# Решаем задачи (окружность) Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/reshaem-zadachi-okruzhnost-8-klass Урок-практикум по всей главе «Окружность»: хорды и радиусы, касательные, центральные и вписанные углы, касание окружностей, вписанная и описанная окружности. Разбираем типовые задачи из раздела «Решаем задачи» и собираем приёмы: какой вспомогательный элемент провести, во что перевести угол, где искать равнобедренный треугольник. ## Чему научишься - Начинать любую задачу про хорду с равнобедренного треугольника «два радиуса + хорда» и находить по нему углы и отрезки. - Использовать свойства касательной (перпендикуляр к радиусу, равенство отрезков касательных из одной точки) и условие касания окружностей ($d = R_1 + R_2$ или $d = R_1 - R_2$). - Переводить углы в дуги и обратно: центральный угол равен дуге, вписанный и угол между касательной и хордой — половине; отличать верные утверждения главы от «почти верных». ## С чего начать В главе про окружность всего десяток фактов — а задач на них тринадцать страниц. Глядя на очередной рисунок с окружностью, как понять за секунду, какой из фактов сработает? Есть три вопроса, которые «вскрывают» почти любую задачу про окружность. Какие? ## 1. Хорда и центр: всегда равнобедренный треугольник *Первый вопрос: «где здесь два радиуса?»* **С чем работаем** **Окружность** — множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). **Радиус** — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. **Хорда** — отрезок, соединяющий две точки окружности. **Диаметр** — хорда, проходящая через центр; $d = 2r$. **Приём 1: хорда → два радиуса → равнобедренный треугольник** Любая хорда $AB$ вместе с радиусами $OA$ и $OB$ даёт равнобедренный треугольник $AOB$ ($OA = OB = r$). Из него берём: равные углы при основании, высоту-медиану-биссектрису из центра, а если хорда равна радиусу — равносторонний треугольник с углами $60^\circ$. **Как понять и запомнить** Центр окружности — как крепление зонта: все спицы (радиусы) одинаковые. Натяни между двумя спицами нитку (хорду) — получится равнобедренный треугольник, и он всегда один и тот же по устройству, какую бы хорду ни взял. Поэтому первый вопрос к рисунку: «где здесь два радиуса?». Способ запомнить — правило самопроверки: **увидел хорду — проведи радиусы****; угол при основании **$= \frac{180^\circ - \text{центральный}}{2}$**; хорда равна радиусу — угол **$60^\circ$**.** *Рисунок: Раскрытый зонт с одинаковыми спицами и ниткой, натянутой между концами двух спиц* *Рисунок: Круг с центром O, точки A, B на окружности, соединённые отрезками с O* **Пример: Отрезок $AB$ — хорда окружности с центром $O$, $\angle AOB = 140^\circ$. Найди $\angle OAB$** 1. $OA = OB$ — радиусы, треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$. 2. Углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = 20^\circ$. *Рисунок: Круг с центром O, точки M, N на окружности, соединённые отрезками с O* **Пример: $MN$ — хорда окружности с центром $O$, $\angle OMN = 55^\circ$. Найди $\angle MON$** 1. Треугольник $MON$ равнобедренный ($OM = ON$), значит $\angle ONM = \angle OMN = 55^\circ$. 2. $\angle MON = 180^\circ - 2 \cdot 55^\circ = 70^\circ$. **Пример: Из точки $A$ окружности проведены диаметр $AB$ и хорда $AC$, равная радиусу. Найди $\angle CAB$** 1. Проведём радиус $OC$. В треугольнике $AOC$: $OA = OC = r$ (радиусы) и $AC = r$ по условию — треугольник равносторонний. 2. Все его углы по $60^\circ$, в том числе $\angle CAB = \angle CAO = 60^\circ$ (точка $O$ лежит на диаметре $AB$). **Пример: Докажи, что равные хорды окружности равноудалены от её центра** 1. Пусть $AB = CD$, а $OE \perp AB$ и $OF \perp CD$ — расстояния от центра до хорд. Перпендикуляр из центра лежит на диаметре, перпендикулярном хорде, значит делит её пополам: $AE = \frac{AB}{2}$, $CF = \frac{CD}{2}$, и $AE = CF$. 2. Прямоугольные треугольники $AEO$ и $CFO$: гипотенузы $OA = OC = r$, катеты $AE = CF$ — равны по гипотенузе и катету. 