# Средняя линия треугольника

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/srednyaya-liniya-treugolnika

Средняя линия треугольника: что это за отрезок, почему он параллелен третьей стороне и равен её половине, как с его помощью считать периметр и откуда берётся параллелограмм Вариньона.

## Чему научишься

- Находить в треугольнике среднюю линию и называть все три средние линии
- Применять теорему о средней линии: находить длину отрезка и доказывать параллельность
- Считать периметр треугольника из средних линий и объяснять, почему середины сторон четырёхугольника дают параллелограмм

## С чего начать

Возьми любой треугольник, отметь середины двух сторон и соедини их. Какой бы кривой и несимметричный он ни был, получившийся отрезок всегда идёт параллельно третьей стороне и всегда ровно вдвое короче неё. Почему так выходит? И что общего у этого отрезка с четырёхугольником, в котором середины сторон всегда образуют параллелограмм?

## 1. Что такое средняя линия

*Отрезок между серединами сторон*

Представь треугольник из ткани. Отметь серединки двух сторон и соедини их отрезком: это и есть наш главный герой. Этот отрезок не является линией сгиба и не обязан делить треугольник на две равные части.

В треугольнике три стороны. Значит, пар сторон три, и отрезков, соединяющих их середины, тоже три. Вершины у них не нужны, нужны только середины сторон.

**Средняя линия**

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

**Как запомнить определение**

Аналогия: мостик между двумя серединками. Представь две отмеченные середины сторон и короткий мостик между ними: именно он и есть средняя линия.

*Рисунок: Треугольник с двумя отмеченными серединами сторон и отрезком между ними*

*Рисунок: Треугольник ABC с точками M, N и P на сторонах и красными отрезками MN, MP и PN между ними*

На рисунке выше все три средние линии нарисованы красным: $MN$, $NP$, $MP$ — средние линии треугольника. Они делят большой треугольник на четыре маленьких, и средние линии вместе образуют ещё один треугольник внутри исходного.

**Не перепутай**

У средней линии оба конца лежат на сторонах треугольника, и это именно середины. Отрезок из вершины в середину противоположной стороны — не средняя линия, а медиана.

**Средняя линия и медиана: два отрезка с серединой, которые путают**

|  | Средняя линия | Медиана |
| --- | --- | --- |
| Откуда выходит | из середины стороны | из вершины |
| Куда приходит | в середину другой стороны | в середину противоположной стороны |
| Сколько в треугольнике | три | три |
| Параллельна стороне | да, третьей стороне | нет |

**Проверь себя:** Сколько средних линий можно провести в одном треугольнике и почему именно столько?
**Ответ:** Три: по одной на каждую пару сторон, а пар сторон в треугольнике три.

### Проверь себя

**Что называют средней линией треугольника?**
- Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
- Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. — верно
- Отрезок, делящий угол треугольника пополам и соединяющий вершину с противоположной стороной.
- Отрезок, проходящий через вершину треугольника и середину противоположной стороны.
> Согласно базовому определению из параграфа, именно отрезок с концами в серединах двух сторон треугольника называется его средней линией.

**Сколько всего средних линий можно провести в одном треугольнике?**
- 6
- 2
- 3 — верно
- 1
> Поскольку у треугольника три пары сторон, существует ровно три отрезка, соединяющих середины этих пар.

**Какое из следующих утверждений НЕ является верным для средней линии треугольника?**
- Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
- Средняя линия всегда делит площадь треугольника пополам. — верно
- Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна.
- Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника.
> Средняя линия отсекает треугольник, площадь которого составляет $\frac{1}{4}$ от площади исходного, а не $\frac{1}{2}$.

## 2. Теорема о средней линии: параллельна и вдвое короче

*Почему именно половина*

Вспомни, как выглядит маленький кусочек на карте. Если соединить середины двух сторон, получается уменьшенная копия «большого угла» треугольника, и сам отрезок оказывается как бы уменьшенной копией третьей стороны. Он идёт в ту же сторону (параллельно) и вдвое короче. Две стороны мы поделили пополам, поэтому и третью «делим пополам».

*Рисунок: Треугольник ABC с точками M и N на сторонах и красным отрезком MN*

**Теорема о средней линии треугольника**

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Для рисунка выше: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

Здесь $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, $MN$ — средняя линия, $AC$ — третья сторона.

**Визуальная мнемоника теоремы**

Аналогия: короткая дорожка между двумя серединами идёт строго в направлении третьей стороны и имеет половину её длины. Запомни пару: «параллельна + половина».

