# Прямоугольник

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/pryamougolnik

Прямоугольник — самый привычный четырёхугольник: тетрадь, экран, дверь, коробка. Разберём, что в нём особенного. Выясним, почему у него равны диагонали и как по ним, а не по углам, узнать прямоугольник. Заодно научимся отличать свойство от признака — на ОГЭ в заданиях «верно или неверно» это различие спрашивают постоянно.

## Чему научишься

- Сформулировать определение прямоугольника и объяснить, почему у него все четыре угла прямые
- Доказать, что диагонали прямоугольника равны, и назвать следствие про точку их пересечения
- Применить три признака прямоугольника и отличить свойство от признака в задании «верно или неверно»

## С чего начать

Плотник собрал дверную раму из четырёх реек. Рулетки для углов у него нет, угольника тоже. Как за секунду понять, что рама прямоугольная, а не чуть перекошенная? Оказывается, достаточно сравнить две длины.

## 1. Что такое прямоугольник

*Параллелограмм с прямыми углами: один прямой угол тянет за собой остальные*

Посмотри вокруг: книга, коробка, экран, тетрадный лист. Все они имеют форму прямоугольника. Строго говоря, прямоугольник — это не новая фигура с нуля. Это уже знакомый **параллелограмм**, которому добавили одно требование: все углы должны быть прямыми.

*Рисунок: Книги и подарочные коробки, стоящие на фоне клетчатой поверхности*

**Определение**

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется **прямоугольником**.

*Рисунок: Прямоугольник ABCD с отметками прямых углов при вершинах*

Раз прямоугольник — параллелограмм, у него есть всё, что есть у параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам. А сверх этого — прямые углы.

**Углы прямоугольника**

$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$

$\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$ — углы четырёхугольника $ABCD$, каждый равен $90^\circ$.

**Как это работает и как запомнить**

**Аналогия.** Представь угол комнаты, где сходятся две стены. Стены на противоположных сторонах комнаты параллельны, и поэтому у прямоугольной комнаты все четыре угла одинаковые. Если один угол «как в книге», остальные уже не могут быть другими.

Почему так: в параллелограмме соседние углы дают $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Если $\angle A = 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Дальше то же самое для остальных углов.

**Как запомнить (правило самопроверки):** «один прямой угол в параллелограмме — и все прямые».

**Пример: Сколько нужно знать, чтобы убедиться, что параллелограмм — прямоугольник**

1. Дан параллелограмм $ABCD$, и известно только, что $\angle A = 90^\circ$.
2. Соседние углы параллелограмма дают $\angle A + \angle B = 180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
3. Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle C = \angle A = 90^\circ$ и $\angle D = \angle B = 90^\circ$.
4. Все углы прямые, и $ABCD$ — прямоугольник. Хватило одного угла.

**Проверь себя:** В параллелограмме два соседних угла равны. Чему равен каждый?
**Ответ:** Каждый равен $90^\circ$: из $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle A = \angle B$ получаем $2\angle A = 180^\circ$, то есть $\angle A = 90^\circ$. Значит, такой параллелограмм — прямоугольник.

### Проверь себя

**Какое из следующих определений прямоугольника является точным согласно тексту урока?**
- Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.
- Четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны.
- Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны.
- Параллелограмм, у которого все углы прямые. — верно
> Данная формулировка точно отражает базовое определение прямоугольника как частного вида параллелограмма с четырьмя прямыми углами.

**Какое равенство выполняется для всех углов прямоугольника ABCD?**
- $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 90^\circ$
- $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$ — верно
- $\angle A = \angle C = 45^\circ$
- $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 180^\circ$
> Все четыре угла прямоугольника равны между собой и составляют $90^\circ$.

## 2. Диагонали и симметрия

*Равные диагонали — главное свойство прямоугольника*

У обычного параллелограмма диагонали разной длины: одна «длинная», другая «короткая». У прямоугольника они одинаковые. Почему? Потому что прямые углы не дают фигуре «завалиться» в одну сторону.