3. Значит, $OE = OF$: равные хорды равноудалены от центра. Обратное («равноудалённые хорды равны») доказывается тем же путём в обратном порядке — здесь обратная теорема верна. **Проверь себя:** Прикинь: хорда видна из центра под углом $60^\circ$, радиус $5$ см. Чему равна хорда? **Ответ:** $5$ см: равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний. ### Проверь себя **Как называется отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности?** - Радиус - Касательная - Хорда — верно - Дуга > Согласно определению, хорда — это отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на окружности. **Что такое центральный угол?** - Угол с вершиной в центре окружности — верно - Угол, опирающийся на хорду - Угол между двумя касательными - Угол, вершина которого лежит на окружности > По определению, именно положение вершины в центре окружности делает угол центральным. ## 2. Касательные и касание окружностей *Второй вопрос: «где здесь прямой угол?»* **Касательная** **Касательная к окружности** — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр. **Приём 2: касательная → радиус в точку касания → прямой угол** Как только на рисунке касательная, проводи радиус в точку касания: появился прямоугольный треугольник. Две касательные из одной точки — два равных прямоугольных треугольника, и прямая через точку и центр — их ось симметрии (биссектриса угла между касательными). **Как понять и запомнить** Касательная — как доска, к которой прислонили мяч: мяч касается доски в одной точке, и линия от центра мяча к этой точке смотрит на доску строго перпендикулярно. Две доски, сходящиеся углом, зажимают мяч симметрично — потому отрезки касательных из вершины угла равны. Способ запомнить: **касательная ⊥ радиусу в точке касания; из одной точки — два равных отрезка касательных.** *Рисунок: Окружность с центром O, касательные AC и AB из точки A, и линия AO* **Пример: Из точки $A$ к окружности проведены касательные $AB$ и $AC$; $\angle AOC = 70^\circ$. Найди $\angle BAO$** 1. $OC \perp AC$ (радиус в точку касания), треугольник $AOC$ прямоугольный: $\angle OAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. 2. Прямая $AO$ образует равные углы с касательными: $\angle BAO = \angle OAC = 20^\circ$. **Пример: Найди расстояние между двумя параллельными касательными к окружности радиуса $3$ см** 1. Радиусы в точки касания перпендикулярны обеим касательным, значит лежат на одной прямой — это диаметр. 2. Расстояние между касательными равно диаметру: $2 \cdot 3 = 6$ см. **Касание окружностей** Две окружности радиусов $R_1$ и $R_2$ касаются **внешним** образом, если расстояние между центрами $d = R_1 + R_2$, и **внутренним**, если $d = R_1 - R_2$ (большая минус меньшая). Точка касания лежит на прямой центров. **Пример: Окружности радиусов $10$ см и $15$ см касаются. Расстояние между центрами при внешнем и внутреннем касании? Могут ли касаться окружности радиусов $40$ и $35$ см с расстоянием между центрами $70$ см?** 1. Внешнее касание: $d = 10 + 15 = 25$ см. Внутреннее: $d = 15 - 10 = 5$ см. 2. Для радиусов $40$ и $35$: внешнее касание требует $d = 75$, внутреннее — $d = 5$. Ни то ни другое не равно $70$ — касаться не могут (при $d = 70$ они пересекаются). *Рисунок: Три касающиеся окружности с центрами A, B, C, образующие треугольник ABC* **Пример: Три окружности с центрами $A$, $B$, $C$ и радиусами $1$, $3$ и $7$ см касаются друг друга внешним образом. Найди периметр треугольника $ABC$** 1. При внешнем касании расстояние между центрами — сумма радиусов: $AB = 1 + 3 = 4$, $BC = 3 + 7 = 10$, $AC = 1 + 7 = 8$. 2. Периметр $= 4 + 10 + 8 = 22$ см. Заметь: это удвоенная сумма радиусов, $2(1 + 3 + 7) = 22$ — каждый радиус вошёл в две стороны. **Неправильно:** Через точку вне окружности можно провести единственную касательную к ней. **Правильно:** Две. Единственная касательная проходит через точку, лежащую НА окружности. Из внешней точки — две, и их отрезки до точек касания равны. **Проверь себя:** Окружности радиусов $4$ и $9$ касаются внутренним образом. Расстояние между центрами? **Ответ:** $9 - 4 = 5$. ### Проверь себя **Чему равен угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны проходят через концы диаметра?