# Подведём итоги (окружность)

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/okruzhnost-itogi-geometriya-8-klass

Итоги главы «Окружность»: собираем в одну систему все определения (окружность, радиус, диаметр, хорда, дуга, секущая, касательная, центральный и вписанный углы) и все теоремы (свойство касательной и обратное, отрезки касательных, угол между касательной и хордой, вписанный угол и его следствия). Проверяем себя по вопросам учебника и решаем две итоговые задачи.

## Чему научишься

- Давать определения всех понятий главы (окружность, центр, радиус, диаметр, круг, хорда, дуга, секущая, касательная, центральный и вписанный углы) в той форме, в какой их спрашивают.
- Формулировать и доказывать ключевые теоремы главы: свойство касательной и обратное, равенство отрезков касательных, теорему о вписанном угле и её следствия.
- Решать итоговые задачи, комбинируя несколько теорем: переход «угол ↔ дуга», касательные и вписанные углы, вписанный угол на диаметр.

## С чего начать

Равнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность, через концы основания $B$ и $C$ проведены касательные, которые пересекаются в точке $D$. Известно только одно: угол при основании вдвое больше угла между касательными. Можно ли найти угол $A$ — и почему он получится тупым, хотя на рисунке «вроде бы» обычный треугольник?

## 1. Окружность и прямая: что нужно знать наизусть

*Определения и свойство касательной*

**Окружность и её элементы**

**Окружность** — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра). **Центр** — точка, равноудалённая от всех точек окружности. **Радиус** — отрезок, соединяющий центр с любой её точкой. **Хорда** — отрезок, соединяющий две точки окружности. **Диаметр** — хорда, проходящая через центр. **Круг** — часть плоскости, ограниченная окружностью.

**Как понять и запомнить: окружность и круг**

Окружность — обруч, круг — блин. Обруч — только линия (все точки на одном расстоянии от центра), блин — вся начинка внутри. Радиус — спица от центра к обручу, хорда — палочка, воткнутая в обруч двумя концами, диаметр — самая длинная такая палочка, через центр.

Способ запомнить: **окружность — линия, круг — площадь****; диаметр — хорда через центр, **$d = 2r$**.**

**Почему три точки окружности не лежат на одной прямой.** Прямая и окружность имеют не больше двух общих точек: если расстояние от центра до прямой $d$ больше радиуса — общих точек нет, если $d = r$ — одна (касание), если $d < r$ — две. Третьей быть не может, поэтому никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.

**Секущая и касательная**

**Секущая** — прямая, имеющая с окружностью две общие точки. **Касательная** — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку; **точка касания** — эта единственная общая точка.

**Как понять и запомнить: секущая и касательная**

Секущая режет обруч насквозь — две дырки. Касательная только чиркает по нему снаружи — одна точка. Сдвигай секущую от центра: две точки сближаются, сливаются в одну — прямая стала касательной; сдвинь ещё — точек нет.

Зацепки: **КАСательная только КАСается окружности в одной общей точке.** **СЕКущая словно СЕЧЁТ окружность и проходит через две её точки.**

*Рисунок: Одна прямая касается круга ровно в одной точке, другая пересекает окружность в двух точках*

**Свойство касательной и обратная теорема**

**Теорема.** Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

**Обратная теорема.** Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она — касательная.

**Отрезки касательных**, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр.

**Пример: Как доказать свойство касательной (план ответа на вопрос учебника)**

1. Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$. Предположим противное: $OA$ не перпендикулярен $a$.
2. Тогда перпендикуляр $OH$ из центра на прямую короче наклонной $OA$: $OH < r$ — расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
3. Но тогда прямая имеет с окружностью две общие точки, то есть она секущая, а не касательная. Противоречие — значит, $OA \perp a$.

**Пример: Как доказать равенство отрезков касательных из одной точки**

1. Из точки $A$ проведены касательные $AB$ и $AC$ ($B$, $C$ — точки касания). Проведём $OB$, $OC$, $OA$.
2. $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$ по свойству касательной; треугольники $AOB$ и $AOC$ прямоугольные с общей гипотенузой $OA$ и равными катетами $OB = OC = r$.
3. Они равны по гипотенузе и катету, откуда $AB = AC$ и $\angle OAB = \angle OAC$.

