# Четырёхугольник и его свойства

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/chetyryohugolnik-i-ego-svojstva

Четырёхугольник: из чего он состоит, как его правильно назвать, что такое диагонали и периметр, чем выпуклый отличается от невыпуклого и почему сумма его углов равна $360^\circ$.

## Чему научишься

- Назвать четырёхугольник по буквам и показать его вершины, стороны, диагонали, соседние и противоположные элементы
- Найти периметр четырёхугольника и проверить, что длина одной стороны меньше суммы трёх других
- Найти неизвестный угол выпуклого четырёхугольника по сумме углов $360^\circ$

## С чего начать

Ты идёшь из точки $A$ в точку $D$. Можно напрямую, а можно в обход, по трём улицам: через $B$ и $C$. Почему обход всегда получается длиннее, как бы хитро ни лежали улицы? И почему у любого такого «квартала» углы в сумме дают ровно одно и то же число?

## 1. Из чего состоит четырёхугольник

*Вершины, стороны, диагонали и как их называть*

Представь четыре колышка в земле и верёвку, которой ты обходишь их по кругу: от первого ко второму, к третьему, к четвёртому и обратно к первому. Верёвка замкнулась и образовала контур. Это и есть четырёхугольник. Но у верёвки есть правила, иначе получится не четырёхугольник, а путаница.

**Четырёхугольник**

Четырёхугольником называется фигура, состоящая из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Что запрещают два условия. Если три колышка стоят на одной прямой, один «угол» распрямляется и пропадает. Если верёвка сама себя пересекает, получается «восьмёрка», а не один аккуратный контур.

*Рисунок: Четырёхугольник ABCD с подписанными вершинами A, B, C, D*

**Вершины и стороны**

Вершинами четырёхугольника называются данные четыре точки, а его сторонами — соединяющие их отрезки.

Теперь главное: **кто с кем рядом**. Идём по верёвке: у каждого колышка два соседа, а один колышек стоит напротив. Так же со сторонами: у каждой стороны две соседки, которые к ней «примыкают», и одна напротив.

**Соседние и противоположные вершины**

Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной его стороны. Вершины четырёхугольника, не являющиеся соседними, называются противоположными.

**Смежные и противоположные стороны**

Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются смежными или соседними. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.

**Для четырёхугольника $ABCD$: кто кому сосед**

|  | Соседние | Противоположные |
| --- | --- | --- |
| Вершины | общий конец стороны, например $A$ и $B$ | не концы одной стороны, например $A$ и $C$ |
| Стороны | выходят из одной вершины, например $AB$ и $BC$ | не имеют общей вершины, например $AB$ и $CD$ |

**Как читать и запомнить**

memo-analogy: Аналогия: обходи четырёхугольник, как хоровод. Каждый держит за руки двух соседей, а напротив стоит тот, до кого рукой не дотянуться. Название $ABCD$ — это как раз список хоровода по кругу: буквы, которые стоят рядом, обозначают соседние вершины. Поэтому $ABCD$ или $BCDA$ подойдут, а $ACBD$ — нет: там $A$ и $C$ оказались рядом, хотя они противоположные.

memo-memory: Способ запомнить, правило самопроверки: читай название вслух и веди пальцем по фигуре. Если палец идёт только по сторонам и не прыгает через фигуру — название верное.

**Неправильно:** Четырёхугольник можно назвать $ACBD$: главное, чтобы буквы были все четыре.
**Правильно:** Соседние буквы должны обозначать соседние вершины. Обход идёт по сторонам: $ABCD$, $BCDA$ и так далее. В названии $ACBD$ буквы $A$ и $C$ стоят рядом, а вершины противоположные.

Есть ещё отрезки, которые идут не по контуру, а **через** фигуру: от вершины к противоположной.

**Диагонали**

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противоположные вершины.

**Диагональ: через фигуру**

memo-analogy: Аналогия: представь перекладину, которая соединяет два противоположных угла рамки и проходит через её середину. Она не идёт по краю, а пересекает фигуру от вершины к вершине напротив.

memo-memory: Способ запомнить: «диа» — через, поэтому диагональ соединяет вершины через фигуру, причём именно противоположные.

