# Параллелограмм и его свойства

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/parallelogramm-i-ego-svojstva

Параллелограмм: что это такое, какие у него равные стороны, углы и диагонали, как его биссектриса и высоты помогают считать длины и углы.

## Чему научишься

- Ты сможешь отличить верное свойство параллелограмма от неверного и объяснить, почему оно верно
- Ты сможешь находить периметр и неизвестные углы параллелограмма по данным сторонам и одному углу
- Ты сможешь решать задачи про биссектрису угла параллелограмма и угол между его высотами

## С чего начать

Настольная лампа на шарнирных рычагах и раздвижной штатив двигаются, наклоняются, складываются, а фигура из рычагов всё время остаётся параллелограммом. Что в нём остаётся неизменным, пока он «гуляет», и как этим пользоваться в задачах?

## 1. Что такое параллелограмм и как устроены его стороны

*Определение, равные стороны и периметр*

Возьмите четыре палочки и скрепите их по углам шарнирами. Если противоположные палочки одинаковые, получится рамка, которую можно «перекосить»: углы меняются, а рамка остаётся параллелограммом. Так устроены рычаги лампы и ножки штатива. Сначала разберёмся, что именно мы называем параллелограммом.

*Рисунок: Шарнирная конструкция из металлических стержней с центральным креплением*

**Параллелограмм**

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Слово «попарно» значит, что параллельных пар **две**: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Одной пары параллельных сторон мало: у такой фигуры две другие стороны могут быть наклонены как угодно. Обозначают параллелограмм по вершинам, обходя их по кругу: $ABCD$.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD*

Теперь главное. Параллелограмм — **выпуклый** четырёхугольник, то есть «не вмятый внутрь». Диагональ делит его на два равных треугольника, и поэтому у него есть такие свойства:

- противоположные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$;
- противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

**Свойства параллелограмма**

В параллелограмме: 1) диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника; 2) противоположные стороны равны; 3) противоположные углы равны.

Это те самые «неизменные» вещи из крючка. Пока вы качаете шарнирную рамку, палочки не меняют длину, поэтому противоположные стороны остаются равными. Меняются только углы.

**Периметр параллелограмма**

$P_{ABCD} = 2(AB + AD)$, где $P_{ABCD}$ — периметр параллелограмма $ABCD$, а $AB$ и $AD$ — две соседние стороны.

**Почему так и как запомнить**

Аналогия: пройдите по забору вокруг участка-параллелограмма. Вы пройдёте длинную сторону, короткую, потом опять длинную и опять короткую. Стороны идут парами одинаковых, поэтому достаточно измерить две соседние и удвоить сумму. Зацепка: «две соседние сторонки — и всё удвой». Самопроверка: в ответе должно получиться чётное число равных частей, то есть две пары одинаковых сторон.

**Пример: Периметр по двум сторонам**

1. Дано: $AB = 3$ дм, $AD = 5$ дм. Нужно найти $P_{ABCD}$.
2. Противоположные стороны равны, поэтому $CD = 3$ дм, $BC = 5$ дм.
3. $P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(3 + 5) = 16$ дм.

**Проверь себя:** Одна сторона параллелограмма равна $7$ дм, соседняя равна $2$ дм. Чему равен периметр? Прикинь в уме.
**Ответ:** $2(7 + 2) = 18$ дм.

**Почему диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника**

Проведём диагональ $AC$. Углы при ней, лежащие накрест, равны, потому что противоположные стороны параллельны. Сама диагональ $AC$ общая для обоих треугольников. Остаётся сравнить треугольники $ABC$ и $CDA$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следуют и равенство противоположных сторон, и равенство противоположных углов.

### Проверь себя

**Какое из следующих утверждений является обязательным условием для того, чтобы четырёхугольник считался параллелограммом?**
- Его противоположные стороны должны быть попарно параллельны. — верно
- Все его углы должны быть прямыми.
- Хотя бы одна пара противоположных сторон должна быть равна.
- Его диагонали должны пересекаться под прямым углом.
> Согласно определению, именно попарная параллельность сторон выделяет параллелограмм среди других четырёхугольников.

