# Окружность

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/okruzhnost-krug-geometriya-8-klass

Окружность и круг, их части — радиус, хорда, диаметр; как проверить, лежит ли точка в круге, и как по одному расстоянию между центрами узнать, пересекутся ли две окружности.

## Чему научишься

- Различать окружность и круг и правильно называть их части: центр, радиус, хорду, диаметр
- Определять положение точки относительно круга по расстоянию до центра
- По радиусам и расстоянию между центрами определять взаимное расположение двух окружностей

## С чего начать

Крышка люка круглая, а не квадратная. Дело не в красоте: квадратную крышку можно уронить в собственный люк, а круглую — нет. Какое свойство окружности этому мешает?

## 1. Окружность, круг и их части

*Одна фраза определения — и всё остальное следует из неё*

Возьмите верёвку, привяжите к колышку, натяните и обойдите вокруг. След, который останется на земле, и есть окружность. Важно, что верёвка всё время одной длины — именно это, а не «круглость», делает фигуру окружностью.

**Окружность**

Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).

**Центр окружности**

Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.

*Рисунок: Окружность с отмеченным центром O, радиусом, диаметром BC и хордой AB*

Теперь по деталям. Ваша верёвка от колышка до руки — это радиус. Отрезок между двумя следами на земле — хорда. А хорда, случайно прошедшая ровно через колышек, — диаметр.

**Радиус окружности**

Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

**Хорда окружности**

Отрезок, соединяющий две точки окружности.

**Диаметр окружности**

Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.

**Связь диаметра и радиуса**

$d = 2r$ — диаметр в 2 раза больше радиуса.

**Почему именно вдвое — и как не перепутать**

Диаметр проходит через центр, а значит распадается на два радиуса, приложенных друг к другу: от края до колышка и от колышка до другого края. Отсюда и множитель 2.

**Способ запомнить:** диаметр — слово длиннее, и сам отрезок длиннее. **Правило самопроверки:** радиус не может быть больше диаметра. Получилось больше — вы разделили не то на то.

**Пример: Считаем в обе стороны**

1. Радиус колеса 30 см. Диаметр: $d = 2r$, подставляем — $d = 2 \cdot 30 = 60$ см.
2. Обратная задача: диаметр тарелки 24 см, найти радиус. Из $d = 2r$ следует $r = \frac{d}{2}$.
3. Подставляем: $r = \frac{24}{2} = 12$ см.
4. Самопроверка: $12$ меньше $24$ — радиус меньше диаметра, всё сходится.

Осталось отделить окружность от круга. Окружность — это только сама линия, без внутренности. Круг — это уже заполненная фигура.

**Круг**

Часть плоскости, ограниченная окружностью.

*Рисунок: Настенные часы с римскими цифрами и стрелками*

**Неправильно:** «Круг и окружность — одно и то же, просто разные слова».
**Правильно:** Окружность — линия (обод колеса, ободок часов). Круг — вся область внутри вместе с границей (диск, блин, монета целиком).

**Проверь себя:** Почему круглую крышку люка нельзя уронить в люк, а квадратную — можно?
**Ответ:** У квадрата диагональ длиннее стороны, и крышку можно развернуть так, что она провалится. У круга любая хорда не длиннее диаметра, поэтому крышка ни в каком повороте не пройдёт в отверстие.

### Проверь себя

**Какое из следующих определений наиболее точно описывает окружность?**
- Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от центра. — верно
- Кривая, у которой диаметр всегда меньше радиуса.
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой линией.
- Отрезок, соединяющий две любые точки на плоскости.
> Это определение описывает окружность как совокупность точек на фиксированном расстоянии от заданной точки.

**Как называется отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности?**
- Хорда — верно
- Секущая
- Радиус
- Центр
> По определению хорда — это любой отрезок, концы которого лежат на окружности.

**Если диаметр окружности равен $10$ см, чему равен её радиус?**
- $20$ см
- $5$ см — верно
- $10$ см
- $2.5$ см
> Согласно формуле $d = 2r$, радиус в два раза меньше диаметра, то есть $10 / 2 = 5$.

## 2. Где лежит точка

*Одно расстояние решает всё*

Вышка мобильной связи добивает на 3 км. Ваш дом в 2 км от неё — связь есть. Дом друга в 4 км — связи нет. Вы только что решили геометрическую задачу: определили, лежит ли точка в круге. Всё, что для этого нужно, — одно расстояние и одно сравнение.

*Рисунок: Окружность с центром O и точками A, B, C, показывающая соотношение расстояния p и радиуса R*

**Принадлежность точки кругу**

Неравенство принадлежности точки кругу: $p \leqslant R$, где $p$ — расстояние от точки до центра круга, $R$ — его радиус.