*Рисунок: Прямоугольник ABCD с двумя пересекающимися диагоналями*

**Теорема (свойство диагоналей прямоугольника)**

Диагонали прямоугольника равны.

**Равенство диагоналей**

$AC = BD$

$AC$, $BD$ — диагонали прямоугольника $ABCD$.

**Как это работает и как запомнить**

**Аналогия.** Дверная рама на шарнирах. Пока рама прямоугольная, две натянутые диагональные верёвки одинаковой длины. Стоит рамку перекосить в «ромбик-параллелограмм», и одна верёвка становится длиннее, а другая короче. Равенство диагоналей — это «нет перекоса».

**Как запомнить (правило самопроверки):** «равные диагонали — рама не перекошена».

*Рисунок: Две рамки из реек с натянутыми диагональными верёвками: слева прямоугольная с равными верёвками, справа перекошенная, где одна верёвка длиннее*

**Почему диагонали равны**

Возьмём треугольники $ABD$ и $DCA$. Сторона $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма. Сторона $AD$ у них общая. Углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$ прямые, то есть равны. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует $BD = AC$.

**Следствие**

Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от его вершин.

Почему так: в параллелограмме точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам. Диагонали прямоугольника равны, значит и их половинки равны. Выходит, что расстояния от этой точки до всех четырёх вершин одинаковые. Поэтому вокруг прямоугольника можно описать окружность с центром в этой точке.

*Рисунок: Прямоугольник с точками E, F, M, N и красными отрезками между ними*

**Симметрия прямоугольника**

Прямоугольник обладает центральной симметрией (центром симметрии является точка пересечения диагоналей) и осевой симметрией (две оси симметрии — прямые, проходящие через середины противоположных сторон). На рисунке выше оси обозначены $MN$ и $EF$.

Сложи лист бумаги прямоугольником пополам по линии через середины противоположных сторон: половинки совпадут. Это и есть ось симметрии. Таких линий две. Диагональ, наоборот, осью симметрии не служит.

**Проверь себя:** Диагональ прямоугольника равна 14 см. Чему равна вторая диагональ и чему равно расстояние от точки пересечения диагоналей до вершины?
**Ответ:** Вторая диагональ тоже 14 см, так как $AC = BD$. Точка пересечения делит диагональ пополам и равноудалена от вершин, поэтому расстояние до каждой вершины 7 см.

### Проверь себя

**Каким свойством выделяются диагонали прямоугольника среди всех параллелограммов?**
- Диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$). — верно
- Диагонали прямоугольника равны его большей стороне.
- Диагонали прямоугольника делят его углы пополам.
- Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.
> Теорема о свойствах прямоугольника утверждает, что его диагонали имеют одинаковую длину.

**Что является центром симметрии прямоугольника?**
- Точка пересечения оси симметрии со стороной.
- Точка пересечения его диагоналей. — верно
- Одна из его вершин.
- Середина его большей стороны.
> Как и у любого параллелограмма, точка пересечения диагоналей служит центром симметрии прямоугольника.

**Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?**
- Четыре оси симметрии.
- Одна ось симметрии.
- Ни одной оси симметрии.
- Две оси симметрии. — верно
> Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, проходящими через середины его противоположных сторон.

**Как проходят оси симметрии прямоугольника?**
- Прямые, проходящие через середины противоположных сторон. — верно
- Прямые, содержащие диагонали прямоугольника.
- Прямые, проходящие через вершины прямоугольника.
- Прямые, делящие углы прямоугольника пополам.
> Оси симметрии прямоугольника (обозначенные $MN$ и $EF$) соединяют середины его противоположных сторон.

**Какое следствие вытекает из теоремы о свойствах диагоналей прямоугольника?**
- Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от его вершин. — верно
- Все стороны прямоугольника равны между собой.
- Сумма длин диагоналей равна периметру прямоугольника.
- Диагонали прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
> Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам и равны между собой, их половинки равны, то есть вершина равноудалены от центра.

