# Формулы для нахождения площади треугольника

Геометрия · 9 класс · Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников
Источник: https://razlozheno.ru/subject/geometriya/9/6-formuly-dlya-nahozhdeniya-ploschadi-treugolnika

Урок-сводка: семь формул площади треугольника и четырёхугольника, разложенные по принципу «что дано — ту формулу и бери». Через весь урок проходит один и тот же треугольник со сторонами $13$, $14$, $15\ \text{см}$ — на нём можно проверить каждую формулу и поймать себя на ошибке.

## Чему научишься

- После урока ты сможешь выбирать формулу площади под то, что дано в условии: сторону с высотой, две стороны с углом, три стороны или радиус одной из окружностей.
- После урока ты сможешь находить площадь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ и по формулам $S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$, а также разворачивать их назад — в $r = \frac{S}{p}$ и $R = \frac{abc}{4S}$.
- После урока ты сможешь считать площадь параллелограмма по двум сторонам и углу ($S = ab \sin \alpha$) и площадь любого выпуклого четырёхугольника по диагоналям и углу между ними ($S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$).

## С чего начать

Тебе дают картонный треугольник и линейку, но чертить на нём запрещено — можно только измерять по краю. Стороны получились $13$, $14$ и $15\ \text{см}$. Высоту не провести, углы не измерить. Можно ли узнать площадь?

## 1. От высоты к углу: две формулы, одна идея

*Одна идея в трёх равноправных записях / Когда высоту не измерить, а угол известен*

Любой треугольник — это ровно половина параллелограмма: приставь к нему такой же, перевёрнутый, и получится параллелограмм с тем же основанием и той же высотой. Отсюда и берётся половина в формуле.

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Вершин три, значит и высот три: $h_a$ идёт к стороне $a$, $h_b$ — к стороне $b$, $h_c$ — к стороне $c$. Каждая пара «сторона и её высота» даёт одну и ту же площадь — выбирай ту, что известна из условия.

**Основная формула площади**

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Три записи — не три разные формулы, а одна и та же: основанием по очереди назначают разные стороны, а ответ выходит один.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия.** Треугольный ломтик — ровно половина прямоугольного куска: сложи два одинаковых треугольных ломтика — получишь прямоугольник со сторонами «основание» и «высота». Площадь ломтика — половина этого прямоугольника.

**Мнемоника: пара обязана быть родной.** Сторона идёт со своей высотой: $a$ с $h_a$, $b$ с $h_b$, $c$ с $h_c$. Чужая пара — чужой ответ.

**Опорное число урока.** Треугольник со сторонами $13$, $14$ и $15\ \text{см}$: его площадь $S = 84\ \text{см}^2$, а высота к стороне $14\ \text{см}$ равна $12\ \text{см}$. Проверка: $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$. Этот треугольник будет всплывать до конца урока.

**Правило самопроверки.** Умножил сторону на высоту и забыл про половину — ответ выйдет ровно вдвое больше настоящего.

**Одна площадь — три пары**

| Сторона | Её высота | Как считается площадь |
| --- | --- | --- |
| $a = 13\ \text{см}$ | $h_a \approx 12{,}92\ \text{см}$ | $\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12{,}92 \approx 84\ \text{см}^2$ |
| $b = 14\ \text{см}$ | $h_b = 12\ \text{см}$ | $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$ |
| $c = 15\ \text{см}$ | $h_c = 11{,}2\ \text{см}$ | $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11{,}2 = 84\ \text{см}^2$ |

**Пример: Площадь по стороне и высоте**

1. Дано: сторона $b = 14\ \text{см}$, высота к ней $h_b = 12\ \text{см}$.
2. Берём ту запись формулы, где стоит именно эта пара: $S = \frac{1}{2} b h_b$.
3. Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12$.
4. Считаем по шагам: $\frac{1}{2} \cdot 14 = 7$, затем $7 \cdot 12 = 84$.
5. Ответ: $S = 84\ \text{см}^2$.

**Пример: Обратный ход: ищем высоту**

1. Дано: $S = 84\ \text{см}^2$, сторона $c = 15\ \text{см}$; найти $h_c$.
2. Пишем формулу для этой пары: $S = \frac{1}{2} c h_c$.
3. Выражаем высоту: $h_c = \frac{2S}{c}$.
4. Подставляем: $h_c = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15}$.
5. Ответ: $h_c = 11{,}2\ \text{см}$.