** - Зависит от радиуса окружности - $90^{\circ}$ — верно - $45^{\circ}$ - $180^{\circ}$ > Вписанный угол, опирающийся на диаметр, опирается на полуокружность в $180^{\circ}$, следовательно, он равен $90^{\circ}$. **Если две хорды окружности равны, что можно сказать об их расстоянии до центра окружности?** - Хорда, которая длиннее, находится ближе к центру. - Расстояние до центра невозможно определить. - Они равноудалены от центра. — верно - Расстояние до центра всегда равно радиусу. > Равные хорды одной окружности всегда находятся на одинаковом расстоянии от её центра. ## 3. Углы и дуги: центральный, вписанный, с касательной *Третий вопрос: «какую дугу этот угол съедает?»* **Углы в окружности** **Центральный угол** — угол с вершиной в центре окружности. **Вписанный угол** — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. **Три правила измерения** Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle AOB = \smile AB$. Градусная мера вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \frac{1}{2}\smile AC$. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними. **Как понять и запомнить** Дуга — это «пирог», угол — сколько пирога видно из вершины. Из центра видно весь кусок целиком (центральный угол равен дуге). С края окружности тот же кусок виден вдвое меньшим (вписанный угол — половина). Касательная — крайний случай вписанного угла, и правило то же: половина. Способ запомнить — опорное число: **центральный — вся дуга, вписанный и касательная-хорда — половина; вписанный на полуокружность — **$90^\circ$**.** **Пример: Центральный угол $MON$ на $37^\circ$ больше острого вписанного угла, опирающегося на дугу $MN$. Найди оба угла** 1. Пусть вписанный угол равен $x$. Он равен половине дуги $MN$, а центральный — всей дуге, значит центральный $= 2x$. 2. По условию $2x - x = 37^\circ$, откуда $x = 37^\circ$: вписанный угол $37^\circ$, центральный $74^\circ$. **Пример: Точки $A$, $B$ и $C$ делят окружность в отношении $2 : 3 : 4$. Найди центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, и углы треугольника $ABC$** 1. Вся окружность $360^\circ$ делится на $2 + 3 + 4 = 9$ частей по $40^\circ$: дуги $80^\circ$, $120^\circ$ и $160^\circ$. 2. Центральный угол на меньшую дугу равен ей: $80^\circ$. 3. Каждый угол треугольника — вписанный, опирается на дугу, противолежащую вершине: углы $\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$, $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$, $\frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$. Проверка: $40 + 60 + 80 = 180$. Все углы острые — треугольник остроугольный. **Пример: Прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $C$; $\angle ODC = 24^\circ$. Найди угол между касательной и хордой $CD$** 1. Треугольник $ODC$ равнобедренный ($OD = OC$): $\angle OCD = \angle ODC = 24^\circ$. 2. Радиус $OC \perp a$. Угол между касательной и хордой (острый) $= 90^\circ - \angle OCD = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$. 3. Проверка через дугу: центральный $\angle DOC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$, дуга $DC = 132^\circ$, половина — $66^\circ$. Сходится. **Пример: Вершины прямоугольного треугольника лежат на окружности, один острый угол $44^\circ$. На какие дуги вершины делят окружность?** 1. Углы треугольника: $90^\circ$, $44^\circ$ и $46^\circ$. Каждый — вписанный, опирается на дугу, противолежащую вершине, и равен её половине. 