# Квадрат

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/kvadrat

Квадрат: два определения, свойства диагоналей, место в семье четырёхугольников и оси симметрии.

## Чему научишься

- Дать два определения квадрата и объяснить, почему оба верны
- Назвать свойства диагоналей квадрата и число его осей симметрии
- Определять, истинно ли утверждение о прямоугольнике, ромбе и квадрате

## С чего начать

Квадрат — это прямоугольник или ромб? Спорят оба: у квадрата прямые углы, как у прямоугольника, и равные стороны, как у ромба. Кто прав — и почему на экзамене фраза «диагонали ромба равны» ложна, а про квадрат — истинна?

## 1. Квадрат: два пути к одной фигуре

*Прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами*

Представь два «улучшения» обычного параллелограмма. Прямоугольник — это когда ты выпрямил все углы. Ромб — когда выровнял все стороны. А теперь сделай и то и другое сразу: получится квадрат.

**Как это представить**

Прямоугольник — это дверь: углы прямые, но высота и ширина разные. Ромб — это «перекошенная» рамка из четырёх одинаковых палочек: стороны равны, но её можно сплющить, и углы поплывут. Квадрат — когда рамка из одинаковых палочек ещё и жёстко стоит на прямых углах. Зацепка для памяти: представь квадратную плитку пола — четыре одинаковые стороны и четыре прямых угла сразу. Честная оговорка: рамка — только образ, определение смотри ниже.

**Квадрат (путь 1)**

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

**Квадрат (путь 2)**

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

*Рисунок: Квадрат ABCD с прямым углом у вершины A и отметками равенства на сторонах*

В быту квадрат встречается, например, в напольной плитке: четыре стороны у неё одинаковой длины и четыре прямых угла, поэтому при укладке плитки соседние элементы стыкуются ровными рядами без зазоров по форме.

**Как запомнить:** проверка из двух вопросов. «Все стороны равны?» и «Все углы прямые?» Оба «да» — квадрат. Только первое «да» — просто ромб, только второе — просто прямоугольник. Два определения не спорят: это два входа в одну фигуру.

**Пример: Это квадрат?**

1. Фигура: все четыре угла прямые, соседние стороны $3$ см и $5$ см.
2. Прямые углы — значит, это прямоугольник.
3. Стороны не все равны, поэтому по определению это не квадрат.
4. Фигура: все стороны по $4$ см, но один угол не прямой. Это ромб, но не квадрат.

**Проверь себя:** Ромб, у которого один угол прямой, — это квадрат? Прикинь в уме.
**Ответ:** Да. У ромба все стороны равны, а прямой угол по второму определению делает его квадратом (у параллелограмма при одном прямом угле прямые и остальные).

### Проверь себя

**Какое из следующих определений квадрата приведено в учебном материале?**
- Ромб, у которого диагонали равны половине стороны.
- Прямоугольник, у которого все стороны равны. — верно
- Параллелограмм, у которого диагонали равны.
- Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под углом $60^\circ$.
> Квадрат определяется как частный случай прямоугольника, у которого равны длины всех четырёх сторон.

## 2. Свойства квадрата и диагонали

*Всё лучшее от прямоугольника и от ромба*

Раз квадрат — частный случай и прямоугольника, и ромба, он наследует свойства от обоих «родителей». Ничего не теряется: что умеет прямоугольник — умеет квадрат, что умеет ромб — умеет квадрат.

**Свойства квадрата**

Квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

*Рисунок: Квадрат ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке O, и прямым углом между диагоналями*

**Откуда что берётся.** «Равны» — подарок прямоугольника. «Перпендикулярны и делят углы пополам» — подарок ромба. Квадрат получил оба подарка сразу, поэтому у него диагонали сразу и равные, и перпендикулярные, и биссектрисы.

**Как запомнить**

Правило самопроверки: у обычного ромба диагонали (в общем случае) не равны, а у квадрата — равны. Поэтому утверждение «диагонали ромба равны» для любого ромба ложно, а для квадрата — истинно. Перед ответом спроси себя: «речь про любой ромб или про квадрат?»

**Неправильно:** Диагонали ромба равны, потому что у квадрата они равны.
**Правильно:** Квадрат — частный случай ромба, а не наоборот. Свойство квадрата не переносится на все ромбы.

