# Ромб

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/romb

Ромб: что это за четырёхугольник, почему его диагонали всегда пересекаются под прямым углом и как по этим свойствам отличить ромб от обычного параллелограмма.

## Чему научишься

- Ты сможешь назвать свойства ромба и объяснить, откуда они берутся
- Ты сможешь по признаку доказать, что данный четырёхугольник или параллелограмм — ромб
- Ты сможешь построить биссектрису угла линейкой с параллельными краями и отличить истинное утверждение о ромбе от ложного

## С чего начать

Как поделить любой угол ровно пополам обычной линейкой с параллельными краями, без транспортира и без циркуля? И почему тут вдруг понадобился ромб?

## 1. Что такое ромб

*Параллелограмм с одинаковыми сторонами*

Возьми четыре одинаковые палочки и соедини концы шарнирами. Получится шарнирный четырёхугольник. Если его слегка перекосить, он станет то «толстым», то «вытянутым», но стороны останутся равными. Всё такое семейство фигур и называется ромбом.

**Определение**

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Ромб — это параллелограмм, у которого добавили одно условие: все стороны равны. Поэтому ромб получает **все свойства параллелограмма**: противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам. А сверху у него есть свои особые свойства. Первое из них вытекает прямо из определения: у ромба $AB = BC = CD = DA$.

**Как это представить**

Ромб — это четыре одинаковые палочки на шарнирах. Как ни перекашивай такую рамку, она остаётся ромбом, а стороны остаются равными. Меняются только углы и длины диагоналей. Правило для самопроверки: любой ромб — параллелограмм, но не любой параллелограмм — ромб.

**Проверь себя:** У параллелограмма $ABCD$ стороны $AB = 5$ и $BC = 7$. Может ли он быть ромбом?
**Ответ:** Нет. У ромба все стороны равны, а здесь соседние стороны разные: $5 \ne 7$.

### Проверь себя

**От какого греческого слова произошло название геометрической фигуры «ромб»?**
- $\delta\iota\alpha\gamma\acute{\omega}\nu\iota o\varsigma$, означавшего «идущий от угла к углу»
- $\rho\acute{o}\mu\beta o\varsigma$ («ромбос»), означавшего «бубен» — верно
- $\pi\alpha\rho\alpha\lambda\lambda\eta\lambda\acute{o}\gamma\rho\alpha\mu\mu o\nu$, означавшего «параллельные линии»
- $\tau\epsilon\tau\rho\acute{\alpha}\gamma\omega\nu o\nu$, означавшего «четырёхугольник»
> Термин действительно происходит от греческого слова, обозначавшего бубен, который в древности имел форму ромба.

**Какую форму имел музыкальный инструмент бубен в древности, согласно исторической справке в тексте?**
- Овальную форму
- Круглую форму
- Треугольную форму
- Форму ромба — верно
> В древности бубен был не круглым, а имел форму ромба, что и дало название этой геометрической фигуре.

**Какое определение ромба дано в учебном материале?**
- Параллелограмм, у которого все стороны равны — верно
- Выпуклый четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями
- Параллелограмм, у которого все углы прямые
- Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны
> Ромб определяется именно как частный вид параллелограмма с четырьмя равными сторонами.

**Чем ромб отличается от произвольного параллелограмма согласно определению?**
- Обязательным наличием прямых углов
- Тем, что его противоположные стороны не параллельны
- Равенством всех четырёх сторон — верно
- Равенством длин диагоналей
> У обычного параллелограмма равны лишь противоположные стороны, а у ромба равны абсолютно все стороны.

**Что обозначает буква $O$ в стандартном списке обозначений элементов ромба ABCD, приведённом в параграфе?**
- Точка пересечения диагоналей — верно
- Вершина тупого угла ромба
- Центр вписанной окружности
- Длина стороны ромба
> В разделе «Обозначения» указано: $O$ — точка пересечения диагоналей.

