# Центральный и вписанный углы Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/centralnyj-i-vpisannyj-ugly Дуги окружности, центральный и вписанный угол: как измерить дугу, как связаны углы из центра и с самой окружности, и почему из одной теоремы вырастают три готовых правила для задач. ## Чему научишься - Находить градусную меру дуги по центральному углу и обратно. - Вычислять вписанный угол через дугу или через центральный угол, опирающийся на ту же дугу. - Применять следствия теоремы — прямой угол на диаметре и равенство вписанных углов на одну дугу — в задачах и доказательствах. ## С чего начать На трибуне стадиона тысячи зрителей смотрят на одни и те же ворота. У одних угол обзора острый, у других — почти прямой. Но есть целая дуга кресел, где угол обзора ворот получается совершенно одинаковым у всех, хотя люди сидят в разных местах. Почему? ## 1. Дуга и центральный угол *Как измерить кусок окружности* Начерти окружность и отметь на ней две точки — $A$ и $B$. Они сразу делят окружность на две части. Договоримся, как их называть и мерить. *Рисунок: Окружность с точками A и B и выделенной красным дугой от A до B* **Дуга окружности** Точки $A$ и $B$ разделяют окружность на две части, которые называются дугами окружности. Точки $A$ и $B$ называют концами дуг, и они принадлежат каждой из дуг. Особый случай: если отрезок, соединяющий концы дуг, — диаметр, то есть проходит через центр, обе дуги называются полуокружностями. **Полуокружность** Если отрезок, соединяющий концы дуг, является диаметром окружности, то каждая из двух дуг называется полуокружностью. *Рисунок: Круг с хордой AB, проходящей через точку O, и выделенной красным дугой AB* Теперь про угол, который «вырезает» дугу. Возьми центр окружности $O$ и проведи два радиуса — получится угол с вершиной в самом центре. **Центральный угол** Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Если дуга лежит во внутренней области центрального угла, говорят, что центральный угол опирается на эту дугу. *Рисунок: Круг с центром O, радиусами OD и OE и выделенной красным дугой DE* Осталось договориться про масштаб. Градусную меру всей окружности считают равной $360^\circ$ — как полный оборот стрелки. А дуга получает ту же меру, что и её центральный угол. **Мера дуги** Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла, который опирается на эту дугу: $\smile BD = \angle BOD$. *Рисунок: Круг с центром O, радиусами OB и OD и выделенной красной дугой BD* **Циферблат и вторая дуга** Представь циферблат часов: полный круг — это $360^\circ$, и стрелки, поставленные из центра, вырезают на нём кусок циферблата ровно такого же размера, какой угол между ними. Дуга и её центральный угол — буквально одна и та же величина под двумя именами, пересчитывать нечего, только переименовать. А если хорда стягивает дугу $BD$, то вторая, большая дуга — это всё, что осталось от полного круга: $\smile BAD = 360^\circ - \angle BOD$. Любая хорда стягивает две дуги, сумма градусных мер которых равна $360^\circ$. Способ запомнить: дуга и её центральный угол — как одна цифра под двумя именами, не пересчитывай, а вторую дугу всегда находи вычитанием из $360^\circ$, а не заново измеряя. И крайний случай: если дуга — ровно полуокружность, её центральный угол развёрнутый, то есть $180^\circ$. **Полуокружность — 180°** Градусная мера полуокружности равна $180^\circ$. *Рисунок: Круг с горизонтальным диаметром BD, проходящим через точку O* **Неправильно:** Раз окружность — это $360^\circ$, значит каждая из двух дуг, на которые её делит хорда, — это $180^\circ$. **Правильно:** Только если хорда — диаметр. В общем случае дуги разные: одна равна центральному углу, другая — тому, что осталось до $360^\circ$. **Пример: Центральный угол $BOD = 80^\circ$. Найди обе дуги.** 1. По определению дуга равна своему центральному углу: $\smile BD = \angle BOD = 80^\circ$. 2. Вся окружность — $360^\circ$, значит вторая дуга: $\smile BAD = 360^\circ - \angle BOD = 360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$. 