**Периметр параллелограмма равен $40$ см. Одна из его сторон равна $12$ см. Чему равна соседняя с ней сторона?**
- $8$ см — верно
- $28$ см
- $14$ см
- $12$ см
> Сумма двух соседних сторон равна половине периметра ($20$ см). Если одна $12$, то вторая: $20 - 12 = 8$.

**Какое свойство симметрии имеет параллелограмм?**
- Он имеет центр симметрии в точке пересечения диагоналей. — верно
- Он имеет две оси симметрии, проходящие через середины сторон.
- Он не обладает никакой симметрией.
- Диагонали являются его осями симметрии.
> Любая точка фигуры имеет симметричную ей относительно центра пересечения диагоналей, также принадлежащую этой фигуре.

**На рисунке через точку пересечения диагоналей $O$ проведен отрезок $MN$. Какие утверждения верны для этой конструкции?**
- Отрезок $MN$ всегда является высотой параллелограмма.
- Отрезок $MN$ равен диагонали $AC$.
- Точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам ($MO = ON$).
- Точки $M$ и $N$ симметричны друг другу относительно точки $O$. — верно
> Так как отрезок проходит через центр симметрии и делится им пополам, его концы симметричны.

**Какие из данных утверждений о сумме углов параллелограмма верны?**
- Сумма всех углов зависит от длины сторон.
- Сумма двух противоположных углов не обязательно равна $180^{\circ}$. — верно
- Сумма углов, прилежащих к разным сторонам, всегда разная.
- Сумма всех внутренних углов равна $360^{\circ}$.
> Противоположные углы равны, и их сумма может быть любой (например, $70+70=140$). Сумма $180^{\circ}$ характерна только для углов при одной стороне.

**Какое из обозначений используется в тексте для периметра параллелограмма с вершинами $A$, $B$, $C$ и $D$?**
- Perim(A,B,C,D)
- L_{ABCD}
- S_{ABCD}
- P_{ABCD} — верно
> Это стандартное обозначение, приведенное в разделе 'Обозначения' учебного материала.

## 2. Углы и диагонали параллелограмма

*Сумма соседних углов, точка пересечения диагоналей*

Если рамку-параллелограмм сжимать, один угол становится острее, а соседний тупее. Они меняются «в противофазе»: сколько один потерял, столько другой получил. Из-за этого сумма соседних углов остаётся неизменной.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с диагональю AC и углами 1, 2, 3 и 4*

**Углы при одной стороне**

$\angle A + \angle B = 180^\circ$. Здесь $\angle A$ и $\angle B$ — внутренние углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$.

**Почему так и как запомнить**

Аналогия: качели из двух плеч. Одна сторона поднимается, другая опускается, а вместе они всегда дают развёрнутый угол. Причина в том, что стороны $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ — секущая. Зацепка: «сосед по стороне — до $180^\circ$ дополни». Самопроверка: если в параллелограмме один угол острый, то соседний обязательно тупой, а противоположный ему равен ему самому.

**Пример: Все углы по одному**

1. Дано: $\angle A = 70^\circ$. Нужно найти остальные углы.
2. Соседний угол: $\angle B = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
3. Противоположные углы равны: $\angle C = \angle A = 70^\circ$ и $\angle D = \angle B = 110^\circ$.
4. Проверка: $70^\circ + 110^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 360^\circ$.