2. Дуги вдвое больше углов: $180^\circ$ (против прямого угла — полуокружность, гипотенуза — диаметр), $88^\circ$ и $92^\circ$. Проверка: $180 + 88 + 92 = 360$. **Вершина не на окружности: внутри и снаружи** **Угол с вершиной внутри круга** (между двумя пересекающимися хордами) измеряется полусуммой дуг: одна расположена внутри этого угла, другая — внутри угла, вертикального данному. **Угол с вершиной вне окружности** (между двумя секущими из одной точки) измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла: из большей дуги вычитаем меньшую и делим пополам. **Как понять и запомнить: внутри и снаружи** Вершина сдвигается с окружности внутрь — угол «видит» сразу две дуги (свою и вертикальную), и они складываются. Сдвигается наружу — дальняя дуга видна, а ближняя как бы загораживает часть, и она вычитается. На окружности вершина ровно посередине: одна дуга, половина. Способ запомнить — правило самопроверки: **внутри — плюс, снаружи — минус, и всегда пополам; вершина на окружности — одна дуга пополам.** **Пример: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$; дуги $AC$ и $BD$ равны $110^\circ$ и $150^\circ$. Найди угол $AMC$. И второй случай: секущие из внешней точки вырезают дуги $150^\circ$ и $40^\circ$ — найди угол между секущими** 1. Вершина $M$ внутри круга: угол равен полусумме дуги внутри него ($AC = 110^\circ$) и дуги внутри вертикального угла ($BD = 150^\circ$): $\angle AMC = \frac{110^\circ + 150^\circ}{2} = 130^\circ$. 2. Проверка: смежный угол $AMD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$, а оставшиеся дуги $AD + CB = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$, полусумма $50^\circ$. Сходится. 3. Вершина вне окружности: полуразность дуг внутри угла: $\frac{150^\circ - 40^\circ}{2} = 55^\circ$. **Неправильно:** Центральный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. **Правильно:** Центральный угол равен ВСЕЙ дуге. Половину берут вписанный угол и угол между касательной и хордой. Центральный вдвое больше вписанного на ту же дугу. **Проверь себя:** Хорда видна из точки $K$ окружности под углом $85^\circ$. Под каким углом она видна из другой точки $E$ той же дуги? **Ответ:** Тоже $85^\circ$: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (если $E$ по другую сторону хорды — $180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$). ### Проверь себя **Если градусная мера дуги окружности составляет $120^{\circ}$, чему равен вписанный угол, опирающийся на эту дугу?** - $240^{\circ}$ - $120^{\circ}$ - $60^{\circ}$ — верно - $90^{\circ}$ > Величина вписанного угла всегда равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. **Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен $40^{\circ}$. Чему равна градусная мера дуги, заключённой внутри этого угла?** - $20^{\circ}$ - $80^{\circ}$ — верно - $140^{\circ}$ - $40^{\circ}$ > Согласно свойству, угол между касательной и хордой измеряется половиной градусной меры заключённой в нём дуги. **Как измеряется угол с вершиной внутри круга?** - Суммой градусных мер дуг - Полусуммой дуг, заключённых внутри этого и вертикального ему углов — верно - Полуразностью дуг, заключённых внутри угла - Средним арифметическим радиусов > Это стандартная формула для угла, образованного пересекающимися хордами внутри окружности. ## 4. Верно или неверно: проверка формулировок *Где в главе прячутся ловушки* **Вписанная и описанная окружности** **Вписанная в треугольник окружность** — окружность, касающаяся всех сторон треугольника (центр — пересечение биссектрис). **Описанная около треугольника окружность** — окружность, проходящая через все вершины треугольника (центр — пересечение серединных перпендикуляров). **Как понять и запомнить: вписанная и описанная** Смотри, кто внутри. Вписанная окружность сидит внутри треугольника и трогает каждую сторону — ей нужна равноудалённость от сторон, то есть биссектрисы. Описанная обходит треугольник снаружи через вершины — ей нужна равноудалённость от вершин, то есть серединные перпендикуляры. Зацепки: **ВПИСанная окружность вписалась внутрь треугольника и касается каждой его стороны.** **ОПИСанный треугольник описывает окружность своими сторонами.** А для описанной окружности: **ВПИСанный треугольник — его вершины ВПИСАлись на окружность.