3. Проверка: $80^\circ + 280^\circ = 360^\circ$ — сходится. **Проверь себя:** Центральный угол $AOB = 46^\circ$. Чему равна дуга $AB$, а чему — большая дуга $ACB$? **Ответ:** $\smile AB = 46^\circ$; $\smile ACB = 360^\circ - 46^\circ = 314^\circ$. ### Проверь себя **Какой угол по определению называется центральным углом окружности?** - Угол, вершина которого лежит на самой окружности, а стороны пересекают её. - Угол с вершиной в центре окружности. — верно - Угол, вершина которого находится вне окружности, а стороны касаются её. - Угол, образованный двумя пересекающимися хордами с вершиной внутри окружности. > Центральным углом называются угол, вершина которого совпадает с центром окружности. **Чему равна градусная мера всей окружности?** - $90^\circ$ - $270^\circ$ - $360^\circ$ — верно - $180^\circ$ > По общепринятому правилу градусная мера всей окружности принимается равной $360^\circ$. **Чему равна градусная мера полуокружности?** - $360^\circ$ - $180^\circ$ — верно - $90^\circ$ - $270^\circ$ > Так как вся окружность составляет $360^\circ$, половина окружности равна $180^\circ$. **Как связаны между собой градусная мера центрального угла и градусная мера дуги, на которую он опирается?** - Сумма градусных мер дуги и центрального угла равна $180^\circ$. - Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. — верно - Градусная мера дуги в два раза больше центрального угла. - Градусная мера дуги в два раза меньше центрального угла. > Градусная мера дуги определяется как градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу. **По какой формуле вычисляется градусная мера большей дуги $\smile BAD$, если известен центральный угол $\angle BOD$, опирающийся на меньшую дугу $\smile BD$?** - $\smile BAD = 180^\circ - \angle BOD$ - $\smile BAD = 180^\circ + \angle BOD$ - $\smile BAD = 360^\circ - \angle BOD$ — верно - $\smile BAD = 2 \cdot \angle BOD$ > Полный оборот равен $360^\circ$, поэтому вычитание меньшей дуги (равной $\angle BOD$) дает градусную меру дополняющей большей дуги. **Сколько дуг стягивает каждая хорда окружности, и чему равна сумма их градусных мер?** - Каждая хорда стягивает две дуги, сумма градусных мер которых равна $180^\circ$. - Каждая хорда стягивает одну дугу с градусной мерой $180^\circ$. - Хорда стягивает четыре дуги, сумма которых равна $360^\circ$. - Любая хорда стягивает две дуги, сумма градусных мер которых равна $360^\circ$. — верно > Хорда соединяет две точки окружности, разделяющие её на две дуги, образующие вместе полную окружность в $360^\circ$. **Если точки $A$ и $B$ делят окружность на две части, как называются эти точки по отношению к получившимся дугам?** - Вершинами дуг, и они не принадлежат ни одной из дуг. - Концами дуг, и они принадлежат каждой из дуг. — верно - Хордами окружности. - Центрами дуг, делящими окружность на равные части. > Согласно определениям из параграфа, точки $A$ и $B$ называются концами дуг и принадлежат обеим дугам. **Если центральный угол $\angle BOD = 75^\circ$, чему равна градусная мера дуги $\smile BD$, на которую он опирается?** - $37.5^\circ$ - $105^\circ$ - $150^\circ$ - $75^\circ$ — верно > Градусная мера дуги равна градусной мере опирающегося на неё центрального угла. **Центральный угол $\angle BOD = 100^\circ$ опирается на меньшую дугу $\smile BD$. Чему равна градусная мера большей дуги $\smile BAD$?** - $260^\circ$ — верно - $100^\circ$ - $80^\circ$ - $200^\circ$ > Градусная мера большей дуги равна $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$. **Одна из дуг, стягиваемых хордой, имеет градусную меру $130^\circ$. Чему равна градусная мера второй дуги, стягиваемой этой же хордой?