# Хорды и дуги

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/hordy-dugi-chetyre-teoremy-obratnye-utverzhdeniya

Четыре теоремы о хордах и дугах: угол между касательной и хордой равен половине дуги; диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам (и наоборот); равные дуги стягивают равные хорды; дуги между параллельными хордами равны. Заодно разбираемся, что такое обратная теорема и почему её нельзя получать «автоматически».

## Чему научишься

- Находить угол между касательной и хордой по дуге (и дугу по углу), опираясь на теорему $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$.
- Применять пару взаимно-обратных теорем о диаметре и хорде: перпендикулярный диаметр делит хорду пополам, делящий пополам — перпендикулярен.
- Объяснять, что такое обратная теорема, приводить пример неверной обратной и использовать теоремы о равных дугах и параллельных хордах в задачах.

## С чего начать

Возьми вписанный угол и начни поворачивать одну его сторону вокруг вершины, пока она не ляжет на окружность касательной. Угол перестал быть вписанным — а правило «половина дуги» продолжает работать как ни в чём не бывало. Почему? И какие ещё «парные» факты про хорды и дуги работают в обе стороны, а какие — только в одну?

## 1. Угол между касательной и хордой

*Половина дуги — как у вписанного угла*

Пусть прямая $MN$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Проведём хорду $AB$. Получилось два угла — $\angle MAB$ и $\angle NAB$; каждый из них называют **углом между касательной и хордой**. Один острый, другой тупой, и внутри каждого лежит своя дуга окружности.

*Рисунок: Окружность с центром O, касательная MN в точке A, хорда AB*

**Теорема об угле между касательной и хордой**

**Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, ****измеряется половиной дуги****, заключённой внутри этого угла.**

$\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$

**Как понять и запомнить**

Это тот же закон, что и у вписанного угла: вписанный угол «съедает» половину дуги, на которую опирается. Касательная — предельный случай: вторая сторона вписанного угла повернулась так, что вторая точка пересечения слилась с вершиной. Сторона стала касательной, а правило «половина дуги» осталось.

Зацепки: **КАСАтельная касается окружности, а угол с хордой берёт половину дуги, заключённой внутри угла.** И числом: **угол между касательной и хордой всегда берёт ровно половину дуги: дуга пополам — это угол.** Формульная зацепка: $\angle = \frac{\smile}{2}$ — дуга наверху, двойка внизу; забыл двойку — получил центральный угол, а не угол с касательной.

*Рисунок: Прямая касается окружности в одной точке, из точки касания внутрь идёт хорда, между ними выделена дуга*

**Почему так.** Разбираем два случая.

*Случай 1: хорда *$AB$* — диаметр.* Тогда дуги внутри углов $MAB$ и $NAB$ — полуокружности по $180^\circ$. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной (радиус, проведённый в точку касания), значит $\angle NAB = 90^\circ = \frac{1}{2}\cdot 180^\circ$. Сходится.

*Рисунок: Окружность с центром O, касательная MN в точке A, диаметр AB*

*Случай 2: хорда не диаметр.* Проведём радиус $OA \perp MN$. Обозначим центральный угол $\angle AOB = x$, тогда $\smile AB = x$. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB$ — радиусы), поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2}(180^\circ - x) = 90^\circ - \frac{x}{2}$. Острый угол между касательной и хордой: $\angle NAB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - (90^\circ - \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$. То есть $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$. Для тупого угла $MAB$ рассуждение такое же.

*Рисунок: Окружность с центром O, касательная MN, треугольник OAB с углом x*

**Пример: Хорда $AB$ равна радиусу окружности. Какие углы образует хорда $AB$ с касательной в точке $A$?**

1. Проведём радиусы $OA$ и $OB$. Раз $AB = OA = OB$, треугольник $AOB$ равносторонний, и центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$.
2. Значит, меньшая дуга $\smile AB = 60^\circ$, а большая — $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.
3. Острый угол между касательной и хордой — половина меньшей дуги: $\frac{1}{2}\cdot 60^\circ = 30^\circ$. Тупой — половина большей: $\frac{1}{2}\cdot 300^\circ = 150^\circ$.
4. Проверка: $30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$ — углы смежные, всё сходится.