**Какая сторона является общей для треугольников $\Delta ABD$ и $\Delta DCA$ при доказательстве теоремы о равных диагоналях?**
- Сторона $BC$.
- Сторона $AD$. — верно
- Сторона $AB$.
- Диагональ $AC$.
> Оба треугольника $\Delta ABD$ и $\Delta DCA$ построены на общем основании $AD$.

**Чем являются прямые $MN$ и $EF$ на рисунке 2.26 из учебного текста?**
- Биссектрисами углов прямоугольника.
- Диагоналями прямоугольника.
- Сторонами прямоугольника.
- Осями симметрии прямоугольника. — верно
> Прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.

**Какое из следующих утверждений о прямоугольнике НЕВЕРНО?**
- Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны. — верно
- Прямоугольник имеет две оси симметрии.
- Диагонали прямоугольника равны.
- Прямоугольник обладает центральной симметрией.
> Диагонали прямоугольника равны, но перпендикулярны они только у квадрата.

**Как называется раздел учебного текста, в котором описаны свойства осей $MN$ и $EF$?**
- Свойства диагоналей прямоугольника
- Формулы прямоугольника
- Признаки прямоугольника
- Прямоугольник и симметрия — верно
> Этот подраздел урока посвящён центральной и осевой симметрии прямоугольника.

**Какие отрезки обозначаются буквами $AC$ и $BD$ в геометрических доказательствах параграфа?**
- Диагонали параллелограмма (прямоугольника). — верно
- Высоты, опущенные на основание.
- Оси симметрии прямоугольника.
- Противоположные стороны четырёхугольника.
> Отрезки, соединяющие противоположные вершины $A$ и $C$, $B$ и $D$, являются диагоналями.

**Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, у которого смежные стороны не равны?**
- 1
- 0
- 4
- 2 — верно
> Любой прямоугольник (не являющийся квадратом) имеет ровно две оси симметрии.

## 3. Признаки прямоугольника

*Как узнать прямоугольник, не проверяя все углы*

**Свойство** говорит: «если это прямоугольник, то у него такое-то». **Признак** — наоборот: «если выполнено вот это, то фигура точно прямоугольник». Плотник из начала урока пользуется как раз признаком.

*Рисунок: Прямоугольник ABCD с отметкой прямого угла*

**Признак по прямому углу**

**Теорема.** Если у параллелограмма один угол прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник.

*Рисунок: Прямоугольник ABCD с двумя пересекающимися диагоналями*

**Признак по диагоналям**

**Теорема.** Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

**Признак по углам четырёхугольника**

**Теорема.** Четырёхугольник, у которого все углы прямые, — прямоугольник.

**Почему равные диагонали дают прямоугольник**

Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали равны: $AC = BD$. Треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по трём сторонам: $AB = CD$, $AD$ общая, $BD = AC$. Значит, $\angle A = \angle D$. Но в параллелограмме $\angle A + \angle D = 180^\circ$. Получаем $2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$. Один угол прямой, и по первому признаку это прямоугольник.

**Свойство и признак: не путай направление**

|  | Свойство | Признак |
| --- | --- | --- |
| Что дано | Фигура — прямоугольник | Параллелограмм с особенностью |
| Что получаем | Диагонали равны, углы прямые | Фигура — прямоугольник |
| Пример | Диагонали прямоугольника равны | Диагонали параллелограмма равны, значит, он прямоугольник |
| Когда применять | Нужно найти длину или угол | Нужно доказать, что это прямоугольник |

**Неправильно:** У любого четырёхугольника с равными диагоналями углы прямые.
**Правильно:** Признак по диагоналям работает только для параллелограмма. Сначала нужно знать, что это параллелограмм.

**Пример: Верно или неверно: так это спрашивают на ОГЭ**

1. Утверждение: «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник».
2. Сравним с признаком по диагоналям: условие и вывод совпадают дословно. Утверждение истинно.
3. Утверждение: «Диагонали любого параллелограмма равны». Проверяем свойство: оно верно только для прямоугольника, у обычного параллелограмма одна диагональ длиннее. Утверждение ложно.
4. Приём: ищи, к какому классу фигур относится утверждение, и сверяй с теоремой. Так это спрашивают на ОГЭ в задании «выберите истинное высказывание».

