# Признаки параллелограмма

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/priznaki-parallelogramma

Как по короткой проверке понять, что четырёхугольник — параллелограмм. Разберём четыре признака: что именно в них надо проверить и где легко ошибиться.

## Чему научишься

- Назвать четыре признака параллелограмма и применить каждый к конкретному четырёхугольнику
- Отличить достаточное условие («равны и параллельны») от недостаточного («просто равны»)
- Определить по условию задачи, какой признак применить, и обосновать вывод «это параллелограмм»

## С чего начать

Тебе дали четырёхугольник, а в задаче нужны свойства параллелограмма. Транспортира нет, измерять каждый угол лень. Что достаточно проверить, чтобы твёрдо сказать «это параллелограмм»? Хватит ли двух равных сторон? А диагоналей?

## 1. Признак по определению и две равные параллельные стороны

*Сначала самый прямой признак, потом экономный*

Свойства параллелограмма удобны, но они работают, только когда ты уверен, что перед тобой именно параллелограмм. Признак — это короткая проверка «да, это он». Чем короче проверка, тем лучше: не нужно сверять все стороны и все углы.

Представь пропуск в клуб. Строгий охранник проверяет весь список примет. Умный охранник знает: достаточно двух совпадений, остальное выполнится само. Признаки — это и есть такие «достаточные» совпадения.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с подписанными вершинами*

**Признак по определению**

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Определение параллелограмма работает в обе стороны: это и свойство, и признак. Если $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, перед тобой параллелограмм $ABCD$, и больше ничего проверять не надо. Минус один: нужны **две** пары параллельных сторон. Следующий признак требует меньше.

**Две равные и параллельные стороны (теорема)**

Если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

**Аналогия и зацепка**

**Аналогия.** Две перекладины одинаковой длины лежат параллельно друг другу. Их концы соединены двумя отрезками. Куда ни сдвинь одну перекладину, вторая «едет» вместе с ней в ту же сторону на то же расстояние, поэтому соединяющие отрезки получаются тоже параллельными. Вторая пара сторон «подтягивается» сама.

**Как запомнить (правило самопроверки).** Нужны **два свойства у одной пары сторон**: «равны» и «параллельны». Если назвал только одно, признак не сработал. Это пара сторон «равны И параллельны», а не «или».

**Неправильно:** У четырёхугольника $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, значит, это параллелограмм.
**Правильно:** Одного равенства мало. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны, но она не параллелограмм. Нужно ещё, чтобы эти стороны были параллельны: $AB \parallel CD$.

**Пример: Достаточно ли условий?**

1. Дано: в четырёхугольнике $ABCD$ верно $AB \parallel CD$ и $AB = CD = 5$.
2. Это ровно условие признака: две стороны равны и параллельны.
3. Вывод: $ABCD$ — параллелограмм. Значит, $BC \parallel AD$, и можно пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

**Проверь себя:** В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB \parallel CD$, а $BC = AD$. Можно ли по признаку «две равные и параллельные стороны» утверждать, что это параллелограмм?
**Ответ:** Нет. Равные стороны $BC$ и $AD$ не параллельны по условию, а параллельные $AB$ и $CD$ не равны по условию. Условия относятся к разным парам, и признак не применяется. Контрпример — равнобедренная трапеция.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD, проведена диагональ AC, отмечены четыре угла при диагонали*

**Почему этот признак верен**

Проведём диагональ $AC$ (как на рисунке выше). Пусть равны и параллельны стороны $AB$ и $CD$. Накрест лежащие углы при параллельных $AB$, $CD$ и секущей $AC$ равны. Стороны $AB$ и $CD$ равны, а $AC$ у двух получившихся треугольников общая. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство другой пары накрест лежащих углов, а по ним стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Обе пары противоположных сторон параллельны, и это параллелограмм по определению.

### Проверь себя

**Какой признак параллелограмма напрямую вытекает из его базового определения?**
- Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то это параллелограмм. — верно
- Если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то это параллелограмм.
- Если противоположные углы четырёхугольника равны, то это параллелограмм.
> Определение параллелограмма основывается именно на попарной параллельности его противоположных сторон.

**Согласно признаку параллелограмма по двум сторонам, каким именно условиям должна удовлетворять эта пара сторон?**
- Одна пара сторон должна быть равна, а другая пара сторон — параллельна.
- Они должны быть перпендикулярны смежным сторонам.
- Они должны быть одновременно равны и параллельны. — верно
- Они должны быть равны диагоналям четырёхугольника.
> Теорема требует, чтобы одна и та же пара противоположных сторон сочетала в себе и равенство по длине, и параллельность.