*Рисунок: Треугольник с средней линией, параллельной основанию, и обозначением половины длины*

**Как это уложить в голове**

Аналогия: полоска посередине. Если провести разрез на половине высоты треугольной шторки, срез будет идти параллельно нижнему краю, а длина среза будет вдвое меньше нижнего края: сверху у шторки «вдвое уже».

Как запомнить: опорное число. Основание $10$ — средняя линия $5$; основание $14$ — средняя линия $7$. Правило самопроверки: средняя линия всегда короче той стороны, которой она параллельна, ровно в два раза. Получилась длиннее или такая же — ты что-то перепутал.

*Рисунок: Сравнение третьей стороны и средней линии, где средняя линия показана как половина длины стороны*

**Пример: Найти среднюю линию по стороне**

1. Дано: $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, $AC = 14$.
2. Средняя линия $MN$ параллельна $AC$ и равна её половине.
3. $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$.

**Пример: Обратная задача: найти сторону по средней линии**

1. Дано: $MN$ — средняя линия, $MN = 9$. Найти сторону $AC$, которой она параллельна.
2. Из $MN = \frac{1}{2} AC$ получаем $AC = 2 \cdot MN$.
3. $AC = 2 \cdot 9 = 18$.

**Проверь себя:** В треугольнике средняя линия равна $6$. Чему равна сторона, которой она параллельна? А если в задаче сказано «равна стороне», что тогда с утверждением?
**Ответ:** Сторона равна $12$. Утверждение «средняя линия равна третьей стороне» ложное: она равна её половине.

**Почему это правда.** Строгое доказательство ниже, оно красивое: мы достраиваем треугольник до параллелограмма и всё получается само.

*Рисунок: Треугольник ABC с точками M, N, продолжением отрезка MN до точки D, засечками на равных отрезках и цифрами 1–4*

**Доказательство теоремы**

Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Продлим $MN$ за точку $N$ и отложим $ND = MN$.

1. Треугольники $BNM$ и $CND$ равны: $BN = NC$, $MN = ND$, а углы при $N$ вертикальные. Значит, $CD = BM = AM$.
2. Из равенства треугольников равны накрест лежащие углы, поэтому $CD \parallel AB$, то есть $CD \parallel AM$.
3. Отрезки $AM$ и $CD$ равны и параллельны, значит, $AMDC$ — параллелограмм. Тогда $MD \parallel AC$ и $MD = AC$.
4. $MN$ — половина $MD$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

### Проверь себя

**Какими свойствами обладает средняя линия треугольника по отношению к третьей стороне?**
- Параллельна третьей стороне и равна её половине. — верно
- Перпендикулярна третьей стороне и равна её половине.
- Пересекает третью сторону под острым углом и равна её трети.
- Параллельна третьей стороне и равна её длине.
> Теорема о средней линии треугольника утверждает, что она параллельна третьей стороне и по длине составляет ровно половину этой стороны.

**Чему равна длина средней линии $MN$, если сторона $AC$, которой она параллельна, равна $14\text{ см}$?**
- $28\text{ см}$
- $4,67\text{ см}$
- $7\text{ см}$ — верно
- $14\text{ см}$
> По теореме о средней линии треугольника $MN = \frac{1}{2} AC$, следовательно, $14 / 2 = 7\text{ см}$.

**В доказательстве теоремы о средней линии на продолжении отрезка $MN$ за точку $N$ откладывают отрезок $ND$, равный:**
- Отрезку $AC$
- Отрезку $AM$
- Отрезку $MN$ — верно
- Отрезку $NC$
> Для построения равных треугольников и доказательства свойства средняя линия удлиняется на отрезок $ND = MN$.

**По какому признаку треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$ равны в доказательстве теоремы о средней линии?**
- По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). — верно
- По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
- По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
- По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
> В треугольниках $MN = ND$ по построению, $BN = NC$, так как $N$ — середина $BC$, а вертикальные углы $\angle 1 = \angle 2$ равны.

**Равенство каких углов в доказательстве теоремы о средней линии позволяет доказать параллельность прямых $AB$ и $CD$?**
- Односторонних углов при секущей $MN$.
- Соответственных углов при секущей $AC$.
- Углов $\angle 1$ и $\angle 2$, являющихся вертикальными.
- Углов $\angle 3$ и $\angle 4$, являющихся накрест лежащими при секущей $BC$. — верно
> Из равенства треугольников $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$ следует $\angle 3 = \angle 4$, а поскольку они накрест лежащие для $AB$ и $CD$ при секущей $BC$, то $AB \parallel CD$.