** - $50^\circ$ - $130^\circ$ - $180^\circ$ - $230^\circ$ — верно > Сумма градусных мер двух дуг, стягиваемых одной хордой, равна $360^\circ$: $360^\circ - 130^\circ = 230^\circ$. ## 2. Вписанный угол и теорема о нём *Вершина переезжает из центра на окружность* А что если вершину угла перенести из центра прямо на саму окружность? Такой угол называют вписанным — и с ним работает более сильная формула, чем с центральным. **Вписанный угол** Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Если дуга принадлежит вписанному углу, говорят, что угол опирается на эту дугу. *Рисунок: Окружность с точками A, B, C, голубыми лучами из B и красной дугой AC* На пальцах, почему вписанный угол меньше центрального на ту же дугу, а не такой же. Наблюдатель в центре $O$ смотрит на дугу «в упор» — весь её размах укладывается прямо в его угол. Наблюдатель же на самой окружности — сам часть той же окружности, он смотрит на дугу как бы искоса, из равнобедренного треугольника с радиусами по бокам, и его угол оказывается ровно вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. **Теорема о вписанном угле** Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается: $\angle ABC = \frac{1}{2} \smile AC$. **Следствие 1 — через центральный угол** Вписанный угол в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу: $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$. *Рисунок: Окружность с точками A, B, C, центром O, красной прямой AB, зелёным отрезком OC и дугой угла* **Взгляд из центра и взгляд с трибуны** Представь арену цирка: человек в самом центре манежа видит выступление артистов на дуге трибун «в полный рост» — это и есть центральный угол. Зритель, сидящий на самой окружности трибуны, смотрит на ту же дугу сбоку, под более острым углом — и этот угол оказывается ровно вдвое меньше. Способ запомнить: вписанный всегда МЕНЬШЕ центрального ровно в 2 раза — получилось наоборот (вписанный больше) или без деления пополам — значит перепутал, какой угол вписанный, а какой центральный. **Строгий вывод** Рассмотрим три случая расположения центра окружности $O$ относительно вписанного угла $\angle ABC$: 1. Луч $BO$ совпадает со стороной угла (например, сторона $BC$ является диаметром). Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$ как радиусы), значит, $\angle OAB = \angle ABO = \angle ABC$. Центральный угол $\angle AOC$ является внешним углом треугольника $AOB$ при вершине $O$, поэтому $\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC$. Отсюда $\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}\smile AC$. 2. Луч $BO$ делит угол $\angle ABC$ на два угла (центр $O$ лежит внутри угла). Проведём диаметр $BD$. Он разбивает угол $\angle ABC$ на углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$. По первому случаю $\angle ABD = \frac{1}{2}\smile AD$ и $\angle DBC = \frac{1}{2}\smile DC$. Складывая эти равенства: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2}(\smile AD + \smile DC) = \frac{1}{2}\smile AC$. 3. Луч $BO$ не делит угол $\angle ABC$ (центр $O$ лежит вне угла). Проведём диаметр $BD$. Тогда $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2}\smile AD - \frac{1}{2}\smile CD = \frac{1}{2}\smile AC$. Теорема полностью доказана для всех трёх случаев. **Неправильно:** Вписанный угол равен дуге, на которую опирается, — так же, как и центральный. **Правильно:** Вписанный угол равен только ПОЛОВИНЕ дуги. Целиком дуге равен центральный угол, а вписанный — вдвое меньше. **Пример: Центральный угол $AOC = 100^\circ$. Найди вписанный угол $ABC$, опирающийся на ту же дугу.** 1. Дуга равна своему центральному углу: $\smile AC = \angle AOC = 100^\circ$. 2. Вписанный угол — половина дуги: $\angle ABC = \frac{1}{2}\smile AC = \frac{1}{2}\cdot 100^\circ = 50^\circ$. **Проверь себя:** Вписанный угол опирается на дугу $70^\circ$. Чему он равен? **Ответ:** $\angle = \frac{1}{2}\cdot 70^\circ = 35^\circ$. ### Проверь себя **Какой угол называется вписанным углом окружности?** - Угол между радиусом и хордой, проведенными из одной точки. - Угол, стороны которого касаются окружности в двух точках. - Угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. - Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. — верно > Это точное определение вписанного угла из учебного материала. **В чем заключается теорема о вписанном угле?