# Окружность, вписанная в треугольник Геометрия · 8 класс · Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники. Касательные к окружности. Касание окружностей Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/8/vpisannaya-okruzhnost-v-treugolnik Вписанная окружность — та, которой касаются все три стороны треугольника. Доказываем, что три биссектрисы пересекаются в одной точке, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну, находим её центр и радиус и выводим формулу для отрезка от вершины до точки касания. ## Чему научишься - Доказывать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, через свойство биссектрисы угла (равноудалённость от сторон). - Формулировать определение вписанной окружности и описанного треугольника и объяснять, почему центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, а радиус — расстояние до стороны. - Вычислять отрезки касательных от вершин до точек касания по формуле $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$. ## С чего начать Из треугольного куска фанеры нужно вырезать самый большой круг, какой только влезет. Куда поставить ножку циркуля и как узнать радиус — без подбора, одним построением? И почему у любого треугольника такая точка ровно одна? ## 1. Три биссектрисы — одна точка *Теорема, на которой держится вписанная окружность* В любом треугольнике три биссектрисы. Две из них, конечно, пересекаются — они не параллельны. А вот то, что третья проходит через ту же самую точку, — уже не очевидно и требует доказательства. Именно эта точка и окажется центром «самого большого круга». **Теорема** **Биссектрисы треугольника ****пересекаются в одной точке****.** *Рисунок: Два треугольника ABC: один с биссектрисами, другой с биссектрисами и перпендикулярами от точки O* **Почему так.** Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис $AA_1$ и $BB_1$. Опустим из $O$ перпендикуляры $OD_1$, $OD_2$, $OD_3$ на стороны треугольника. Точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$ — значит, по свойству биссектрисы она равноудалена от сторон этого угла: $OD_3 = OD_1$. Точно так же она на биссектрисе угла $B$: $OD_2 = OD_1$. Отсюда $OD_3 = OD_2$ — а это значит, что $O$ равноудалена от сторон угла $C$, то есть лежит на биссектрисе угла $C$. Все три биссектрисы прошли через одну точку. **Как понять и запомнить** Биссектриса — «дорожка», на которой ты одинаково далеко от двух стен угла. Стоишь на пересечении двух таких дорожек — значит, одинаково далеко сразу от всех трёх стен треугольника. А место, одинаково далёкое от третьей пары стен, — это и есть третья биссектриса: ты уже на ней. Зацепка: **О — одна общая точка, где пересеклись все биссектрисы; О же центр окружности.** *Рисунок: Три биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности* **Проверь себя:** Прикинь: точка лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$ треугольника. Что можно сказать о её расстояниях до трёх сторон — и почему это сразу даёт третью биссектрису? **Ответ:** Все три расстояния равны (от биссектрисы $A$ — до $AB$ и $AC$, от биссектрисы $B$ — до $AB$ и $BC$). Раз равны расстояния до $AC$ и $BC$, точка равноудалена от сторон угла $C$ — лежит на его биссектрисе. ### Проверь себя **В тексте доказательства теоремы о биссектрисах упоминаются перпендикуляры $OD_1$, $OD_2$ и $OD_3$. Что они доказывают?** - Что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника. — верно - Что треугольник $ABC$ является прямоугольным. - Что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. - Что биссектрисы делят стороны треугольника пополам. > Поскольку точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, равенство этих перпендикуляров подтверждает, что точка $O$ подходит на роль центра окружности. **Чему равен радиус $r$ вписанной в треугольник окружности?** - Расстоянию от центра окружности до вершин треугольника. - Среднему арифметическому длин высот треугольника. - Половине длины меньшей стороны треугольника. - Расстоянию от точки пересечения биссектрис до сторон треугольника. — верно > Поскольку стороны касаются окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне и является кратчайшим расстоянием от центра. **Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне треугольника?