# Окружность, описанная около треугольника Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/opisannaya-okruzhnost-treugolnika-centr-svoystva Описанная окружность — та, на которой лежат все три вершины треугольника. Доказываем, что серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну, где её центр, почему он бывает вне треугольника и когда центры вписанной и описанной окружностей совпадают. ## Чему научишься - Доказывать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин. - Формулировать определение описанной окружности и вписанного треугольника и находить центр описанной окружности как точку пересечения серединных перпендикуляров ($OA = OB = OC$). - Различать вписанную и описанную окружности треугольника (центры, радиусы, положение центра) и объяснять, почему в равностороннем треугольнике их центры совпадают. ## С чего начать Три деревни стоят треугольником, и надо выкопать один колодец так, чтобы до каждой деревни было ровно одинаково. Где его копать — и всегда ли такое место есть? А если деревни образуют очень тупой треугольник, колодец может оказаться… вообще за пределами треугольника. Почему? ## 1. Серединные перпендикуляры — одна точка *Теорема, на которой держится описанная окружность* В прошлом уроке мы вписали окружность в треугольник. Теперь задача наоборот: вписать треугольник в окружность, то есть провести окружность через все три его вершины. Центр такой окружности должен быть одинаково удалён от вершин — а множество точек, равноудалённых от двух точек, мы знаем: это **серединный перпендикуляр** к отрезку между ними. **Теорема** **Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ****пересекаются в одной точке****.** *Рисунок: Треугольник ABC, точка O, три прямые a, b, c, перпендикулярные к сторонам, и отрезки OA, OB, OC* **Почему так.** Пусть $a$ и $b$ — серединные перпендикуляры к сторонам $BC$ и $AC$. Сначала убедимся, что они вообще пересекаются. Предположим противное: $a \parallel b$. Прямая $CA$ перпендикулярна $b$, значит перпендикулярна и $a$. Но и $CB$ перпендикулярна $a$ — получается, через точку $C$ проходят две прямые, перпендикулярные одной прямой $a$. Это невозможно, значит $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $O$. Теперь докажем, что $O$ лежит и на серединном перпендикуляре $c$ к стороне $AB$. По теореме о серединном перпендикуляре: $O$ на прямой $a$, значит $OB = OC$; $O$ на прямой $b$, значит $OA = OC$. Отсюда $OA = OB$ — точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$ и потому лежит на его серединном перпендикуляре $c$. Все три прямые прошли через $O$, причём $OA = OB = OC$. **Как понять и запомнить** Серединный перпендикуляр — «дорожка», на которой ты одинаково далеко от двух точек. Пересеклись две дорожки — ты одинаково далеко сразу от трёх вершин, а значит стоишь и на третьей дорожке. Та же логика, что с биссектрисами, только «далеко от стен» заменено на «далеко от точек». Зацепка: **СЕРЕДИНные перпендикуляры — сначала ищи СЕРЕДИНЫ сторон, затем ставь перпендикуляр.** *Рисунок: Три стороны треугольника с отмеченными серединами и перпендикулярными лучами через них* **Замечание.** Точка пересечения серединных перпендикуляров может и **не принадлежать** треугольнику — в тупоугольном треугольнике она оказывается снаружи. Серединные перпендикуляры, в отличие от биссектрис, не обязаны проходить внутри. *Рисунок: Треугольник ABC, точка O вне треугольника, три линии a, b, c, перпендикулярные сторонам* **Проверь себя:** Точка лежит на серединных перпендикулярах к сторонам $BC$ и $AC$. Как отсюда получить, что она равноудалена от $A$ и $B$? **Ответ:** $OB = OC$ и $OA = OC$ по теореме о серединном перпендикуляре, значит $OA = OB$. ### Проверь себя **Где может быть расположен центр описанной около треугольника окружности?** - Всегда строго вне треугольника. - Только внутри треугольника. - Только на одной из вершин треугольника. - Внутри, снаружи или на стороне треугольника. — верно > Расположение центра зависит от вида треугольника и может быть как внутри, так и вне его пределов. **При доказательстве теоремы о пересечении серединных перпендикуляров предполагается, что перпендикуляры $a$ и $b$ параллельны. К какому противоречию это ведет?** - Треугольник превращается в квадрат. - Серединный перпендикуляр не делит сторону пополам. - Сумма углов треугольника становится больше $180^{\circ}$. - Через одну точку проходят две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой. — верно > Если $a \parallel b$, то прямые $CA$ и $CB$, перпендикулярные им, должны быть параллельны или совпадать, что невозможно для сторон треугольника. **Почему точка $O$ (пересечение двух серединных перпендикуляров) обязательно лежит на третьем серединном перпендикуляре?