# Повторение

Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/povtorenie

Итоговое повторение геометрии 8 класса: углы при пересечении прямых, равенство треугольников, сумма и внешний угол треугольника, прямоугольный треугольник, параллельные прямые и особые линии — серединный перпендикуляр и биссектриса.

## Чему научишься

- Находить смежные и вертикальные углы по чертежу и вычислять их значения
- Доказывать равенство треугольников по трём признакам и применять теорему о сумме углов и о внешнем угле
- Определять взаимное расположение прямых и применять свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы

## С чего начать

Смотришь на чертёж контрольной: угол, треугольник, две прямые — и совершенно не понимаешь, с какого конца распутывать. Куда смотреть в первую очередь, чтобы за десять секунд понять, что чему равно?

## 1. Смежные и вертикальные углы

*Что происходит на пересечении двух прямых*

Пересеклись две улицы — на перекрёстке получилось четыре угла. Почему один из них всегда точно дополняет своего соседа до прямой линии, а угол напротив — всегда в точности такой же, как исходный?

Возьми прямую линию и проведи из одной точки луч — линия разделится на два угла. Вместе они образуют развёрнутый угол, то есть прямую, а прямая линия — это ровно $180^\circ$. Такие два угла называются смежными. А если пересекаются две прямые, получаются четыре угла, и углы, что стоят друг напротив друга через точку пересечения, — вертикальные.

**Смежные и вертикальные углы**

Сумма смежных углов: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 2$.

*Рисунок: Смежные углы с лучом BC на прямой AD и записью суммы 180 градусов*

*Рисунок: Две пересекающиеся прямые с четырьмя пронумерованными углами*

Смежные углы — как две дольки, на которые разрезали прямую линию лучом: сколько бы ты ни двигал разрез, вместе дольки всегда дадут целую прямую, то есть $180^\circ$. Вертикальные углы — как раскрытые ножницы: два лезвия напротив друг друга всегда расходятся на одинаковый угол. Мнемоника-самопроверка: **смежные — соседи по прямой, сумма **$180^\circ$**; ****вертикальные**** — через дорогу друг от друга, всегда равны**.

**Пример: Найди смежный и вертикальный к данному углу**

1. Дано: $\angle 1 = 130^\circ$.
2. Смежный угол дополняет $\angle 1$ до $180^\circ$: $\angle 2 = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
3. Вертикальный угол равен исходному: $\angle 3 = \angle 1 = 130^\circ$.
4. Проверка: смежный с $\angle 3$ тоже даёт $50^\circ$ — совпадает с $\angle 2$.

**Неправильно:** Раз углы стоят рядом на чертеже, значит они вертикальные.
**Правильно:** Вертикальные — это углы, лежащие напротив друг друга через точку пересечения прямых, а не любые соседние. Соседние углы на одной прямой — это смежные, их сумма $180^\circ$, а не равенство.

**Проверь себя:** Один из смежных углов равен $70^\circ$. Чему равен второй — прикинь в уме?
**Ответ:** $110^\circ$, потому что вместе они дают $180^\circ$.

### Проверь себя

**Чему равна сумма смежных углов согласно свойствам, изученным в $7$ классе?**
- $90^\circ$
- $360^\circ$
- $100^\circ$
- $180^\circ$ — верно
> Это фундаментальное свойство смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол.

**Как в математике называется метод изложения, использованный Евклидом в книге «Начала»?**
- Логический вывод из простых положений — верно
- Хаотичное собрание правил
- Метод измерения всех фигур линейкой
- Метод физического эксперимента
> Евклид первым систематизировал геометрию, начиная с аксиом и выводя из них сложные теоремы с помощью логики.

## 2. Равенство треугольников

*Как доказать одинаковость без наложения*

Как доказать, что два треугольника одинаковые, не накладывая их друг на друга и не измеряя все шесть элементов — три стороны и три угла?

Представь два трафарета для вырезания. Если у них совпадает форма — они наложатся идеально, хотя ты и не сверял каждый миллиметр контура. С треугольниками то же самое: достаточно совпадения по одному из трёх «наборов доказательства», и остальное совпадёт автоматически.

**Равные треугольники**

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением.

*Рисунок: Два треугольника с отметками равенства сторон и углов*

Совпадение доказывают тремя способами — признаками равенства треугольников: по трём сторонам ($ССС$), по двум сторонам и углу между ними ($СУС$), по стороне и двум прилежащим к ней углам ($УСУ$).

