# Теорема Фалеса

Геометрия · 8 класс · Четырехугольники
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/teorema-falesa

Если параллельные прямые режут одну сторону угла на равные куски, то и другую сторону они режут на равные куски. Это теорема Фалеса. Из неё получается способ делить отрезок на $n$ равных частей.

## Чему научишься

- Сформулируешь теорему Фалеса для угла и для двух произвольных прямых.
- Отличишь, когда теорема работает, а когда нет: нужна параллельность, а равные отрезки на разных сторонах не обязаны быть одинаковой длины.
- Разделишь отрезок на $n$ равных частей циркулем и линейкой.

## С чего начать

У тебя есть отрезок и обычная линейка без делений. Как разделить его ровно на 5 равных частей, не измеряя и не прикидывая на глаз? Оказывается, это можно сделать циркулем и линейкой, а помогают параллельные прямые.

## 1. Лестница с равными ступеньками

*Что утверждает теорема Фалеса*

Представь стремянку. Две боковые стойки раскрыты уголком, между ними идут перекладины. Все перекладины параллельны друг другу. Если на левой стойке расстояния между перекладинами одинаковые, то и на правой они тоже будут одинаковыми, хотя и другой длины.

Это и есть теорема Фалеса. Параллельные перекладины переносят «шаг» с одной стороны угла на другую.

**Теорема Фалеса**

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

**Обозначения**

$A_1, A_2, A_3, \dots$ — точки пересечения параллельных прямых с одной прямой (или стороной угла).

$B_1, B_2, B_3, \dots$ — точки пересечения параллельных прямых со второй прямой (или другой стороной угла).

На языке букв: если $A_1A_2 = A_2A_3$, то $B_1B_2 = B_2B_3$. Точка $A_1$ соответствует $B_1$, точка $A_2$ соответствует $B_2$, и так далее. Параллельные прямые проходят через пары $A_iB_i$.

*Рисунок: Чертёж с лучами и прямыми, точками A, B₁–B₄, A₁–A₄, M, N и углами 1–4.*

**Как это запомнить**

**Аналогия.** Стремянка. Перекладины параллельны, поэтому наклонены одинаково. Равные промежутки на одной стойке дают равные промежутки на другой.

**Самопроверка.** Перед тем как применять теорему, спроси себя: «Линии, которые режут стороны, параллельны? Равные куски есть на одной стороне?» Если да на оба вопроса, то на другой стороне куски тоже равны между собой.

*Рисунок: Стремянка с расходящимися стойками и параллельными перекладинами, равные промежутки отмечены одинаковыми скобками.*

**Пример: Равные куски на второй стороне**

1. Дано: параллельные прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ пересекают стороны угла, и $A_1A_2 = A_2A_3 = 4$ см.
2. Прямые параллельны, а на одной стороне отрезки равны. Значит, по теореме Фалеса $B_1B_2 = B_2B_3$.
3. Вывод: на второй стороне два куска равны друг другу. Сколько в них сантиметров, теорема не говорит.

**Неправильно:** $A_1A_2 = 4$ см, значит $B_1B_2$ тоже $4$ см.
**Правильно:** Теорема говорит только, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Длины на разных сторонах угла в общем случае разные.

**Неправильно:** Прямые пересекают угол, на одной стороне отрезки равны, значит равны и на другой. Параллельность можно не проверять.
**Правильно:** Без параллельности теорема не работает. Параллельность прямых — обязательное условие.

**Проверь себя:** На стороне угла отрезки $A_1A_2$ и $A_2A_3$ равны, а прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны, но $A_3B_3$ наклонена иначе. Можно ли утверждать, что $B_1B_2 = B_2B_3$?
**Ответ:** Нет. Параллельными должны быть все секущие прямые. Условие теоремы нарушено.

**Почему так: интуиция**

Параллельные прямые наклонены к сторонам угла одинаково. Когда мы сдвигаемся на один «шаг» вдоль одной стороны, вторая сторона сдвигается на свой шаг, определённый этим наклоном. Равные шаги на первой стороне дают равные шаги на второй.

