 5 = 7 см.

**Третья аксиома отрезков: единственность откладывания**

На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.

**Рулетка с одним закреплённым концом**

Закрепи конец рулетки в точке O и вытяни ленту ровно на 5 см — конец окажется в одной-единственной точке: назад лента не пойдёт и длиннее 5 см сама себя не сделает. Отложить от того же начала отрезок другой длины — другая точка, но снова только одна.

*Рисунок: Откладывание отрезка заданной длины на луче от его начала*

**Правило самопроверки для третьей аксиомы**

Одна и та же длина, отложенная от ОДНОГО и того же начала в ОДНУ и ту же сторону, — всегда одна и та же точка. Получил на бумаге две разные точки — проверь, не отложил ли ты их в разные стороны или от разных начал.

**Проверь себя:** Отрезок AB = 20 см, точка C принадлежит ему, AC = 14 см. Чему равна CB?
**Ответ:** CB = AB − AC = 20 − 14 = 6 см (по второй аксиоме отрезков: AC + CB = AB).

### Проверь себя

**Точка C принадлежит отрезку AB, при этом AC = 9 см, а AB = 14 см. Чему равна CB?**
- 23 см
- 9 см
- 5 см — верно
- 14 см
> По второй аксиоме отрезков AC + CB = AB, значит CB = 14 − 9 = 5 см.

**На луче с началом в точке O отложили отрезок длиной 7 см — получилась точка K. Можно ли на этом же луче от той же точки O отложить ещё одну точку M на расстоянии 7 см от O, отличную от K?**
- Да, таких дополнительных точек может найтись сколько угодно на этом луче
- Да, ровно ещё одна такая точка обязательно найдётся с противоположной стороны от точки O на этом же луче
- Это целиком зависит от того, какая длина у самого луча
- Нет — по третьей аксиоме отрезков откладывание возможно только одним способом, значит M совпадёт с K — верно
> Третья аксиома отрезков гарантирует единственность: от начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом.

## 3. Отрезок, луч, прямая: сравниваем и применяем

*От школьного чертежа до рулетки в руках*

**Три родственные фигуры и их отличия**

| Фигура | Концов | Протяжённость | Обозначение |
| --- | --- | --- | --- |
| Отрезок | 2 (оба принадлежат фигуре) | Конечная | [AB] или [BA] |
| Луч | 1 (начало принадлежит фигуре) | Бесконечная в одну сторону | [OA) |
| Прямая | 0 | Бесконечная в обе стороны | (AB) |

Эта же тройка легко находится в быту. Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону — это модель луча. Верёвка, туго натянутая и завязанная узлами на двух столбах, — модель отрезка: у неё есть оба конца, и они ей принадлежат. А вот лазерный уровень, направленный вдоль стены и мысленно продолженный сквозь неё в обе стороны, — уже модель прямой.

Единицы длины в геометрии — метр (м), миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км). Между ними стандартные переходы: 1 м = 100 см = 1000 мм, а 1 км = 1000 м — этим удобно пользоваться при пересчёте результатов измерения в разные единицы.

**Пример: Рабочие мерили стену рулеткой в три приёма: 150 см, потом ещё 150 см, потом ещё 42 см**

1. Каждый отрезок измерения примыкает к следующему без пропусков и наложений — как точки, разбивающие один общий отрезок.
2. По второй аксиоме отрезков суммарная длина стены равна сумме всех частей: 150 + 150 + 42.
3. 150 + 150 + 42 = 342 см, то есть 3 м 42 см.

**Проверь себя:** Почему для точного измерения важно, чтобы отрезки-приёмы рулетки НЕ накладывались друг на друга и не оставляли пропусков?
**Ответ:** Потому что формула AC + CB = AB работает только когда точка деления действительно принадлежит измеряемому отрезку без пропусков и наложений — иначе сумма частей не равна общей длине.