**Зона покрытия — и почему знак нестрогий**

Круг — это зона действия вышки, $R$ — дальность сигнала, $p$ — насколько вы от неё отошли. Пока не ушли дальше, чем берёт вышка, вы внутри зоны.

**Почему знак нестрогий:** равенство $p = R$ означает, что точка стоит ровно на окружности. Граница принадлежит кругу, поэтому она входит в условие. **Правило самопроверки:** сравнивайте всегда с радиусом, а не с диаметром — самая частая потеря балла именно здесь.

**Пример: Проверяем три точки одного круга радиуса 5**

1. Точка на расстоянии $p = 3$. Сравниваем: $3 \leqslant 5$ — условие выполнено, точка внутри круга.
2. Точка на расстоянии $p = 5$. Сравниваем: $5 \leqslant 5$ — выполнено, точка лежит на окружности и принадлежит кругу.
3. Точка на расстоянии $p = 8$. Сравниваем: $8 \leqslant 5$ — неверно, точка кругу не принадлежит.
4. Итог: одна проверка $p \leqslant R$ разбирает все три случая, отдельные правила не нужны.

Из определения окружности следует ещё один факт, который на первый взгляд кажется мелочью, а на деле работает в доказательствах постоянно.

**Теорема**

Никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.

*Рисунок: Точка O, соединённая отрезками с точками A, D, B, E, C на прямой a, с отметками равных отрезков*

**Почему трёх точек быть не может**

Пусть три точки прямой лежат на окружности — тогда все три одинаково удалены от центра $O$. Но если двигаться по прямой, расстояние до точки $O$ сначала убывает, доходит до наименьшего значения и дальше только растёт. Одно и то же значение такое движение даёт не более двух раз — по одному на каждую сторону от ближайшей точки. Третьему разу взяться неоткуда.

**Проверь себя:** Прямая пересекла окружность. Сколько общих точек у них может быть?
**Ответ:** Не больше двух — именно это и означает теорема о трёх точках.

### Проверь себя

**Какое условие должно выполняться для расстояния $p$ от точки до центра, чтобы эта точка принадлежала кругу радиуса $R$?**
- $p > R$
- $p < R - r$
- $p \le R$ — верно
- $p = d$
> Точка принадлежит кругу, если она находится либо на самой окружности ($p = R$), либо внутри неё ($p < R$).

**В чем главное отличие круга от окружности согласно определениям?**
- Окружность — это объемная фигура, а круг — плоская.
- У круга есть диаметр, а у окружности есть только радиус.
- Круг состоит из точек, не лежащих на одной прямой, а окружность — из точек на прямой.
- Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, а окружность — только сама линия. — верно
> Окружность является границей, в то время как круг включает в себя все точки внутри этой границы.

**Какая хорда в окружности является самой большой?**
- Любая хорда, не проходящая через центр
- Радиус
- Диаметр — верно
- Дуга
> По определению диаметр — это хорда, проходящая через центр, и она длиннее любой другой хорды.

## 3. Две окружности рядом

*Шесть случаев, одно расстояние*

Две шестерёнки в механизме: если развести оси слишком далеко, зубцы не сцепятся; сдвинуть слишком близко — заклинит. Между этими крайностями есть рабочий диапазон. Геометрия описывает его точно, и для этого хватает трёх чисел: двух радиусов и расстояния между центрами.

*Рисунок: Шесть схем взаимного расположения двух окружностей, обозначенных буквами от а до е*

**Взаимное расположение двух окружностей**

Для окружностей с радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$) и расстоянием $p$ между центрами:

— две общие точки (пересекаются): $R - r < p < R + r$;

— одна общая точка (внешнее касание): $p = R + r$;

— одна общая точка (внутреннее касание): $p = R - r$.

**Два обруча на полу — и как запомнить края диапазона**

Положите на пол два обруча и разводите их. Пока они наезжают друг на друга, пересечений два. В момент, когда обручи только соприкоснулись снаружи, между центрами ровно сумма радиусов — дальше общих точек не остаётся. Если же маленький обруч лежит внутри большого и прижался к нему изнутри, расстояние между центрами равно разности радиусов.

**Способ запомнить:** снаружи — **сумма** $R + r$, изнутри — **разность** $R - r$, а всё, что между ними, даёт две точки. **Правило самопроверки:** посчитайте обе границы прежде, чем отвечать: почти все ошибки — от того, что посчитали одну.

Три случая выше — те, где общие точки есть. Но на рисунке из учебника вариантов шесть, и остальные три — это случаи, когда общих точек нет вовсе. Разобрать их проще всего тем же сравнением $p$ с двумя границами.

**Когда общих точек нет**

— **Внешнее расположение**: $p > R + r$. Окружности разошлись, каждая целиком вне другой.