Теперь диагонали. Если провести обе, они пересекутся в точке $O$, и эта точка оказывается серединой каждой из диагоналей.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O, и углами 1, 2, 3 и 4*

**Диагонали**

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Образ: две дороги пересекаются на перекрёстке, и от него до каждого конца дороги одинаково. Но диагонали параллелограмма вообще-то не равны между собой. Пополам делится **каждая** диагональ, но длины двух диагоналей могут быть разными.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в O, и отрезком NM через O с одинаковыми засечками на частях*

**Центр симметрии**

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Образ: проверните параллелограмм на пол-оборота вокруг точки $O$, то есть «вверх ногами». Он ляжет сам на себя. Именно поэтому противоположные стороны и углы равны.

**Неправильно:** В параллелограмме диагонали равны.
**Правильно:** Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, но длины у них в общем случае разные. Такие вопросы встречаются на ОГЭ в задании про истинные и ложные высказывания, поэтому разбирайте, что именно утверждается.

**Проверь себя:** Истинно ли утверждение: «Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$»? А утверждение «Любые два соседних угла параллелограмма равны»?
**Ответ:** Первое истинно. Второе ложно: соседние углы равны только когда каждый из них $90^\circ$, а в общем случае один острый, другой тупой.

### Проверь себя

**Какие свойства характерны для диагоналей любого параллелограмма?**
- Диагонали всегда равны между собой.
- Точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии фигуры. — верно
- Диагонали делят углы параллелограмма пополам.
> Любой отрезок, проходящий через эту точку и соединяющий противоположные стороны, делится ею пополам.

**Если в параллелограмме ABCD угол $\angle A = 70^{\circ}$, чему равен угол $\angle B$?**
- $110^{\circ}$ — верно
- $90^{\circ}$
- $70^{\circ}$
- $180^{\circ}$
> Углы $A$ и $B$ прилежат к одной стороне, значит их сумма равна $180^{\circ}$, следовательно: $180 - 70 = 110$.

**На рисунке изображен параллелограмм ABCD с диагональю $AC$. Почему $\angle 1 = \angle 2$?**
- Они являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. — верно
- Треугольник $ABC$ является равнобедренным.
- Они являются соответственными углами при секущей $AC$.
- Это противоположные углы параллелограмма.
> Диагональ $AC$ пересекает две параллельные стороны, образуя равные накрест лежащие углы.

**Чему равен угол между двумя высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла?**
- Острому углу параллелограмма. — верно
- $180^{\circ}$ минус острый угол.
- $90^{\circ}$
- Тупому углу параллелограмма.
> Согласно решению Задачи 3 в тексте, этот угол в точности совпадает с величиной острого угла фигуры.

## 3. Биссектриса и высоты параллелограмма

*Два приёма для задач*

Теперь два приёма, на которых строятся многие задачи: биссектриса угла и высоты. С ними можно решать и задачи уровня ОГЭ, где ответ не виден сразу.

**Биссектриса угла параллелограмма**

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с отрезком AM и углами 1, 2 и 3*

Почему так? Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Она делит угол $A$ пополам: $\angle BAK = \angle KAD$. Но $BC \parallel AD$, и $AK$ — секущая, поэтому $\angle AKB = \angle KAD$ (накрест лежащие). Значит, в треугольнике $ABK$ два угла равны: $\angle BAK = \angle AKB$. Он равнобедренный, и $BK = AB$.

**Пример: Биссектриса отрезает равнобедренный треугольник**

1. Дано: $AB = 5$, $AD = 8$. Биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$. Нужно найти $BK$ и $KC$.
2. Треугольник $ABK$ равнобедренный: $BK = AB = 5$.
3. Противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 8$.
4. $KC = BC - BK = 8 - 5 = 3$.

Дальше высоты. У параллелограмма высота проводится к стороне, а точнее к прямой, которая её содержит.