**Пример: Истинно или ложно?**

1. Утверждение: «Каждый квадрат является ромбом». Квадрат — ромб с прямыми углами, значит истинно.
2. Утверждение: «Каждый ромб является квадратом». Ромб с непрямыми углами — контрпример, значит ложно.
3. Утверждение: «Диагонали квадрата перпендикулярны». Это свойство ромба, которым квадрат обладает, значит истинно.
4. Так устроены задания «Какое из утверждений истинно?» на ОГЭ: ищи контрпример или свойство-родителя.

**Проверь себя:** На какие части диагональ делит угол квадрата $90^\circ$?
**Ответ:** Пополам: диагонали квадрата делят его углы пополам, получаются два угла по $45^\circ$.

### Проверь себя

**Какими свойствами обладают диагонали квадрата?**
- Они равны, но пересекаются под острым углом и не делят углы пополам.
- Они равны, взаимно перпендикулярны и делят углы квадрата пополам. — верно
- Они взаимно перпендикулярны, но имеют разную длину.
- Они делят углы квадрата в отношении $1:2$.
> Квадрат объединяет свойства прямоугольника (равенство диагоналей) и ромба (перпендикулярность диагоналей и деление углов пополам).

**В Задаче 1 доказывается утверждение о ромбе. При каком условии ромб гарантированно является квадратом?**
- Если сумма его соседних углов равна $180^\circ$.
- Если один из его углов — прямой. — верно
- Если его периметр в 4 раза больше стороны.
- Если его диагонали взаимно перпендикулярны.
> Ромб с одним прямым углом является прямоугольником по признаку прямоугольника, а прямоугольник с равными сторонами — это квадрат.

**В квадрате ABCD точки $E, F, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Каким четырехугольником является EFMN?**
- Ромбом с острым углом $60^\circ$.
- Прямоугольником, у которого соседние стороны не равны.
- Произвольной трапецией.
- Квадратом. — верно
> Стороны EFMN равны как гипотенузы равных прямоугольных равнобедренных треугольников, а его углы равны $90^\circ$.

**Чему равна градусная мера углов $\angle 1$ и $\angle 3$ в равнобедренных прямоугольных треугольниках, образующихся при вершинах квадрата в Задаче 2?**
- $60^\circ$
- $90^\circ$
- $30^\circ$
- $45^\circ$ — верно
> В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гипотенузе равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

## 3. Семья четырёхугольников и симметрия

*Сравниваем прямоугольник, ромб и квадрат*

Все эти фигуры — как матрёшки. Самый большой набор — все четырёхугольники. В него вложены параллелограммы, в них — прямоугольники и ромбы, а квадраты сидят там, где прямоугольники и ромбы пересекаются.

**Вложенность множеств**

Множество параллелограммов является подмножеством четырёхугольников. Множество прямоугольников и множество ромбов являются подмножествами множества параллелограммов. Множество квадратов является подмножеством и множества ромбов, и множества прямоугольников, и множества параллелограммов.

*Рисунок: Схема с подписями «Четырёхугольники», «Параллелограммы», «Прямоугольники», «Квадраты» и «Ромбы»*

**Симметрия.** Прямоугольник, ромб и квадрат обладают центральной симметрией; центром симметрии является точка пересечения диагоналей. Осей симметрии у них разное число.

*Рисунок: Прямоугольник ABCD с красными перпендикулярными отрезками EF и MN, пересекающимися в точке O*

*Рисунок: Ромб ABCD с красными вертикальной и горизонтальной линиями через точку O*

*Рисунок: Квадрат ABCD с диагоналями и красными вертикальной и горизонтальной линиями через точку O*

У прямоугольника две оси симметрии — прямые, проходящие через середины противоположных сторон. У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали. У квадрата четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Логика та же: квадрат берёт обе пары осей, по две от каждого «родителя»: $2 + 2 = 4$.

**Прямоугольник, ромб, квадрат**

| Признак | Прямоугольник | Ромб | Квадрат |
| --- | --- | --- | --- |
| Стороны | равны противоположные | все равны | все равны |
| Углы | все прямые | не обязательно прямые | все прямые |
| Диагонали | равны | перпендикулярны, делят углы пополам | равны, перпендикулярны, делят углы пополам |
| Центр симметрии | точка пересечения диагоналей | точка пересечения диагоналей | точка пересечения диагоналей |
| Оси симметрии | 2: через середины сторон | 2: по диагоналям | 4: диагонали и середины сторон |

**Почему у квадрата ровно четыре оси**

Каждая ось прямоугольника (через середины сторон) подходит и квадрату, потому что квадрат — прямоугольник. Каждая ось ромба (по диагонали) подходит квадрату, потому что квадрат — ромб. Так что осей не меньше $2 + 2$, а в источнике сказано, что их именно четыре.

