# Окружность

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/2-okruzhnost

Окружность и круг, их части — радиус, хорда, диаметр; как проверить, лежит ли точка в круге, и как по одному расстоянию между центрами узнать, пересекутся ли две окружности.

## Чему научишься

- Различать окружность и круг и правильно называть их части: центр, радиус, хорду, диаметр
- Определять положение точки относительно круга по расстоянию до центра
- По радиусам и расстоянию между центрами определять взаимное расположение двух окружностей

## С чего начать

Крышка люка круглая, а не квадратная. Дело не в красоте: квадратную крышку можно уронить в собственный люк, а круглую — нет. Какое свойство окружности этому мешает?

## 1. Окружность, круг и их части

*Одна фраза определения — и всё остальное следует из неё*

Возьмите верёвку, привяжите к колышку, натяните и обойдите вокруг. След, который останется на земле, и есть окружность. Важно, что верёвка всё время одной длины — именно это, а не «круглость», делает фигуру окружностью.

**Окружность**

Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).

**Центр окружности**

Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.

Теперь по деталям. Ваша верёвка от колышка до руки — это радиус. Отрезок между двумя следами на земле — хорда. А хорда, случайно прошедшая ровно через колышек, — диаметр.

**Радиус окружности**

Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

**Хорда окружности**

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

**Диаметр окружности**

Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.

**Связь диаметра и радиуса**

$d = 2r$ — диаметр в 2 раза больше радиуса.

**Почему именно вдвое — и как не перепутать**

Диаметр проходит через центр, а значит распадается на два радиуса, приложенных друг к другу: от края до колышка и от колышка до другого края. Отсюда и множитель 2.

**Способ запомнить:** диаметр — слово длиннее, и сам отрезок длиннее. **Правило самопроверки:** радиус не может быть больше диаметра. Получилось больше — вы разделили не то на то.

**Пример: Считаем в обе стороны**

1. Радиус колеса 30 см. Диаметр: $d = 2r$, подставляем — $d = 2 \cdot 30 = 60$ см.
2. Обратная задача: диаметр тарелки 24 см, найти радиус. Из $d = 2r$ следует $r = \frac{d}{2}$.
3. Подставляем: $r = \frac{24}{2} = 12$ см.
4. Самопроверка: $12$ меньше $24$ — радиус меньше диаметра, всё сходится.

Осталось отделить окружность от круга. Окружность — это только сама линия, без внутренности. Круг — это уже заполненная фигура.

**Круг**

Часть плоскости, ограниченная окружностью.

**Неправильно:** «Круг и окружность — одно и то же, просто разные слова».
**Правильно:** Окружность — линия (обод колеса, ободок часов). Круг — вся область внутри вместе с границей (диск, блин, монета целиком).

**Проверь себя:** Почему круглую крышку люка нельзя уронить в люк, а квадратную — можно?
**Ответ:** У квадрата диагональ длиннее стороны, и крышку можно развернуть так, что она провалится. У круга любая хорда не длиннее диаметра, поэтому крышка ни в каком повороте не пройдёт в отверстие.

### Проверь себя

**Какой отрезок с концами на окружности самый длинный?**
- Любой радиус, проведённый к точке окружности
- Хорда, не проходящая через центр
- Диаметр — верно
- Отрезок от центра до середины хорды
> Диаметр — хорда, проходящая через центр, и он является самой большой хордой.

**У круглого люка диаметр 70 см. Чему равен радиус?**
- $140$ см
- $35$ см — верно
- $70$ см
- $7$ см
> Из $d = 2r$ получаем $r = \frac{d}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

**Чем окружность отличается от круга?**
- Окружность — линия, круг — часть плоскости, ограниченная ею — верно
- Окружность строится циркулем, а круг — только по клеточкам
- У круга есть радиус, а у окружности его не бывает
- Круг — это окружность вместе со всеми её хордами и диаметрами
> Окружность — граница, круг — заполненная область внутри этой границы.

## 2. Где лежит точка

*Одно расстояние решает всё*

Вышка мобильной связи добивает на 3 км. Ваш дом в 2 км от неё — связь есть. Дом друга в 4 км — связи нет. Вы только что решили геометрическую задачу: определили, лежит ли точка в круге. Всё, что для этого нужно, — одно расстояние и одно сравнение.

**Принадлежность точки кругу**

Неравенство принадлежности точки кругу: $p \leqslant R$, где $p$ — расстояние от точки до центра круга, $R$ — его радиус.