**Пример: Прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $C$. Хорда $DC$ образует с касательной угол $72^\circ$. Найди $\angle ODC$**

1. Угол между касательной и хордой — половина дуги $DC$, значит $\smile DC = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ$, и центральный угол $\angle DOC = 144^\circ$.
2. Треугольник $ODC$ равнобедренный ($OD = OC$), углы при основании равны: $\angle ODC = \frac{1}{2}(180^\circ - 144^\circ) = 18^\circ$.
3. Короткий путь: $\angle ODC = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ$ — это ровно та формула $\angle OAB = 90^\circ - \frac{x}{2}$ из доказательства.

**Неправильно:** Угол между касательной и хордой равен дуге, заключённой внутри него.
**Правильно:** Половине дуги. Целую дугу «съедает» только центральный угол; вписанный угол и угол между касательной и хордой берут половину.

**Проверь себя:** Прикинь: угол между касательной и хордой равен $45^\circ$. Какая дуга заключена внутри него?
**Ответ:** $90^\circ$ — вдвое больше угла.

### Проверь себя

**Как измеряется угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания?**
- Четвертью дуги, заключённой внутри угла
- Разностью между дугой и радиусом окружности
- Половиной дуги, заключённой внутри этого угла — верно
- Полной градусной мерой дуги, на которую он опирается
> Согласно теореме, градусная мера такого угла равна половине градусной меры дуги, находящейся между сторонами угла.

**Какие дуги равны согласно теореме о параллельных хордах?**
- Сумма этих дуг всегда равна $360^\circ$
- Только те дуги, которые проходят через центр
- Дуги, заключённые между этими хордами — верно
- Дуги, которые стягиваются самими хордами
> При проведении секущей образуются равные накрест лежащие вписанные углы, которые опираются на эти дуги.

**Рассмотрим первый случай доказательства теоремы об угле между касательной и хордой. Если хорда $AB$ является диаметром, чему равен угол $\angle NAB$?**
- $180^\circ$
- $0^\circ$
- $45^\circ$
- $90^\circ$ — верно
> Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а диаметр содержит этот радиус.

## 2. Диаметр и хорда: теорема и обратная

*Что значит «обратная теорема» и когда она верна*

Как найти центр круглой тарелки или спила бревна, если он ничем не отмечен? Циркуля нет, есть только линейка и угольник. Ответ прячется в теореме, которая на первый взгляд про совсем другое — про диаметр и хорду.

**Теорема**

**Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, ****делит эту хорду пополам****.**

Если $CD$ — диаметр окружности и $CD \perp AB$, то $AE = BE$ (где $E$ — точка пересечения $CD$ и $AB$).

*Рисунок: Окружность с центром O, диаметр CD, хорда AB, треугольник AOB, перпендикуляр OE к хорде*

**Почему так.** Если хорда сама диаметр — очевидно: центр делит диаметр пополам. Иначе проведём радиусы $OA$ и $OB$: треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. Отрезок $OE$ перпендикулярен основанию по условию — значит, это высота, а в равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. Поэтому $AE = BE$.

Весь секрет хорд — в этом равнобедренном треугольнике «два радиуса + хорда». Почти каждая задача про хорду начинается с того, что его проводят.

**Прямая и обратная теоремы**

Если в теореме поменять местами условие и заключение, получим **обратную теорему**. Пример: «В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является высотой» → обратная: «Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный».

Не всякая теорема имеет верную обратную. «Сумма смежных углов равна $180^\circ$» → обратная «Если сумма двух углов равна $180^\circ$, то углы смежные» **неверна**: на рис. 1.32 $\angle AEO + \angle BED = 180^\circ$, но эти углы не смежные. Когда верны и прямая, и обратная, их называют **взаимно-обратными**.