**Каковым по виду является четырёхугольник AMDC, получаемый при доказательстве теоремы о средней линии?**
- Ромбом
- Прямоугольником
- Трапецией
- Параллелограммом — верно
> Стороны $AM$ и $DC$ равны и параллельны, следовательно, по признаку четырёхугольник AMDC — параллелограмм.

**Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной одной из его сторон?**
- Да, но только в равностороннем треугольнике.
- Нет, средняя линия может быть только параллельна, но не перпендикулярна сторонам.
- Нет, средняя линия всегда образует со всеми сторонами только острые углы.
- Да, если эта средняя линия параллельна катету прямоугольного треугольника. — верно
> В прямоугольном треугольнике средняя линия, параллельная одному катету, перпендикулярна другому катету.

**Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной двум сторонам треугольника одновременно?**
- Да, в любом прямоугольном треугольнике.
- Да, если она параллельна гипотенузе.
- Нет, так как две стороны треугольника не могут быть параллельны друг другу. — верно
- Да, в равнобедренном прямоугольном треугольнике.
> Если прямой отрезок перпендикулярен двум прямым, эти прямые должны быть параллельны, что невозможно для пересекающихся сторон треугольника.

**В доказательстве теоремы о средней линии равенство отрезков $AM = DC$ следует из того, что:**
- $AM$ и $DC$ являются диагоналями трапеции.
- $AM = AC$ и $DC = AC$ по свойству медианы.
- Точка $D$ является серединой стороны $AC$.
- $AM = MB$ по условию, а $DC = MB$ из равенства треугольников $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$. — верно
> Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $AM = MB$. Из $\triangle MBN = \triangle DCN$ следует $MB = DC$, а значит $AM = DC$.

**Какими являются углы $\angle 1$ и $\angle 2$ в доказательстве теоремы о средней линии?**
- Вертикальными — верно
- Соответственными
- Накрест лежащими
- Смежными
> Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ образованы пересечением прямых $MD$ и $BC$ в точке $N$, поэтому они вертикальные и равны.

**Какая из формул выражает длину средней линии $NP$, параллельной стороне $AB$?**
- $NP = \frac{1}{2} BC$
- $NP = \frac{1}{2} AC$
- $NP = 2 AB$
- $NP = \frac{1}{2} AB$ — верно
> Средняя линия $NP$ равна половине стороны $AB$, которой она параллельна.

## 3. Периметр из средних линий и параллелограмм Вариньона

*Что ещё даёт теорема*

Три средние линии образуют внутри треугольника новый треугольник $NMP$. Каждая его сторона вдвое короче той стороны большого треугольника, которой она параллельна. Раз все три стороны уменьшились ровно вдвое, то и периметр уменьшится вдвое.

*Рисунок: Треугольник ABC с точками M, N и P и красными отрезками MN, MP и PN*

**Периметр треугольника из средних линий**

$P_{NMP} = \frac{1}{2} P_{ABC}$

Здесь $P$ — периметр треугольника, $MN$, $NP$, $MP$ — средние линии треугольника $ABC$.

**Визуальная мнемоника периметра**

Аналогия: фотокопия с уменьшением. Копируешь треугольник на «50 %»: все стороны вдвое короче, значит, и обход по контуру вдвое короче.

*Рисунок: Большой треугольник и внутренний треугольник, у которого каждая сторона вдвое короче*

**Как это уложить в голове**

Аналогия: фотокопия с уменьшением. Копируешь треугольник на «50 %»: все стороны вдвое короче, значит, и обход по контуру вдвое короче.

Как запомнить: опорное число. Периметр большого треугольника $24$ — маленького $12$. Правило самопроверки: периметр треугольника из средних линий всегда ровно вдвое меньше периметра исходного.

*Рисунок: Схематическое сравнение периметров большого и внутреннего треугольников с отношением один к двум*

**Пример: Периметр треугольника из средних линий**

1. Дано: стороны треугольника $ABC$ равны $6$, $8$ и $10$.
2. Средние линии равны половинам сторон: $3$, $4$ и $5$.
3. $P_{NMP} = 3 + 4 + 5 = 12$.
4. Проверка по формуле: $P_{ABC} = 6 + 8 + 10 = 24$, и $P_{NMP} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$.

**Проверь себя:** Периметр треугольника из трёх средних линий равен $15$. Чему равен периметр большого треугольника?
**Ответ:** $30$, так как $P_{ABC} = 2 \cdot P_{NMP}$.