*Рисунок: Четырёхугольник ABCD с красными отрезками AC и BD*

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ обозначают $AC$ и $BD$. Их ровно две: у каждой вершины только одна противоположная. Углы четырёхугольника $ABCD$ записывают как $\angle ABC$, $\angle BCD$, $\angle CDA$, $\angle DAB$.

**Проверь себя:** В четырёхугольнике $MNKP$ назови противоположную вершину для $N$ и диагонали.
**Ответ:** Противоположная вершине $N$ — вершина $P$. Диагонали: $MK$ и $NP$.

### Проверь себя

**Какое из условий для четырёх точек на плоскости является обязательным, чтобы из них можно было получить четырёхугольник?**
- Две из четырёх точек обязательно должны лежать на одной прямой.
- Три из четырёх точек обязательно должны лежать на одной прямой.
- Никакие три из четырёх точек не должны лежать на одной прямой. — верно
- Все четыре точки должны лежать на одной окружности.
> Если три точки лежат на одной прямой, соединение их отрезками приводит либо к отрезкам на одной линии, либо к треугольной структуре, но не к четырёхугольнику.

**Какое ограничение накладывается на отрезки, последовательно соединяющие четыре точки при образовании четырёхугольника?**
- Соединяющие отрезки должны быть перпендикулярны друг другу.
- Соединяющие отрезки обязаны пересекаться в одной точке.
- Соединяющие отрезки не должны пересекаться. — верно
- Соединяющие отрезки должны быть равны между собой.
> Пересечение сторон внутри фигуры создает самопересекающуюся структуру (самопересекающуюся ломаную), которая по определению не является четырёхугольником.

**Какие вершины четырёхугольника называются соседними?**
- Вершины, не принадлежащие одной и той же стороне.
- Вершины, являющиеся концами одной его стороны. — верно
- Любые две вершины, лежащие напротив друг друга.
- Вершины, соединённые диагональю.
> Две вершины называются соседними, если они непосредственно принадлежат одному и тому же отрезку-стороне.

**Какие вершины четырёхугольника называются противоположными?**
- Вершины, не являющиеся соседними. — верно
- Вершины, из которых исходят смежные стороны.
- Любые две последовательно записанные вершины.
- Вершины, являющиеся концами одной стороны.
> Противоположными называются вершины, которые не соединены стороной четырёхугольника.

**Какие стороны четырёхугольника называются смежными (соседними)?**
- Две противоположные стороны четырёхугольника.
- Стороны, не имеющие общих точек.
- Стороны, исходящие из одной вершины. — верно
- Стороны, соединённые диагональю.
> Смежные стороны смыкаются в одной общей вершине четырёхугольника.

**Какие стороны четырёхугольника называются противоположными?**
- Две несмежные стороны четырёхугольника. — верно
- Стороны, имеющие общую вершину.
- Стороны, образующие один и тот же угол.
- Стороны, являющиеся диагоналями.
> Противоположными являются стороны, не имеющие ни одной общей вершины.

**Что называется диагональю четырёхугольника?**
- Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырёхугольника. — верно
- Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.
- Отрезок, соединяющий соседние вершины четырёхугольника.
- Прямая, содержащая сторону четырёхугольника.
> По определению, диагональ проводится между вершинами, не соединёнными стороной.

**Какое из наименований является ПРАВИЛЬНЫМ обозначением для четырёхугольника с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$?**
- DABC — верно
- BDCA
- CADB
- ACDB
> Вершины перечислены последовательно по контуру фигуры: $D \to A \to B \to C$.

**Почему четырёхугольник ABCD нельзя обозначить как ACDB?**
- Имя четырёхугольника может состоять только из трёх букв.
- Потенциально соседние буквы $A$ и $C$ обозначают противоположные, а не соседние вершины. — верно
- Обозначение всегда должно начинаться только с вершины $A$.
- Буквы в обозначении обязательно должны идти в алфавитном порядке.
> Правильное обозначение требует перечисления вершин strictly по часовой или против часовой стрелки вдоль границы.

**Сколько соседних вершин имеет любая вершина четырёхугольника?**
- 1
- 4
- 2 — верно
- 3
> От любой вершины отходят ровно две стороны, вторые концы которых дают две соседние вершины.

**Сколько противоположных вершин имеет любая вершина четырёхугольника?**
- 0
- 2
- 3
- 1 — верно
> Из 4 вершин одна является самой вершиной, две — соседними, а оставшаяся 1 — противоположной.