**Неправильно:** $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 = 90\ \text{см}^2$ — взяли сторону $c = 15\ \text{см}$ и высоту $h_b = 12\ \text{см}$, потому что оба числа стояли рядом в условии.
**Правильно:** $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$ — высота $h_b$ работает в паре со своей стороной $b = 14\ \text{см}$, а к стороне $c = 15\ \text{см}$ идёт своя высота $h_c = 11{,}2\ \text{см}$.

**Проверь себя:** Сторона треугольника равна $20\ \text{см}$, высота к ней — $7\ \text{см}$. Какова площадь?
**Ответ:** $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 = 70\ \text{см}^2$.

Высоту в реальной задаче взять неоткуда: её надо построить, а на местности или на готовом чертеже это редко возможно. Угол же измеряется транспортиром или прямо даётся в условии. Значит, высоту надо выразить через угол.

Опустим высоту $h_a$ из вершины $A$ на сторону $a$. Получился прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — сторона $b$, а угол при вершине $C$ — тот самый угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$. Катет, лежащий против этого угла, и есть наша высота: $h_a = b \sin \gamma$.

**Теорема 5.1**

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними (Теорема 5.1).

Это не новая идея, а прежняя формула, где высота заменена на то, чем её можно измерить: подставь $h_a = b \sin \gamma$ в $S = \frac{1}{2} a h_a$ — получишь ровно это равенство.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия.** Раскрывающийся веер: две планки закреплённой длины, скреплённые в одной точке. Планки сомкнуты, угол близок к $0^\circ$ — площади между ними нет. Раскрываем до прямого угла — площадь наибольшая. Раскрываем дальше, к $180^\circ$ — площадь снова тает. Длины планок не менялись, всё решает угол.

**Мнемоника.** «Половина произведения сторон на синус зажатого между ними угла». Слово «зажатого» тут главное: угол должен быть между этими самыми сторонами, а не напротив одной из них.

**Опорное число.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, поэтому при угле $30^\circ$ площадь равна четверти произведения сторон: $S = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{1}{2} = \frac{ab}{4}$. Удобная прикидка в уме.

**Правило самопроверки.** Ответ не может быть больше $\frac{ab}{2}$: синус не превосходит единицы. Вышло больше — ищи ошибку.

**Почему тупой угол не ломает формулу**

Синусы углов, дополняющих друг друга до $180^\circ$, равны: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Геометрически это видно так: у тупоугольного треугольника высота падает вне стороны, но её длина по-прежнему равна $b \sin \gamma$. Поэтому $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ считает одинаково верно для острого, прямого и тупого угла, и никакого минуса в ней не появляется.

**Пример: Площадь по двум сторонам и углу**

1. Дано: $a = 8\ \text{см}$, $b = 10\ \text{см}$, угол между ними $\gamma = 30^\circ$.
2. Формула: $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$.
3. Значение синуса: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
4. Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20$.
5. Ответ: $S = 20\ \text{см}^2$.

**Пример: Обратный ход: ищем угол**

1. Дано: $a = 6\ \text{см}$, $b = 5\ \text{см}$, $S = 15\ \text{см}^2$; найти угол $\gamma$ между этими сторонами.
2. Записываем формулу с неизвестным синусом: $15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \gamma$.
3. Считаем числовой множитель: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$, значит $15 = 15 \sin \gamma$.
4. Отсюда $\sin \gamma = 1$, а синус равен единице у прямого угла.
5. Ответ: $\gamma = 90^\circ$; треугольник прямоугольный, а стороны $a$ и $b$ — его катеты.

**Неправильно:** $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол, лежащий против стороны $a$.
**Правильно:** $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin \gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Угол напротив стороны в этой формуле не участвует.

**Проверь себя:** Стороны $4\ \text{см}$ и $9\ \text{см}$ образуют угол $150^\circ$. Чему равна площадь треугольника?
**Ответ:** $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 9\ \text{см}^2$.

### Проверь себя

**Чему равна площадь треугольника с основанием $14\ \text{см}$ и высотой $12\ \text{см}$, проведённой к этому основанию?**
- $84\ \text{см}^2$ — верно
- $168\ \text{см}^2$
- $26\ \text{см}^2$
- $42\ \text{см}^2$
> $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$. Ответ $168\ \text{см}^2$ получается, если забыть про половину.