**Обратная теорема (верная)**

**Диаметр окружности, делящий хорду, не являющуюся диаметром, пополам, ****перпендикулярен этой хорде****.**

Доказательство — тем же треугольником $AOB$: если $E$ — середина $AB$, то $OE$ — медиана равнобедренного треугольника, значит и высота, то есть $OE \perp AB$. Оговорка «не являющуюся диаметром» обязательна: два диаметра делят друг друга пополам в центре, но перпендикулярны не всегда.

**Где это встречается.** Вот и ответ про тарелку: приложи линейку к краю так, чтобы она пересекла круг, — получилась хорда. Отметь её середину и угольником проведи через неё перпендикуляр: по обратной теореме на нём лежит диаметр, а значит и центр. Проведи вторую хорду в другом месте и повтори — два перпендикуляра пересекутся ровно в центре. Так размечают центр заготовки токари и так же можно найти центр любого круглого предмета дома.

**Как понять и запомнить**

Диаметр и хорда — как замок и ключ: подходят друг к другу с двух сторон. Поставил диаметр перпендикулярно — он попал точно в середину хорды; провёл диаметр через середину — он встал перпендикулярно. Это редкий случай, когда обе стороны «замка» работают.

Зацепка-самопроверка: **диаметр и хорда проверяют друг друга: перпендикуляр к хорде делит её пополам, а деление пополам возвращает перпендикулярность.**

**Пример: Хорда $MN$ пересекает диаметр $AB = 16$ см в точке $K$, $\angle AKM = 150^\circ$, расстояние от центра до хорды $2$ см. На какие отрезки хорда разделила диаметр?**

1. Расстояние от центра $O$ до хорды — это перпендикуляр $OE \perp MN$, $OE = 2$ см. Он лежит на диаметре, перпендикулярном $MN$ (это другой диаметр, не $AB$), и по теореме делит хорду $MN$ пополам; нам нужен только сам отрезок $OE$.
2. Угол между хордой и диаметром $AB$: $\angle OKE = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ (смежный с $\angle AKM$).
3. В прямоугольном треугольнике $OKE$ катет $OE = 2$ лежит против угла $30^\circ$, значит гипотенуза $OK = 2 \cdot 2 = 4$ см.
4. Радиус $OA = OB = 8$ см. Отрезки диаметра: $AK = 8 - 4 = 4$ см и $KB = 8 + 4 = 12$ см (или наоборот, смотря с какой стороны от центра точка $K$).

**Неправильно:** «Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен ей» — верно для любой хорды.
**Правильно:** Неверно для хорды-диаметра: два диаметра проходят через середины друг друга (центр), но перпендикулярны только в частном случае. Поэтому в обратной теореме стоит оговорка «хорда, не являющаяся диаметром».

**Проверь себя:** Хорда пересекает диаметр в точке $M$ и делит его на отрезки $18$ см и $12$ см. Чему равно расстояние от центра до точки $M$?
**Ответ:** Диаметр $30$ см, радиус $15$ см; $OM = 18 - 15 = 3$ см.

### Проверь себя

**Если диаметр окружности $CD$ перпендикулярен хорде $AB$, то какое утверждение верно?**
- Диаметр делит хорду пополам — верно
- Дуги, стягиваемые этой хордой, всегда равны $90^\circ$
- Хорда всегда равна радиусу окружности
- Хорда становится параллельной касательной в точке $C$
> Это следствие свойства равнобедренного треугольника, образованного радиусами, где диаметр выступает в роли высоты и медианы.

**При каком условии диаметр окружности, делящий хорду пополам, будет ей перпендикулярен?**
- Только если хорда является касательной
- Если хорда параллельна другой хорде
- Если хорда не является диаметром — верно
- Если хорда равна радиусу
> Для диаметра, делящего другой диаметр пополам, перпендикулярность не обязательна (они могут пересекаться под любым углом в центре).

