# Трапеция Геометрия · 8 класс · Четырехугольники Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/trapeciya Разбираем трапецию: основания, боковые стороны, высоту, прямоугольную и равнобедренную трапеции и среднюю линию. ## Чему научишься - Отличить трапецию от других четырёхугольников и назвать её основания, боковые стороны и высоту - Применять свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции, чтобы решить, истинно ли утверждение - Находить среднюю линию трапеции по основаниям и основание по средней линии ## С чего начать Забор-рамка: две параллельные рейки, верхняя длиной 6 дм, нижняя длиной 10 дм (это основания), а между ними две наклонные распорки (боковые стороны). Плотник прибивает перекладину ровно от середины одной распорки до середины другой. Какой длины выйдет перекладина и почему она ляжет параллельно рейкам, а не вкось? ## 1. Что такое трапеция и её элементы *Основания, боковые стороны, высота* Возьмите четырёхугольник и проверьте две пары противоположных сторон. Если параллельна ровно одна пара, а вторая нет, это трапеция. Образ: стремянка. Две перекладины параллельны, а боковые стойки стоят наклонно. **Трапеция** Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, называется трапецией. *Рисунок: Трапеция ABCD с основаниями AD и BC и боковыми сторонами AB и CD* **Основания и боковые стороны** Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами. Обозначения: $AD$, $BC$ — основания трапеции; $AB$, $CD$ — боковые стороны трапеции. **Как не перепутать** Аналогия: основания — две полки на одной стене, они не пересекутся. Боковые стороны — наклонные стойки между ними. Правило самопроверки: у трапеции параллельных сторон ровно одна пара. Нашли две пары — это уже не трапеция. Трапеция всегда выпуклый четырёхугольник. **Две пары сторон трапеции** | Признак | Основания | Боковые стороны | | --- | --- | --- | | Обозначение | $AD$, $BC$ | $AB$, $CD$ | | Параллельность | параллельны | не параллельны | | Сколько их | две | две | **Высота трапеции** Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований трапеции, на прямую, содержащую другое основание трапеции. Обозначение: $BH$ — высота трапеции. **Высота — расстояние между полками** Аналогия: высота показывает, как далеко друг от друга висят две полки. Правило самопроверки: высота всегда образует прямой угол с основаниями, и откуда её ни опускай, длина та же, ведь основания параллельны. *Рисунок: Трапеция ABCD, перпендикуляры BH, CF и KM опущены на прямую основания* **Проверь себя:** В четырёхугольнике две пары параллельных противоположных сторон. Это трапеция? **Ответ:** Нет. У трапеции параллельна только одна пара сторон. ### Проверь себя **Какой четырёхугольник по определению называется трапецией?** - Четырёхугольник, у которого все четыре стороны равны между собой - Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны - Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет — верно - Четырёхугольник, у которого смежные стороны перпендикулярны > Это фундаментальное определение трапеции, отличающее её от параллелограмма, где параллельны обе пары противоположных сторон. **Как называются параллельные стороны трапеции?** - Диагоналями - Основаниями — верно - Средними линиями - Боковыми сторонами > Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. **Чему равна сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне?** - $360^{\circ}$ - $180^{\circ}$ — верно - $90^{\circ}$ - $270^{\circ}$ > Эти углы являются односторонними при параллельных прямых (основаниях) и секущей (боковой стороне). **Что называется высотой трапеции?** - Отрезок, соединяющий вершины противоположных углов трапеции - Перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, на прямую, содержащую другое основание — верно - Отрезок, соединяющий середины противоположных оснований трапеции - Любая линия, проходящая через середины боковых сторон трапеции > Высота трапеции определяет расстояние между параллельными прямыми, содержащими основания. **В трапеции ABCD углы при боковой стороне $AB$ соотносятся с углом $A$. Если $\angle A = 50^{\circ}$, чему равен $\angle B$?** - $140^{\circ}$ - $40^{\circ}$ - $50^{\circ}$ - $130^{\circ}$ — верно > Сумма односторонних углов при боковой стороне равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle B = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$. **Каким выпуклым или невыпуклым многоугольником является трапеция?