*Рисунок: Два треугольника с равным углом и двумя парами равных прилежащих сторон*

*Рисунок: Два треугольника с равной стороной и двумя парами равных прилежащих углов*

*Рисунок: Два треугольника с тремя парами равных сторон и засечками*

Это как собрать треугольник из трёх жёстких палочек ($ССС$) — форма выйдет только одна; или закрепить две палочки жёстким шарниром-углом между ними ($СУС$); или растянуть отрезок между двумя заданными углами, пока лучи не сойдутся ($УСУ$). Зацепка: в **СУС угол стоит в середине сокращения — он между сторонами**, в **УСУ сторона в середине — она между углами**; смотри на чертеже, где именно стоит общий элемент.

**Равнобедренный треугольник**

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны.

*Рисунок: Треугольник с равными боковыми сторонами, отмеченными одинаковыми засечками*

Равнобедренный треугольник симметричен, как бабочка со сложенными крыльями: сложи его пополам по оси — и стороны с засечками совпадут. Мнемоника: одинаковые засечки на чертеже = равные стороны, их ищи первым делом.

**Пример: Докажи равенство треугольников по признаку $СУС$**

1. Дано: $AB = A_1B_1$, $\angle B = \angle B_1$, $BC = B_1C_1$.
2. Угол $B$ лежит между парами равных сторон $AB$, $BC$ и $A_1B_1$, $B_1C_1$ — это ровно признак $СУС$.
3. Значит $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

**Неправильно:** Совпали сторона, сторона и угол — значит подходит признак $СУС$, неважно где на чертеже стоит угол.
**Правильно:** Признак $СУС$ работает, только если угол лежит МЕЖДУ равными сторонами. Если угол стоит не между ними, такого признака равенства нет — треугольники равными этим способом не докажешь.

**Проверь себя:** У двух треугольников совпали все три угла. Обязательно ли треугольники равны?
**Ответ:** Нет — так можно доказать только подобие, размеры треугольников могут различаться.

### Проверь себя

**Какое определение равенства треугольников приводится в учебном материале?**
- Треугольники, которые можно совместить наложением — верно
- Треугольники, у которых равны площади
- Треугольники с одинаковыми периметрами
- Треугольники, у которых совпадают центры описанных окружностей
> Это классическое определение равенства геометрических фигур через их полную идентичность при наложении.

**В равнобедренном треугольнике проведена биссектриса к основанию. Чем ещё она является?**
- Медианой и высотой — верно
- Средней линией
- Только высотой
- Только медианой
> В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, совмещает в себе функции всех трёх основных линий.

## 3. Сумма углов и прямоугольный треугольник

*Что известно о суммах, внешнем угле и сторонах*

Может ли у треугольника быть сразу два тупых угла?

Вырежи треугольник и оторви от него все три угла, а потом приложи их вершинами в одну точку так, чтобы стороны прилегали друг к другу. Углы сложатся ровно в прямую линию — в развёрнутый угол $180^\circ$. Поэтому запаса на два угла больше $90^\circ$ каждый (вместе больше $180^\circ$) просто не остаётся.

**Сумма углов и внешний угол**

Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

*Рисунок: Треугольник ABC с тремя обозначенными вершинами*

*Рисунок: Треугольник с внешним углом и продолжением стороны до точки D*

Внешний угол — как будто два дальних угла треугольника «перетекли» и сложились вместе при третьей вершине: продолжи сторону — увидишь, что внешний угол дополняет свой смежный внутренний до $180^\circ$, а значит равен сумме двух остальных. Самопроверка: внешний угол всегда БОЛЬШЕ любого внутреннего угла, не смежного с ним, — если у тебя получилось меньше, ищи ошибку.

**Неравенство треугольника**

Неравенство треугольника: $a < b + c$.

Сторона треугольника — прямой путь между двумя вершинами. Путь через третью вершину, по двум другим сторонам, — это обход, а обход всегда длиннее прямого пути. Поэтому одна сторона всегда меньше суммы двух остальных. Самопроверка: из палочек $3$, $4$ и $8$ треугольник не собрать, ведь $3+4=7<8$ — прямой путь короче обходного быть не может.

**Пример: Существует ли треугольник со сторонами $2$, $3$ и $6$?**

1. Проверяем самую длинную сторону $6$ против суммы двух других: $2+3=5$.
2. $5 < 6$ — сумма двух сторон меньше третьей, неравенство треугольника нарушено.
3. Такой треугольник построить нельзя.