**Сколько смежных (соседних) сторон имеет каждая сторона четырёхугольника?**
- 2 — верно
- 1
- 0
- 3
> К двум концам любой стороны примыкает по одной соседней стороне.

**Сколько противоположных сторон имеет каждая сторона четырёхугольника?**
- 0
- 2
- 3
- 1 — верно
> Из четырех сторон одна — сама сторона, две — смежные с ней, и одна — противоположная.

**Точки $E$, $F$, $K$ и $L$ — вершины четырёхугольника, причём $KF$ — его диагональ. Какие из этих вершин являются противоположными?**
- $E$ и $F$
- $K$ и $L$
- $E$ и $K$
- $K$ и $F$ — верно
> Диагональ соединяет противоположные вершины, поэтому концы отрезка $KF$ образуют пару противоположных вершин.

**Известно, что вершины четырёхугольника — точки $E$, $F$, $K$ и $L$, а отрезок $KF$ является его диагональю. Укажите ДРУГУЮ диагональ этого четырёхугольника.**
- $EF$
- $FL$
- $EL$ — верно
- $KL$
> Вторая пара противоположных вершин — $E$ и $L$, следовательно, вторая диагональ — $EL$.

**Вершины четырёхугольника — точки $E$, $F$, $K$, $L$. Известно, что $EF$ — сторона, а $KF$ — диагональ. Какая сторона является ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ для стороны $EF$?**
- $FL$
- $KL$ — верно
- $EK$
- $FK$
> При диагонали $KF$ обход вершин имеет вид $E-F-L-K$, откуда стороны $EF$ и $KL$ не имеют общих вершин.

## 2. Периметр и «прямая короче обхода»

*Сумма сторон и неравенство для стороны*

Чтобы обойти участок по забору, нужно пройти вдоль всех четырёх сторон. Длина такого пути и есть периметр.

**Периметр**

Периметром четырёхугольника называется сумма длин всех его сторон. Обозначение: $P$ — периметр четырёхугольника.

**Периметр четырёхугольника**

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

Здесь $P_{ABCD}$ — периметр четырёхугольника $ABCD$, а $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ — длины его сторон.

**Забор вокруг участка**

memo-analogy: Аналогия: периметр — это длина забора вокруг участка. Идёшь по кругу и складываешь длины всех четырёх секций. Складывается потому, что ты проходишь стороны одну за другой, и путь просто набирается.

memo-memory: Способ запомнить, правило самопроверки: слагаемых столько же, сколько сторон, то есть четыре. Пропустил одну сторону — периметр неверный.

**Пример: Считаем периметр**

1. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ известно: $AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 5$, $AD = 6$.
2. Подставляем в формулу: $P_{ABCD} = 3 + 4 + 5 + 6$.
3. Получаем $P_{ABCD} = 18$.

**Проверь себя:** Стороны четырёхугольника равны $2$, $7$, $3$ и $8$. Чему равен периметр?
**Ответ:** $P = 2 + 7 + 3 + 8 = 20$.

Теперь вернёмся к интриге. Идти от $A$ к $D$ можно двумя путями: сразу по стороне $AD$ или в обход по $AB$, $BC$, $CD$. Прямая — самый короткий путь между двумя точками, поэтому обход не может быть короче. Отсюда свойство четырёхугольника.

**Сторона меньше суммы трёх других**

Длина любой стороны четырёхугольника меньше суммы длин трёх других его сторон: $AB < BC + CD + AD$.

**Есть ли такой четырёхугольник?**

memo-analogy: Аналогия: три палки, сложенные в ломаную, не могут «дотянуться» дальше, чем их общая длина, а четвёртая сторона как раз закрывает разрыв. Если она длиннее всех трёх вместе, замкнуть контур не выйдет.

memo-memory: Способ запомнить, правило самопроверки: самая длинная сторона должна быть меньше суммы остальных трёх. Для сторон $1$, $2$, $3$ и $10$ четырёхугольника нет: $10 > 1 + 2 + 3$.

**Пример: Проверяем, бывает ли такой четырёхугольник**

1. Даны длины сторон $3$, $4$, $5$, $6$. Проверяем самую длинную сторону: $6$.
2. Сумма трёх других: $3 + 4 + 5 = 12$.
3. $6 < 12$, значит, неравенство выполняется, и такой четырёхугольник возможен.