### Проверь себя

**Какое условие должно выполняться для прямых, пересекающих стороны угла, чтобы по теореме Фалеса они отсекали равные отрезки на другой его стороне?**
- Прямые должны быть перпендикулярны одной из сторон угла.
- Прямые должны отсекать отрезки, пропорциональные длине сторон угла.
- Прямые должны пересекаться в одной точке за пределами угла.
- Прямые должны быть параллельны и отсекать равные отрезки на первой стороне угла. — верно
> Теорема Фалеса гарантирует равенство отрезков на второй стороне угла только тогда, когда секущие прямые параллельны между собой и отсекают равные отрезки на первой стороне.

**В задаче из текста боковая сторона $AB$ трапеции ABCD разделена на 3 равные части точками $E$ и $M$. Какое из следующих уравнений связывает длину отрезка $EE_1 = y$ с длиной основания $AD = 19$ см и отрезка $MM_1 = x$?**
- $y = \frac{19 - x}{2}$
- $y = \frac{x + 19}{2}$ — верно
- $y = 2x - 19$
- $y = \frac{x + 7}{2}$
> Отрезок $EE_1$ является средней линией трапеции $AMM_1D$, поэтому его длина равна полусумме оснований $MM_1 = x$ и $AD = 19$.

**Чему равна длина отрезка $MM_1$ ($x$) в рассмотренной в тексте задаче про трапецию с основаниями 7 см и 19 см?**
- 11 см — верно
- 13 см
- 9 см
- 15 см
> При решении системы уравнений $2x = 7 + y$ и $2y = x + 19$ получаем значение $x = 11$ см.

**Рассмотрите чертёж трапеции ABCD. Каким свойством обладает отрезок $MM_1$ по отношению к трапеции $EBCE_1$?**
- Он является высотой трапеции $EBCE_1$.
- Он является средней линией трапеции $EBCE_1$. — верно
- Он равен меньшему основанию $BC$.
- Он является диагональю трапеции $EBCE_1$.
> Так как $M$ — середина $EB$, а $M_1$ — середина $EC$, отрезок $MM_1$ соединяет середины боковых сторон трапеции $EBCE_1$ и является её средней линией.

**На каком основании в решении задачи делается вывод о равенстве отрезков $DE_1 = E_1M_1 = M_1C$ на стороне $CD$ трапеции?**
- По свойству равнобедренной трапеции.
- По определению средней линии треугольника.
- По теореме Фалеса, так как прямые $EE_1$ и $MM_1$ параллельны основаниям и отсекают равные отрезки на стороне $AB$. — верно
- По теореме Пифагора.
> Параллельные прямые $AD$, $EE_1$, $MM_1$, $BC$, пересекая боковую сторону $AB$ и отсекая равные отрезки $AE = EM = MB$, отсекают равные отрезки и на боковой стороне $CD$.

**Какие условия обязательны для применения теоремы Фалеса к секущим прямым?**
- Пересекаемые прямые должны быть перпендикулярны друг другу.
- Секущие прямые должны отсекать на одной из данных прямых равные отрезки. — верно
- Секущие прямые должны быть параллельны между собой.
- Все образовавшиеся отрезки на первой и второй прямых должны быть равны между собой.
> Теорема Фалеса требует наличия равных отрезков на первой прямой для получения равных отрезков на второй.

**К какому виду приводится система уравнений $x = \frac{7 + y}{2}$ и $y = \frac{x + 19}{2}$ после умножения обеих частей каждого уравнения на 2?**
- $2x = 7 - y$ и $2y = x - 19$
- $2x = 7 + y$ и $2y = x + 19$ — верно
- $x = 14 + 2y$ и $y = 2x + 38$
- $x + y = 26$ и $x - y = 4$
> Умножив обе части $x = \frac{7 + y}{2}$ на 2, получаем $2x = 7 + y$; аналогично для второго уравнения получаем $2y = x + 19$.

**Какие величины или условия явно заданы в условии задачи про трапецию ABCD?**
- Периметр трапеции ABCD равен 50 см.
- Основания трапеции равны 7 см и 19 см. — верно
- Точки $E$ и $M$ делят боковую сторону $AB$ на 3 равные части.
- Через точки $E$ и $M$ проведены прямые, параллельные основанию трапеции $AD$.
> Длины оснований прямо указаны в тексте задачи.

**Какая линия трапеции $AMM_1D$ обозначается как $EE_1$ в решении задачи из параграфа?**
- Биссектриса
- Высота
- Диагональ
- Средняя линия — верно
> Точка $E$ — середина $AM$, а $E_1$ — середина $DM_1$, поэтому отрезок $EE_1$ соединяет середины боковых сторон трапеции $AMM_1D$ и является её средней линией.