**Площадь треугольника — $84\ \text{см}^2$. Какой длины высота, опущенная на сторону $15\ \text{см}$?**
- $5{,}6\ \text{см}$
- $12\ \text{см}$
- $11{,}2\ \text{см}$ — верно
- Высоту по этим данным не найти
> Из $S = \frac{1}{2} c h_c$ следует $h_c = \frac{2S}{c} = \frac{168}{15} = 11{,}2\ \text{см}$.

**В тупоугольном треугольнике высота к стороне $a$ попала вне фигуры: её основание лежит на продолжении стороны. Что делать с формулой $S = \frac{1}{2} a h_a$?**
- Уменьшить высоту вдвое: часть её лежит вне треугольника
- Заменить высоту на сторону, к которой она проведена, и удвоить результат
- Отказаться от этой формулы: для тупоугольных нужна формула Герона
- Ничего: длины стороны и высоты подставляются как есть — верно
> Высота — это длина перпендикуляра, и неважно, куда упало его основание. Формула $S = \frac{1}{2} a h_a$ верна для любого треугольника.

**Стороны треугольника $a = 8\ \text{см}$ и $b = 10\ \text{см}$ образуют угол $\gamma = 30^\circ$. Чему равна его площадь?**
- $40\ \text{см}^2$
- $20\ \text{см}^2$ — верно
- $80\ \text{см}^2$
- $34{,}6\ \text{см}^2$
> $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{1}{2} = 20\ \text{см}^2$.

**Две стороны треугольника закреплены, а угол между ними можно менять. При каком угле площадь окажется наибольшей?**
- При угле, близком к $0^\circ$
- При угле $60^\circ$, как в равностороннем треугольнике
- Только при прямом угле $90^\circ$ — верно
- При угле, близком к $180^\circ$
> Площадь растёт вместе с $\sin \gamma$, а синус достигает единицы ровно при $\gamma = 90^\circ$; тогда $S = \frac{1}{2} a b$.

**В треугольнике $a = 6\ \text{см}$, $b = 5\ \text{см}$, а площадь равна $15\ \text{см}^2$. Чему равен угол между этими сторонами?**
- $90^\circ$ — верно
- $30^\circ$
- $60^\circ$
- Данных мало: нужна ещё третья сторона
> $15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \gamma$, то есть $15 = 15 \sin \gamma$ и $\sin \gamma = 1$. Это прямой угол.

## 2. Формула Герона: три стороны — и больше ничего

*Ни высоты, ни угла в условии нет*

Бывает, что ни высоту, ни угол взять неоткуда: есть три измеренные стороны, и всё. Кажется, данных мало. Но три стороны задают треугольник однозначно — по признаку равенства треугольников по трём сторонам двух разных треугольников с одним набором сторон не бывает. Раз форма определена, определена и площадь: она обязана выражаться через одни лишь $a$, $b$ и $c$.

Способ такой: сначала считают полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$, потом три разности «полупериметр минус сторона».

**Теорема 5.2 — формула Герона**

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$

Площадь $S$ треугольника вычисляется по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $p$ — его полупериметр (Теорема 5.2).

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия.** Три стороны — как три ножки табурета: закрепил длины, и табурет собирается ровно одним способом, пошатать его нельзя. Треугольник из трёх реек тоже жёсткий — в отличие от четырёхугольника, который перекашивается. Раз форма зафиксирована, площадь можно вытащить из одних длин.

**Мнемоника: «полупериметр и три остатка».** Порядок действий один и тот же: сначала $p$, потом три скобки $p - a$, $p - b$, $p - c$, потом перемножить все четыре числа и извлечь корень. Скобок ровно три — по числу сторон, и в каждой вычитается своя сторона.

**Опорное число.** Стороны $13$, $14$, $15$: $p = 21$, скобки дают $8$, $7$, $6$, произведение $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056$, корень $\sqrt{7056} = 84$. Держи этот набор в голове как эталон — на нём легко проверить, что вспомнил формулу правильно.

**Правило самопроверки.** Все три скобки обязаны быть положительными. Если хоть одна вышла нулём или отрицательной — треугольника с такими сторонами не существует, и площадь искать бессмысленно.

