# Окружность и прямая Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/okruzhnost-pryamaya-sekushchaya-kasatelnaya Прямая и окружность могут не встречаться, пересекаться в двух точках или касаться в одной — всё решает сравнение двух отрезков: радиуса и расстояния от центра до прямой. Разбираем три случая, касательную, её свойство «перпендикулярна радиусу» и почему две касательные из одной точки всегда одинаковой длины. ## Чему научишься - По радиусу $R$ и расстоянию $p$ от центра до прямой сразу сказать, сколько у прямой и окружности общих точек - Доказать, что прямая — касательная, и пользоваться тем, что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания - Находить углы и отрезки в задаче с двумя касательными из одной точки, не вычисляя ничего лишнего ## С чего начать Посмотри на искры от болгарки: они не разлетаются куда попало, а вылетают тонкими прямыми лучами, и каждый луч будто только чиркает край диска — не пересекая его. Почему прямая от искры «трогает» окружность ровно в одной точке и под каким углом она стоит к диску? ## 1. Дорога и озеро: три случая *Сравниваем $p$ с $R$ — и всё известно* Представь круглое озеро и прямую дорогу. Дорога может пройти далеко от озера, может срезать его по берегу (тогда её придётся класть по мосту), а может лишь чиркнуть край, задев берег в одной точке. Кто это решает? Не «форма» дороги и не размер озера сами по себе, а **два расстояния**: радиус озера и расстояние от его центра до дороги. В учебнике эти два отрезка называются $R$ — радиус окружности и $p$ — расстояние от центра окружности $O$ до прямой. Расстояние до прямой — это длина **перпендикуляра**, опущенного из центра на прямую (не любого отрезка до неё, а самого короткого). На рисунках перпендикуляр выделен цветом. *Рисунок: Окружность с центром O и радиусом R, выше неё прямая a; из центра к прямой опущен перпендикуляр p, он длиннее радиуса* *Рисунок: Окружность с центром O, прямая пересекает её в точках A и B; перпендикуляр p из центра короче радиуса R, проведённого в точку B* *Рисунок: Окружность с центром O, прямая задевает её в одной точке; радиус в эту точку перпендикулярен прямой* **Три случая взаимного расположения прямой и окружности** - $p > R$ — прямая и окружность не имеют общих точек - $p < R$ — прямая и окружность имеют две общие точки - $p = R$ — прямая и окружность имеют одну общую точку Здесь $R$ — радиус окружности, $p$ — расстояние от центра окружности до прямой. **Как это понять и как проверить себя** Радиус — это «дальность вылазки» окружности от центра: дальше чем на $R$ от центра ни одна её точка не уходит. Если дорога проходит от центра дальше, чем окружность вообще дотягивается ($p > R$), встретиться им негде. Если ближе ($p < R$) — дорога заходит внутрь круга, а войти внутрь и выйти наружу прямая может только через берег, поэтому точек ровно две: вход и выход. Если ровно на $R$ — дорога лишь задевает берег в одной точке. Правило самопроверки: **всегда сравнивай **$p$** именно с радиусом, а не с диаметром**, и $p$ — это перпендикуляр из центра. Получил «общих точек три» — ошибка: прямая не может пересечь окружность больше чем в двух точках. *Рисунок: Круглое озеро с центром и три прямые дороги: одна идёт мимо, вторая пересекает воду в двух точках берега, третья касается берега в одной точке* *Рисунок: Окружность с центром O, прямая проходит через центр и пересекает окружность в точках A и B* **Пример: Диаметр окружности равен 10 см. Прямая $a$ удалена от её центра на 4 см, 10 см и 5 см. В каком случае прямая — касательная?** 1. Сравнивать нужно с радиусом, а дан диаметр: $R = 10 : 2 = 5$ см. 2. $p = 4$ см: $4 < 5$, то есть $p < R$ — прямая режет окружность, две общие точки, это секущая. 3. $p = 10$ см: $10 > 5$, то есть $p > R$ — прямая проходит мимо, общих точек нет. 4. $p = 5$ см: $5 = 5$, то есть $p = R$ — одна общая точка. Касательная — только в третьем случае. **Неправильно:** Диаметр 10 см, прямая на расстоянии 10 см от центра — значит, касается: числа же совпали. **Правильно:** Совпасть с $p$ должен радиус, а не диаметр. Радиус здесь 5 см, $p = 10 > 5$ — прямая проходит мимо окружности, общих точек нет. **Проверь себя:** Радиус окружности 6 см. Прямая проходит от центра на расстоянии 6 см, но не через перпендикуляр, а «наискосок» — так бывает? **Ответ:** Нет. Расстояние от точки до прямой — это по определению длина перпендикуляра, «наискосок» оно не измеряется. Если перпендикуляр из центра равен 6 см, прямая касается окружности в его основании. ### Проверь себя **Какое условие должно выполняться, чтобы прямая и окружность имели ровно две общие точки?