** - Невыпуклым четырёхугольником - Правильным многоугольником - Вписанным пятиугольником - Выпуклым четырёхугольником — верно > В источнике прямо указано: «Трапеция — выпуклый четырёхугольник». **В трапеции ABCD провели высоты $BH$ и $CF$ к нижнему основанию $AD$. Что можно сказать о длинах отрезков $BH$ и $CF$?** - Они равны между собой — верно - Они равны боковым сторонам трапеции - Их сумма равна длине основания $AD$ - Длина $BH$ всегда больше $CF$ > Длины этих отрезков равны расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. ## 2. Прямоугольная и равнобедренная трапеции *Два особых вида и их свойства* Трапеции бывают «обычные» и особые. У особых есть дополнительное условие, и оно даёт готовые свойства, которые экономят время в задаче. **Прямоугольная трапеция** Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. *Рисунок: Прямоугольная трапеция ABCD, угол A прямой* Основания параллельны, поэтому прямой угол при одном основании означает перпендикулярность боковой стороны обоим основаниям. Отсюда свойство: у прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. Образ: книжная полка со стенкой сбоку, стенка и есть высота. **Равнобедренная трапеция** Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если её боковые стороны равны. *Рисунок: Равнобедренная трапеция ABCD, боковые стороны AB и CD равны* **Свойства равнобедренной трапеции** В равнобедренной трапеции равны: 1) углы при каждом основании; 2) диагонали. **Симметрия — ключ** Аналогия: равнобедренная трапеция симметрична, как силуэт бабочки с расправленными крыльями. Левая половина зеркально повторяет правую, поэтому равны углы при основании и обе диагонали. Правило самопроверки: у равнобедренной трапеции равных свойств два, углы при основании и диагонали. Нужны оба — проверьте, что боковые стороны равны. *Рисунок: Равнобедренная трапеция ABCD с проведёнными диагоналями AC и BD* **Неправильно:** У любой трапеции диагонали равны. **Правильно:** Равны диагонали только у равнобедренной трапеции. **Проверь себя:** Верно ли: «У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой»? **Ответ:** Да, верно. Прямой угол при основании делает боковую сторону перпендикулярной основаниям. Так это спрашивают на ОГЭ (задание 19): нужно распознать, истинно утверждение или ложно. Помогает такой приём: для каждого утверждения о трапеции спросите себя, про какой именно вид трапеции оно сказано. Про любую, про равнобедренную или про прямоугольную. ### Проверь себя **Какая трапеция называется прямоугольной?** - Трапеция, у которой основания равны между собой - Трапеция, у которой все четыре угла прямые - Трапеция, у которой один из углов прямой — верно - Трапеция, у которой диагонали пересекаются под прямым углом > Если один из углов трапеции прямой, то угол, прилежащий к той же боковой стороне, также равен $90^{\circ}$. **Какое ключевое особенное свойство имеет одна из боковых сторон прямоугольной трапеции?** - Она делит трапецию на два равных треугольника - Она одновременно является высотой трапеции — верно - Она равна средней линии трапеции - Она равна большему основанию трапеции > Так как эта боковая сторона перпендикулярна основаниям, её длина равна расстоянию между ними. **Какая трапеция называется равнобедренной (или равнобокой)?** - Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию - Трапеция, у которой диагонали перпендикулярны - Трапеция, у которой основания равны - Трапеция, у которой боковые стороны равны — верно > Равнобедренность трапеции определяется равенством именно непараллельных (боковых) сторон. **Каким свойством обладают углы равнобедренной трапеции?** - Все четыре угла равны между собой - Противоположные углы равны между собой - Углы при боковой стороне равны между собой - Углы при каждом основанием равны — верно > В теореме доказано, что у равнобедренной трапеции $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$. **Каким свойством обладают диагонали равнобедренной трапеции?** - Одна диагональ в два раза длиннее другой - Точка пересечения диагоналей делит их пополам - Диагонали равны — верно - Диагонали перпендикулярны > Равенство диагоналей $AC = BD$ следует из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CAD$. **На каком основании в доказательстве теоремы делается вывод о равенстве треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle DCM$ (где $BH$ и $CM$ — высоты равнобедренной трапеции ABCD)?** - По гипотенузе и катету — верно - По трем сторонам - По стороне и двум прилежащим углам - По двум катетам > Прямоугольные треугольники равны, так как боковые стороны $AB = CD$ (гипотенузы) и высоты $BH = CM$ (катеты). **По какому признаку равны треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CAD$ при доказательстве равенства диагоналей равнобедренной трапеции ABCD?