**Проверь себя:** Четырёхугольник имеет три прямых угла. Прямоугольник ли это?
**Ответ:** Да. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, значит, четвёртый угол равен $360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$. Все углы прямые, и по признаку по углам четырёхугольника это прямоугольник.

### Проверь себя

**Согласно признаку прямоугольника, параллелограмм является прямоугольником, если у него:**
- Диагонали делят углы пополам.
- Сумма противоположных углов равна $90^\circ$.
- Один угол прямой. — верно
- Две стороны равны.
> Наличие хотя бы одного прямого угла в параллелограмме влечет за собой то, что и остальные три угла становятся прямыми.

**Какой признак прямоугольника связан с его диагоналями?**
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это прямоугольник.
- Если диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то это прямоугольник.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. — верно
- Если одна диагональ в два раза длиннее другой, то это прямоугольник.
> Равенство диагоналей в параллелограмме является достаточным условием для того, чтобы он являлся прямоугольником.

**На основании какого признака равенства треугольников доказывается, что $\Delta ABD = \Delta DCA$ в признаке прямоугольника по равным диагоналям?**
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне и двум прилежащим к ней углам.
- По трём сторонам. — верно
- По гипотенузе и острому углу.
> В треугольниках $ABD$ и $DCA$ сторона $AD$ общая, $AC = BD$ по условию, и $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма.

**В доказательстве теоремы о параллелограмме с одним прямым углом равенство $\angle C = \angle A = 90^\circ$ объясняется тем, что:**
- Противоположные углы параллелограмма равны. — верно
- Они являются смежными углами.
- Углы $\angle C$ и $\angle A$ являются односторонними.
- Диагонали параллелограмма равны.
> Базовое свойство параллелограмма гарантирует равенство противоположных углов $\angle C$ и $\angle A$.

**Чему равна сумма односторонних углов $\angle A + \angle B$, прилежащих к стороне параллелограмма?**
- $270^\circ$
- $180^\circ$ — верно
- $360^\circ$
- $90^\circ$
> Односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$ в сумме дают $180^\circ$.

**Какая теорема о произвольном четырёхугольнике приведена в конце параграфа?**
- Четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны, — прямоугольник.
- Четырёхугольник с двумя осями симметрии всегда является прямоугольником.
- Четырёхугольник, у которого диагонали равны, — прямоугольник.
- Четырёхугольник, у которого все углы прямые, — прямоугольник. — верно
> Это признак прямоугольника для любого четырёхугольника без исходного предположения о том, что он является параллелограммом.

**Как в доказательстве теоремы о равных диагоналях из равенства $\angle BAD = \angle CDA$ получается $2\angle A = 180^\circ$?**
- Потому что диагонали перпендикулярны.
- Потому что сумма всех углов равна $360^\circ$.
- Потому что противоположные углы равны.
- Потому что $\angle A + \angle D = 180^\circ$ как односторонние углы, а $\angle A = \angle D$. — верно
> Поскольку углы равны из равенства треугольников и при этом в сумме дают $180^\circ$ как прилежащие к одной стороне параллелограмма, их удвоенная величина равна $180^\circ$.

**Если у параллелограмма ABCD угол $\angle A = 90^\circ$, какова величина угла $\angle B$?**
- $\angle B = 180^\circ - \angle A = 90^\circ$ — верно
- $\angle B = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$
- $\angle B = \frac{1}{2}\angle A = 45^\circ$
- $\angle B = 90^\circ + \angle A = 180^\circ$
> Так как $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (односторонние углы), то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

**Как обосновывается равенство сторон $AB = CD$ при доказательстве равенства треугольников $\Delta ABD = \Delta DCA$?**
- Из равенства осей симметрии.
- По условию теоремы.
- Как противоположные стороны параллелограмма. — верно
- Потому что все стороны прямоугольника равны.
> По условию признака исходная фигура является параллелограммом, а у любого параллелограмма противоположные стороны равны.