**Четырёхугольник и серединки.** Возьми любой четырёхугольник $ABCD$: хоть вытянутый, хоть кривой. Отметь середины всех четырёх сторон и соедини их по кругу. Получится параллелограмм, всегда.

*Рисунок: Портрет мужчины в старинной одежде*

**Теорема Вариньона**

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Параллелограмм Вариньона — параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника.

**Визуальная мнемоника теоремы Вариньона**

Аналогия: соедини четыре серединки по кругу — внутри четырёхугольника появляется параллелограмм.

*Рисунок: Четырёхугольник с четырьмя отмеченными серединами сторон и внутренним параллелограммом*

**Почему так.** Проведи диагональ $AC$. Она режет четырёхугольник на два треугольника, $ABC$ и $ACD$. В каждом из них отрезок, соединяющий середины двух сторон, — средняя линия, и в обоих случаях третья сторона — одна и та же диагональ $AC$. Значит, оба отрезка параллельны $AC$ и равны её половине. Две стороны внутреннего четырёхугольника параллельны друг другу и равны, а это признак параллелограмма.

**Зачем это знать**

Утверждения вроде «средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине» встречаются в ОГЭ в задании на истинные и ложные высказывания: надо выбрать верное. Поэтому формулировки теоремы важно знать точно: «равна половине», а не «равна».

**Пример: ОГЭ №19: истинное или ложное высказывание**

1. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Рассмотрим высказывания: 1) $MN \parallel AC$; 2) $MN = AC$; 3) $MN = \frac{1}{2} AC$; 4) средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника.
2. По теореме о средней линии первое высказывание истинно.
3. Второе высказывание ложно, потому что средняя линия равна половине третьей стороны.
4. Третье высказывание истинно.
5. Четвёртое высказывание истинно по определению средней линии.

**Неправильно:** Средняя линия треугольника равна третьей стороне и параллельна ей.
**Правильно:** Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN = \frac{1}{2} AC$.

### Проверь себя

**Как связан периметр треугольника $NMP$, образованного средними линиями, с периметром исходного треугольника $ABC$?**
- $P_{NMP} = \frac{1}{2} P_{ABC}$ — верно
- $P_{NMP} = 2 P_{ABC}$
- $P_{NMP} = \frac{1}{4} P_{ABC}$
- $P_{NMP} = P_{ABC}$
> Так как каждая средняя линия равна половине соответствующей стороны треугольника, то их сумма (периметр) в два раза меньше периметра $ABC$.

**Стороны треугольника равны $4\text{ см}$, $5\text{ см}$ и $6\text{ см}$. Чему равны длины его средних линий?**
- $8\text{ см}$, $10\text{ см}$ и $12\text{ см}$
- $2\text{ см}$, $3\text{ см}$ и $4\text{ см}$
- $1,33\text{ см}$, $1,67\text{ см}$ и $2\text{ см}$
- $2\text{ см}$, $2,5\text{ см}$ и $3\text{ см}$ — верно
> Каждая средняя линия равна половине своей параллельной стороны: $4/2 = 2\text{ см}$, $5/2 = 2,5\text{ см}$, $6/2 = 3\text{ см}$.

**В чём заключается утверждение теоремы Вариньона?**
- Середины сторон любого четырёхугольника образуют прямоугольник.
- Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
- Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. — верно
- Диагонали любого четырёхугольника делят его на четыре равных треугольника.
> Теорема Вариньона гласит, что четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, представляет собой параллелограмм.

**При доказательстве теоремы Вариньона проводится диагональ $AC$. Чем являются отрезки $MN$ и $EF$ для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$?**
- Биссектрисами этих треугольников
- Средними линиями этих треугольников — верно
- Высотами этих треугольников
- Медианами этих треугольников
> Точки $M, N, E, F$ — середины сторон, поэтому $MN$ — средняя линия в $\triangle ABC$, а $EF$ — средняя линия в $\triangle ADC$.

**На основании какого признака четырёхугольник MNEF в теореме Вариньона признаётся параллелограммом?**
- Две его противоположные стороны ($MN$ и $EF$) равны и параллельны. — верно
- Его противоположные углы в сумме дают $180^\circ$.
- Все его углы равны между собой.
- Его диагонали равны и перпендикулярны.
> Так как $MN \parallel AC$ и $EF \parallel AC$, то $MN \parallel EF$; так как $MN = \frac{1}{2} AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$, то $MN = EF$.