**Пример: Площадь по трём сторонам**

1. Дано: $a = 13\ \text{см}$, $b = 14\ \text{см}$, $c = 15\ \text{см}$.
2. Полупериметр: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\ \text{см}$.
3. Скобки: $p - a = 21 - 13 = 8$, $p - b = 21 - 14 = 7$, $p - c = 21 - 15 = 6$.
4. Произведение под корнем: $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056$.
5. Извлекаем корень: $S = \sqrt{7056} = 84$.
6. Ответ: $S = 84\ \text{см}^2$.

**Откуда под корнем берётся неравенство треугольника**

Скобка $p - a$ равна $\frac{b + c - a}{2}$: это половина от того, насколько сумма двух сторон превышает третью. Значит, все три скобки положительны тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других — то есть когда треугольник действительно существует. Формула Герона не просто считает площадь: она заодно проверяет исходные данные на осмысленность.

**Неправильно:** $p = 13 + 14 + 15 = 42$, дальше $S = \sqrt{42 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}$ — подставили периметр.
**Правильно:** $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$, дальше $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$. В формуле стоит полупериметр: буква $p$ означает половину суммы сторон.

**Проверь себя:** Стороны треугольника — $6$, $8$ и $10\ \text{см}$. Найди $p$, все три скобки и площадь.
**Ответ:** $p = 12\ \text{см}$; скобки: $12 - 6 = 6$, $12 - 8 = 4$, $12 - 10 = 2$. Тогда $S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24\ \text{см}^2$.

### Проверь себя

**Стороны треугольника равны $13$, $14$ и $15\ \text{см}$. Чему равен его полупериметр $p$?**
- $42\ \text{см}$
- $14\ \text{см}$
- $20{,}5\ \text{см}$
- $21\ \text{см}$ — верно
> $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\ \text{см}$. Число $42$ — это периметр, а не полупериметр.

**Ученик подставил в формулу Герона стороны $2$, $3$ и $9\ \text{см}$ и получил под корнем отрицательное число. О чём это говорит?**
- Он ошибся в арифметике: под корнем в формуле Герона отрицательного числа не бывает
- Треугольника с такими сторонами не существует — верно
- Нужно взять модуль подкоренного выражения и извлечь корень из него
- Формула Герона работает только для остроугольных треугольников
> $p = 7$, и скобка $p - c = 7 - 9 = -2$ отрицательна. Сторона $9$ больше суммы двух других ($2 + 3 = 5$), неравенство треугольника нарушено.

## 3. Через окружности: вписанную и описанную

*Две связи, каждая работает в обе стороны*

У каждого треугольника есть две особые окружности. Вписанная касается всех трёх сторон изнутри, её радиус обозначают $r$. Описанная проходит через все три вершины, её радиус — $R$. Обе связаны с площадью, и обе связи работают в обе стороны: зная площадь, находишь радиус; зная радиус, находишь площадь.

**Теорема 5.4: вписанная окружность**

$S = p r$, и обратно $r = \frac{S}{p}$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S = pr$ (Теорема 5.4). Это одна связь, записанная в две стороны: из неё же выражается радиус — $r = \frac{S}{p}$.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия: разрезанная пицца.** Соедини центр вписанной окружности $O$ с тремя вершинами — треугольник распадётся на три ломтика. У каждого ломтика основание — сторона треугольника, а высота одна и та же, равная $r$: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Складываем площади: $\frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = \frac{a + b + c}{2} \cdot r = p r$.

**Мнемоника.** «Полупериметр на радиус». В формуле $S = pr$ нет ни высот, ни синусов, ни корней — всего две буквы, самая короткая формула площади в уроке.

**Опорное число.** Наш треугольник $13$, $14$, $15$: $p = 21\ \text{см}$, $S = 84\ \text{см}^2$, значит $r = \frac{84}{21} = 4\ \text{см}$ — ровное, целое число.

**Правило самопроверки.** Диаметр $2r$ не может быть больше наименьшей высоты треугольника: окружность обязана поместиться внутри. Здесь $2r = 8\ \text{см}$, а самая короткая высота — $11{,}2\ \text{см}$, всё сходится.

Вторая окружность — описанная — устроена иначе: она не касается сторон, а проходит через вершины. И связь с площадью у неё другая: в формулу входят все три стороны сразу.