** - Вписанный угол равен $180^\circ$ минус градусная мера опирающейся дуги. - Вписанный угол в два раза больше дуги, на которую он опирается. - Вписанный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. - Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. — верно > Согласно теореме, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, лежащей во внутренней его области. **Как связаны вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу?** - Вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. - Вписанный угол в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. - Сумма вписанного и центрального углов всегда равна $180^\circ$. - Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. — верно > Так как вписанный угол равен половине дуги, а центральный — всей дуге, вписанный угол составляет половину центрального. **В 1-м случае доказательства теоремы о вписанном угле $\angle ABC$ (центр $O$ лежит на стороне $AB$), почему треугольник $BOC$ является равнобедренным?** - Сторона $AB$ является диаметром и делит треугольник пополам. - Угол $\angle AOC$ является прямым углом. - Его стороны $OC$ и $OB$ равны как радиусы окружности ($OC = OB = R$). — верно - Угол $\angle ABC$ изначально равен $45^\circ$. > Отрезки, соединяющие центр окружности с точками на ней, равны радиусу окружности. **При доказательстве 1-го случая теоремы о вписанном угле, каким углом относительно треугольника $BOC$ является угол $\angle AOC$?** - Прямым углом треугольника $ABC$. - Вписанным углом, опирающимся на диаметр. - Внешним углом треугольника $BOC$. — верно - Внутренним углом при основании треугольника $BOC$. > Угол $\angle AOC$ смежен с внутренним углом $\angle BOC$ треугольника $BOC$, поэтому он является его внешним углом. **Какое дополнительное построение выполняется во 2-м случае доказательства теоремы о вписанном угле (когда центр $O$ лежит внутри угла $\angle ABC$)?** - Проводится диаметр $BM$. — верно - Проводится касательная через вершину $B$. - Проводятся хорды $AB$ и $BC$ заново. - Проводится перпендикуляр из центра $O$ на хорду $AC$. > Луч $BO$, проведенный через центр $O$, продолжается до пересечения с окружностью в точке $M$, образуя диаметр $BM$. **Вписанный угол $\angle ABC$ равен $42^\circ$. Чему равна градусная мера центрального угла $\angle AOC$, опирающегося на ту же дугу?** - $138^\circ$ - $84^\circ$ — верно - $21^\circ$ - $42^\circ$ > Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: $42^\circ \cdot 2 = 84^\circ$. **Если вписанный угол опирается на дугу окружности с градусной мерой $110^\circ$, чему равна градусная мера этого угла?** - $70^\circ$ - $110^\circ$ - $55^\circ$ — верно - $220^\circ$ > По теореме о вписанном угле, он равен половине дуги, на которую опирается: $110^\circ / 2 = 55^\circ$. ## 3. Следствия теоремы — три готовых правила *И как их спрашивают на ОГЭ* Из теоремы о вписанном угле выросли два особенно полезных на практике правила — их и стоит держать под рукой. **Следствие 2 — угол на диаметре** Следствие 2: вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), — прямой. *Рисунок: Окружность с треугольником ABC, точкой O на отрезке AC и отметкой прямого угла* **Половина от развёрнутого** Диаметр стягивает дугу-полуокружность — это ровно $180^\circ$, как раскрытый до предела циркуль. А вписанный угол — половина дуги, то есть половина $180^\circ$, значит $90^\circ$. Способ проверки: увидел на окружности треугольник, одна сторона которого проходит через центр (то есть диаметр), — сразу отмечай прямой угол напротив неё, не вычисляя. **Пример: $AC$ — диаметр окружности, $B$ — точка на окружности. Чему равен $\angle ABC$?** 1. $AC$ — диаметр, значит дуга $AC$ (та, что не содержит $B$) — полуокружность: $\smile AC = 180^\circ$. 2. Вписанный угол $ABC$ опирается на эту дугу: $\angle ABC = \frac{1}{2}\cdot 180^\circ = 90^\circ$. **Проверь себя:** $AC$ — диаметр, $B$ — точка окружности. Чему равен угол $ABC$? **Ответ:** $90^\circ$ — по следствию 2. Прямой угол на диаметре позволяет решить классическую задачу на построение — провести касательную к окружности из внешней точки с помощью циркуля и линейки. **Пример: Построение касательной к окружности через точку $M$, лежащую вне окружности.