**Как называют параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника?**
- Параллелограмм Вариньона — верно
- Параллелограмм Бернулли
- Параллелограмм Лейбница
- Параллелограмм Ньютона
> Согласно замечанию из учебного материала, этот параллелограмм назван в честь Пьера Вариньона.

**Могут ли в каком-либо треугольнике средние линии быть равными $2\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $6\text{ см}$?**
- Да, могут для любого прямоугольного треугольника.
- Нет, не могут. — верно
- Да, могут для тупоугольного треугольника.
- Да, могут, если треугольник вырожденный.
> Для отрезков $2$, $4$ и $6$ не выполняется неравенство треугольника ($2 + 4 = 6$), следовательно, они не могут быть сторонами треугольника.

**Почему средние линии длины $2\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $6\text{ см}$ не могут образовать треугольник?**
- Сумма средних линий должна обязательно быть нечётным числом.
- Средние линии не могут быть разной длины.
- Нарушается неравенство треугольника, так как $2 + 4 = 6$. — верно
- Длина наибольшей средней линии не может превышать $5\text{ см}$.
> Сумма длин двух любых сторон (и средних линий) обязана быть строго больше третьей стороны, а здесь $2 + 4$ равно, но не больше $6$.

**Отрезки $MN$ и $NP$ — средние линии треугольника $ABC$. Является ли отрезок $MP$ средней линией треугольника $ABC$?**
- Нет, у треугольника может быть не более двух средних линий.
- Это зависит от равенства углов треугольника $ABC$.
- Да, так как точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами всех трёх сторон треугольника $ABC$. — верно
- Нет, отрезок $MP$ является биссектрисой малого треугольника.
> Из условий следует, что $M$, $N$ и $P$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$, значит $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$.

**Можно ли найти периметр треугольника $ABC$, зная длины всех его средних линий?**
- Нет, необходимо знать хотя бы один угол треугольника.
- Да, периметр равен простой сумме длин всех средних линий.
- Нет, нужно знать ещё и радиус описанной окружности.
- Да, периметр $ABC$ равен удвоенной сумме длин всех его средних линий. — верно
> Периметр треугольника $ABC$ в два раза больше периметра треугольника, составленного из его средних линий.

**Кем являлся Пьер Вариньон согласно исторической справке из источника?**
- Итальянским архитектором и астрономом Эпохи Возрождения.
- Древнегреческим геометром и философом.
- Немецким инженером и физиком XIX века.
- Французским механиком и математиком, членом Парижской Академии наук. — верно
> В материале указано, что Пьер Вариньон (1654–1722) — механик и математик, член Парижской Академии наук, внесший значительный вклад в развитие механики и математики.

**Периметр треугольника $ABC$ равен $36\text{ см}$. Чему равен периметр треугольника, образованного его средними линиями?**
- $18\text{ см}$ — верно
- $72\text{ см}$
- $9\text{ см}$
- $12\text{ см}$
> Периметр треугольника из средних линий равен половине периметра исходного треугольника: $36 / 2 = 18\text{ см}$.

## Ключевые термины

- **Средняя линия треугольника** — Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
- **Теорема о средней линии** — Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
- **Теорема Вариньона** — Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
- **Параллелограмм Вариньона** — Параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника.

## Итог

- Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника; их три.
- Теорема: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.
- Средняя линия вдвое короче стороны, которой параллельна, а не равна ей.
- Периметр треугольника из трёх средних линий: $P_{NMP} = \frac{1}{2} P_{ABC}$.
- Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма Вариньона.

## Шпаргалка

### Формулы средней линии

- **$MN \parallel AC$** — средняя линия параллельна третьей стороне
- **$MN = \frac{1}{2} AC$** — средняя линия — половина стороны
- **$AC = 2 \cdot MN$** — найти сторону по средней линии
- **$P_{NMP} = \frac{1}{2} P_{ABC}$** — периметр треугольника из средних линий

### Что есть что

- **Средняя линия** — отрезок между серединами двух сторон
- **Теорема Вариньона** — середины сторон четырёхугольника — вершины параллелограмма
- **Параллелограмм Вариньона** — параллелограмм из середин сторон четырёхугольника

### Средняя линия и медиана

|  | Средняя линия | Медиана |
| --- | --- | --- |
| Начало | середина стороны | вершина |
| Конец | середина другой стороны | середина противоположной |
| Параллельна стороне | да | нет |
| Длина | половина стороны | правила «половины» нет |

## Любопытное

- Пьер Вариньон (1654–1722) — механик и математик, член Парижской Академии наук, друг Ньютона, Лейбница и Бернулли, внёсший значительный вклад в развитие механики и математики.