**Высота параллелограмма**

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противоположную сторону параллелограмма. Обозначают высоту буквой $h$, например $BH$ или $BM$.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с высотой BH и отрезком BM, перпендикулярным CD*

**Угол между высотами**

Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма, а угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

**Пример: Угол между высотами**

1. Дано: тупой угол параллелограмма $\angle B = 120^\circ$. Из вершины $B$ проведены высоты $BH$ и $BM$ к прямым $AD$ и $CD$. Нужно найти $\angle HBM$.
2. Рассмотрим четырёхугольник $BHDM$. Два его угла прямые: $\angle H = \angle M = 90^\circ$.
3. Угол $D$ противоположен углу $B$, поэтому $\angle D = 120^\circ$.
4. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$: $\angle HBM = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
5. Это острый угол параллелограмма: $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Правило сошлось.

**Проверь себя:** Острый угол параллелограмма равен $50^\circ$. Чему равен угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла?
**Ответ:** Равен тупому углу: $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

### Проверь себя

**В параллелограмме ABCD проведены две высоты из вершины тупого угла $B$. К каким сторонам они могут быть проведены?**
- К прямой, содержащей сторону $CD$. — верно
- К стороне $AD$.
- К стороне $BC$.
- К диагонали $AC$.
> Вторая высота из той же вершины опускается на другую противоположную сторону.

**Сколько различных высот (по длине) можно провести из одной вершины параллелограмма, углы которого не равны $90^{\circ}$?**
- Две — верно
- Бесконечно много
- Одну
- Четыре
> Из одной вершины можно опустить перпендикуляры на две разные противоположные стороны.

**Если биссектриса угла $A$ параллелограмма ABCD пересекает сторону $BC$ в точке $M$, то какой отрезок будет равен стороне $AB$?**
- Отрезок $AD$.
- Отрезок $AM$.
- Отрезок $MC$.
- Отрезок $BM$. — верно
> Треугольник $ABM$ равнобедренный, где $AB$ и $BM$ — боковые стороны, так как углы при основании $AM$ равны.

**Что можно сказать о перпендикулярах, проведенных из разных точек одной стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону?**
- Они пересекаются в центре симметрии параллелограмма.
- Только перпендикуляры из вершин являются высотами.
- Их длина увеличивается при приближении к вершине острого угла.
- Все такие перпендикуляры равны между собой. — верно
> Поскольку противоположные стороны параллельны, расстояние между ними (ширина полосы) постоянно в любой точке.

## Ключевые термины

- **Параллелограмм** — Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- **Высота параллелограмма** — Перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противоположную сторону параллелограмма.
- **Биссектриса угла параллелограмма** — Луч из вершины, делящий угол пополам; отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

## Итог

- Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны; он выпуклый
- Противоположные стороны и противоположные углы равны, периметр $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам, она центр симметрии, но диагонали не обязаны быть равны
- Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник; угол между высотами из вершины острого угла равен тупому углу

## Шпаргалка

### Формулы параллелограмма

- **$P_{ABCD} = 2(AB + AD)$** — периметр по двум соседним сторонам
- **$\angle A + \angle B = 180^\circ$** — соседние углы при одной стороне
- **$\angle A = \angle C$** — противоположные углы равны
- **$AB = CD$** — противоположные стороны равны

### Свойства и приёмы

- **Диагональ** — делит параллелограмм на два равных треугольника
- **Точка пересечения диагоналей** — делит диагонали пополам, центр симметрии
- **Биссектриса угла** — отсекает равнобедренный треугольник
- **Высоты из вершины острого угла** — угол между ними равен тупому углу
- **Высоты из вершины тупого угла** — угол между ними равен острому углу

### Как решать задачу

1. **Выписать данные** — сторона, угол, биссектриса или высота
2. **Применить равенства** — противоположные стороны и углы равны
3. **Найти углы** — соседний угол равен $180^\circ$ минус данный
4. **Посчитать ответ** — периметр или длину отрезка

## Любопытное

- Шарнирный параллелограмм используют в настольных лампах и штативах: он позволяет двигать рычаг, не меняя длину противоположных сторон.
- Любой отрезок, проведённый через точку пересечения диагоналей с концами на сторонах параллелограмма, делится этой точкой пополам.