— **Внутреннее расположение без касания**: $p < R - r$. Меньшая лежит внутри большей и до неё не достаёт.

— **Концентрические окружности** — частный случай предыдущего: $p = 0$, центры совпадают, одна окружность внутри другой на одинаковом расстоянии по всем направлениям.

**Все шесть случаев по одному признаку**

| Расстояние между центрами | Общих точек | Как выглядит |
| --- | --- | --- |
| $p > R + r$ | Нет | Разошлись, каждая вне другой |
| $p = R + r$ | Одна | Соприкоснулись снаружи |
| $R - r < p < R + r$ | Две | Накладываются друг на друга |
| $p = R - r$ | Одна | Меньшая прижата к большей изнутри |
| $p < R - r$ | Нет | Меньшая внутри большей, не касаясь |
| $p = 0$ | Нет | Концентрические: центры совпали |

**Пример: Разбираем расположение по трём числам**

1. Даны $R = 8$, $r = 3$, $p = 11$. Сначала считаем границы: сумма $R + r = 11$, разность $R - r = 5$.
2. Сравниваем $p$ с суммой: $11 = 11$, то есть $p = R + r$.
3. Это случай внешнего касания — общая точка ровно одна.
4. Изменим условие: пусть $p = 7$. Проверяем диапазон: $5 < 7 < 11$, значит $R - r < p < R + r$.
5. Вывод: окружности пересекаются в двух точках.

*Рисунок: Окружность с центром A и вписанными отрезками AC, AB, AM, AE, образующими хорды и треугольники*

**Проверь себя:** Радиусы $R = 6$ и $r = 2$. При каком расстоянии между центрами будет внутреннее касание?
**Ответ:** При $p = R - r = 6 - 2 = 4$.

### Проверь себя

**Две окружности с радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$) касаются внешним образом. Какое соотношение верно для расстояния $p$ между их центрами?**
- $p < R - r$
- $p = R - r$
- $R - r < p < R + r$
- $p = R + r$ — верно
> При внешнем касании центры окружностей находятся по разные стороны от общей точки касания, поэтому расстояние между ними равно сумме радиусов.

**Если расстояние между центрами двух окружностей $p$ удовлетворяет условию $R - r < p < R + r$, сколько общих точек они имеют?**
- Две точки — верно
- Ни одной точки
- Бесконечно много точек
- Одну точку
> Данное двойное неравенство является условием пересечения двух окружностей.

**Для двух окружностей зафиксировано расстояние между центрами $p = R - r$ (при $R > r$). Какое это касание?**
- Окружности не имеют общих точек
- Внутреннее касание — верно
- Пересечение в двух точках
- Внешнее касание
> При внутреннем касании одна окружность находится внутри другой, и расстояние между центрами в точности равно разности их радиусов.

## Ключевые термины

- **Окружность** — Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).
- **Центр окружности** — Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.
- **Радиус окружности** — Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
- **Хорда окружности** — Отрезок, соединяющий две точки окружности.
- **Диаметр окружности** — Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.
- **Круг** — Часть плоскости, ограниченная окружностью.

## Итог

- Окружность — все точки плоскости на одном расстоянии от центра; круг — часть плоскости, ограниченная окружностью
- Радиус соединяет центр с точкой окружности, хорда — две точки окружности, диаметр — хорда через центр и самая большая из хорд
- Диаметр и радиус связаны как $d = 2r$
- Точка принадлежит кругу, когда $p \leqslant R$; знак нестрогий, потому что граница входит в круг
- Для двух окружностей: две общие точки при $R - r < p < R + r$, внешнее касание при $p = R + r$, внутреннее — при $p = R - r$; общих точек нет при $p > R + r$ и при $p < R - r$ (в том числе у концентрических, когда $p = 0$)

## Шпаргалка

### Формулы

- **$d = 2r$** — диаметр через радиус
- **$\rho \le R$** — точка внутри круга ($\rho$ — до центра)

### Что есть что

- **Окружность** — все точки на расстоянии $r$ от центра
- **Круг** — окружность и всё внутри неё
- **Хорда** — отрезок между двумя точками окружности
- **Диаметр** — хорда через центр, самая длинная

### Две окружности ($p$ — между центрами, $R \ge r$)

- **$p > R + r$** — не пересекаются
- **$p = R + r$** — внешнее касание
- **$R - r < p < R + r$** — две общие точки
- **$p = R - r$** — внутреннее касание
- **$p < R - r$** — одна внутри другой; $p = 0$ — концентрические

## Любопытное

- Круглые люки делают круглыми не ради красоты: это единственная простая форма, крышка которой не может провалиться в собственный проём ни при каком повороте.
- Теорема «никакие три точки окружности не лежат на одной прямой» — причина, по которой через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, и притом ровно одну.