**Какую роль выполняет запись ABCD в справочном разделе «Обозначения» параграфа?**
- Указывает на равенство всех внутренних углов
- Служит обозначением четырёхугольника (параллелограмма, ромба) — верно
- Обозначает произведение длин четырёх сторон
- Обозначает точку пересечения диагоналей
> Запись ABCD используется для буквенного наименования четырёхугольника по его вершинам.

## 2. Диагонали ромба

*Прямой угол и биссектрисы*

Нарисуй ромб $ABCD$ и проведи диагонали $AC$ и $BD$. Они пересекутся в точке $O$. Что с ними особенного? У любого параллелограмма диагонали просто делятся точкой пересечения пополам. У ромба добавляются два новых свойства.

**Свойства ромба**

Диагонали ромба: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делят углы ромба пополам.

Коротко: $AC \perp BD$, а каждая диагональ — биссектриса углов, из вершин которых она выходит. Например, $\angle BAC = \angle CAD$.

**Почему так**

Вспомни шарнирную рамку из четырёх одинаковых палочек. Давишь на неё — одна диагональ короче, другая длиннее, но крест из диагоналей всё время остаётся под прямым углом. Ещё образ: диагональ ромба работает как зеркало. Согни ромб по диагонали — две половинки совпадут, значит, она делит угол пополам. Правило, чтобы не путать: диагонали ромба не обязаны быть равными, но они всегда перпендикулярны.

Теперь строго, но на пальцах. Смотри на треугольник $ABD$. Стороны $AB$ и $AD$ равны, то есть он равнобедренный. Точка $O$ — середина основания $BD$, потому что ромб — параллелограмм. Значит, $AO$ — медиана, проведённая к основанию. А в равнобедренном треугольнике такая медиана ещё и высота, и биссектриса. Высота даёт $AO \perp BD$. Биссектриса даёт $\angle BAO = \angle DAO$. С остальными вершинами то же самое.

**Пример: Найди угол между диагоналями и углы треугольника**

1. Дан ромб $ABCD$, диагонали пересекаются в точке $O$, угол $\angle BAD = 80^\circ$.
2. Диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому $\angle AOB = 90^\circ$.
3. Диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle BAO = 80^\circ : 2 = 40^\circ$.
4. В прямоугольном треугольнике $AOB$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABO = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
5. Проверка: $BD$ делит угол $B$ пополам, значит, угол $B$ равен $100^\circ$. Он вместе с углом $A$ даёт $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$, как и должно быть у параллелограмма.

**Проверь себя:** Диагонали ромба равны всегда? Верно ли, что они пересекаются под прямым углом?
**Ответ:** Равны не всегда. Под прямым углом пересекаются всегда: $AC \perp BD$.

**Неправильно:** Диагонали ромба равны, потому что у ромба все стороны равны.
**Правильно:** Равны стороны, а не диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

### Проверь себя

**Какими двумя свойствами обладают диагонали ромба согласно теореме о свойствах ромба?**
- Взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам — верно
- Делят ромб на два равносторонних треугольника в любом случае
- Равны между собой и делят стороны пополам
- Параллельны противоположным сторонам и равны им
> Теорема о свойствах ромба устанавливает перпендикулярность диагоналей и их качество биссектрис углов.

**Какое символическое обозначение используется для записи взаимной перпендикулярности диагоналей $AC$ и $BD$?**
- $AC \in BD$
- $AC = BD$
- $AC \parallel BD$
- $AC \perp BD$ — верно
> Знак $\perp$ обозначает перпендикулярность двух отрезков или прямых.

**Может ли диагональ прямоугольника быть равной его стороне?**
- Нет, так как диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника и всегда длиннее любого из катетов (сторон) — верно
- Нет, потому что у прямоугольника все стороны равны
- Да, если смежная сторона равна нулю
- Да, если прямоугольник является квадратом
> Диагональ делит прямоугольник на прямоугольные треугольники, где она служа гипотенузой, строго больше любого катета.