** - Нет, так как биссектрисы треугольника всегда пересекаются внутри него. — верно - Да, если треугольник неравнобедренный. - Только если окружность касается сторон с внешней стороны. - Да, если треугольник является тупоугольным. > Поскольку все углы треугольника внутренние, их биссектрисы направлены внутрь фигуры и точка их пересечения всегда лежит внутри границ треугольника. ## 2. Вписанная окружность: есть и единственная *Определение, теорема, центр и радиус* **Вписанная окружность, описанный треугольник** **Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника ****касаются окружности****.** А **треугольник в таком случае называется описанным около окружности.** *Рисунок: Треугольник ABC, вписанная окружность с центром O, радиусы OM, ON, OP и прямые углы* **Как понять и запомнить: кто в кого вписан** Слова легко перепутать, поэтому смотри, кто внутри. Окружность сидит внутри треугольника и трогает каждую стену — она **вписалась**. Треугольник обнимает её снаружи своими сторонами — он её **описал**. Одна картинка, два названия с разных точек зрения. Зацепки: **ВПИСанная окружность вписалась внутрь треугольника и касается каждой его стороны.** **ОПИСанный треугольник описывает окружность своими сторонами: каждая сторона касается круга.** *Рисунок: Круг внутри треугольника касается всех трёх его сторон* **Теорема** **В любой треугольник можно вписать окружность ****и притом только одну****.** **Почему так — существование.** Пусть $O$ — точка пересечения биссектрис. Проведём из неё перпендикуляры $OM$, $ON$, $OP$ к сторонам $AB$, $BC$, $AC$. Точка $O$ на биссектрисах, значит равноудалена от сторон: $OM = ON = OP$. Окружность с центром $O$ и радиусом $OP$ проходит через $M$, $N$, $P$. Каждая сторона имеет с окружностью общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, — значит, **касается** её. Окружность вписана. *Рисунок: Треугольник ABC, вписанная окружность с центром O, отрезки AO, BO, CO, радиусы OM, ON, OP и прямые углы* **Единственность.** Если какая-то окружность касается всех сторон, её центр равноудалён от сторон, то есть лежит на всех трёх биссектрисах — это точка $O$, другой такой нет. А радиус равен расстоянию от $O$ до стороны. Центр один, радиус один — окружность одна. **Центр и радиус вписанной окружности** **Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.** $OM = ON = OP = r$ — радиус $r$ равен расстоянию от центра до любой стороны (перпендикуляру в точку касания). **Как понять и запомнить: радиус** Радиус вписанной окружности — это «зазор» между центром и стеной, и он одинаков для всех трёх стен: иначе окружность одну стену протаранила бы, а до другой не дотянулась. Три точки касания — три одинаковых перпендикуляра. Зацепки: **Три точки касания — три одинаковых радиуса: **$OM = ON = OP = r$**.** И: **на один треугольник приходится ровно одна вписанная окружность: существование плюс единственность.** У треугольника есть и вторая «своя» окружность — описанная, которая проходит через вершины (ей посвящён следующий урок). Их постоянно путают, поэтому сразу положим рядом. **Вписанная и описанная окружности треугольника** | | Вписанная окружность | Описанная окружность | | --- | --- | --- | | Как расположена | внутри треугольника, касается всех трёх сторон | снаружи, проходит через все три вершины | | Треугольник называется | описанным около окружности | вписанным в окружность | | Где центр | пересечение биссектрис | пересечение серединных перпендикуляров к сторонам | | Центр равноудалён от | сторон: $r = OM = ON = OP$ | вершин: $R = OA = OB = OC$ | | Положение центра | всегда внутри | внутри, на стороне или вне треугольника | | Как построить | две биссектрисы → центр; перпендикуляр к стороне → радиус | два серединных перпендикуляра → центр; отрезок до вершины → радиус | | Где применяют | самый большой круг внутри треугольника; отрезки касательных | окружность через три точки; прямоугольный треугольник — гипотенуза-диаметр | **Неправильно:** Центр вписанной окружности — точка пересечения медиан (или высот). **Правильно:** Биссектрис. Центр должен быть на одинаковом расстоянии от всех сторон — а равноудалённость от сторон угла даёт именно биссектриса. Медианы и высоты этим свойством не обладают. **Проверь себя:** Может ли центр вписанной окружности оказаться вне треугольника? **Ответ:** Нет: он лежит на биссектрисах, а биссектриса угла треугольника проходит внутри него. Точка пересечения — всегда внутри. ### Проверь себя **Какая окружность по определению называется вписанной в треугольник?