### Проверь себя

**Как вычисляется периметр четырёхугольника ABCD?**
- P_{ABCD} = AC + BD
- P_{ABCD} = AB + CD
- P_{ABCD} = (AB + BC) \cdot (CD + AD)
- P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD — верно
> Периметр любого многоугольника равен сумме длин всех его сторон.

**Какое соотношение справедливо для длины любой стороны четырёхугольника и длин трех других его сторон?**
- Длина любой стороны равна половине суммы длин трёх других его сторон.
- Длина любой стороны больше суммы длин трёх других его сторон.
- Длина любой стороны меньше суммы длин трёх других его сторон. — верно
- Длина любой стороны равна сумме длин трёх других его сторон.
> Это свойство следует из последовательного применения неравенства треугольника для двух треугольников, образованных диагональю.

**Какое геометрическое неравенство используется при доказательстве того, что $AB < BC + CD + AD$?**
- Неравенство о сумме смежных углов.
- Формула периметра четырёхугольника.
- Неравенство треугольника для треугольников $ABC$ и $ADC$. — верно
- Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника.
> Записываются неравенства $AB < AC + BC$ и $AC < CD + AD$, после чего они почленно складываются.

## 3. Выпуклые четырёхугольники и сумма углов

*Чем отличаются и почему $360^\circ$*

Не все четырёхугольники «круглые». Некоторые похожи на наконечник стрелы: одна вершина вдавлена внутрь. Чтобы различать их, есть проверка: продли каждую сторону до целой прямой и посмотри, где окажется вся фигура.

**Выпуклый четырёхугольник**

Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

**Выпуклый: без вдавленной вершины**

memo-analogy: Аналогия: представь натянутую резиновую рамку без вмятин. Если провести прямую вдоль любой её стороны, вся фигура остаётся с одной стороны этой прямой.

memo-memory: Способ запомнить: выпуклый — значит «выпирает наружу». Проверка: у каждой стороны вся фигура должна находиться по одну сторону от продолжающей её прямой.

*Рисунок: Два четырёхугольника ABCD: выпуклый и невыпуклый*

Любой четырёхугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю область. У выпуклого есть удобное свойство: если четырёхугольник выпуклый, то каждая диагональ делит его на два треугольника.

*Рисунок: Четырёхугольник ABCD с красным отрезком AC*

А про треугольники ты уже знаешь, что сумма их углов равна $180^\circ$. Два треугольника вместе дают углы всего четырёхугольника.

**Сумма углов выпуклого четырёхугольника**

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Здесь $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$ — углы четырёхугольника $ABCD$, а единица измерения — градус ($^\circ$).

**Два треугольника в одном**

memo-analogy: Аналогия: разрежь выпуклый четырёхугольник по диагонали, как лист бумаги, и получишь два треугольника. Углы каждого дают $180^\circ$, а все углы четырёхугольника как раз разошлись по этим двум треугольникам, ничего не потерялось.

memo-memory: Способ запомнить, опорное число: четырёхугольник — это два треугольника, значит, $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

**Пример: Ищем неизвестный угол**

1. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно: $\angle A = 110^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 100^\circ$.
2. Сумма известных углов: $110^\circ + 70^\circ + 100^\circ = 280^\circ$.
3. Из суммы $360^\circ$ вычитаем: $\angle D = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$.

**Проверь себя:** Три угла выпуклого четырёхугольника равны $80^\circ$, $100^\circ$ и $90^\circ$. Чему равен четвёртый?
**Ответ:** $360^\circ - (80^\circ + 100^\circ + 90^\circ) = 90^\circ$.

Такие утверждения любят на ОГЭ, в задании «выбери истинное высказывание»: важно помнить, что сумма углов $360^\circ$ — это теорема именно про **выпуклый** четырёхугольник, а сторона всегда меньше суммы трёх других.