**Теорема 5.3: описанная окружность**

$S = \frac{a b c}{4 R}$, и обратно $R = \frac{a b c}{4 S}$

Площадь $S$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и радиусом $R$ описанной окружности вычисляется по формуле $S = \frac{abc}{4R}$ (Теорема 5.3). Перевернув это равенство, получаем рабочий способ искать сам радиус: $R = \frac{abc}{4S}$.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия: обруч на трёх колышках.** Описанная окружность — обруч, натянутый на три вершины. Чем более приплюснут треугольник (стороны длинные, а площадь маленькая), тем шире приходится делать обруч. Ровно это и написано в формуле $R = \frac{abc}{4S}$: площадь стоит в знаменателе, поэтому маленькая площадь даёт большой радиус.

**Мнемоника: «три стороны сверху, четыре площади снизу».** $R = \frac{abc}{4S}$. А чтобы не путать сами буквы: большая $R$ — большая окружность, она снаружи, по вершинам; маленькая $r$ — маленькая, она внутри, по сторонам.

**Опорное число.** Для треугольника $13$, $14$, $15$: $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$. Сравни с $r = 4\ \text{см}$: внутренняя окружность вдвое меньше внешней.

**Правило самопроверки.** Радиус описанной окружности не бывает меньше половины самой длинной стороны: любая сторона — хорда этой окружности, а хорда не длиннее диаметра. Здесь $2R = 16{,}25\ \text{см}$ больше $15\ \text{см}$ — сходится.

**Пример: Оба радиуса одного треугольника**

1. Дано: $a = 13\ \text{см}$, $b = 14\ \text{см}$, $c = 15\ \text{см}$; площадь уже найдена по Герону: $S = 84\ \text{см}^2$.
2. Полупериметр: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\ \text{см}$.
3. Вписанная окружность: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\ \text{см}$.
4. Описанная окружность: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$.
5. Проверка: $2R = 16{,}25\ \text{см}$ больше самой длинной стороны $15\ \text{см}$ — данные не противоречат друг другу.
6. Ответ: $r = 4\ \text{см}$, $R = 8{,}125\ \text{см}$.

**Теорема 5.5: не только треугольник**

Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S = pr$ (Теорема 5.5). Рассуждение то же, что и с пиццей: соединяем центр со всеми вершинами и получаем столько треугольников, сколько у фигуры сторон. У каждого высота равна $r$, а сумма оснований — периметр. Для пятиугольника ломтиков пять, для шестиугольника шесть, а итог один и тот же: $S = pr$.

**Неправильно:** $R = \frac{4S}{abc}$ — «радиус равен четырём площадям, делённым на произведение сторон».
**Правильно:** $R = \frac{abc}{4S}$ — наверху произведение сторон, внизу учетверённая площадь. Проверить легко на опорном треугольнике: $\frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$ — правдоподобный радиус, а перевёрнутая дробь дала бы $0{,}123\ \text{см}$, что меньше половины любой стороны и потому невозможно.

**Проверь себя:** У треугольника $S = 30\ \text{см}^2$ и $p = 15\ \text{см}$. Чему равен радиус вписанной окружности?
**Ответ:** $r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2\ \text{см}$.

### Проверь себя

**В треугольнике полупериметр равен $21\ \text{см}$, а радиус вписанной окружности — $4\ \text{см}$. Найди площадь.**
- $25\ \text{см}^2$
- $5{,}25\ \text{см}^2$
- $84\ \text{см}^2$ — верно
- $168\ \text{см}^2$
> $S = pr = 21 \cdot 4 = 84\ \text{см}^2$.

**Как из равенства $S = \frac{abc}{4R}$ выразить радиус описанной окружности?**
- $R = \frac{abc}{4S}$ — верно
- $R = \frac{4S}{abc}$
- $R = \frac{a + b + c}{4S}$
- $R = \frac{S}{4abc}$
> Умножаем обе части на $4R$ и делим на $S$: произведение сторон остаётся сверху, учетверённая площадь уходит вниз.

**Теорема 5.5 обобщает равенство $S = pr$ с треугольника на другие фигуры. На какие именно?**
- На многоугольники, вписанные в окружность, и на них одних
- На правильные многоугольники
- На любые выпуклые четырёхугольники без исключения
- На многоугольники, описанные около окружности — верно
> Нужно, чтобы окружность касалась всех сторон: тогда фигура режется на треугольники с общей высотой $r$, и сумма их площадей даёт $pr$.