**В обозначениях, принятых в учебном материале, что означает символ $\parallel$?**
- Знак параллельности прямых или отрезков. — верно
- Знак перпендикулярности прямых.
- Знак подобия геометрических фигур.
- Знак равенства длин отрезков.
> В справочном блоке «Обозначения» прямо указано, что $\parallel$ означает параллельность.

**Какое из следующих утверждений сформулировано в параграфе как теорема-признак параллелограмма по двум сторонам?**
- Если смежные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то это параллелограмм.
- Если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. — верно
- Если две стороны четырёхугольника равны, то он является параллелограммом.
- Если две стороны четырёхугольника параллельны, то он является параллелограммом.
> Это точная формулировка признака параллелограмма по двум равным и параллельным сторонам.

**В доказательстве какого признака параллелограмма ключевым шагом является вывод о равенстве углов $\angle 3$ и $\angle 4$ из равенства $\triangle ABC = \triangle CDA$?**
- Определения параллелограмма.
- Признака по диагоналям.
- Призака параллелограмма по двум равным и параллельным сторонам. — верно
- Признака по сумме смежных углов.
> В начале отрывка показано: из $\triangle ABC = \triangle CDA$ следует $\angle 3 = \angle 4$, отсюда $BC \parallel AD$, что вместе с $BC = AD$ даёт параллелограмм.

**Если прямые $BC$ и $AD$ пересечены секущей $AC$, и при этом углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, то каков математический вывод?**
- Прямые $BC$ и $AD$ перпендикулярны.
- Отрезки $BC$ и $AD$ не равны по длине.
- Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O$.
- Прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). — верно
> По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

**Сколько признаков параллелограмма сформулировано в виде теорем (не считая признака по определению) в разделе «Главное из параграфа»?**
- 5 теорем-признаков.
- 3 теоремы-признака. — верно
- 1 теорема-признак.
- 2 теоремы-признака.
> В резюме приведены 3 теоремы: по двум равным и параллельным сторонам, по попарно равным противоположным сторонам, по диагоналям.

**Какое из следующих обозначений соответствует названию четырёхугольника в источниках данного урока?**
- AOBD
- ACBD
- \parallel ABCD
- ABCD — верно
> В подразделе «Обозначения» явно указано: «ABCD — обозначение четырёхугольника (параллелограмма)».

## 2. Признак по равным противоположным сторонам

*Две пары равных сторон, но в правильном порядке*

Что если про параллельность ничего не известно, а длины сторон измерить можно? Тогда работает следующий признак.

**Попарно равные противоположные стороны (теорема)**

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD, диагональ AC, равные стороны отмечены одинаковыми черточками*

**Аналогия и зацепка**

**Аналогия.** Возьми четыре палочки: две длинные и две короткие. Шарнирами скрепи их так, чтобы длинные оказались напротив друг друга и короткие тоже. Рамка «играет» и перекашивается, но её противоположные стороны всё время остаются параллельными. Иначе при данных длинах рамку просто не собрать.

**Как запомнить (правило самопроверки).** Слово «противоположные». Выпиши стороны по кругу: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Равными должны быть через одну: $AB$ и $CD$, $BC$ и $DA$. Если две равные стороны стоят рядом, признак не работает.

**Неправильно:** Стороны четырёхугольника $3, 3, 5, 5$ по кругу. Две пары равных сторон, значит, параллелограмм.
**Правильно:** Равные стороны стоят рядом, а не напротив. Получается «воздушный змей», а не параллелограмм. Признак требует противоположные стороны: порядок $3, 5, 3, 5$.

**Пример: Проверяем по длинам сторон**

1. Дано: в четырёхугольнике $ABCD$ верно $AB = 3$, $BC = 5$, $CD = 3$, $DA = 5$.
2. Противоположные стороны: $AB$ и $CD$ ($3 = 3$), $BC$ и $DA$ ($5 = 5$). Обе пары равны.
3. По признаку $ABCD$ — параллелограмм.

**Проверь себя:** Стороны четырёхугольника по порядку обхода: $4, 4, 7, 7$. Параллелограмм ли это по признаку?
**Ответ:** Нет. Равные стороны стоят рядом, а не напротив, и условие признака не выполнено.