**Проверь себя:** Расстояние от центра окружности радиуса $5$ до прямой равно $5$; $7$; $3$. Сколько общих точек в каждом случае?
**Ответ:** $5$ — одна (касательная); $7$ — ни одной; $3$ — две (секущая).

### Проверь себя

**Какое из следующих определений наиболее точно описывает различие между окружностью и кругом?**
- Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, а окружность — это только граница этой части. — верно
- Окружность имеет радиус, а круг характеризуется только диаметром.
- Окружность — это тело вращения, а круг — это плоская фигура.
- Между этими понятиями нет математического различия.
> Согласно источнику, окружность состоит из точек на заданном расстоянии от центра, в то время как круг включает в себя часть плоскости внутри этой границы.

**Какое свойство характерно для отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки?**
- Один отрезок всегда в два раза длиннее другого.
- Они всегда перпендикулярны друг другу.
- Они равны между собой. — верно
- Их сумма равна диаметру окружности.
> Согласно свойству отрезков касательных, отрезки, проведённые из одной точки до точек касания, имеют одинаковую длину.

**Что такое хорда окружности?**
- Отрезок, соединяющий две любые точки окружности. — верно
- Отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности.
- Часть окружности, ограниченная двумя точками.
- Прямая, проходящая через центр окружности.
> Это стандартное определение хорды, приведённое в источнике.

## 2. Дуги и углы: три «половины» и одна «целая»

*Центральный и вписанный углы, угол с касательной*

**Дуга, центральный угол, градусная мера**

**Дуга окружности** — каждая из частей, на которые две точки делят окружность. **Центральный угол** — угол с вершиной в центре окружности. **Полуокружность** — дуга, концы которой являются концами диаметра. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на неё; обозначается знаком $\smile$: $\smile AB$. Полуокружность — $180^\circ$.

**Как понять и запомнить: центральный угол**

Дуга — кусок пирога, центральный угол — тот же кусок, если смотреть из середины пирога: раствор ножей и кусок — одно и то же число градусов. Поэтому дугу и меряют через центральный угол.

Зацепка: **ЦЕНТРальный угол начинается в ЦЕНТРе, и его градусная мера равна мере опирающейся дуги.**

*Рисунок: Угол с вершиной в центре круга и выделенная дуга между его сторонами*

**Вписанный угол**

**Вписанный угол** — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

**Три теоремы об измерении углов**

**Центральный угол** равен градусной мере дуги, на которую опирается.

**Вписанный угол** измеряется половиной дуги, на которую опирается.

**Угол между касательной и хордой**, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла.

**Как понять и запомнить: половины**

Из центра кусок пирога виден целиком, с края — вдвое меньшим. Касательная — тот же взгляд с края, только вторая сторона угла прижалась к окружности. Отсюда одно число на три теоремы: вписанный и угол с касательной — половина, центральный — целая дуга.

Зацепки: **вписанный угол берёт ПОЛОВИНУ градусной меры дуги, на которую опирается.** **Полуокружность — **$180^\circ$**, её половина — **$90^\circ$**, поэтому вписанный угол на полуокружность прямой.**

**Следствия из теоремы о вписанном угле**

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (у всех — половина одной дуги).
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
3. Если диаметром окружности является гипотенуза прямоугольного треугольника, то вершина прямого угла лежит на этой окружности.

**Пример: Как доказать, что вписанный угол на полуокружность — прямой, и обратное следствие**

1. Полуокружность — дуга в $180^\circ$ (концы — концы диаметра, центральный угол развёрнутый). Вписанный угол — половина: $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
2. Обратно: пусть в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Построим окружность с диаметром $AB$. Если бы $C$ лежала вне или внутри окружности, угол $ACB$ был бы меньше или больше $90^\circ$ (это можно проверить сравнением с вписанным углом в точке пересечения луча $AC$ с окружностью). Значит, $C$ лежит на окружности — гипотенуза является диаметром.

**Неправильно:** Вписанный угол равен дуге, на которую опирается, а центральный — половине.
**Правильно:** Наоборот: центральный равен дуге (он «смотрит» из центра), вписанный — половине. Центральный вдвое больше вписанного на ту же дугу.

**Проверь себя:** Прикинь: дуга $130^\circ$. Чему равны центральный угол, вписанный угол и угол между касательной и хордой, опирающиеся на неё?
**Ответ:** $130^\circ$, $65^\circ$ и $65^\circ$.