**Зона покрытия — и почему знак нестрогий**

Круг — это зона действия вышки, $R$ — дальность сигнала, $p$ — насколько вы от неё отошли. Пока не ушли дальше, чем берёт вышка, вы внутри зоны.

**Почему знак нестрогий:** равенство $p = R$ означает, что точка стоит ровно на окружности. Граница принадлежит кругу, поэтому она входит в условие. **Правило самопроверки:** сравнивайте всегда с радиусом, а не с диаметром — самая частая потеря балла именно здесь.

**Пример: Проверяем три точки одного круга радиуса 5**

1. Точка на расстоянии $p = 3$. Сравниваем: $3 \leqslant 5$ — условие выполнено, точка внутри круга.
2. Точка на расстоянии $p = 5$. Сравниваем: $5 \leqslant 5$ — выполнено, точка лежит на окружности и принадлежит кругу.
3. Точка на расстоянии $p = 8$. Сравниваем: $8 \leqslant 5$ — неверно, точка кругу не принадлежит.
4. Итог: одна проверка $p \leqslant R$ разбирает все три случая, отдельные правила не нужны.

Из определения окружности следует ещё один факт, который на первый взгляд кажется мелочью, а на деле работает в доказательствах постоянно.

**Теорема**

Никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.

**Почему трёх точек быть не может**

Пусть три точки прямой лежат на окружности — тогда все три одинаково удалены от центра $O$. Но если двигаться по прямой, расстояние до точки $O$ сначала убывает, доходит до наименьшего значения и дальше только растёт. Одно и то же значение такое движение даёт не более двух раз — по одному на каждую сторону от ближайшей точки. Третьему разу взяться неоткуда.

**Проверь себя:** Прямая пересекла окружность. Сколько общих точек у них может быть?
**Ответ:** Не больше двух — именно это и означает теорема о трёх точках.

### Проверь себя

**Точка удалена от центра круга радиуса 5 на расстояние 5. Где она находится?**
- Вне круга
- Внутри круга, но не на границе
- На окружности, то есть принадлежит кругу — верно
- Определить нельзя без координат точки
> Условие $p \leqslant R$ выполняется при равенстве, а значит граница входит в круг.

**Почему в условии принадлежности точки кругу стоит нестрогий знак?**
- Чтобы учесть точки, лежащие на самой окружности — верно
- Чтобы включить центр, который иначе выпал бы из круга
- Так удобнее считать, на результат это не влияет
- Строгий знак дал бы бесконечное число решений
> Круг ограничен окружностью и включает её: при $p = R$ точка кругу принадлежит.

**Почему через три точки одной окружности нельзя провести прямую?**
- Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках — верно
- Через любые три точки всегда проходит ровно одна прямая
- Три точки окружности образуют треугольник с прямым углом
- Прямая не может быть хордой, а три точки задают хорды
> Равноудалённых от центра точек на прямой не больше двух — это и есть теорема о трёх точках.

## 3. Две окружности рядом

*Шесть случаев, одно расстояние*

Две шестерёнки в механизме: если развести оси слишком далеко, зубцы не сцепятся; сдвинуть слишком близко — заклинит. Между этими крайностями есть рабочий диапазон. Геометрия описывает его точно, и для этого хватает трёх чисел: двух радиусов и расстояния между центрами.

**Взаимное расположение двух окружностей**

Для окружностей с радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$) и расстоянием $p$ между центрами:

— две общие точки (пересекаются): $R - r < p < R + r$;

— одна общая точка (внешнее касание): $p = R + r$;

— одна общая точка (внутреннее касание): $p = R - r$.

**Два обруча на полу — и как запомнить края диапазона**

Положите на пол два обруча и разводите их. Пока они наезжают друг на друга, пересечений два. В момент, когда обручи только соприкоснулись снаружи, между центрами ровно сумма радиусов — дальше общих точек не остаётся. Если же маленький обруч лежит внутри большого и прижался к нему изнутри, расстояние между центрами равно разности радиусов.

**Способ запомнить:** снаружи — **сумма** $R + r$, изнутри — **разность** $R - r$, а всё, что между ними, даёт две точки. **Правило самопроверки:** посчитайте обе границы прежде, чем отвечать: почти все ошибки — от того, что посчитали одну.

Три случая выше — те, где общие точки есть. Но на рисунке из учебника вариантов шесть, и остальные три — это случаи, когда общих точек нет вовсе. Разобрать их проще всего тем же сравнением $p$ с двумя границами.

**Когда общих точек нет**

— **Внешнее расположение**: $p > R + r$. Окружности разошлись, каждая целиком вне другой.