## 2. Не только угол: любые две прямые

*Обобщение и сравнение формулировок*

Стороны угла нужны в теореме только как две прямые, которые режут параллельные прямые. Эти две прямые не обязаны выходить из одной точки, они могут быть и сами параллельны. Тогда теорема звучит шире.

**Обобщённая формулировка теоремы Фалеса**

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

**Две формулировки одной теоремы**

|  | Для угла | Для двух прямых |
| --- | --- | --- |
| Что пересекают параллельные прямые | стороны угла | две данные прямые |
| Откуда выходят стороны | из одной вершины | необязательно из одной точки |
| Что дано | равные отрезки на одной стороне | равные отрезки на одной прямой |
| Что получаем | равные отрезки на другой стороне | равные отрезки на другой прямой |
| Обязательное условие | секущие параллельны | секущие параллельны |

**Проверь себя:** Четыре параллельные прямые пересекают две данные прямые. На первой прямой они отсекают три равных отрезка. Что можно сказать об отрезках на второй прямой?
**Ответ:** Три отрезка на второй прямой тоже равны между собой: так говорит обобщённая теорема Фалеса.

### Проверь себя

**Согласно разделу «Обозначения» в конце параграфа, какие точки обозначаются как $A_1, A_2, A_3, \dots$?**
- Точки, расположенные на первом луче при построении деления отрезка. — верно
- Вершины трапеции ABCD.
- Точки пересечения параллельных прямых со второй прямой.
- Точки пересечения параллельных прямых с одной прямой (или одной стороной угла).
> При делении отрезка точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ откладываются именно на вспомогательном луче $AM$.

**Чем обобщённая формулировка теоремы Фалеса отличается от основной формулировки, приведённой в начале параграфа?**
- В обобщённой формулировке прямые не обязательно должны быть параллельными.
- В обобщённой формулировке отрезки на первой прямой должны быть пропорциональными, а не равными.
- В обобщённой формулировке вместо сторон угла рассматриваются любые две прямые. — верно
- В обобщённой формулировке теорема применима только к параллелограммам.
> В «Замечании» указано, что вместо сторон угла в условии теоремы могут выступать любые две произвольные прямые.

**В соответствии с итоговым блоком «Обозначения» в параграфе, что обозначают символы $B_1, B_2, B_3, \dots$?**
- Точки пересечения параллельных прямых со второй прямой (или другой стороной угла). — верно
- Углы, образованные при пересечении параллельных прямых.
- Точки пересечения параллельных прямых с первой прямой.
- Длины отрезков на вспомогательном луче.
> В итоговом справочном блоке параграфа точки $B_1, B_2, B_3, \dots$ определены как точки пересечения параллельных прямых со второй прямой.

## 3. Делим отрезок на равные части

*Теорема Фалеса в деле*

Теперь вернёмся к началу. Параллельные прямые можно проводить так, чтобы они сами разделили нужный отрезок на равные части. Делить отрезок на $n$ равных частей циркулем и линейкой помогает теорема Фалеса.

Идея такая. Разделить на равные части удобно любой луч: берём циркуль и откладываем одинаковые шаги. Потом параллельные прямые переносят эти равные шаги на наш отрезок.

**Деление отрезка на $n$ равных частей**

Из конца отрезка проводится луч, на нём откладывается $n$ равных отрезков, конец последнего соединяется со вторым концом данного отрезка, и через точки деления проводятся параллельные прямые.

**Пример: Делим отрезок $AB$ на 3 равные части**

1. Из конца $A$ проводим луч, не совпадающий с $AB$.
2. Циркулем откладываем на луче три равных отрезка: $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.
3. Соединяем $A_3$ с концом $B$ отрезка $AB$.
4. Через $A_1$ и $A_2$ проводим прямые, параллельные $A_3B$. Они пересекают $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$.
5. По теореме Фалеса $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$. Отрезок $AB$ разделён на 3 равные части.