** 1. Соединим точку $M$ с центром данной окружности $O$ и найдём середину отрезка $OM$. 2. Построим вспомогательную окружность с диаметром $OM$ (с центром в середине $OM$). 3. Отметим точки пересечения построенной окружности с исходной — точки $P$ и $Q$. 4. Угол $\angle OPM$ вписан во вспомогательную окружность и опирается на её диаметр $OM$, следовательно, $\angle OPM = 90^\circ$. 5. Радиус $OP$ перпендикулярен прямой $MP$ в точке $P$. По признаку касательной прямая $MP$ — искомая касательная (аналогично прямая $MQ$ — вторая касательная). **Следствие 3 — равные углы на одну дугу** Следствие 3: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. *Рисунок: Окружность с точками A, B и C, цветными хордами и дугами с отметками углов* **Возвращаемся к трибуне стадиона** Это и есть разгадка из начала урока: зрители, сидящие на одной дуге трибуны, смотрят на одни и те же ворота (хорду на поле) под одинаковым углом — потому что все их углы опираются на одну и ту же дугу поля. Не важно, где именно на этой дуге сидеть. Способ запомнить: увидел два вписанных угла — сразу ищи, на какую ОДНУ дугу они опираются, а не сравнивай их на глаз. **Пример: Углы $ADB$ и $ACB$ опираются на одну дугу $AB$. $\angle ADB = 38^\circ$. Чему равен $\angle ACB$?** 1. Оба угла — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $AB$. 2. По следствию 3 такие углы равны: $\angle ACB = \angle ADB = 38^\circ$. **Проверь себя:** Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу. Один из них равен $52^\circ$. Чему равен второй? **Ответ:** $52^\circ$ — вписанные углы на одну дугу равны. **Центральный угол против вписанного** | | Центральный угол | Вписанный угол | | --- | --- | --- | | Вершина | в центре $O$ | на самой окружности | | Величина относительно дуги | равен дуге: $\angle BOD=\smile BD$ | равен половине дуги: $\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$ | | На диаметр | $180^\circ$ (развёрнутый) | $90^\circ$ (прямой) | | На одну и ту же дугу | всегда один — вершина одна | любых точек окружности — все равны | ### Проверь себя **Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность)?** - $60^\circ$ - $180^\circ$ - $90^\circ$ — верно - $45^\circ$ > Полуокружность имеет градусную меру $180^\circ$, поэтому вписанный угол равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. **Каково соотношение между несколькими вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу?** - Все такие вписанные углы равны между собой. — верно - Сумма этих углов всегда равна $180^\circ$. - Каждый последующий угол в два раза меньше предыдущего. - Разность наибольшего и наименьшего углов равна $90^\circ$. > Поскольку каждый из них равен половине одной и той же дуги, все эти углы равны (Следствие 3). **В Задача 1 из текста проведены диаметры $AB$ и $CD$. По какому свойству угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$ в 1-м способе решения?** - Он равен центральному углу, опирающемуся на дугу $AB$. - Он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$. — верно - Угол $\angle ACB$ является внешним углом треугольника $AOC$. - Треугольник $ABC$ является равносторонним. > По следствию из теоремы, любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. **В Задача 1 из текста дано, что $\angle ABC = 58^\circ$. Чему равен угол $\angle ACD$?** - $64^\circ$ - $29^\circ$ - $32^\circ$ — верно - $58^\circ$ > В 1-м способе решение вычисляется как $\angle ACB - \angle OCB = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. **Во 2-м способе решения Задачи 1, чему равна градусная мера центрального угла $\angle AOC$, если вписанный угол $\angle ABC = 58^\circ$?** - $58^\circ$ - $122^\circ$ - $29^\circ$ - $116^\circ$ — верно > Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу $AC$: $2 \cdot 58^\circ = 116^\circ$. **Во 2-м способе решения Задачи 1, как находится центральный угол $\angle AOD$, если угол $\angle AOC = 116^\circ$?