**Что является дано в теореме «Если у параллелограмма один угол прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник»?**
- Параллелограмм ABCD, у которого $AC \perp BD$.
- Четырёхугольник ABCD — прямоугольник, $AC = BD$.
- Четырёхугольник ABCD, у которого $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
- Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $\angle A = 90^\circ$. — верно
> Теорема рассматривает параллелограмм с известным прямым углом $\angle A$ и доказывает, что он является прямоугольником.

**Из какого свойства параллелограмма вытекает равенство $\angle D = \angle B = 90^\circ$ в доказательстве теоремы о параллелограмме с одним прямым углом?**
- Из равенства диагоналей параллелограмма.
- Из теоремы о сумме углов треугольника.
- Из равенства противоположных углов параллелограмма. — верно
- Из равенства противоположных сторон параллелограмма.
> Так как угол $B$ равен $90^\circ$, а угол $D$ противоположен углу $B$, то $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

**В чём заключается отличие между определением прямоугольника и теоремой-признаком «Четырёхугольник, у которого все углы прямые, — прямоугольник»?**
- Между ними нет никакой разницы.
- Определение требует равенства диагоналей, а признак — равенства сторон.
- Определение относится к параллелограмму, а признак — к произвольному четырёхугольнику. — верно
- Определение описывает оси симметрии, а признак — углы.
> Определение заранее предполагает, что фигура является параллелограммом, а признак доказывает это свойство для любого четырёхугольника.

**Какая формула выражает связь между односторонними углами $\angle A$ и $\angle D$ при стороне $AD$ параллелограмма ABCD?**
- $\angle A - \angle D = 180^\circ$
- $\angle A + \angle D = 180^\circ$ — верно
- $\angle A = \angle D = 90^\circ$
- $\angle A + \angle D = 90^\circ$
> Углы $A$ и $D$ являются односторонними при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

## Ключевые термины

- **Прямоугольник** — Параллелограмм, у которого все углы прямые.
- **Диагонали прямоугольника** — Равны: $AC = BD$.
- **Ось симметрии прямоугольника** — Прямая, проходящая через середины противоположных сторон.
- **Признак фигуры** — Условие, из которого следует, что фигура — прямоугольник.

## Итог

- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
- Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$. Точка их пересечения равноудалена от всех вершин.
- У прямоугольника есть центр симметрии и две оси симметрии — через середины противоположных сторон.
- Признаки: параллелограмм с прямым углом; параллелограмм с равными диагоналями; четырёхугольник со всеми прямыми углами.
- Свойство и признак — разные направления: «если прямоугольник, то …» и «если …, то прямоугольник».

## Шпаргалка

### Равенства в прямоугольнике

- **$AC = BD$** — диагонали равны
- **$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$** — все углы прямые
- **$\angle A + \angle B = 180^\circ$** — соседние углы параллелограмма
- **$2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ$** — равные диагонали дают прямой угол

### Признаки прямоугольника

- **Параллелограмм + один прямой угол** — это прямоугольник
- **Параллелограмм + равные диагонали** — это прямоугольник
- **Четырёхугольник + все углы прямые** — это прямоугольник

### Симметрия и диагонали

- **Центр симметрии** — точка пересечения диагоналей
- **Оси симметрии** — две, через середины противоположных сторон
- **Точка пересечения диагоналей** — равноудалена от всех вершин

### Свойство и признак

|  | Свойство | Признак |
| --- | --- | --- |
| Дано | прямоугольник | параллелограмм с условием |
| Вывод | диагонали равны | это прямоугольник |
| Зачем | найти длину или угол | доказать вид фигуры |

## Любопытное

- Раз точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех вершин, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность с центром в этой точке.
- Строители проверяют, что фундамент или рама прямоугольные, замером двух диагоналей: так не нужен угольник на каждый угол.