**Почему треугольник $AOB$ (где $O$ — центр, а $A$ и $B$ — концы хорды) является равнобедренным?**
- Так как хорда $AB$ всегда равна радиусу
- Потому что диаметр всегда перпендикулярен хорде
- Из-за параллельности хорды и касательной
- Так как $OA$ и $OB$ — радиусы одной окружности — верно
> Все радиусы одной окружности равны по определению, что обеспечивает равенство двух сторон треугольника.

## 3. Равные дуги, равные хорды, параллельные хорды

*Две теоремы — и одна обратная, которая не работает*

Две одинаковые дуги — обязательно ли одинаковы их хорды? А наоборот: одинаковые хорды — одинаковые дуги? Кажется, что оба ответа «да», но один из них — ловушка. И ещё вопрос: если две хорды параллельны, что общего у двух «боковых» дуг между ними?

**Теорема**

**Если дуги равны, то ****равны и стягивающие их хорды****.**

Если $\smile AB = \smile CD$, то $AB = CD$.

*Рисунок: Окружность с центром O, две хорды AB и CD, радиусы OA, OB, OC, OD*

**Почему так.** Проведём радиусы $OA$, $OB$, $OC$, $OD$. Равные дуги — это равные центральные углы: $\angle AOB = \angle COD$. Все четыре радиуса равны $R$. Значит, треугольники $AOB$ и $COD$ равны по первому признаку (две стороны и угол между ними), откуда $AB = CD$.

А вот обратная — «равные хорды стягивают равные дуги» — вообще говоря, неверна. Подумай почему: каждая хорда стягивает **две** дуги, большую и меньшую. Равные хорды дают равные меньшие дуги и равные большие, но если взять меньшую дугу одной хорды и большую другой — они не равны. Формулировка «дуги» без уточнения ломается.

**Как понять и запомнить: дуги и хорды**

Хорда — тетива, дуга — лук. Одинаково натянутые луки дают одинаковые тетивы. Обратно — с оговоркой: у одной тетивы два «лука» (маленький и большой, по разные стороны), поэтому «равные тетивы — равные луки» верно, только если сравнивать луки одного размера.

Зацепка (ритм): **Равна дуга — равна хорда: равные дуги стягивают равные хорды.**

**Теорема**

**Дуги, заключённые ****между параллельными хордами, равны****.**

Если $AB \parallel CD$, то $\smile AC = \smile BD$.

*Рисунок: Окружность с параллельными хордами AB и CD, хорда BC и углы 1, 2*

**Почему так.** Проведём хорду $BC$. Углы $1$ и $2$ — накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $BC$, поэтому равны. Но эти же углы — вписанные: угол $1$ опирается на дугу $AC$, угол $2$ — на дугу $BD$. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, значит $\smile AC = \smile BD$.

**Как понять и запомнить: параллельные хорды**

Две параллельные хорды вырезают из окружности «пояс», и его боковые стороны — дуги — одинаковые, как ремешки у сумки: симметрия относительно диаметра, перпендикулярного обеим хордам.

Зацепка: **ПАРАллельные хорды идут парой, поэтому дуги между ними тоже равны.**

*Рисунок: Две параллельные хорды пересекают окружность, дуги между ними симметричны и одинаковы*

**Пример: $AB$ и $CD$ — диаметры окружности с центром $O$. Докажи, что хорды $AC$ и $BD$ равны и что $AC \parallel BD$**

1. Углы $AOC$ и $BOD$ — вертикальные, значит равны. Центральный угол равен дуге: $\smile AC = \smile BD$.
2. Равные дуги стягивают равные хорды: $AC = BD$.
3. Треугольники $AOC$ и $BOD$ равны (две стороны — радиусы — и угол между ними), поэтому $\angle OAC = \angle OBD$. Это накрест лежащие углы при прямых $AC$, $BD$ и секущей $AB$ — значит, $AC \parallel BD$.