**Прямоугольный треугольник**

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$.

*Рисунок: Прямоугольный треугольник с подписанными гипотенузой и катетом*

**Катет против угла $30^\circ$**

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$.

*Рисунок: Прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и формулой катета*

Приложи к прямоугольному треугольнику с углом $30^\circ$ его зеркальное отражение по катету, лежащему против этого угла, — получится равносторонний треугольник, и исходный катет окажется ровно половиной стороны, то есть половиной гипотенузы. Мнемоника: «$30^\circ$ — минус половина»: против самого маленького угла лежит самая маленькая сторона — ровно вдвое короче гипотенузы.

**Пример: Гипотенуза $10$ см, угол при основании $30^\circ$ — найди катет**

1. Катет лежит против угла $30^\circ$, применяем формулу $a = \frac{c}{2}$.
2. $a = \frac{10}{2} = 5$ см.

**Неправильно:** Катет против угла $30^\circ$ равен половине другого катета.
**Правильно:** Катет против угла $30^\circ$ равен половине ГИПОТЕНУЗЫ — гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежит против прямого угла.

**Проверь себя:** Гипотенуза $14$ см. Чему равен катет против угла $30^\circ$?
**Ответ:** $7$ см — половина гипотенузы.

### Проверь себя

**Какое утверждение верно для внешнего угла треугольника?**
- Он равен сумме всех трёх внутренних углов
- Он равен смежному с ним внутреннему углу
- Он всегда равен $90^\circ$
- Он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним — верно
> Это теорема о внешнем угле, которая связывает его величину с внутренними углами, находящимися в других вершинах.

**Какое свойство сторон треугольника называется «неравенством треугольника»?**
- Все стороны треугольника должны быть равны
- Любая сторона больше суммы двух других
- Каждая сторона меньше суммы двух других его сторон — верно
- Сумма квадратов сторон равна квадрату третьей стороны
> Это необходимое условие существования треугольника: кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая.

**В прямоугольном треугольнике один из углов равен $30^\circ$. Что можно сказать о катете, лежащем против этого угла?**
- Он равен гипотенузе
- Он равен половине гипотенузы — верно
- Он в два раза больше гипотенузы
- Он равен второму катету
> Это специфическое свойство прямоугольного треугольника с углом в $30^\circ$.

**В треугольнике $\triangle ABC$ известно, что сторона $AB > BC$. Какой вывод можно сделать о его углах?**
- $\angle B = 90^\circ$
- Все углы равны
- $\angle A > \angle C$
- $\angle C > \angle A$ — верно
> Согласно теореме о соотношении сторон и углов, против большей стороны всегда лежит больший угол.

## 4. Параллельные прямые и особые линии

*Параллельность, серединный перпендикуляр, биссектриса*

Рельсы никогда не пересекаются, а стены комнаты сходятся под прямым углом. Как это доказать на чертеже, а не просто увидеть на глаз?

**Параллельные прямые**

Параллельные прямые — две прямые на плоскости, которые не пересекаются.

*Рисунок: Три горизонтальные параллельные прямые*

Параллельные прямые — как рельсы: идут рядом сколько угодно далеко и никогда не сходятся.

*Рисунок: Параллельные рельсы, уходящие к горизонту — иллюстрация к слову «параЛЛельные»*

Если прямые пересекаются ровно под $90^\circ$, их называют перпендикулярными и обозначают $a \perp b$.

*Рисунок: Две перпендикулярные прямые с отметкой прямого угла*

**Односторонние углы при параллельных прямых**

Сумма односторонних углов при параллельных прямых: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

*Рисунок: Две прямые, пересечённые секущей, с двумя отмеченными углами*

Односторонние углы стоят по одну сторону от секущей — как два соседа по одну сторону забора. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, соседи всегда делят между собой полный разворот в $180^\circ$. Самопроверка: сумма не $180^\circ$ — значит прямые не параллельны.

**Серединный перпендикуляр**

Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

*Рисунок: Треугольник с серединным перпендикуляром к одной из сторон*

Представь весы: серединный перпендикуляр проходит точно через середину отрезка под прямым углом, и любая точка на нём одинаково «справедлива» к обоим концам — расстояния равны. Мнемоника: «серединный» — через середину, «перпендикуляр» — под $90^\circ$: оба слова в названии буквально описывают, как его строить.