** - Окружность, проходящая через все три вершины треугольника. - Окружность, центр которой совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. - Окружность, которая пересекает каждую сторону треугольника в двух точках. - Окружность, для которой все стороны треугольника являются касательными. — верно > Согласно определению, окружность считается вписанной, если она имеет общую точку с каждой стороной треугольника и при этом стороны перпендикулярны радиусам в точках касания. **Где именно расположен центр окружности, вписанной в произвольный треугольник?** - В середине самой длинной стороны треугольника. - В точке пересечения серединных перпендикуляров. - В точке пересечения биссектрис треугольника. — верно - В точке пересечения высот треугольника. > Биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, поэтому точка их пересечения равноудалена от всех трех сторон треугольника. **Какое утверждение о существовании вписанной окружности в треугольник верно?** - Окружность можно вписать только в остроугольный треугольник. - Окружность можно вписать только в правильный (равносторонний) треугольник. - В треугольник можно вписать бесконечно много различных окружностей. - В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. — верно > Теорема утверждает универсальность существования и уникальность центра (точки пересечения биссектрис) для любого треугольника. ## 3. Отрезки касательных: формула для задач *Что даёт вписанная окружность на практике* Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон в точках $A_1$ (на $BC$), $B_1$ (на $AC$) и $C_1$ (на $AB$). Из каждой вершины к окружности идут две касательные, и их отрезки от вершины до точек касания равны: $AC_1 = AB_1$, $BC_1 = BA_1$, $CA_1 = CB_1$. На этом равенстве держится вся арифметика вписанной окружности. *Рисунок: Треугольник ABC с вписанной окружностью и точками касания A1, B1, C1* **Отрезок от вершины до точки касания** $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$ Отрезок касательной из вершины $A$ равен полусумме сторон, выходящих из $A$, минус половина противоположной стороны. **Как понять и запомнить** Периметр треугольника сложен из шести отрезков касательных — по два равных у каждой вершины. Возьми две стороны из вершины $A$: в них отрезок $AB_1$ входит дважды (как $AB_1$ и как $AC_1$), а всё остальное — это в точности сторона $BC$ (два отрезка из $B$ и два из $C$). Вычел $BC$, поделил пополам — получил $AB_1$. Зацепка-самопроверка: **для **$AB_1$** сложи две стороны, вычти третью и обязательно раздели результат пополам: **$AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$**.** **Пример: Докажи, что $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$** 1. Отрезки касательных из одной точки равны: $AC_1 = AB_1$, $BC_1 = BA_1$, $CA_1 = CB_1$. 2. $AC = AB_1 + CB_1$, откуда $AB_1 = AC - CB_1$. Заменяем $CB_1 = CA_1$, а $CA_1 = BC - BA_1$: получаем $AB_1 = AC - BC + BA_1$. 3. Теперь $BA_1 = BC_1$, а $BC_1 = AB - AC_1$: $AB_1 = AC - BC + AB - AC_1$. 4. Наконец $AC_1 = AB_1$: $AB_1 = AC - BC + AB - AB_1$, то есть $2AB_1 = AB + AC - BC$ и $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$. **Пример: Стороны треугольника $AB = 7$, $AC = 9$, $BC = 10$. Найди отрезки от вершины $A$ до точек касания вписанной окружности** 1. По формуле: $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{7 + 9 - 10}{2} = 3$. 2. Отрезок $AC_1$ — вторая касательная из той же вершины, значит $AC_1 = AB_1 = 3$. 3. Проверка через периметр: $p = \frac{7 + 9 + 10}{2} = 13$, и $AB_1 = p - BC = 13 - 10 = 3$ — та же формула в другой записи. *Рисунок: Треугольник ABC, вписанная окружность с центром O, радиусы OM, ON, OP с прямыми углами и отрезки AO, BO, CO* **Пример: На рис. 1.41 треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Есть ли на рисунке равные треугольники и равнобедренные?