**Проверь себя:** Сколько осей симметрии у ромба, который не является квадратом?
**Ответ:** Две: прямые, содержащие его диагонали.

### Проверь себя

**Сколько осей симметрии имеет квадрат?**
- 8
- 1
- 4 — верно
- 2
> Квадрат сочетает 2 оси симметрии прямоугольника (через середины противоположных сторон) и 2 оси симметрии ромба (содержащие диагонали).

**Какие прямые служат осями симметрии для ромба, не являющегося квадратом?**
- Прямые, содержащие его диагонали. — верно
- Прямые, проходящие через середины противоположных сторон.
- Прямые, параллельные диагоналям и проходящие через вершины.
- Прямые, содержащие его стороны.
> Отражение относительно диагоналей переводит противоположные вершины ромба друг в друга.

**Какая точка является центром симметрии для квадрата, прямоугольника и ромба?**
- Точка пересечения высот.
- Середина любой из сторон.
- Любая вершина многоугольника.
- Точка пересечения их диагоналей. — верно
> Центром симметрии любого параллелограмма (включая его частные виды) является точка пересечения диагоналей.

**Какое из следующих утверждений о геометрических фигурах является ВЕРНЫМ согласно учебному тексту?**
- Любой квадрат является ромбом. — верно
- Любой параллелограмм является квадратом.
- Существует квадрат, который не является прямоугольником.
- Любой прямоугольник является квадратом.
> Множество квадратов является подмножеством множества ромбов, так как квадрат обладает всеми свойствами ромба.

**Какое из следующих утверждений про ромбы и квадраты является ИСТИННЫМ?**
- Квадрат имеет ровно две оси симметрии.
- Каждый ромб обязательно является квадратом.
- Диагонали квадрата не делят его углы пополам.
- Существует ромб, который не является квадратом. — верно
> Ромб, не имеющий прямых углов, не отвечает определению квадрата.

**Какие прямые являются осями симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом?**
- Прямые, совпадающие с его сторонами.
- Прямые, содержащие его диагонали.
- Прямые, содержащие биссектрисы его углов.
- Прямые, проходящие через середины противоположных сторон. — верно
> Сгибание прямоугольника по этим линиям совмещает противоположные стороны и вершины.

**При доказательстве в Задаче 2 используется равенство $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Какая геометрическая причина лежит в основе этого равенства?**
- Противолежащие углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$.
- Сумма внешних углов многоугольника всегда равна $180^\circ$.
- Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
- Углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ вместе образуют развернутый угол с вершиной $N$ на стороне $AD$. — верно
> Точка $N$ лежит на отрезке $AD$, поэтому угол с вершиной в точке $N$ вдоль прямой является развернутым и равен $180^\circ$.

## Ключевые термины

- **Квадрат** — Прямоугольник, у которого все стороны равны; ромб, у которого все углы прямые.
- **Центр симметрии** — Точка пересечения диагоналей у прямоугольника, ромба и квадрата.
- **Ось симметрии** — Прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя.

## Итог

- Квадрат — прямоугольник с равными сторонами и одновременно ромб с прямыми углами.
- Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
- Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят его углы пополам.
- Множество квадратов — подмножество ромбов, прямоугольников и параллелограммов.
- У квадрата четыре оси симметрии и центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

## Шпаргалка

### Определения квадрата

- **Через прямоугольник** — прямоугольник с равными сторонами
- **Через ромб** — ромб с прямыми углами
- **Диагонали квадрата** — равны, перпендикулярны, делят углы пополам

### Три фигуры рядом

|  | Прямоугольник | Ромб | Квадрат |
| --- | --- | --- | --- |
| Стороны | противоположные равны | все равны | все равны |
| Углы | все прямые | не обязательно прямые | все прямые |
| Оси симметрии | 2 | 2 | 4 |

### Вложенность множеств

- **Параллелограммы** — подмножество четырёхугольников
- **Прямоугольники и ромбы** — подмножества параллелограммов
- **Квадраты** — подмножество ромбов и прямоугольников

### Оси симметрии

- **Прямоугольник** — через середины противоположных сторон
- **Ромб** — прямые, содержащие диагонали
- **Квадрат** — диагонали и середины противоположных сторон

## Любопытное

- Из трёх фигур — прямоугольник, ромб, квадрат — больше всего осей симметрии у квадрата: целых четыре, по две от каждого «родителя».