**Почему этот признак верен**

Проведём диагональ $AC$. У треугольников $ABC$ и $CDA$ сторона $AC$ общая, $AB = CD$ и $BC = DA$ по условию. Значит, они равны по трём сторонам. Тогда равны накрест лежащие углы при $AC$, и противоположные стороны параллельны. По определению это параллелограмм.

### Проверь себя

**В доказательстве теоремы о попарно равных противоположных сторонах, по какому признаку доказывается равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$?**
- По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). — верно
- По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
- По гипотенузе и острому углу.
- По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
> Используются условия $AB = CD$, $BC = AD$ и общая сторона $AC$, что соответствует третьему признаку.

**При доказательстве признака параллелограмма через равенство противоположных сторон, какими являются углы $\angle 1$ и $\angle 2$?**
- Односторонними углами, сумма которых равна $180^\circ$.
- Накрест лежащими углами при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. — верно
- Вертикальными углами при точке пересечения диагоналей.
- Соответственными углами при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.
> Равенство этих углов доказывает параллельность прямых $BC$ и $AD$ по признаку параллельности прямых.

**Две стороны четырёхугольника равны, а две другие стороны параллельны. Можно ли на основании этого утверждать, что четырёхугольник — параллелограмм?**
- Да, если его диагонали равны.
- Нет, нельзя, так как такой фигурой может быть равнобокая трапеция. — верно
- Нет, потому что в параллелограмме стороны никогда не бывают равны.
- Да, можно, это прямой признак параллелограмма.
> У равнобокой трапеции основания параллельны, а боковые стороны равны, но параллелограммом она не является.

**При доказательстве какого признака проводится диагональ $AC$, разбивающая четырёхугольник ABCD на треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$?**
- При доказательстве равенства диагоналей прямоугольника.
- При доказательстве признака по попарно равным противоположным сторонам. — верно
- При доказательстве признака по сумме внутренних углов.
- При доказательстве перпендикулярности сторон.
> Проведение диагонали $AC$ позволяет рассмотреть треугольники и доказать равенство накрест лежащих углов.

**Если в четырёхугольнике ABCD известно, что $AB = CD$ и $AD = BC$, какой вывод следует из текста урока?**
- Четырёхугольник ABCD не имеет параллельных сторон.
- Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. — верно
- Четырёхугольник ABCD — трапеция.
- Четырёхугольник ABCD обязательно является прямоугольником.
> Согласно теореме, если противоположные стороны попарно равны, четырёхугольник является параллелограммом.

**Какая секущая рассматривается при доказательстве параллельности $BC \parallel AD$ через углы $\angle 1$ и $\angle 2$?**
- Прямая $CD$.
- Секущая $AC$. — верно
- Прямая $AB$.
- Секущая $BD$.
> Диагональ $AC$ пересекает прямые $BC$ и $AD$, образуя накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$.

**Из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ следует равенство углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Что позволяет доказать это равенство углов?**
- Равенство диагоналей $AC$ и $BD$.
- Параллельность прямых $BC$ и $AD$. — верно
- То, что угол $B$ равен $90^\circ$.
- Перпендикулярность прямых $AB$ и $BC$.
> Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ накрест лежащие и равные, по признаку параллельности прямых $BC \parallel AD$.

**Какая сторона является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ при доказательстве теоремы о попарно равных сторонах?**
- Сторона $AC$. — верно
- Сторона $BC$.
- Сторона $AB$.
- Сторона $BD$.
> Диагональ $AC$ входит в состав как $\triangle ABC$, так и $\triangle CDA$, являясь их общей стороной.

**Зачем в доказательстве теоремы о попарно равных противоположных сторонах устанавливается равенство $BC = AD$ и $BC \parallel AD$?**
- Чтобы вопользоваться ранее доказанным признаком по двум равным и параллельным сторонам. — верно
- Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны.
- Чтобы найти площадь четырёхугольника.
- Чтобы показать, что сумма углов равна $360^\circ$.
> Текст прямо указывает: «Так как $BC = AD$ и $BC \parallel AD$, то по предыдущей теореме четырёхугольник ABCD — параллелограмм».