### Проверь себя

**Чему равен угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания?**
- Всегда $90^{\circ}$ независимо от положения хорды.
- Полной градусной мере дуги, на которую он опирается.
- Половине градусной меры дуги, заключённой внутри этого угла. — верно
- Произведению радиуса на длину хорды.
> Это прямое определение из теоремы об угле между касательной и хордой.

**Какое утверждение о вписанных углах является верным?**
- Вершина вписанного угла всегда находится в центре окружности.
- Вписанный угол измеряется полной градусной мерой дуги.
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. — верно
- Вписанный угол в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
> Это следствие из теоремы о вписанном угле: так как они опираются на одну дугу, их величины (равные половине этой дуги) совпадают.

**Если диаметр окружности является гипотенузой прямоугольного треугольника, где должна располагаться вершина его прямого угла?**
- В любой точке внутри окружности, кроме центра.
- На этой окружности. — верно
- Вне круга, ограниченного этой окружностью.
- В центре окружности.
> Это следует из того, что прямой угол должен опираться на диаметр, чтобы быть вписанным углом величиной $90^{\circ}$.

## 3. Две итоговые задачи

*Как теоремы главы работают вместе*

*Рисунок: Окружность с точками A, B, C, D, отрезками между ними и двумя прямыми, касающимися окружности в точках B и C*

**Пример: Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC$) вписан в окружность; $DB$, $DC$ — касательные; $\angle ABC = \angle ACB = 2\angle BDC$. Найди угол $A$**

1. Обозначим $\angle A = \alpha$, $\angle B = \angle C = \beta$; тогда $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.
2. Угол между касательной $DB$ и хордой $BC$ равен половине дуги $BC$, заключённой внутри него. Вписанный угол $A$ опирается на дугу $BC$, не содержащую $A$: $\smile BC = 2\alpha$.
3. Посмотрим на рисунок: касательные пересекаются со стороны вершины $A$, значит внутри угла $DBC$ лежит дуга $BC$, содержащая точку $A$, — её мера $360^\circ - 2\alpha$. Тогда $\angle DBC = \frac{360^\circ - 2\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha$.
4. Треугольник $DBC$ равнобедренный ($DB = DC$ — отрезки касательных из одной точки): $\angle BDC = 180^\circ - 2\angle DBC = 180^\circ - 2(180^\circ - \alpha) = 2\alpha - 180^\circ$. Раз этот угол положителен, $\alpha > 90^\circ$ — угол $A$ тупой.
5. По условию $\beta = 2\angle BDC = 4\alpha - 360^\circ$. Подставляем в $\alpha + 2\beta = 180^\circ$: $\alpha + 8\alpha - 720^\circ = 180^\circ$, $9\alpha = 900^\circ$, $\alpha = 100^\circ$.
6. Проверка: $\beta = 40^\circ$, $\angle BDC = 20^\circ$, и действительно $40^\circ = 2 \cdot 20^\circ$. Ответ: $\angle A = 100^\circ$.

**Пример: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на высоте $BH$ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону $BC$ в её середине $M$. Найди углы треугольника**

1. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BH$, значит вписанный угол $BMH$ опирается на полуокружность — он прямой: $HM \perp BC$.
2. $M$ — середина $BC$, и $HM \perp BC$: отрезок $HM$ — серединный перпендикуляр к $BC$. Точка $H$ на нём, значит $HB = HC$.
3. Треугольник $BHC$ равнобедренный с прямым углом $H$ ($BH$ — высота): $\angle HBC = \angle HCB = 45^\circ$.
4. $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = \angle C = 45^\circ$ (треугольник равнобедренный с основанием $AC$), $\angle B = 90^\circ$.

**Как отвечать на вопросы «Подведём итоги»**

Каждый вопрос учебника — либо **определение** (дай его дословно и покажи на рисунке), либо **теорема** (сформулируй, нарисуй, назови план доказательства: что предполагаем, какой треугольник рассматриваем, откуда противоречие или равенство). Проверь себя списком: окружность, центр, радиус, диаметр, круг; три случая «прямая и окружность»; секущая, касательная, точка касания; свойство касательной и обратное; отрезки касательных; хорда, дуга, центральный угол, полуокружность, градусная мера дуги; угол между касательной и хордой; вписанный угол и три следствия.