** - По первому признаку (двум сторонам и углу между ними) — верно - По третьему признаку (трем сторонам) - По второму признаку (стороне и двум прилежащим углам) - По гипотенузе и острому углу > У треугольников сторона $AD$ общая, $AB = CD$ по условию, а $\angle BAD = \angle ADC$ по свойству углов при основании. **Дана равнобедренная трапеция ABCD ($AB = CD$). Угол при нижнем основании $\angle A = 65^{\circ}$. Найдите остальные углы трапеции.** - $\angle D = 115^{\circ}$, $\angle B = 65^{\circ}$, $\angle C = 115^{\circ}$ - $\angle D = 65^{\circ}$, $\angle B = 125^{\circ}$, $\angle C = 125^{\circ}$ - Все остальные углы равны $65^{\circ}$ - $\angle D = 65^{\circ}$, $\angle B = 115^{\circ}$, $\angle C = 115^{\circ}$ — верно > Углы при основании равны: $\angle D = \angle A = 65^{\circ}$. Углы при верхнем основании равны $180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$. **Как по-другому иногда называют равнобедренную трапецию?** - Равнобокой — верно - Правильной - Прямоугольной - Равносторонней > В тексте параграфа отмечается: «Иногда равнобедренную трапецию называют равнобокой». ## 3. Средняя линия трапеции *Полусумма оснований* Вернёмся к забору. Перекладина соединяет середины боковых сторон. Это и есть средняя линия. Интуиция такая: если сделать оба основания одинаковой длины, получится прямоугольник, у которого любая линия посередине равна основанию. Для разных оснований «средняя» длина логично равна среднему из двух. **Средняя линия** Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Обозначение: $MN$ — средняя линия трапеции. *Рисунок: Трапеция ABCD, отрезок MN соединяет точки M и N на боковых сторонах* **Теорема о средней линии** Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $MN \parallel AD$, $MN \parallel BC$, $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$. Здесь $AD$ и $BC$ — длины оснований, $MN$ — длина средней линии. **Среднее между двумя досками** Аналогия: перекладина посередине между рейками. Она параллельна обеим и по длине «среднего размера», как среднее арифметическое двух чисел. Опорное число: основания 6 и 10 дают $MN = 8$. Правило самопроверки: длина $MN$ всегда между длинами оснований; если ответ вышел больше большего основания или меньше меньшего, ищите ошибку. **Пример: Длина перекладины** 1. Основания: $AD = 10$ дм, $BC = 6$ дм. 2. $MN = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}(10 + 6)$. 3. $MN = 8$ дм. Это между 6 и 10, проверка сошлась. **Пример: Найти основание по средней линии** 1. Дано: $MN = 7$, $BC = 4$. Нужно $AD$. 2. Из $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$ получаем $AD + BC = 2MN$, то есть $AD = 2MN - BC$. 3. $AD = 2 \cdot 7 - 4 = 10$. **Неправильно:** $MN = AD + BC$ **Правильно:** $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$: полусумма, а не сумма оснований. **Проверь себя:** Основания трапеции 12 и 20. Чему равна средняя линия? **Ответ:** $MN = \frac{1}{2}(12 + 20) = 16$. Это между 12 и 20. **Как это использовать на ОГЭ** В заданиях 23 и 25 трапеция часто идёт вместе с биссектрисами и высотами. Пример: биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ пересекаются в точке $F$, $AF = 12$, $BF = 5$, нужно найти $AB$. Углы $A$ и $B$ при боковой стороне — односторонние при параллельных основаниях, их сумма $180^\circ$. Половины этих углов в сумме дают $90^\circ$, значит в треугольнике $ABF$ угол $F$ прямой. По теореме Пифагора $AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$. Это и есть ход решения, который проверяют в задании: свойство трапеции и затем вычисление. ### Проверь себя **Что по определению называется средней линией трапеции?** - Перпендикуляр, проведенный из вершины верхнего основания к нижнему - Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции — верно - Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции - Отрезок, соединяющий противоположные вершины трапеции > Именно соединение середин боковых сторон определяет среднюю линию трапеции. **Чему равна длина средней линии трапеции согласно теореме?** - Сумме оснований - Произведению оснований - Полусумме оснований — верно - Разности оснований > По теореме средняя линия равна $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$. **Каково взаимное расположение средней линии трапеции и её оснований?