**Биссектриса угла**

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

*Рисунок: Угол, разделённый биссектрисой, с точкой на ней и перпендикулярами к сторонам*

Биссектриса делит угол пополам, как нож делит торт на две одинаковые доли, и любая точка на этом «разрезе» одинаково удалена от обеих сторон угла. Зацепка: БиссектриСА — это крыСА, которая бегает по углам и делит угол пополам.

*Рисунок: Крыса, бегущая по биссектрисе угла между двумя стенами — иллюстрация к слову «биссектриСА»*

**Серединный перпендикуляр и биссектриса — обе линии про равноудалённость**

|  | Серединный перпендикуляр | Биссектриса угла |
| --- | --- | --- |
| От чего строится | от отрезка | от угла |
| Что равноудалено | точки от двух концов отрезка | точки от двух сторон угла |
| Форма | прямая через середину под $90^\circ$ | луч из вершины угла |

**Пример: Точка на биссектрисе угла**

1. Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$.
2. По определению биссектрисы расстояния от $M$ до обеих сторон угла равны.
3. Если известно одно расстояние, второе такое же — искать не нужно.

**Проверь себя:** Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$. Что можно сказать про расстояния от неё до $K$ и до $L$?
**Ответ:** Они равны.

### Проверь себя

**Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то что можно утверждать об этих прямых?**
- Прямые перпендикулярны
- Прямые совпадают
- Прямые пересекаются в одной точке
- Прямые параллельны — верно
> Это один из признаков параллельности прямых, основанный на свойствах углов при секущей.

**Что такое серединный перпендикуляр к отрезку согласно его определению как ГМТ?**
- Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла
- Множество точек, лежащих на самом отрезке
- Линия, проходящая через середину отрезка под острым углом
- Геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка — верно
> Это определение описывает все точки на плоскости, расстояние от которых до обоих концов отрезка одинаково.

## Ключевые термины

- **Равные треугольники** — Треугольники, которые можно совместить наложением.
- **Равнобедренный треугольник** — Треугольник, у которого две стороны равны.
- **Прямоугольный треугольник** — Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$.
- **Параллельные прямые** — Две прямые на плоскости, которые не пересекаются.
- **Серединный перпендикуляр к отрезку** — Геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
- **Биссектриса угла** — Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.

## Итог

- Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, вертикальные — равны.
- Треугольники равны по трём признакам: $ССС$, $СУС$ (угол между сторонами), $УСУ$ (сторона между углами).
- Сумма углов треугольника — $180^\circ$, внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних.
- Катет прямоугольного треугольника против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$.
- При параллельных прямых сумма односторонних углов — $180^\circ$; серединный перпендикуляр и биссектриса — линии равноудалённых точек.

## Шпаргалка

### Формулы углов и треугольников

- **$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$** — сумма смежных углов
- **$\angle 1 = \angle 2$** — вертикальные углы равны
- **$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$** — сумма углов треугольника
- **$a = \frac{c}{2}$** — катет против угла $30^\circ$
- **$a < b + c$** — неравенство треугольника

### Признаки равенства треугольников

- **$ССС$** — три пары равных сторон
- **$СУС$** — две стороны и угол между ними
- **$УСУ$** — сторона и два прилежащих угла

### Определения фигур

- **Равнобедренный треугольник** — две стороны равны
- **Прямоугольный треугольник** — один угол равен $90^\circ$
- **Параллельные прямые** — не пересекаются на плоскости

### Особые линии

- **Серединный перпендикуляр** — точки равноудалены от концов отрезка
- **Биссектриса угла** — точки равноудалены от сторон угла

### Смежные, вертикальные, односторонние

|  | Смежные | Вертикальные | Односторонние |
| --- | --- | --- | --- |
| Соотношение | сумма $180^\circ$ | равны | сумма $180^\circ$ при $a \parallel b$ |
| Расположение | на одной прямой | друг напротив друга | по одну сторону секущей |

## Любопытное

- Неравенство треугольника $a < b + c$ — это строгая граница: если сумма двух сторон в точности равна третьей, треугольник не строится вообще, все три стороны сливаются в один отрезок.
- Серединные перпендикуляры и биссектрисы треугольника — не абстракция, а готовый рецепт построения циркулем и линейкой: именно по ним находят центры окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в него.