## 4. От треугольника к четырёхугольнику

*Те же две длины и синус угла между ними*

Параллелограмм — это два равных треугольника, склеенных по диагонали. Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\alpha$ между ними; они равны по трём сторонам. Площадь каждого — $\frac{1}{2} a b \sin \alpha$, а всего параллелограмма вдвое больше. Половина при удвоении и сокращается.

**Площадь параллелограмма**

$S = a b \sin \alpha$

Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними. По сравнению с треугольной формулой множитель $\frac{1}{2}$ исчез — именно потому, что параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия: раздвижная решётка.** Складная сушилка для белья или решётка на окне: планки те же самые, длины не меняются, но стоит наклонить конструкцию — и просвет между планками сжимается. Стороны $a$ и $b$ закреплены, всю площадь определяет угол.

**Мнемоника.** «У треугольника — половина, у параллелограмма — целое»: $S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$, $S_{\text{пар}} = a b \sin \alpha$. Запись одна и та же, разница лишь в исчезнувшей половине, потому что фигур-близнецов две.

**Опорное число.** При $\alpha = 90^\circ$ синус равен единице, и формула превращается в школьное $S = ab$ для прямоугольника. Это лучшая проверка памяти: подставил прямой угол — получил знакомое.

**Правило самопроверки.** Площадь параллелограмма не может превысить $ab$: синус не больше единицы. Получилось больше — где-то ошибка.

А если четырёхугольник произвольный: ни параллельных сторон, ни равных углов? Тогда работают не стороны, а диагонали. Они разрезают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, и после сложения их площадей остаётся на удивление короткая формула.

**Площадь четырёхугольника через диагонали**

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $\varphi$ — угол между ними.

**Как это запомнить**

**Бытовая аналогия: два скрещённых карандаша.** Положи два карандаша крест-накрест — их длины это $d_1$ и $d_2$, а угол скрещивания $\varphi$. Обведи четыре конца — получится четырёхугольник. Какой бы кособокой ни вышла фигура, её площадь зависит ровно от этих трёх чисел.

**Мнемоника.** Формула — родная сестра треугольной: «половина произведения двух отрезков на синус угла между ними». Там отрезками были стороны, здесь — диагонали.

**Опорное число.** У квадрата и ромба диагонали перпендикулярны, $\sin 90^\circ = 1$, и формула сворачивается в знакомое $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ — ту самую формулу площади ромба.

**Правило самопроверки.** При пересечении диагоналей получаются четыре угла, но брать можно любой: смежные углы дают одинаковый синус ($\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$), так что выбором угла ошибиться нельзя.

**Пример: Параллелограмм по двум сторонам и углу**

1. Дано: соседние стороны $a = 6\ \text{см}$ и $b = 9\ \text{см}$, угол между ними $\alpha = 30^\circ$.
2. Формула: $S = a b \sin \alpha$ — без половины, это не треугольник.
3. Подставляем: $S = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$.
4. Ответ: $S = 27\ \text{см}^2$.

**Пример: Четырёхугольник по диагоналям**

1. Дано: $d_1 = 8\ \text{см}$, $d_2 = 15\ \text{см}$, угол между диагоналями $\varphi = 150^\circ$.
2. Формула: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$.
3. Синус тупого угла: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
4. Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 30$.
5. Ответ: $S = 30\ \text{см}^2$.

**Неправильно:** Для параллелограмма со сторонами $6$ и $9\ \text{см}$ и углом $30^\circ$: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 13{,}5\ \text{см}^2$.
**Правильно:** $S = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27\ \text{см}^2$. У параллелограмма множителя $\frac{1}{2}$ нет — он остался в треугольной формуле, а тут треугольников два.