**Почему диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника**

У выпуклого четырёхугольника $ABCD$ вся фигура лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей сторону. Поэтому диагональ $AC$ проходит внутри четырёхугольника и разрезает его на треугольники $ABC$ и $ACD$. Углы $\angle B$ и $\angle D$ целиком входят в эти треугольники, а углы $\angle A$ и $\angle C$ разбиты диагональю на две части. Сумма углов двух треугольников равна $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

### Проверь себя

**Какой четырёхугольник называется выпуклым?**
- Четырёхугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. — верно
- Четырёхугольник, прямые сторон которого пересекают его внутреннюю область.
- Четырёхугольник, у которого все стороны равны.
- Четырёхугольник, диагонали которого лежат во внешней области.
> Это фундаментальное определение: ни одна из прямых, проведенных через стороны, не рассекает сам четырёхугольник.

**Каким свойством обладает любая диагональ выпуклого четырёхугольника?**
- Каждая диагональ делит выпуклый четырёхугольник на два треугольника. — верно
- Каждая диагональ делит четырёхугольник на два равных квадрата.
- Диагональ всегда проходит через внешнюю область четырёхугольника.
- Диагональ делит выпуклый четырёхугольник на три треугольника.
> Проведение диагонали разбивает внутреннюю область на два треугольника с общим отрезком-диагональю.

**Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?**
- $360^\circ$ — верно
- $180^\circ$
- $540^\circ$
- $270^\circ$
> Сумма углов равна сумме углов двух треугольников, на которые его делит диагональ ($180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$).

**На чём основано доказательство теоремы о сумме углов выпуклого четырёхугольника?**
- На разбиении четырёхугольника диагональю на два треугольника, сумма углов каждого из которых равна $180^\circ$. — верно
- На удвоении суммы длин сторон четырёхугольника.
- На измерении углов с помощью транспортира.
- На построении описанной окружности около четырёхугольника.
> Углы четырёхугольника складываются из углов двух треугольников ($180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$).

**Какое НАИБОЛЬШЕЕ количество острых углов может быть в выпуклом четырёхугольнике?**
- 3 — верно
- 1
- 2
- 4
> Если бы все 4 угла были острыми (меньше $90^\circ$), их сумма была бы меньше $360^\circ$, что невозможно.

**Какое НАИБОЛЬШЕЕ количество тупых углов может иметь выпуклый четырёхугольник?**
- 4
- 3 — верно
- 2
- 1
> Четыре тупых угла (каждый больше $90^\circ$) дали бы сумму больше $360^\circ$, что противоречит теореме.

**Почему четырёхугольник MKOP на рисунке 2.8,б в материале уроков не является выпуклым?**
- Прямые $KO$ и $OP$, содержащие его стороны, проходят через его внутреннюю область. — верно
- Он состоит из трёх вершин.
- У него все стороны различной длины.
- Его периметр нельзя вычислить сложением сторон.
> Если прямая, содержащая сторону, проходит через внутреннюю область фигуры, фигура не является выпуклой.

## Ключевые термины

- **Четырёхугольник** — Фигура из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков, где никакие три точки не лежат на одной прямой, а отрезки не пересекаются
- **Диагональ** — Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырёхугольника
- **Периметр** — Сумма длин всех сторон четырёхугольника
- **Выпуклый четырёхугольник** — Четырёхугольник, лежащий по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону

## Итог

- Четырёхугольник: четыре точки, четыре последовательных отрезка, никакие три точки не на одной прямой, отрезки не пересекаются
- Соседние вершины — концы одной стороны; противоположные — не соседние; диагонали соединяют противоположные вершины
- Периметр: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$; любая сторона меньше суммы трёх других
- У выпуклого четырёхугольника сумма углов равна $360^\circ$: две части по $180^\circ$

## Шпаргалка

### Формулы четырёхугольника

- **$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$** — периметр: сумма длин сторон
- **$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$** — сумма углов выпуклого четырёхугольника
- **$AB < BC + CD + AD$** — сторона меньше суммы трёх других

### Термины

- **Диагональ** — отрезок между противоположными вершинами
- **Соседние вершины** — концы одной стороны
- **Смежные стороны** — стороны, исходящие из одной вершины
- **Выпуклый** — лежит по одну сторону от прямой каждой стороны

### Соседние и противоположные

|  | Соседние | Противоположные |
| --- | --- | --- |
| Вершины | концы одной стороны | не концы одной стороны |
| Стороны | общая вершина | нет общей вершины |
| Пример | $A$ и $B$; $AB$ и $BC$ | $A$ и $C$; $AB$ и $CD$ |

## Любопытное

- Любой четырёхугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю область.