**Что дальше: четырёхугольники и Фалес**

Следующая глава — четырёхугольники: параллелограмм и его признаки, прямоугольник, квадрат, средняя линия треугольника, теорема Фалеса, вписанные и описанные четырёхугольники. Фалес Милетский (около 625–547 гг. до н. э.) — первый из математиков, кто разработал систему доказательств; он предсказал солнечное затмение 585 г. до н. э. и придумал дальномер для определения расстояния до корабля через подобие треугольников.

**Проверь себя:** В окружность вписан прямоугольный треугольник с гипотенузой $10$. Чему равен радиус окружности?
**Ответ:** $5$: гипотенуза — диаметр (прямой вписанный угол опирается на полуокружность).

### Проверь себя

**Как согласно теореме о свойстве касательной расположены касательная к окружности и радиус, проведённый в точку касания?**
- Они составляют угол, равный половине дуги окружности.
- Они параллельны друг другу.
- Они пересекаются под острым углом.
- Они перпендикулярны друг другу. — верно
> Теорема гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, что образует угол в $90^{\circ}$.

**Если вписанный угол опирается на полуокружность, какова его градусная мера?**
- $45^{\circ}$
- Зависит от радиуса окружности.
- $180^{\circ}$
- $90^{\circ}$ — верно
> По теореме вписанный угол, опирающийся на полуокружность, всегда является прямым.

**Согласно исторической справке, какое научное достижение принадлежит Фалесу Милетскому?**
- Открытие закона всемирного тяготения.
- Точное предсказание солнечного затмения 585 г. до н.э. — верно
- Изобретение десятичных дробей.
- Доказательство того, что сумма углов любого четырехугольника равна $360^{\circ}$.
> В тексте указано, что Фалес точно предсказал солнечное затмение 585 г. до н.э.

## Ключевые термины

- **Окружность** — Геометрическая фигура из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра).
- **Касательная** — Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (точку касания); перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.
- **Секущая** — Прямая, имеющая с окружностью две общие точки.
- **Центральный угол** — Угол с вершиной в центре окружности; его градусная мера равна градусной мере дуги.
- **Вписанный угол** — Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность; измеряется половиной дуги, на которую опирается.

## Итог

- Окружность — все точки на расстоянии $r$ от центра; круг — часть плоскости внутри; хорда — отрезок между точками окружности, диаметр — хорда через центр.
- Прямая и окружность: $d > r$ — нет общих точек, $d = r$ — касательная (одна точка), $d < r$ — секущая (две точки). Касательная ⊥ радиусу в точке касания (и обратно); отрезки касательных из одной точки равны.
- Дуга измеряется центральным углом; полуокружность — $180^\circ$. Центральный угол равен дуге, вписанный и угол между касательной и хордой — половине.
- Следствия: вписанные углы на одну дугу равны; на полуокружность — прямой; гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности.
- В задачах: переводи углы в дуги, ищи равнобедренные треугольники (радиусы, отрезки касательных) и прямые углы (касательная, вписанный на диаметр).

## Шпаргалка

### Углы и дуги

- **Центральный угол** — равен своей дуге
- **Вписанный угол** — равен половине дуги
- **Касательная и хорда** — угол равен половине дуги
- **Вписанные на одну дугу** — равны между собой
- **Вписанный на полуокружность** — равен $90^\circ$, гипотенуза — диаметр

### Прямая и окружность

- **$d > r$** — прямая и окружность не пересекаются
- **$d = r$** — касательная, одна общая точка
- **$d < r$** — секущая, две общие точки

### Касательная

- **Касательная и радиус** — перпендикулярны в точке касания
- **Отрезки касательных** — из одной точки равны
- **$AO$** — биссектриса угла между касательными

### Фигуры

- **Хорда** — отрезок между двумя точками окружности
- **Диаметр** — хорда через центр
- **Секущая** — прямая с двумя общими точками
- **Полуокружность** — дуга в $180^\circ$

## Любопытное

- В итоговой задаче с касательными угол при вершине вписанного равнобедренного треугольника обязан быть тупым: иначе угол между касательными получился бы отрицательным — сама формула $\angle BDC = 2\angle A - 180^\circ$ подсказывает, каким должен быть рисунок.
- Фалес Милетский, чьё имя носит теорема из следующей главы, первым построил геометрию как систему доказательств и предсказал солнечное затмение 585 г. до н. э.