** - Это аксиома, не требующая доказательства. - Потому что она равноудалена от концов третьей стороны. — верно - Потому что в треугольнике всегда есть центр симметрии. - Так как сумма всех перпендикуляров равна радиусу. > Так как $OA=OC$ и $OB=OC$, то $OA=OB$, а по теореме любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. ## 2. Описанная окружность: есть и единственная *Определение, теорема, центр* **Описанная окружность, вписанный треугольник** **Окружность называется описанной около треугольника, если ****все его вершины лежат на окружности****, а треугольник называется вписанным в окружность.** **Как понять и запомнить: кто в кого** Снова смотри, кто внутри. Теперь внутри — треугольник: его вершины сели на окружность, он **вписался** в неё. Окружность обходит его снаружи — она его **описала**. Сравни с прошлым уроком: там внутри была окружность, здесь — треугольник. Зацепка: **ВПИСанный треугольник — его вершины ВПИСАлись на окружность.** *Рисунок: Треугольник, чьи три вершины лежат на большой окружности* **Теорема** **Около любого треугольника можно описать окружность и ****притом только одну****.** *Рисунок: Окружность с вписанным треугольником ABC, точка O, отрезки OA, OB, OC и три линии через O* **Почему так — существование.** Пусть $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров. Мы доказали, что $OA = OB = OC$. Значит, окружность с центром $O$ и радиусом $OA$ проходит через $A$, $B$ и $C$ — она описана около треугольника. **Единственность.** Если окружность описана около треугольника, её центр равноудалён от вершин — лежит на всех трёх серединных перпендикулярах, а это точка $O$. Радиус — расстояние от $O$ до вершины. Центр один, радиус один — окружность одна. **Центр описанной окружности** **Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.** $OA = OB = OC$ — радиус равен расстоянию от центра до любой вершины. **Как понять и запомнить: центр** Центр описанной окружности — «колодец» из крючка урока: точка, от которой до всех трёх вершин одинаково. Найти её — значит найти, где сходятся серединные перпендикуляры. Зацепки: **О — это Одна общая точка, где пересеклись серединные перпендикуляры и оказался центр окружности.** И самопроверка: **из центра **$O$** до всех вершин путь одинаковый: **$OA = OB = OC$**.** **Неправильно:** Центр описанной окружности — точка пересечения биссектрис. **Правильно:** Биссектрисы дают центр ВПИСАННОЙ окружности (равноудалённость от сторон). Центр ОПИСАННОЙ — на серединных перпендикулярах (равноудалённость от вершин). **Проверь себя:** Как найти центр окружности, описанной около треугольника, одним циркулем и линейкой? **Ответ:** Построить серединные перпендикуляры к двум сторонам; их пересечение — центр, расстояние до любой вершины — радиус. ### Проверь себя **Что является центром окружности, описанной около треугольника?** - Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. — верно - Точка пересечения медиан треугольника. - Точка пересечения биссектрис треугольника. - Точка пересечения высот треугольника. > Центр описанной окружности равноудален от вершин, что обеспечивается свойством серединных перпендикуляров. **Сколько окружностей можно описать около произвольного треугольника?** - Зависит от вида треугольника (остроугольный или тупоугольный). - Бесконечно много. - Только одну. — верно - Три — по количеству сторон. > Теорема утверждает, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. **Если $O$ — центр описанной около $\triangle ABC$ окружности, какое из равенств верно?** - $AB = BC = AC$ - $OA + OB = OC$ - $OA = OB = OC$ — верно - $O$ находится на стороне $AC$. > Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, поэтому расстояния от центра до них являются радиусами и равны между собой. ## 3. Вписанная и описанная: сравнение и особый случай *Две окружности одного треугольника* **Две окружности треугольника** | | Вписанная окружность | Описанная окружность | | --- | --- | --- | | Что касается / где лежит | касается всех сторон | проходит через все вершины | | Как называется треугольник | описанный около окружности | вписанный в окружность | | Центр | пересечение биссектрис | пересечение серединных перпендикуляров | | Центр равноудалён от | сторон: $OM = ON = OP = r$ | вершин: $OA = OB = OC$ | | Где центр | всегда внутри треугольника | внутри, на стороне или снаружи (тупоугольный) | | Сколько таких окружностей | ровно одна | ровно одна | Полезно помнить: **в равностороннем треугольнике**** центры вписанной и описанной ****окружностей совпадают****.** Ведь в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является медианой и высотой, а значит, и серединным перпендикуляром к стороне. Биссектрисы и серединные перпендикуляры — одни и те же три прямые, и пересекаются они в одной и той же точке. **Как понять и запомнить: равносторонний** В равностороннем треугольнике всё «сплющено» в одно: биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр — одна линия. Поэтому и два центра — один. У любого другого треугольника они разъезжаются. Зацепка: **РАВНОсторонний — всё РАВНО: центры вписанной и описанной окружностей совпадают.