** 1. Треугольники $AOM$ и $AOP$ (и такие же пары у вершин $B$ и $C$): прямоугольные, общая гипотенуза $AO$, катеты $OM = OP = r$ — равны по гипотенузе и катету. Итого три пары равных прямоугольных треугольников у вершин. 2. Треугольники $AOB$ и $COB$: $AB = CB$ (равнобедренный), $BO$ общая, $\angle ABO = \angle CBO$ (биссектриса) — равны по двум сторонам и углу между ними. 3. Равнобедренные: сам $ABC$; треугольник $AOC$ — в нём $\angle OAC = \angle OCA$ как половины равных углов при основании; и любой треугольник из двух радиусов, например $MON$ или $NOP$: $OM = ON = OP = r$. **Проверь себя:** Периметр треугольника $24$, сторона $BC = 9$. Чему равен отрезок касательной из вершины $A$? **Ответ:** $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{(24 - 9) - 9}{2} = 3$: сумма $AB + AC = 15$, минус $9$, пополам. ### Проверь себя **Если окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$, какое из равенств отрезков касательных будет верным?** - $AC_1 = AB_1$ — верно - $AC_1 = BC_1$ - $A_1B = A_1C$ - $AB_1 = BC_1$ > Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки (в данном случае из вершины $A$), всегда равны между собой. **Используя формулу из задачи 1, определите длину отрезка $AB_1$, если стороны треугольника равны $AB$, $AC$ и $BC$.** - $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$ — верно - $AB_1 = \frac{BC + AC - AB}{2}$ - $AB_1 = AB + AC - BC$ - $AB_1 = \frac{AB + BC - AC}{2}$ > Эта формула выводится путем суммирования отрезков сторон и вычитания противолежащей стороны для исключения лишних сегментов касательных. **Как называется треугольник по отношению к окружности, если все его стороны касаются этой окружности?** - Равновеликим окружности. - Вписанным в окружность. - Описанным около окружности. — верно - Касательным треугольником. > Это терминологическое определение: если фигура находится 'снаружи' и касается окружности всеми сторонами, она называется описанной. ## Ключевые термины - **Вписанная окружность** — Окружность, которой касаются все стороны треугольника. - **Описанный треугольник** — Треугольник, все стороны которого касаются окружности (окружность вписана в него). - **Центр вписанной окружности** — Точка пересечения биссектрис треугольника; равноудалена от всех сторон. - **Отрезки касательных** — Отрезки от вершины треугольника до точек касания вписанной окружности; из одной вершины они равны. ## Итог - Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке: она равноудалена от всех трёх сторон. - Окружность вписана в треугольник, если все его стороны её касаются; треугольник тогда описан около окружности. - В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну; её центр — точка пересечения биссектрис, радиус $r = OM = ON = OP$ — расстояние до стороны. - Отрезки касательных из одной вершины равны; $AB_1 = \frac{AB + AC - BC}{2}$. - Центр вписанной окружности всегда внутри треугольника. ## Шпаргалка ### Формулы - **$r = OM = ON = OP$** — радиус — перпендикуляр до стороны - **$AB_1 = \dfrac{AB+AC-BC}{2}$** — полупериметр минус противоположная сторона - **$AC_1 = AB_1$** — отрезки касательных из одной вершины ### Что есть что - **Вписанная окружность** — касается всех сторон треугольника - **Центр** — точка пересечения биссектрис, всегда внутри - **Радиус** — расстояние от центра до стороны - **Описанный треугольник** — треугольник вокруг вписанной окружности ### Вписанная vs описанная | | Вписанная | Описанная | | --- | --- | --- | | Касается/проходит через | стороны | вершины | | Центр на | биссектрисах | серединных перпендикулярах | | Где центр | всегда внутри | может быть снаружи | | Радиус — расстояние до | стороны | вершины | ## Любопытное - Периметр описанного треугольника складывается из шести отрезков касательных — по два равных у каждой вершины. Поэтому отрезок из вершины равен полупериметру минус противоположная сторона. - Центр вписанной окружности никогда не выходит за пределы треугольника — в отличие от центра описанной, который в тупоугольном треугольнике оказывается снаружи.