*Рисунок: Схема с точками A, A₁, A₂, A₃, M на зелёном луче и отрезком AB.*

*Рисунок: Схема с точками A, A₁, A₂, A₃, M и точками B₁, B₂, B на красном отрезке, соединёнными наклонными отрезками.*

**Проверь себя:** Сколько равных отрезков нужно отложить на луче, чтобы разделить отрезок на 5 частей, и сколько параллельных прямых проводить?
**Ответ:** Откладываем 5 равных отрезков. Последний конец соединяем с $B$ и проводим 4 параллельные прямые через точки деления, кроме последней.

**Где это встречается.** Нужно разделить доску на несколько одинаковых полос или разметить участок на равные части, а делений на линейке нет. Строишь луч, откладываешь одинаковые шаги, соединяешь и проводишь параллельные. Мерить исходный отрезок не нужно.

### Проверь себя

**Какие из перечисленных шагов входят в алгоритм деления отрезка $AB$ на 3 равные части с помощью циркуля и линейки?**
- Отложить на луче $AM$ три равных отрезка: $AA_1$, $A_1A_2$, $A_2A_3$.
- Провести серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
- Провести из точки $A$ любой луч $AM$, не лежащий на прямой $AB$.
- Соединить точку $A_3$ с точкой $B$ и через точки $A_1$, $A_2$ провести прямые, параллельные $A_3B$. — верно
> Заключительные шаги переносят равные деления с луча на отрезок $AB$ с помощью параллельных прямых по теореме Фалеса.

**Если требуется разделить отрезок $AB$ на 7 равных частей по теореме Фалеса, сколько равных отрезков необходимо отложить на вспомогательном луче $AM$?**
- 8
- 14
- 6
- 7 — верно
> Число равных отрезков, откладываемых на вспомогательном луче, всегда строго равно числу частей, на которые необходимо разделить исходный отрезок.

**При делении отрезка $AB$ на 3 равные части через точки $A_1$ и $A_2$ проводятся прямые, параллельные $A_3B$. В каких точках они пересекают отрезок $AB$?**
- В точках $C_1$ и $C_2$
- В точках $M_1$ и $M_2$
- В точках $B_1$ и $B_2$ — верно
- В точках $E_1$ и $E_2$
> Согласно описанию шага 4 в тексте параграфа, параллельные прямые пересекают отрезок $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$.

**Какое требование предъявляется к лучу $AM$ при построении для деления отрезка $AB$ на $n$ равных частей?**
- Луч $AM$ должен быть перпендикулярен отрезку $AB$.
- Длина луча $AM$ должна быть строго равна длине отрезка $AB$.
- Луч $AM$ должен проходить через точку $B$.
- Луч $AM$ должен проводиться из точки $A$ и не лежать на прямой $AB$. — верно
> Согласно шагу 1 алгоритма, луч $AM$ проводится из начальной точки $A$ под любым углом к $AB$, главное — не на самой прямой $AB$.

## Ключевые термины

- **Теорема Фалеса** — Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
- **Обобщённая формулировка теоремы Фалеса** — Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

## Итог

- Теорема Фалеса: параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.
- Условие обязательное: прямые параллельны. Равны между собой куски на каждой стороне, но не обязательно куски на разных сторонах.
- Вместо сторон угла подойдут любые две прямые — это обобщённая формулировка.
- Делим отрезок на $n$ равных частей: луч из конца, $n$ равных шагов, соединить последнюю точку с концом отрезка, провести параллельные.

## Шпаргалка

### Теорема Фалеса

- **Условие** — параллельные прямые пересекают угол или две прямые
- **Дано** — равные отрезки на одной стороне
- **Вывод** — равные отрезки на другой стороне
- **Ловушка** — без параллельности вывод неверен
- **Ловушка: длина** — равны между собой, но не обязательно тем же числом

### Деление отрезка на части

1. **Луч** — провести луч из конца отрезка
2. **Шаги** — отложить на луче $n$ равных отрезков
3. **Соединить** — конец последнего шага соединить со вторым концом отрезка
4. **Параллельные** — через точки деления провести параллельные прямые

### Две формулировки

|  | Для угла | Для двух прямых |
| --- | --- | --- |
| Что пересекают | стороны угла | две данные прямые |
| Откуда выходят | из одной вершины | необязательно из одной точки |
| Секущие | параллельны | параллельны |

## Любопытное

- Теорема носит имя древнегреческого учёного Фалеса из Милета.
- Деление отрезка на равные части циркулем и линейкой — классическая задача на построение: ни одного измерения, только шаги циркулем.