** - Угол $\angle AOD$ равен вписанному углу $\angle ABC = 58^\circ$. - Угол $\angle AOD$ вычисляется делением угла $\angle AOC$ пополам. - Углы $\angle AOD$ и $\angle AOC$ смежные, поэтому $\angle AOD = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. — верно - Углы $\angle AOD$ и $\angle AOC$ равны как вертикальные, поэтому $\angle AOD = 116^\circ$. > Так как $CD$ — диаметр, углы $\angle AOD$ и $\angle AOC$ образуют развернутый угол, то есть являются смежными. **В Задача 2 (построение касательной к окружности с центром $O$ через точку $M$), какой отрезок используется в качестве диаметра вспомогательной окружности?** - Радиус исходной окружности $OA$. - Диаметр исходной окружности, проходящий через центр $O$. - Хорда $AB$, соединяющая будущие точки касания. - Отрезок $OM$, соединяющий центр окружности $O$ и точку $M$. — верно > Для того чтобы угол между радиусом и касательной был прямым, строят окружность с диаметром $OM$. **Почему точки пересечения $A$ и $B$ двух окружностей в Задача 2 дают направления касательных $MA$ и $MB$?** - Потому что хорда $AB$ делит отрезок $OM$ пополам. - Углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ являются центральными углами исходной окружности. - Углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ опираются на диаметр $OM$ вспомогательной окружности, поэтому они равны $90^\circ$. — верно - Отрезки $MA$ и $MB$ являются диаметрами исходной окружности. > Вписанные углы, опирающиеся на диаметр $OM$, являются прямыми, значит, радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны прямым $MA$ и $MB$. **Каково взаимное положение радиуса $OA$ и отрезка касательной $MA$ в точке касания $A$ в Задача 2?** - Отрезок $MA$ равен радиусу $OA$. - Радиус $OA$ параллелен касательной $MA$. - Угол между ними равен $45^\circ$. - Радиус $OA$ перпендикулярен касательной $MA$ ($MA \perp OA$). — верно > Поскольку вписанный угол $\angle OAM$ опирается на диаметр вспомогательной окружности, он равен $90^\circ$, что означает перпендикулярность $MA \perp OA$. ## Ключевые термины - **Дуга окружности** — Часть окружности между двумя её точками — концами дуги. - **Полуокружность** — Дуга, концы которой соединяет диаметр; равна $180^\circ$. - **Центральный угол** — Угол с вершиной в центре окружности; равен дуге, на которую опирается. - **Вписанный угол** — Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность; равен половине дуги, на которую опирается. - **Хорда стягивает дугу** — Отрезок, соединяющий концы дуги; любая хорда стягивает две дуги с суммой мер $360^\circ$. ## Итог - Дуга измеряется центральным углом, который на неё опирается: $\smile BD=\angle BOD$; вторая дуга — $\smile BAD=360^\circ-\angle BOD$. - Вся окружность — $360^\circ$, полуокружность — $180^\circ$. - Вписанный угол равен половине дуги и половине центрального угла на ту же дугу: $\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC=\frac{1}{2}\angle AOC$. - Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой ($90^\circ$). - Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. ## Шпаргалка ### Формулы - **$\smile BD=\angle BOD$** — дуга равна своему центральному углу - **$\smile BAD=360^\circ-\angle BOD$** — вторая дуга — до полного круга - **$\angle ABC=\frac{1}{2}\smile AC$** — вписанный угол — половина дуги - **$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$** — вписанный — половина центрального на ту же дугу ### Следствия - **На диаметр** — вписанный угол прямой, $90^\circ$ - **На одну дугу** — вписанные углы равны - **Полуокружность** — $180^\circ$ - **Окружность целиком** — $360^\circ$ ### Центральный vs вписанный | | Центральный | Вписанный | | --- | --- | --- | | Вершина | в центре $O$ | на окружности | | Величина | равен дуге | равен половине дуги | | На диаметр | $180^\circ$ | $90^\circ$ | ## Любопытное - Прямо на теореме про угол на диаметре держится старый строительный приём: чтобы проверить, ровно ли выложен прямой угол фундамента, натягивают верёвку-«окружность» через нужные точки — без всякого угольника. - Значок дуги $\smile$ над буквами не сравнение и не улыбка — это просто обозначение дуги окружности: $\smile AB$ читается как «дуга $AB$».