**Может ли диагональ ромба быть равной его стороне?**
- Нет, диагональ любой фигуры всегда больше любой её стороны
- Да, но только если ромб является прямоугольником
- Да, если диагональ делит ромб на два равносторонних треугольника — верно
- Нет, потому что диагонали ромба всегда перпендикулярны
> Если один из углов ромба равен $60^\circ$, меньшая диагональ равна стороне ромба, образуя равносторонние треугольники.

**Как можно разбить ромб на 4 равных треугольника?**
- Провести две высоты из одной вершины
- Соединить середины противоположных сторон
- Разрезать ромб вдоль одной из сторон
- Провести обе его диагонали — верно
> Пересечение диагоналей ромба делит его на 4 равных прямоугольных треугольника.

**Какого вида треугольники получаются при разбиении ромба двумя его диагоналями?**
- Равнобедренные тупоугольные треугольники
- Равные равносторонние треугольники
- Равные прямоугольные треугольники — верно
- Тупоугольные разносторонние треугольники
> Так как диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, получаются 4 равных прямоугольных треугольника.

**Какое из следующих утверждений сформулировано в материале как ТЕОРЕМА-СВОЙСТВО ромба?**
- Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб
- Диагонали ромба делят его углы пополам — верно
- Если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб
> Это утверждение дано в параграфе как одна из частей теоремы о свойствах ромба.

## 3. Признаки ромба и построение биссектрисы

*Как доказать, что перед тобой ромб*

Свойство отвечает на вопрос «что известно, если дан ромб». Признак отвечает на обратный: «как убедиться, что фигура — ромб». Для этого есть три теоремы.

**Признак ромба по диагоналям**

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

**Признак ромба по биссектрисе**

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб.

**Признак ромба по сторонам**

Если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб.

**Свойство и признак: две стороны одной медали**

|  | Свойство ромба | Признаки ромба |
| --- | --- | --- |
| Что дано | Фигура — ромб | Параллелограмм или четырёхугольник с условием |
| Что получаем | Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам | Фигура — ромб |
| Когда применять | Нужно найти углы или отрезки | Нужно доказать, что это ромб |
| Особенность | Все стороны равны по определению | Для равных сторон параллелограмм не нужен |

**Как запомнить признаки**

Каждый признак — это свойство, перевёрнутое задом наперёд. В свойстве «ромб → перпендикулярные диагонали», в признаке «перпендикулярные диагонали (у параллелограмма) → ромб». Правило самопроверки: слова «у параллелограмма» нужны в первых двух признаках, а в третьем (про равные стороны) не нужны.

**Почему признаки работают**

**По диагоналям.** В параллелограмме $O$ — середина $BD$. Если ещё $AO \perp BD$, то $AO$ — серединный перпендикуляр к $BD$, поэтому $AB = AD$. Соседние стороны равны, значит, все равны, и это ромб.

**По биссектрисе.** Пусть $AC$ делит угол $A$ пополам. Из $BC \parallel AD$ получаем $\angle BCA = \angle CAD$, а он равен $\angle BAC$. Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = BC$. Снова соседние стороны равны, и это ромб.

**По сторонам.** Если все стороны равны, то противоположные стороны попарно равны. Значит, это параллелограмм, а параллелограмм с равными сторонами по определению — ромб.

Теперь вернёмся к началу урока: как линейкой с параллельными краями разделить угол пополам. Здесь ромб работает как готовый инструмент.

**Пример: Построение биссектрисы угла линейкой**

1. Дан угол с вершиной $A$. Приложим линейку одним краем к одной стороне угла и проведём вдоль другого края прямую $a$.
2. Так же приложим линейку к другой стороне угла и проведём вдоль её другого края прямую $b$. Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $D$.
3. Проведём прямую через $A$ и $D$. Это и есть биссектриса угла $A$.
4. Почему так. Прямая $a$ параллельна одной стороне угла, а прямая $b$ — другой. Значит, стороны угла и прямые $a$, $b$ образуют параллелограмм с вершинами $A$ и $D$.
5. Края линейки параллельны, а ширина у неё везде одна и та же. Значит, у параллелограмма равны обе высоты, то есть расстояния между его параллельными сторонами. Площадь можно записать как сторона, умноженная на свою высоту, двумя способами. Площадь одна и та же, высоты равны, значит, равны и соседние стороны. Параллелограмм с равными сторонами — ромб.
6. $AD$ — диагональ ромба. По свойству ромба диагональ делит угол пополам, значит, $AD$ — биссектриса угла $A$.