** - $p = R$ - $p < R$ — верно - $p > R$ - $p = 0$ > Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая пересекает внутреннюю область круга и имеет две точки пересечения с его границей. **Если расстояние от центра окружности до прямой $p$ больше радиуса $R$ ($p > R$), то сколько общих точек имеют прямая и окружность?** - Две - Ни одной — верно - Одна - Бесконечно много > Если расстояние до прямой превышает радиус, то ни одна точка прямой не может оказаться на окружности или внутри неё. **Каким свойством обладают отрезки касательных $MA$ и $MB$, проведённых к окружности из одной точки $M$?** - Они равны между собой — верно - Они перпендикулярны друг другу - Их сумма равна диаметру - $MA$ всегда в два раза больше $MB$ > Согласно свойству, отрезки касательных, проведённых из одной точки, имеют одинаковую длину. ## 2. Касательная: одна точка и прямой угол *Свойство и признак — одна теорема в две стороны* Третий случай настолько важный, что у прямой в нём своё имя. Заодно назовём и второй случай. **Секущая и касательная** **Секущая** — прямая, имеющая две общие точки с окружностью. **Касательная к окружности** — прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. **Точка касания** — общая точка касательной и окружности. *Рисунок: Окружность с центром O; прямая a, подписанная «касательная», задевает окружность в единственной точке A* Вернёмся к искрам. Искра отрывается от края диска и дальше летит по прямой — той самой, которая с окружностью диска имеет одну общую точку, точку отрыва. Отсюда и выражение «летит по касательной». А теперь главный вопрос: под каким углом эта прямая стоит к радиусу, проведённому в точку отрыва? *Рисунок: Абразивный диск, от края которого прямыми пучками разлетаются искры* **Свойство касательной (теорема)** Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: $a \perp OA$, где $a$ — касательная, $O$ — центр окружности, $A$ — точка касания. **Почему обязательно прямой угол** Колесо стоит на асфальте. Дорога — касательная к колесу (общая точка одна — где резина давит на асфальт), а спица, идущая из оси прямо в эту точку, стоит к дороге строго вертикально. Наклони спицу — и её конец окажется либо под асфальтом, либо над ним, то есть уже не в точке касания. Так и с радиусом: единственный радиус, который «достаёт» до касательной, — перпендикулярный ей, потому что у касательной $p = R$, а $p$ — это и есть перпендикуляр из центра. Правило самопроверки: увидел в задаче касательную — сразу проведи радиус в точку касания и отметь прямой угол. Прямоугольный треугольник в задаче с касательной появляется почти всегда именно так. *Рисунок: Велосипедное колесо стоит на ровной дороге, одна спица от оси ведёт точно в точку касания с дорогой и образует с ней прямой угол* **Почему так: доказательство от противного** Пусть прямая $a$ — касательная к окружности с центром $O$, $A$ — точка касания. Предположим, что $a$ **не** перпендикулярна радиусу $OA$. Тогда $OA$ — наклонная к прямой $a$, а наклонная всегда длиннее перпендикуляра. Значит, расстояние от центра до прямой меньше радиуса: $p < R$. Но тогда по первой части урока прямая $a$ — секущая и общих точек две, а по условию она касательная и точка одна. Противоречие. Следовательно, $a \perp OA$. Теорему можно прочитать и в обратную сторону — и это тоже верно. Обратное утверждение называют **признаком касательной**: по нему доказывают, что данная прямая — касательная. **Признак касательной (теорема)** Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной. *Рисунок: Окружность с центром O, точка A на ней; через A проведена прямая a, радиус OA образует с ней прямой угол* **Как не забыть признак** Признак — это свойство, прочитанное задом наперёд. Свойство: «касательная → прямой угол с радиусом». Признак: «точка на окружности + прямой угол с радиусом → касательная». Как в замке с двумя ключами: один ключ — точка лежит на окружности, второй — прямая перпендикулярна радиусу в этой точке; повернул оба — замок открылся, прямая признана касательной. Один ключ без второго ничего не открывает. Правило самопроверки: доказываешь, что прямая — касательная, — в ответе обязаны прозвучать ОБА слова: «точка окружности» и «перпендикулярна радиусу». Не назвал одно — доказательство неполное. **Почему признак работает** По условию $a \perp OA$, то есть $OA$ — перпендикуляр из центра $O$ к прямой $a$. Значит, расстояние от центра до прямой равно радиусу: $p = R$. А при $p = R$ общая точка у прямой и окружности одна — прямая $a$ касательная. **Неправильно:** Прямая перпендикулярна радиусу — значит, она касательная. **Правильно:** Не хватает половины условия: прямая должна ещё проходить через конец радиуса на окружности. Перпендикуляр к радиусу можно провести и через его середину — такая прямая режет окружность, это секущая. В признаке два условия: точка на окружности И прямой угол с радиусом в этой точке. **Пример: На рисунке 1.14 $AC$ — диаметр окружности, $AB$ — касательная, $\angle ABC = 50^\circ$. Найдите угол $COD$** 1. Касательная $AB$ перпендикулярна радиусу $OA$ в точке касания, а $OA$ лежит на диаметре $AC$. Значит, $\angle BAC = 90^\circ$. 2. В треугольнике $ABC$ два угла известны: $\angle BAC = 90^\circ$ и $\angle ABC = 50^\circ$. Третий: $\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. 3. Точка $D$ лежит на прямой $CB$, поэтому $\angle OCD$ — тот же угол $ACB$: $\angle OCD = 40^\circ$. 4. $OC$ и $OD$ — радиусы, треугольник $COD$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle ODC = \angle OCD = 40^\circ$. 5. $\angle COD = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$. Ответ: $100^\circ$. *Рисунок: Окружность с центром O, вертикальный диаметр AC; в точке A горизонтальная касательная с прямым углом к диаметру; точка B на касательной, отрезок BC пересекает окружность в точке D, проведён радиус OD* **Проверь себя:** Радиус окружности 5 см. Через точку окружности провели прямую, а перпендикуляр из центра к этой прямой оказался длиной 3 см. Может ли эта прямая быть касательной? **Ответ:** Нет. У касательной перпендикуляр из центра — это сам радиус, то есть $p = R = 5$ см. Здесь $p = 3 < 5$ — прямая секущая, у неё есть вторая общая точка с окружностью. ### Проверь себя **Как называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку?** - Секущая - Касательная — верно - Радиус - Хорда > Согласно определению, касательная — это прямая, имеющая ровно одну общую точку с окружностью. **Как называется прямая, имеющая две общие точки с окружностью?** - Касательная - Радиус - Точка касания - Секущая — верно > Прямая, пересекающая окружность в двух точках, по определению называется секущей. **Если прямая $a$ и окружность имеют только одну общую точку, какое утверждение о расстоянии $p$ верно?** - $p = R$ — верно - $p = 2R$ - $p > R$ - $p < R$ > Когда расстояние от центра до прямой в точности равно радиусу, прямая лишь касается окружности в одной точке. ## 3. Две касательные из одной точки *Равные отрезки и равные углы — из двух прямоугольных треугольников* Если точка $M$ лежит вне круга, из неё к окружности можно провести две касательные — как два луча фонарика, которые обходят круглый столб слева и справа и лишь чиркают его края. *Рисунок: Окружность с центром O, точка M справа вне круга; из M выходят две прямые, касающиеся окружности в точках A и B, радиусы OA и OB перпендикулярны им* **Отрезки касательных** **Отрезки касательных, проведённых из одной точки** — отрезки, соединяющие данную точку, не принадлежащую кругу, с точками касания. На рисунке это $MA$ и $MB$. **Теорема об отрезках касательных** Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны и образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности: $MA = MB$, $\angle OMA = \angle OMB$. **Согни лист по линии $OM$** Картинка симметрична: прямая $OM$ через точку и центр — как линия сгиба. Согни лист по ней — окружность ляжет сама на себя (центр на сгибе), точка $M$ останется на месте, и верхняя касательная точно накроет нижнюю. Всё, что совпало при сгибе, равно: отрезок $MA$ лёг на $MB$, угол $OMA$ — на угол $OMB$. Правило самопроверки: в задаче с двумя касательными из одной точки сразу подпиши на чертеже равные отрезки одинаковыми штрихами и помни, что $OM$ делит угол между касательными пополам. Если получил $MA \neq MB$ — где-то ошибка. **Почему так: два равных прямоугольных треугольника** Проведём радиусы $OA$ и $OB$ в точки касания (рис. 1.13). По свойству касательной $MA \perp OA$ и $MB \perp OB$, значит, треугольники $OAM$ и $OBM$ прямоугольные. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $OA = OB$ (радиусы). Прямоугольные треугольники с равными гипотенузой и катетом равны, поэтому равны и остальные их элементы: $MA = MB$ и $\angle OMA = \angle OMB$. *Рисунок: Окружность с центром O, точка M вне круга, касательные MA и MB с прямыми углами при A и B, проведён отрезок OM* **Пример: Из точки $M$ к окружности проведены касательные $MA$ и $MB$, $MA = 7$ см, $\angle AMB = 70^\circ$. Найдите $MB$ и $\angle OMA$** 1. Отрезки касательных из одной точки равны: $MB = MA = 7$ см. 2. Прямая $OM$ образует с касательными равные углы, то есть делит угол $AMB$ пополам: $\angle OMA = 70^\circ : 2 = 35^\circ$. 3. Ответ: $MB = 7$ см, $\angle OMA = 35^\circ$. Ничего измерять и вычислять сверх этого не нужно — теорема даёт ответ сразу. **Пример: Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7** 1. «Описан около окружности» значит, что каждая сторона квадрата касается окружности. Так эту тему спрашивают на ОГЭ в задании 16. 2. Для касательной расстояние от центра до прямой равно радиусу: до каждой стороны от центра ровно $7$. 3. Две противоположные стороны параллельны, центр между ними, до каждой $7$ — расстояние между ними $7 + 7 = 14$. Это и есть сторона квадрата. 4. Площадь: $S = 14 \cdot 14 = 196$. Ответ: $196$. **Проверь себя:** Из точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $\angle OMA = 25^\circ$. Чему равен угол $AMB$? **Ответ:** $\angle AMB = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$: прямая $OM$ делит угол между касательными пополам. ### Проверь себя **Чему равен угол между касательной к окружности и радиусом, проведённым в точку касания?** - $0^{\circ}$ - $90^{\circ}$ — верно - $45^{\circ}$ - $180^{\circ}$ > По свойству касательной, она всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. **Что такое «точка касания»?** - Точка, лежащая внутри круга - Центр окружности - Общая точка касательной и окружности — верно - Любая точка на секущей прямой > По определению, это та самая единственная точка, в которой прямая соприкасается с кривой окружности. **Точка $M$ расположена вне круга. $MA$ и $MB$ — отрезки касательных. Что верно для углов $\angle OMA$ и $\angle OMB$?** - $\angle OMA = \angle OMB$ — верно - $\angle OMA + \angle OMB = 180^{\circ}$ - $\angle OMA = 90^{\circ}$ - $\angle OMA$ всегда в два раза больше $\angle OMB$ > Отрезки касательных образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. ## Ключевые термины - **Секущая** — Прямая, имеющая две общие точки с окружностью. - **Касательная к окружности** — Прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. - **Точка касания** — Общая точка касательной и окружности. - **Отрезки касательных, проведённых из одной точки** — Отрезки, соединяющие данную точку, не принадлежащую кругу, с точками касания. - **Расстояние от центра до прямой ($p$)** — Длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на прямую. ## Итог - Сравни $p$ (перпендикуляр из центра на прямую) с радиусом $R$: $p > R$ — общих точек нет, $p < R$ — две (секущая), $p = R$ — одна (касательная). - Касательная — прямая с единственной общей точкой с окружностью; она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: $a \perp OA$. - Признак: прямая через точку окружности, перпендикулярная радиусу в этой точке, — касательная. Нужны оба условия. - Из точки вне круга идут две касательные; их отрезки равны ($MA = MB$), а прямая через точку и центр делит угол между ними пополам ($\angle OMA = \angle OMB$). ## Шпаргалка ### Прямая и окружность ($p$ — от центра до прямой) - **$p > R$** — общих точек нет - **$p < R$** — две общие точки, секущая - **$p = R$** — одна общая точка, касательная - **$p = 0$** — секущая через центр, точки — концы диаметра ### Касательная - **$a \perp OA$** — касательная перпендикулярна радиусу в точку касания - **$MA = MB$** — отрезки касательных из одной точки равны - **$\angle OMA = \angle OMB$** — $OM$ — биссектриса угла между касательными ### Доказать, что прямая — касательная 1. **Точка** — проверь, что прямая проходит через точку окружности 2. **Радиус** — проведи радиус в эту точку 3. **Угол** — покажи, что прямая перпендикулярна этому радиусу ### Задача с касательной 1. **Радиус в точку касания** — проведи и отметь прямой угол 2. **Две касательные из точки** — отрезки равны, $OM$ делит угол пополам 3. **Прямоугольный треугольник** — ищи его с вершинами центр, точка касания, внешняя точка ## Любопытное - Слово «касательная» — перевод латинского tangens, «касающийся». От того же слова — тангенс в тригонометрии: его определяют через отрезок касательной к единичной окружности. - Больше двух общих точек у прямой и окружности быть не может: в первом параграфе главы доказано, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.