** - Средняя линия параллельна только большему основанию - Средняя линия параллельна обоим основаниям — верно - Средняя линия перпендикулярна основаниям - Средняя линия пересекает основания под углом $45^{\circ}$ > Согласно теореме о средней линии, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$. **При доказательстве теоремы о средней линии трапеции строится вспомогательный треугольник $\triangle ABO$. Каким элементом для этого треугольника становится средняя линия трапеции $MN$?** - Медианой треугольника $\triangle ABO$ - Средней линией треугольника $\triangle ABO$ — верно - Высотой треугольника $\triangle ABO$ - Биссектрисой треугольника $\triangle ABO$ > Поскольку $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $BO$, отрезок $MN$ является средней линией $\triangle ABO$. **Основания трапеции равны $8\text{ см}$ и $14\text{ см}$. Найдите длину средней линии трапеции.** - $6\text{ см}$ - $12\text{ см}$ - $11\text{ см}$ — верно - $22\text{ см}$ > Средняя линия равна полусумме оснований: $\frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11\text{ см}$. **Средняя линия трапеции равна $10\text{ см}$, а одно из оснований равно $6\text{ см}$. Найдите второе основание трапеции.** - $14\text{ см}$ — верно - $8\text{ см}$ - $4\text{ см}$ - $16\text{ см}$ > Из формулы $10 = \frac{6 + x}{2}$ получаем $6 + x = 20$, откуда $x = 14\text{ см}$. **При доказательстве теоремы о средней линии трапеции равны углы $\angle 1$ и $\angle 2$ (рис. 2.48). По какому свойству они равны?** - Как вертикальные углы — верно - Как соответственные углы - Как накрест лежащие углы - Как односторонние углы > В тексте доказательства указано: «$\angle 1 = \angle 2$ как вертикальные углы». **При доказательстве теоремы о средней линии углы $\angle 3$ и $\angle 4$ равны. Какое обоснование приводится в источнике?** - Как вертикальные углы при точке $N$ - Как прилежащие к основанию $CD$ - По свойству равнобедренной трапеции - Как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$ — верно > Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ образованы секущей $CD$, пересекающей параллельные основания $BC$ и $AD$. **По какому признаку равны треугольники $\triangle NBC$ и $\triangle NOD$ в доказательстве теоремы о средней линии трапеции?** - По третьему признаку (трем сторонам) - По второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) — верно - По первому признаку (двум сторонам и углу между ними) - По гипотенузе и катету > В доказательстве используется сторона $CN = DN$ и прилежащие углы: вертикальные $\angle 1 = \angle 2$ и накрест лежащие $\angle 3 = \angle 4$. ## Ключевые термины - **Трапеция** — Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. - **Основания трапеции** — Параллельные стороны трапеции. - **Боковые стороны трапеции** — Две непараллельные стороны трапеции. - **Высота трапеции** — Перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно основание, на прямую, содержащую другое основание. - **Прямоугольная трапеция** — Трапеция, у которой один из углов прямой. - **Равнобедренная трапеция** — Трапеция, у которой боковые стороны равны. - **Средняя линия трапеции** — Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. ## Итог - Трапеция — четырёхугольник, у которого параллельна ровно одна пара сторон: это основания, а две другие стороны — боковые. - Высота — перпендикуляр между прямыми, содержащими основания. - У прямоугольной трапеции одна боковая сторона — высота; у равнобедренной равны углы при основании и диагонали. - Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме: $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$. ## Шпаргалка ### Средняя линия - **$MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$** — длина средней линии - **$AD + BC = 2MN$** — сумма оснований по средней линии - **$MN \parallel AD$, $MN \parallel BC$** — параллельна основаниям ### Элементы и виды трапеции - **Основания** — две параллельные стороны, $AD$ и $BC$ - **Боковые стороны** — две непараллельные стороны, $AB$ и $CD$ - **Высота** — перпендикуляр между прямыми оснований, $BH$ - **Прямоугольная** — один угол прямой, боковая сторона — высота - **Равнобедренная** — боковые стороны равны; равны углы при основании и диагонали - **Средняя линия** — соединяет середины боковых сторон ### Основания и боковые стороны | Признак | Основания | Боковые стороны | | --- | --- | --- | | Параллельны? | да | нет | | Обозначение | $AD$, $BC$ | $AB$, $CD$ | | Сколько | две | две | ## Любопытное - Трапеция — всегда выпуклый четырёхугольник: её диагонали лежат внутри фигуры. - У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон сама является высотой, чертить перпендикуляр не нужно.