**Проверь себя:** В окружности $AB \parallel CD$ и $\smile AC = 40^\circ$. Чему равна дуга $BD$?
**Ответ:** $40^\circ$ — дуги между параллельными хордами равны.

### Проверь себя

**Что можно сказать о хордах, если стягиваемые ими дуги равны?**
- Хорды обязательно параллельны
- Одна хорда в два раза длиннее другой
- Хорды перпендикулярны друг другу
- Хорды равны между собой — верно
> Равенство дуг влечет равенство соответствующих центральных углов и, как следствие, равенство треугольников и их оснований (хорд).

**Согласно источнику, почему обратная теорема «Равные хорды стягивают равные дуги» требует осторожности в формулировке?**
- Потому что любая хорда стягивает две разные дуги — верно
- Потому что диаметр — это тоже хорда
- Потому что дуги измеряются в сантиметрах, а хорды в градусах
- Потому что хорды могут не пересекаться
> Хорда делит окружность на две дуги (меньшую и большую), и равенство хорд не гарантирует равенство всех соответствующих дуг без уточнения.

## 4. Собираем всё вместе

*Как выбрать нужную теорему в задаче*

**Четыре теоремы параграфа и их обратные**

| Теорема | Обратная | Верна ли обратная |
| --- | --- | --- |
| Угол между касательной и хордой $= \frac{1}{2}$ дуги внутри него | — | здесь обратной не ставят: это правило измерения |
| Диаметр $\perp$ хорде $\Rightarrow$ делит её пополам | Диаметр делит хорду (не диаметр) пополам $\Rightarrow$ перпендикулярен ей | да — взаимно-обратные |
| Равные дуги $\Rightarrow$ равные хорды | Равные хорды $\Rightarrow$ равные дуги | вообще говоря, нет: у хорды две дуги |
| Хорды параллельны $\Rightarrow$ дуги между ними равны | Дуги между хордами равны $\Rightarrow$ хорды параллельны | в учебнике не доказывается — не пользуйся без доказательства |

**Приём: с чего начать задачу про хорду**

1. Увидел хорду — проведи два радиуса к её концам: появился **равнобедренный треугольник** $AOB$, а с ним равные углы при основании и высота-медиана.
2. Увидел касательную — проведи радиус в точку касания: он **перпендикулярен** касательной.
3. Нужен угол — переведи всё в **дуги**: центральный угол равен дуге, вписанный и угол с касательной — половине.

**Пример: Радиус $OM$ перпендикулярен хорде $AB$ и пересекает её в точке $E$, причём $OE = EM$. Докажи, что $\triangle AMO = \triangle BMO$, и найди периметр четырёхугольника $AMBO$, если $OM = 4{,}5$**

1. $OM \perp AB$ — радиус лежит на диаметре, перпендикулярном хорде, значит $AE = EB$. Вместе с $OE = EM$ получаем: диагонали четырёхугольника $AMBO$ делятся точкой $E$ пополам и перпендикулярны.
2. Треугольники $AMO$ и $BMO$: $AO = BO$ (радиусы), $AM = BM$ (точка $M$ на серединном перпендикуляре к $AB$), сторона $MO$ общая — равны по трём сторонам.
3. $OE = EM = \frac{OM}{2} = 2{,}25$. В прямоугольном треугольнике $AEO$: $AE$ и $OE$ — катеты, $AO = OM = 4{,}5$ — гипотенуза; $OE = \frac{1}{2}AO$, значит $\angle OAE = 30^\circ$ и $\angle AOE = 60^\circ$.
4. В треугольнике $AOM$: $AO = OM$ (радиусы) и $\angle AOM = 60^\circ$ — равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ равносторонний, значит $AM = 4{,}5$. Аналогично $BM = 4{,}5$.
5. Периметр $AMBO = AM + MB + BO + OA = 4 \cdot 4{,}5 = 18$.