**Возвращаемся к вопросу.** Так можно ли неразмеченной линейкой измерить стол? Да, но с одной честной оговоркой. По первой аксиоме отрезков за единицу длины можно принять любой отрезок — в том числе саму линейку. Приложи её вдоль стола от края до края и посчитай, сколько раз она уложится целиком: это число совершенно точно, аксиома это гарантирует. А вот если в конце останется «хвостик» короче самой линейки, вот его-то неразмеченной линейкой уже не измерить с той же точностью — тут поможет только прикидка на глаз или дополнительный приём вроде складывания линейки пополам. Итог: целые «линейки» — точно, а последний неполный кусок — уже приближённо.

### Проверь себя

**Швейный сантиметр (рулетка) закреплён нулевой отметкой в одной точке и разматывается только в одну сторону. Какую из трёх фигур — отрезок, луч или прямую — он моделирует лучше всего?**
- Отрезок — у ленты всегда два фиксированных конца
- Луч — есть начало (нулевая отметка), а дальше лента идёт только в одну сторону — верно
- Прямую — лента бесконечна в обе стороны
- Ни один из вариантов не подходит
> У рулетки есть начало (нулевая отметка), а дальше она разматывается только в одну сторону — точная модель луча.

**Верёвка туго натянута и завязана узлами на обоих концах между двумя столбами. Какую фигуру она моделирует?**
- Луч — есть только одно начало
- Отрезок — есть два конца (узлы), и все точки между ними принадлежат фигуре — верно
- Прямую — верёвку можно продолжать бесконечно
- Ни отрезок, ни луч, ни прямую — только кривую линию
> У верёвки два фиксированных конца (узлы), которые ей принадлежат, — это и есть модель отрезка.

## Ключевые термины

- **Вторая аксиома прямой** — Из трёх точек, лежащих на одной прямой, только одна лежит между двумя другими.
- **Отрезок AB** — Все точки на прямой, лежащие между двумя её точками A и B. Точки A и B называются концами отрезка и принадлежат ему.
- **Луч (полупрямая)** — Все точки на прямой, которые лежат по одну сторону от данной её точки (начала луча). Начало луча принадлежит ему.
- **Длина отрезка** — Число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок и его части можно последовательно отложить на данном отрезке.
- **Первая аксиома отрезков** — Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. За единицу длины можно принять любой отрезок.
- **Вторая аксиома отрезков** — Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей точкой.
- **Третья аксиома отрезков** — На любом луче от его начала можно отложить отрезок любой длины и только одним способом.

## Итог

- Вторая аксиома прямой: из трёх точек одной прямой только одна лежит между двумя другими — и это работает именно для прямой, не для окружности.
- Отрезок [AB] — точки между A и B плюс сами концы; луч [OA) — точки по одну сторону от начала, которое ему принадлежит.
- Вторая аксиома отрезков: AC + CB = AB для точки C на отрезке AB — длина складывается из частей.
- Третья аксиома отрезков: от начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом; первая — что единицей длины можно взять любой отрезок.

## Шпаргалка

- Вторая аксиома прямой: из 3 точек на прямой только одна между двумя другими (для прямой, не для окружности).
- Отрезок [AB]: точки между A и B + сами концы. Луч [OA): точки по одну сторону от начала (начало принадлежит лучу). Прямая (AB): бесконечна в обе стороны.
- Длина отрезка > 0; за единицу длины можно принять любой отрезок (1-я аксиома отрезков).
- AC + CB = AB для точки C на отрезке AB (2-я аксиома отрезков).
- От начала луча отрезок заданной длины откладывается только одним способом (3-я аксиома отрезков).
- Единицы длины: мм, см, м, км; 1 м = 100 см = 1000 мм, 1 км = 1000 м.

## Любопытное

- До введения метра в XVIII веке единицами длины часто служили части тела — локоть, фут, пядь. Это работало именно благодаря первой аксиоме отрезков: за единицу длины можно принять любой отрезок, лишь бы использовать его последовательно.
- Слово «отрезок» в других языках нередко связано со словом «резать» — отрезок будто «отрезан» от бесконечной прямой с двух сторон, в отличие от луча, отрезанного только с одной.