** Учебник в конце раздела задач предлагает десять утверждений и просит найти верные. Это лучшая тренировка перед контрольной: ошибки прячутся в одном слове. Разберём их таблицей. **Десять утверждений главы: верно или неверно** | Утверждение | Вердикт | Почему | | --- | --- | --- | | Через точку, принадлежащую окружности, проходит единственная касательная | верно | перпендикуляр к радиусу в этой точке — один | | Через точку вне окружности можно провести единственную касательную | неверно | две касательные | | Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания | верно | свойство касательной | | Центральный угол измеряется половиной дуги | неверно | всей дугой | | Центральный угол в два раза больше вписанного на ту же дугу | верно | дуга и половина дуги | | Если диаметр перпендикулярен хорде, то делит её пополам | верно | высота равнобедренного треугольника — медиана | | Угол между касательной и хордой равен вписанному углу на дугу между ними | верно | оба — половина этой дуги | | Вписанные углы на дуги между параллельными хордами равны | верно | дуги равны — углы равны | | Если хорды равны, то равны и дуги, стягиваемые ими | неверно без уточнения | у хорды две дуги | | Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой | верно | полуокружность $180^\circ$, половина — $90^\circ$ | **Как понять и запомнить** Ложные утверждения главы — это верные, у которых потеряли одно слово: «единственная» (вместо «две»), «половина» (вместо «вся дуга»), «дуги» без «меньшие». Читая формулировку, ищи, за что зацепиться: сколько, какая доля, какие именно. Способ запомнить: **три ловушки — «одна касательная» (нет, две), «центральный — половина» (нет, вся), «равные хорды — равные дуги» (только меньшие).** **Пример: «Неверно!»: почему ложно утверждение «Диаметр окружности, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде» — и как его исправить** 1. Контрпример: хорда сама является диаметром. Любой другой диаметр проходит через её середину (центр), но перпендикулярен ей только один. 2. Исправленная формулировка: «Диаметр, проведённый через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде». Для такой хорды всё работает: $OE$ — медиана равнобедренного треугольника $AOB$, значит и высота. **Задача-исследование: как найти центр окружности, если он не отмечен** Проведи любую хорду $AB$ и построй к ней серединный перпендикуляр — центр лежит на нём (диаметр через середину хорды перпендикулярен ей). Проведи вторую хорду $CD$, не параллельную первой, и её серединный перпендикуляр. Пересечение двух серединных перпендикуляров — центр. А диаметр — это серединный перпендикуляр к любой хорде, продолженный до окружности. **Кстати, про ОГЭ: задания 16 и 24** В задании 16 из этой темы спрашивают, например: «Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $7$». Описанный квадрат — стороны касаются окружности, значит расстояние между двумя параллельными сторонами равно диаметру: сторона $= 2 \cdot 7 = 14$, площадь $14^2 = 196$. Никаких новых формул — только «параллельные касательные на расстоянии $2r$». В задании 24 просят доказать: около четырёхугольника $ABCD$ описана окружность, продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ — докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны. Ход такой: угол $M$ у треугольников общий; угол $MBC$ — смежный с вписанным углом $ABC$, а вписанные углы $ABC$ и $ADC$ опираются на дополняющие друг друга дуги, поэтому $\angle MBC = \angle ADC = \angle MDA$; два угла равны — треугольники подобны. Свойство «сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$» будет доказано в следующей главе, но опирается ровно на теорему о вписанном угле. **Проверь себя:** Верно ли: «через точку, лежащую на окружности, можно провести две касательные»? **Ответ:** Неверно: через точку НА окружности — единственная касательная (перпендикуляр к радиусу). Две — из точки ВНЕ окружности. ### Проверь себя **Какое из утверждений о касательной к окружности является верным?