Так же спрашивают и на ОГЭ: в задании №19 нужно отличить истинное утверждение от ложного. Для этого достаточно знать свойства и признаки ромба и помнить, где они «перевёрнуты».

**Проверь себя:** Диагональ параллелограмма делит его угол пополам. Что можно сказать о параллелограмме?
**Ответ:** Это ромб — признак ромба по биссектрисе.

**Проверь себя:** Верно ли: «Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он ромб»?
**Ответ:** Нет. В признаке сказано про параллелограмм. Для любого четырёхугольника этого мало, поэтому такое утверждение ложно.

### Проверь себя

**В чём заключается признак ромба по диагоналям?**
- Если диагонали пересекаются под углом $45^\circ$, то фигура является ромбом
- Если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — ромб
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб — верно
- Если диагонали делят друг друга пополам, то четырехугольник — ромб
> Перпендикулярность диагоналей параллелограмма гарантирует равенство всех его сторон, превращая его в ромб.

**Как звучит признак ромба по биссектрисе?**
- Если все углы параллелограмма делятся на три равные части, то это ромб
- Если биссектриса угла параллелограмма параллельна его стороне, то это ромб
- Если диагональ ромба делит противоположную сторону пополам, то это параллелограмм
- Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб — верно
> Выполнение функции биссектрисы угла для диагонали параллелограмма служебным образом делает фигуру ромбом.

**Каково утверждение теоремы о признаке ромба по сторонам?**
- Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это ромб
- Если в параллелограмме две смежные стороны не равны, то это ромб
- Если в четырёхугольнике три стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб
- Если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб — верно
> Теорема утверждает, что равенства всех четырёх сторон произвольного четырёхугольника достаточно, чтобы он был ромбом.

**Какой первый логический шаг выполняется в доказательстве признака «Если в четырёхугольнике все стороны равны, то этот четырёхугольник — ромб»?**
- Устанавливается, что противоположные стороны попарно равны, следовательно, фигура является параллелограммом — верно
- Доказывается, что диагонали перпендикулярны с помощью теоремы Пифагора
- Вычисляется сумма всех внутренних углов четырёхугольника
- Четырёхугольник разбивается на два равных прямоугольных треугольника
> Сначала доказывается принадлежность фигуры к параллелограммам через попарное равенство противоположных сторон.

**Какое заключительное умозаключение завершает доказательство того, что четырёхугольник с равными сторонами является ромбом?**
- Все четырёхугольники с равными сторонами являются квадратами
- Диагонали любого четырёхугольника всегда равны между собой
- Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом — верно
- Любой четырёхугольник с равными сторонами содержит только прямые углы
> Поскольку фигура уже признана параллелограммом и имеет равные стороны, она удовлетворяет определению ромба.

**Какой единственный чертёжный инструмент используется в приведённой в параграфе задаче для деления угла пополам?**
- Транспортир
- Угольник с фиксированным прямым углом
- Геометрическая линейка (полоса) — верно
- Чертежный циркуль
> По условию задачи используется только двухсторонняя геометрическая линейка (полоса) с параллельными краями.

**Какой первый шаг выполняется при делении угла $A$ пополам с помощью геометрической линейки (полосы)?**
- Соединить вершины угла с точкой пересечения прямых
- Приложить линейку к одной стороне угла и провести вдоль другой её стороны прямую $a$ — верно
- Измерить ширину линейки с помощью сантиметровой шкалы
- Отложить равные отрезки на обеих сторонах угла
> Первое действие состоит в проведении прямой $a$, параллельной первой стороне угла, на ширину линейки.