— **Внутреннее расположение без касания**: $p < R - r$. Меньшая лежит внутри большей и до неё не достаёт.

— **Концентрические окружности** — частный случай предыдущего: $p = 0$, центры совпадают, одна окружность внутри другой на одинаковом расстоянии по всем направлениям.

**Все шесть случаев по одному признаку**

| Расстояние между центрами | Общих точек | Как выглядит |
| --- | --- | --- |
| $p > R + r$ | Нет | Разошлись, каждая вне другой |
| $p = R + r$ | Одна | Соприкоснулись снаружи |
| $R - r < p < R + r$ | Две | Накладываются друг на друга |
| $p = R - r$ | Одна | Меньшая прижата к большей изнутри |
| $p < R - r$ | Нет | Меньшая внутри большей, не касаясь |
| $p = 0$ | Нет | Концентрические: центры совпали |

**Пример: Разбираем расположение по трём числам**

1. Даны $R = 8$, $r = 3$, $p = 11$. Сначала считаем границы: сумма $R + r = 11$, разность $R - r = 5$.
2. Сравниваем $p$ с суммой: $11 = 11$, то есть $p = R + r$.
3. Это случай внешнего касания — общая точка ровно одна.
4. Изменим условие: пусть $p = 7$. Проверяем диапазон: $5 < 7 < 11$, значит $R - r < p < R + r$.
5. Вывод: окружности пересекаются в двух точках.

**Проверь себя:** Радиусы $R = 6$ и $r = 2$. При каком расстоянии между центрами будет внутреннее касание?
**Ответ:** При $p = R - r = 6 - 2 = 4$.

### Проверь себя

**Две окружности имеют ровно одну общую точку, и каждая лежит вне другой. Как называется такое расположение?**
- Внутреннее касание
- Пересечение
- Внешнее касание — верно
- Концентрическое расположение
> Одна общая точка при расположении снаружи — это внешнее касание, ему отвечает $p = R + r$.

**Даны радиусы $R = 8$ и $r = 3$, расстояние между центрами $p = 11$. Как расположены окружности?**
- Пересекаются в двух точках
- Касаются внутренним образом
- Не имеют общих точек
- Касаются внешним образом — верно
> Сумма радиусов $R + r = 8 + 3 = 11$ совпала с $p$ — это внешнее касание.

**Радиусы окружностей $R = 10$ и $r = 4$. При каком расстоянии между центрами они пересекутся в двух точках?**
- $p = 14$
- $p = 6$
- $p = 9$ — верно
- $p = 3$
> Нужно $R - r < p < R + r$, то есть $6 < p < 14$. Из вариантов подходит только $p = 9$.

## Ключевые термины

- **Окружность** — Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).
- **Центр окружности** — Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.
- **Радиус окружности** — Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
- **Хорда окружности** — Отрезок, соединяющий две точки окружности.
- **Диаметр окружности** — Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.
- **Круг** — Часть плоскости, ограниченная окружностью.

## Итог

- Окружность — все точки плоскости на одном расстоянии от центра; круг — часть плоскости, ограниченная окружностью
- Радиус соединяет центр с точкой окружности, хорда — две точки окружности, диаметр — хорда через центр и самая большая из хорд
- Диаметр и радиус связаны как $d = 2r$
- Точка принадлежит кругу, когда $p \leqslant R$; знак нестрогий, потому что граница входит в круг
- Для двух окружностей: две общие точки при $R - r < p < R + r$, внешнее касание при $p = R + r$, внутреннее — при $p = R - r$; общих точек нет при $p > R + r$ и при $p < R - r$ (в том числе у концентрических, когда $p = 0$)

## Шпаргалка

Окружность — линия равноудалённых от центра точек; круг — область внутри вместе с границей. Радиус — центр и точка окружности; хорда — две точки окружности; диаметр — хорда через центр, самая большая, $d = 2r$. Точка в круге: $p \leqslant R$. Три точки окружности не лежат на одной прямой. Две окружности ($R \ge r$, $p$ — между центрами): общих точек нет при $p > R + r$ (разошлись) и при $p < R - r$ (меньшая внутри большей, частный случай $p = 0$ — концентрические); одна общая точка при $p = R + r$ (внешнее касание) и при $p = R - r$ (внутреннее касание); две общие точки при $R - r < p < R + r$.

## Любопытное

- Круглые люки делают круглыми не ради красоты: это единственная простая форма, крышка которой не может провалиться в собственный проём ни при каком повороте.
- Теорема «никакие три точки окружности не лежат на одной прямой» — причина, по которой через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, и притом ровно одну.