** *Рисунок: Равносторонний треугольник с двумя окружностями, имеющими один общий центр* *Рисунок: Окружность с вписанным треугольником ABC, точка O, отрезки OA, OB, OC и перпендикуляры OE, OF, OH к сторонам* **Пример: На рис. 1.46 треугольник $ABC$ равносторонний, $O$ — центр описанной окружности. Сколько треугольников на рисунке, есть ли равные и равнобедренные?** 1. Считаем: сам $ABC$; три «больших» — $AOB$, $BOC$, $AOC$; шесть «малых» прямоугольных — по два у каждого перпендикуляра ($AOE$, $BOE$, $BOF$, $COF$, $COH$, $AOH$). Итого $1 + 3 + 6 = 10$. 2. Равные: $AOB = BOC = AOC$ по трём сторонам ($OA = OB = OC$ — радиусы, $AB = BC = AC$). Шесть малых прямоугольных треугольников тоже равны между собой: гипотенузы — радиусы, катеты $OE = OF = OH$ (в равностороннем треугольнике центр описанной окружности — это и центр вписанной, расстояния до сторон равны). 3. Равнобедренные: $AOB$, $BOC$, $AOC$ (две стороны — радиусы) и $ABC$ (равносторонний — частный случай равнобедренного). **Пример: Три деревни $A$, $B$, $C$ — где копать колодец, равноудалённый от всех? Треугольник $ABC$ тупоугольный с тупым углом при $B$** 1. Колодец должен быть на одинаковом расстоянии от трёх точек — это центр описанной окружности, точка пересечения серединных перпендикуляров к $AB$ и $BC$. 2. Строим середины $AB$ и $BC$, проводим через них перпендикуляры к сторонам; их пересечение $O$ — место колодца, $OA = OB = OC$ — расстояние до каждой деревни. 3. Раз угол $B$ тупой, точка $O$ окажется вне треугольника — по другую сторону от $AC$, чем вершина $B$. Это нормально: серединные перпендикуляры не обязаны пересекаться внутри. **Проверь себя:** Треугольник прямоугольный. Где лежит центр описанной окружности? **Ответ:** На гипотенузе, в её середине: серединные перпендикуляры к катетам пересекаются на середине гипотенузы (это согласуется с тем, что вписанный прямой угол опирается на диаметр). ### Проверь себя **Какая окружность называется описанной около треугольника?** - Окружность, центр которой совпадает с точкой пересечения биссектрис. - Окружность, проходящая через середины всех сторон треугольника. - Окружность, которая касается всех сторон треугольника. - Окружность, которая проходит через все вершины треугольника. — верно > Согласно определению, окружность является описанной, если все вершины треугольника лежат на ней. **В каком случае центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают?** - В любом равнобедренном треугольнике. - В равностороннем треугольнике. — верно - В прямоугольном треугольнике. - Никогда не совпадают. > В правильном треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают. **Как называется треугольник, все вершины которого лежат на окружности?** - Описанный треугольник. - Равноудаленный треугольник. - Вписанный треугольник. — верно - Центральный треугольник. > Согласно определению, если вершины лежат на окружности, то треугольник вписан в неё. ## Ключевые термины - **Описанная окружность** — Окружность, на которой лежат все вершины треугольника. - **Вписанный треугольник** — Треугольник, все вершины которого лежат на окружности (окружность описана около него). - **Серединный перпендикуляр** — Прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему; каждая её точка равноудалена от концов отрезка. - **Центр описанной окружности** — Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; равноудалена от вершин. ## Итог - Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин: $OA = OB = OC$. - Окружность описана около треугольника, если все его вершины лежат на ней; треугольник тогда вписан в окружность. - Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну; центр — точка пересечения серединных перпендикуляров, радиус — расстояние до вершины. - Центр описанной окружности может лежать вне треугольника (тупоугольный); центр вписанной — всегда внутри. - В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают: биссектриса = медиана = высота = серединный перпендикуляр. ## Шпаргалка ### Формулы окружности - **$OA = OB = OC$** — радиусы описанной окружности равны - **$R = OA$** — радиус через вершину и центр ### Где центр - **Остроугольный** — центр внутри треугольника - **Прямоугольный** — центр на гипотенузе - **Тупоугольный** — центр снаружи треугольника ### Вписанная и описанная | | Вписанная | Описанная | | --- | --- | --- | | Строится по | биссектрисам | серединным перпендикулярам | | Равноудалена от | сторон | вершин | | Центр | всегда внутри | внутри, на гипотенузе или снаружи | ### Особый случай - **Равносторонний треугольник** — центры вписанной и описанной окружностей совпадают - **Описанная окружность** — ровно одна около любого треугольника ## Любопытное - У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит ровно на середине гипотенузы — поэтому гипотенуза и есть диаметр, а прямой угол — вписанный угол, опирающийся на диаметр. - У тупоугольного треугольника центр описанной окружности вылетает наружу — за сторону, противолежащую тупому углу. Центр вписанной окружности наружу не выходит никогда.