**Какое утверждение о противоположных сторонах параллелограмма следует из теоремы о попарно равных стороны?**
- Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то они и попарно параллельны. — верно
- Противоположные стороны всегда равны диагоналям.
- Противоположные стороны обязаны быть перпендикулярны диагоналям.
- Попарное равенство противоположных сторон не гарантирует параллельность.
> Теорема доказывает, что попарное равенство противоположных сторон влечёт за собой то, что фигура — параллелограмм, т.е. стороны параллельны.

**Какой из вариантов описывает теоремы про свойства и признаки параллелограмма как «взаимно-обратные»?**
- Второй признак равенства треугольников и третий признак равенства треугольников.
- Определение параллелограмма и знак параллельности $\parallel$.
- Признак по двум сторонам и признак по диагоналям.
- Свойство: «У параллелограмма противоположные стороны равны» и Признак: «Если противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм». — верно
> Взаимно-обратные теоремы меняют местами условие и заключение: в свойстве параллелограмм даёт равенство сторон, а в признаке равенство сторон даёт параллелограмм.

## 3. Признак по диагоналям и сравнение признаков

*Как выбрать нужный признак в задаче*

Последний признак смотрит не на стороны, а на диагонали. Он удобен, когда в задаче заданы точка пересечения диагоналей и разбиение диагоналей на части.

**Признак по диагоналям (теорема)**

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

*Рисунок: Параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O, равные отрезки отмечены*

**Аналогия и зацепка**

**Аналогия.** Две палки скреплены в одной точке, как стрелки на циферблате. Если эта точка — середина у обеих палок, концы палок образуют фигуру, симметричную относительно этой точки. Любая вершина имеет «двойника» по другую сторону от $O$. Такая фигура и есть параллелограмм.

**Как запомнить (правило самопроверки).** Слово «пополам» должно относиться к **обеим** диагоналям: $AO = OC$ и $BO = OD$. Если пополам делится только одна диагональ, признак не сработал.

**Неправильно:** Диагонали четырёхугольника равны, значит, это параллелограмм.
**Правильно:** Равенство диагоналей — другое условие. У равнобедренной трапеции диагонали равны, но она не параллелограмм. В признаке важно, что диагонали делятся пополам точкой пересечения.

**Пример: Признак по диагоналям в числах**

1. Дано: диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC = 4$ и $BO = OD = 3$.
2. Обе диагонали делятся точкой $O$ пополам.
3. По признаку $ABCD$ — параллелограмм.

**Проверь себя:** Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$, а $BO \neq OD$. Параллелограмм ли это по признаку?
**Ответ:** Нет. Пополам делится только диагональ $AC$, а $BD$ нет. Условие признака требует, чтобы пополам делились обе диагонали.

**Какой признак выбрать**

| Признак | Что проверить | Когда удобен | Типичная ловушка |
| --- | --- | --- | --- |
| По определению | две пары параллельных сторон | даны параллельные прямые | проверить только одну пару |
| Две стороны | одна пара: равны и параллельны | есть параллельность и длины | знать только равенство |
| Стороны попарно равны | обе пары противоположных сторон равны | даны длины всех сторон | равные стороны стоят рядом |
| Диагонали | обе диагонали делятся пополам | есть точка $O$ и отрезки | пополам делится одна диагональ |

На ОГЭ в задании №19 просят выбрать истинное утверждение из трёх. Так это спрашивают на экзамене. Признаки параллелограмма — частый материал для таких утверждений. Тебе нужно быстро отличить точную формулировку («равны **и** параллельны», «делятся **пополам**») от подделки («просто равны», «просто равные диагонали»).

**Пример: Истинно или ложно?**

1. Утверждение: «Если две стороны четырёхугольника равны, то он параллелограмм».
2. Ищем контрпример: равнобедренная трапеция. Боковые стороны у неё равны, но она не параллелограмм.
3. Вывод: утверждение ложное. В теореме нужно, чтобы равные стороны были ещё и параллельны.

**Почему признак по диагоналям верен**

Пусть диагонали пересекаются в точке $O$ и $AO = OC$, $BO = OD$. Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные, значит, равны. Треугольники $AOB$ и $COD$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $AB = CD$, и накрест лежащие углы при диагонали равны, значит $AB \parallel CD$. Две стороны равны и параллельны, и применяется уже известный признак.

### Проверь себя

**Какой признак параллелограмма связан с точкой пересечения отрезков $AC$ и $BD$?**
- Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. — верно
- Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то это параллелограмм.
- Если диагонали делят углы четырёхугольника пополам, то это параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника равны, то это параллелограмм.
> Это признак параллелограмма по диагоналям, где точка $O$ делит отрезки $AC$ и $BD$ на равные части.