**Какое действие составляет второй шаг в алгоритме деления угла $A$ пополам с помощью линейки-полосы?**
- Провести перпендикуляр к прямой $a$
- Повторить операцию проведения прямой вдоль края линейки для другой стороны угла, получив прямую $b$ — верно
- Соединить края линейки отрезком
- Измерить угол между прямой $a$ и стороной угла
> Второй шаг аналогичен первому, но выполняется относительно второй стороны угла для построения прямой $b$.

**Как в задаче на деление угла пополам обозначается точка пересечения построенных прямых $a$ и $b$?**
- Точка $O$
- Точка $B$
- Точка $C$
- Точка $D$ — верно
> В тексте учебного материала точка пересечения прямых $a$ и $b$ явно обозначена буквой $D$.

**Какая геометрическая фигура образуется между сторонами угла $A$ и построенными прямыми $a$ и $b$ в задаче на построение биссектрисы?**
- Прямоугольник
- Ромб — верно
- Трапеция
- Правильный шестиугольник
> Так как ширина линейки одинакова, расстояния от сторон угла до прямых равны, образуя ромб, диагональ которого $AD$ делит угол пополам.

**В чём заключается принципиальное различие между свойством ромба и признаком ромба?**
- Свойство не требует математического доказательства, а признак обязательно доказывается
- Свойство описывает качества фигуры, о которой уже известно, что она ромб, а признак позволяет установить, является ли фигура ромбом — верно
- Признак применяется только к квадратам, а свойство — к любым параллелограммам
- Свойства касаются только сторон, а признаки — только диагоналей
> Свойство даёт следствия из того, что фигура — ромб, а признак позволяет сделать вывод о том, что данная фигура — ромб.

**Какое из перечисленных утверждений представляет собой ПРИЗНАК ромба по биссектрисе?**
- Диагонали ромба делят его углы пополам
- Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм — ромб — верно
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
- Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом
> Это точная формулировка признака ромба по биссектрисе из краткого резюме параграфа.

**Если в параллелограмме ABCD диагональ $AC$ образует со смежными сторонами $AB$ и $AD$ равные углы, чем является данный параллелограмм?**
- Ромбом — верно
- Дельтоидом не параллелограммом
- Прямоугольником с неравными сторонами
- Произвольной трапецией
> Поскольку диагональ делит угол $A$ пополам, согласно признаку по биссектрисе этот параллелограмм — ромб.

## Ключевые термины

- **Ромб** — Параллелограмм, у которого все стороны равны.
- **Свойство ромба** — Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.
- **Признак ромба** — Условие, по которому можно доказать, что параллелограмм или четырёхугольник — ромб.

## Итог

- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны, и у него есть все свойства параллелограмма.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и делят углы ромба пополам.
- Признаки ромба: перпендикулярные диагонали у параллелограмма; диагональ — биссектриса у параллелограмма; четыре равные стороны у четырёхугольника.
- Биссектрису угла можно построить линейкой с параллельными краями: получается ромб, и его диагональ делит угол пополам.

## Шпаргалка

### Свойства ромба

- **Стороны** — все четыре равны, $AB = BC = CD = DA$
- **Диагонали** — взаимно перпендикулярны, $AC \perp BD$
- **Диагональ и угол** — делит угол ромба пополам
- **Родство** — имеет все свойства параллелограмма

### Признаки ромба

- **Параллелограмм и $AC \perp BD$** — это ромб
- **Параллелограмм, диагональ делит угол пополам** — это ромб
- **Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами** — это ромб, параллелограмм не нужен

### Биссектриса линейкой

1. **Первая прямая** — вдоль края линейки, приложенной к стороне угла, проведи $a$
2. **Вторая прямая** — то же для другой стороны, получи $b$ и точку $D$
3. **Биссектриса** — проведи прямую $AD$

### Свойство и признак

|  | Свойство | Признак |
| --- | --- | --- |
| Дано | Ромб | Параллелограмм с условием |
| Вывод | Диагонали перпендикулярны | Это ромб |
| Нужно для | Вычислений | Доказательства |

## Любопытное

- Слово «ромб» происходит от греческого ρόμβος (ромбос), что означает «бубен». В древности бубен был не круглым, как сейчас, а имел форму ромба.