**Кстати, про ОГЭ**

Задание 24 ОГЭ — доказательство: «около четырёхугольника описана окружность, продолжения сторон пересекаются в точке — докажите подобие треугольников». Инструмент там ровно этот: перевести углы в дуги и обратно (вписанный угол — половина дуги) и найти равные углы. Сейчас важно освоить сам переход «угол ↔ дуга»; вписанные четырёхугольники будут дальше.

**Проверь себя:** Хорда видна из центра под углом $140^\circ$. Чему равен угол между этой хордой и касательной, проведённой через её конец (острый)?
**Ответ:** $70^\circ$: дуга внутри острого угла равна центральному углу $140^\circ$, угол с касательной — её половина.

### Проверь себя

**В доказательстве теоремы о параллельных хордах используются накрест лежащие углы. На какие дуги опираются эти равные вписанные углы?**
- На дуги, равные центральным углам
- На полуокружности
- На дуги, которые стягивают сами параллельные хорды
- На дуги, расположенные между параллельными прямыми — верно
> Вписанные углы измеряются половиной дуг, на которые они опираются; равенство углов доказывает равенство дуг.

**Какое утверждение о взаимно-обратных теоремах верно согласно тексту?**
- Обратные теоремы существуют только в геометрии
- Не всякая теорема имеет верную обратную — верно
- Если прямая теорема верна, то обратная верна всегда
- Обратная теорема — это теорема с отрицанием условия
> В источнике приводится пример со смежными углами, где обратное утверждение оказывается ложным.

## Ключевые термины

- **Угол между касательной и хордой** — Угол, образованный касательной и хордой, проведённой из точки касания; измеряется половиной дуги, заключённой внутри него.
- **Обратная теорема** — Теорема, полученная из данной перестановкой условия и заключения; верна не всегда.
- **Взаимно-обратные теоремы** — Пара теорем, прямая и обратная, обе из которых верны.
- **Хорда, стягивающая дугу** — Хорда, концы которой совпадают с концами дуги; равные дуги стягиваются равными хордами.

## Итог

- Угол между касательной и хордой из точки касания равен половине дуги внутри угла: $\angle NAB = \frac{1}{2}\smile AB$ (как у вписанного угла).
- Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; диаметр, делящий хорду (не диаметр) пополам, перпендикулярен ей — взаимно-обратные теоремы.
- Обратная теорема — условие и заключение поменяны местами; она верна не всегда (сумма углов $180^\circ$ не значит, что углы смежные).
- Равные дуги стягивают равные хорды; обратное без оговорки неверно — у хорды две дуги.
- Дуги между параллельными хордами равны. Ключ ко всем задачам про хорды — равнобедренный треугольник «два радиуса + хорда».

## Шпаргалка

### Углы и дуги

- **$\angle NAB=\frac{1}{2}\smile AB$** — угол между касательной и хордой
- **Острый и тупой угол** — в сумме дают $180^\circ$

### Диаметр и хорда

- **Диаметр ⊥ хорде** — делит хорду пополам
- **Диаметр через середину хорды** — перпендикулярен ей (обратная теорема)

### Дуги и хорды

- **Равные дуги** — стягивают равные хорды
- **Равные хорды** — обратное неверно, у хорды две дуги
- **Параллельные хорды** — отсекают равные дуги между собой

### Приёмы

- **Видишь хорду** — проведи два радиуса — равнобедренный треугольник
- **Видишь касательную** — радиус в точку касания ей перпендикулярен
- **Видишь угол** — переводи его в дугу

## Любопытное

- Касательная — это «секущая, у которой две точки пересечения слились в одну». Поэтому угол между касательной и хордой подчиняется тому же правилу, что и вписанный угол: половина дуги.
- Фраза «равные хорды стягивают равные дуги» ловит на экзамене многих: у каждой хорды две дуги — большая и меньшая, — и без уточнения утверждение ложно.