** - Касательная пересекает окружность в двух точках. - Угол между касательной и радиусом в точке касания может быть любым. - Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. — верно - Касательная всегда проходит через центр окружности. > Поскольку касательная имеет одну общую точку с окружностью, кратчайшее расстояние до неё — это радиус, проведённый в точку касания. **В какой точке пересекаются биссектрисы всех углов треугольника?** - В середине самой длинной стороны - В центре вписанной окружности — верно - На одной из вершин треугольника - В центре описанной окружности > Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника, что является свойством точки пересечения биссектрис. **Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?** - В вершине прямого угла - На середине гипотенузы — верно - Вне треугольника - Внутри треугольника, ближе к прямому углу > В прямоугольном треугольнике вписанный прямой угол опирается на диаметр, которым и является гипотенуза. ## Ключевые термины - **Хорда** — Отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — хорда через центр, $d = 2r$. - **Касательная к окружности** — Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку; перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. - **Центральный угол** — Угол с вершиной в центре окружности; равен дуге, на которую опирается. - **Вписанный угол** — Угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность; равен половине дуги, на которую опирается. - **Касание окружностей** — Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку; расстояние между центрами равно сумме (внешнее) или разности (внутреннее) радиусов. ## Итог - Хорда + два радиуса = равнобедренный треугольник: углы при основании $\frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$; хорда равна радиусу — угол $60^\circ$; перпендикуляр из центра делит хорду пополам; равные хорды равноудалены от центра. - Касательная $\perp$ радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны; через точку на окружности — одна касательная, из внешней точки — две. - Касание окружностей: $d = R_1 + R_2$ (внешнее) или $d = R_1 - R_2$ (внутреннее); центры касающихся окружностей и точка касания — на одной прямой. - Центральный угол равен дуге; вписанный и угол между касательной и хордой — половине дуги; вписанный на полуокружность — $90^\circ$; углы вписанного треугольника — половины противолежащих дуг. Вершина внутри круга — полусумма дуг, вне — полуразность. - Ловушки формулировок: «единственная касательная из внешней точки», «центральный — половина», «равные хорды — равные дуги» без уточнения. ## Шпаргалка ### Углы и дуги - **Центральный угол** — равен дуге, на которую опирается - **Вписанный угол** — равен половине дуги - **Угол касательная-хорда** — равен половине дуги - **Вписанный на полуокружность** — равен $90^\circ$ - **Вершина внутри круга** — угол — полусумма двух дуг - **Вершина вне круга** — угол — полуразность двух дуг ### Хорда - **Хорда через два радиуса** — равнобедренный треугольник AOB - **Хорда равна радиусу** — угол между радиусами $60^\circ$ - **Перпендикуляр из центра** — делит хорду пополам - **Равные хорды** — равноудалены от центра ### Касательная - **Касательная и радиус** — перпендикулярны в точке касания - **Отрезки касательных** — из одной точки равны, $AO$ — биссектриса - **Через точку на окружности** — проходит ровно одна касательная - **Через внешнюю точку** — проходят две касательные - **Параллельные касательные** — расстояние между ними $2r$ ### Касание окружностей - **$d = R_1 + R_2$** — внешнее касание окружностей - **$d = R_1 - R_2$** — внутреннее касание окружностей ## Любопытное - Периметр треугольника с вершинами в центрах трёх попарно касающихся окружностей равен удвоенной сумме их радиусов — каждый радиус входит ровно в две стороны. - Треугольник, вписанный в окружность, тупоугольный тогда и только тогда, когда одна из дуг между его вершинами больше полуокружности: вписанный угол на неё больше $90^\circ$.