**Каково условие теоремы, утверждающей, что четырёхугольник является параллелограммом по его диагоналям?**
- Одна диагональ делит другую пополам, а вторая является биссектрисой.
- Диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом.
- Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. — верно
- Диагонали четырёхугольника равны между собой.
> Именно деление диагоналей пополам точкой $O$ ($AO=OC, BO=OD$) служит условием этой теоремы.

**Чем является точка $O$ согласно разделу «Обозначения» в предоставленном источнике?**
- Точкой пересечения диагоналей четырёхугольника. — верно
- Точкой пересечения высот параллелограмма.
- Центром описанной окружности.
- Одной из вершин четырёхугольника.
> В списке обозначений прямо указано: «$O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника».

**В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$. Какое утверждение справедливо?**
- ABCD обязательно имеет все равные стороны.
- ABCD — трапеция с равными диагоналями.
- ABCD — параллелограмм по признаку о диагоналях. — верно
- ABCD — произвольный четырёхугольник, не являющийся параллелограммом.
> Условие $AO = OC$ и $BO = OD$ означает, что диагонали точкой пересечения делятся пополам, что гарантирует параллелограмм.

**Что означают записи $AC$ и $BD$ в разделе «Обозначения» данного урока?**
- Средние линии четырёхугольника.
- Противоположные стороны четырёхугольника.
- Смежные стороны четырёхугольника.
- Диагонали четырёхугольника. — верно
> В разделе «Обозначения» написано: «$AC, BD$ — диагонали четырёхугольника».

**В четырёхугольнике ABCD диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Какое равенство отрезков требуется для признака параллелограмма по диагоналям?**
- $AO = BO$ и $CO = DO$
- $AB = CD$ и $AO = OD$
- $AC = BD$
- $AO = OC$ и $BO = OD$ — верно
> Точка $O$ должна делить пополам каждую из диагоналей $AC$ и $BD$.

**Какое из следующих условий НЕДОСТАТОЧНО для того, чтобы гарантировать, что четырёхугольник является параллелограммом?**
- Две стороны четырёхугольника равны, а две другие параллельны. — верно
- Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.
- Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны.
- Две стороны четырёхугольника равны и параллельны.
> При таком условии четырёхугольник может оказаться равнобокой трапецией.

## Ключевые термины

- **Признак параллелограмма** — Условие, по которому можно сделать вывод, что четырёхугольник — параллелограмм.
- **Диагонали четырёхугольника** — Отрезки $AC$ и $BD$, соединяющие противоположные вершины; точка их пересечения — $O$.
- **Противоположные стороны** — Стороны четырёхугольника, не имеющие общей вершины, например $AB$ и $CD$.

## Итог

- Параллелограмм можно доказать четырьмя способами: по определению и по трём теоремам-признакам.
- Две стороны должны быть равны И параллельны одновременно.
- В признаке со сторонами равными должны быть противоположные стороны, а не соседние.
- В признаке с диагоналями обе диагонали должны делиться точкой пересечения пополам.
- Одного равенства сторон или одного равенства диагоналей недостаточно.

## Шпаргалка

### Четыре признака параллелограмма

- **Определение** — противоположные стороны попарно параллельны
- **Две стороны** — две стороны равны и параллельны
- **Стороны попарно** — противоположные стороны попарно равны
- **Диагонали** — диагонали точкой пересечения делятся пополам

### Что проверять

| Признак | Условие | Ловушка |
| --- | --- | --- |
| Определение | две пары $\parallel$ | только одна пара |
| Две стороны | равны и $\parallel$ | только равны |
| Стороны попарно | противоположные равны | равные соседи |
| Диагонали | обе делятся пополам | делится одна |

### Контрпримеры

- **Равные боковые стороны** — равнобедренная трапеция — не параллелограмм
- **Равные диагонали** — равнобедренная трапеция — не параллелограмм
- **Равные соседние стороны ($3, 3, 5, 5$)** — «воздушный змей» — не параллелограмм

## Любопытное

- Определение параллелограмма содержит в себе и свойство, и признак. Один и тот же факт работает в обе стороны: из него следует признак.
- Из четырёх признаков по определению доказывается только первый. Три теоремы-признака доказаны отдельно через равенство треугольников.