**Что дано — ту формулу и бери**

| Что известно | Формула | Пример из урока |
| --- | --- | --- |
| Сторона и высота к ней | $S = \frac{1}{2} a h_a$ | $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$ |
| Две стороны и угол между ними | $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ | $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20\ \text{см}^2$ |
| Три стороны | $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ | $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\ \text{см}^2$ |
| Полупериметр и вписанная окружность | $S = p r$ | $21 \cdot 4 = 84\ \text{см}^2$ |
| Три стороны и описанная окружность | $S = \frac{abc}{4R}$ | $\frac{2730}{4 \cdot 8{,}125} = 84\ \text{см}^2$ |
| Параллелограмм: две стороны и угол | $S = a b \sin \alpha$ | $6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27\ \text{см}^2$ |
| Четырёхугольник: диагонали и угол | $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ | $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 30\ \text{см}^2$ |

**Проверь себя:** Диагонали ромба равны $10\ \text{см}$ и $24\ \text{см}$. Чему равна его площадь?
**Ответ:** Диагонали ромба перпендикулярны, $\sin 90^\circ = 1$, поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\ \text{см}^2$.

### Проверь себя

**У параллелограмма $ABCD$ соседние стороны равны $6\ \text{см}$ и $9\ \text{см}$, а угол $\alpha$ между ними составляет $30^\circ$. Найди площадь.**
- $54\ \text{см}^2$
- $27\ \text{см}^2$ — верно
- $13{,}5\ \text{см}^2$
- $18\ \text{см}^2$
> $S = a b \sin \alpha = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27\ \text{см}^2$. Ответ $13{,}5\ \text{см}^2$ выходит, если по привычке дописать множитель $\frac{1}{2}$ от треугольной формулы.

**Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $8\ \text{см}$ и $15\ \text{см}$, а угол между ними — $150^\circ$. Чему равна площадь фигуры?**
- $60\ \text{см}^2$
- $120\ \text{см}^2$
- Площадь найти нельзя: угол тупой
- $30\ \text{см}^2$ — верно
> $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 30\ \text{см}^2$.

## Ключевые термины

- **Высота треугольника** — Перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Обозначается $h_a$, $h_b$, $h_c$ — по той стороне, к которой проведён.
- **Полупериметр** — Половина суммы всех сторон: $p = \frac{a + b + c}{2}$. Входит в формулу Герона и в формулу $S = pr$.
- **Формула Герона** — $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — способ найти площадь треугольника по трём его сторонам, без высот и углов (Теорема 5.2).
- **Вписанная окружность** — Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри. Её радиус $r$ связан с площадью равенством $S = pr$ (Теоремы 5.4 и 5.5).
- **Описанная окружность** — Окружность, проходящая через все вершины треугольника. Её радиус $R$ входит в формулу $S = \frac{abc}{4R}$ (Теорема 5.3).
- **Угол между диагоналями** — Угол $\varphi$, под которым пересекаются диагонали $d_1$ и $d_2$ выпуклого четырёхугольника; входит в формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$.

## Итог

- Основная формула — $S = \frac{1}{2} a h_a$: сторона на свою высоту пополам. Три записи (через $a$, $b$ или $c$) — это одна и та же формула, а не три разные.
- Высоты нет, но известен угол между двумя сторонами — бери $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$; известны одни лишь три стороны — формулу Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ с $p = \frac{a+b+c}{2}$.
- Окружности: вписанная даёт $S = pr$ и $r = \frac{S}{p}$, описанная — $S = \frac{abc}{4R}$ и $R = \frac{abc}{4S}$. Большая буква $R$ — большая окружность, она снаружи.
- Четырёхугольники: параллелограмм — $S = a b \sin \alpha$ (половины нет), любой выпуклый по диагоналям — $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$.
- Эталон для самопроверки: треугольник $13$, $14$, $15\ \text{см}$ — $p = 21\ \text{см}$, $S = 84\ \text{см}^2$, $h_b = 12\ \text{см}$, $r = 4\ \text{см}$, $R = 8{,}125\ \text{см}$.

## Шпаргалка

### Треугольник

| Что дано | Формула |
| --- | --- |
| сторона и высота к ней | $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ |
| две стороны и угол между ними | $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ |
| три стороны | $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$ |
| полупериметр и вписанная окружность | $S = p r$, обратно $r = \frac{S}{p}$ |
| три стороны и описанная окружность | $S = \frac{a b c}{4 R}$, обратно $R = \frac{a b c}{4 S}$ |

### Четырёхугольник

| Что дано | Формула |
| --- | --- |
| параллелограмм: две стороны и угол | $S = a b \sin \alpha$ |
| любой выпуклый: диагонали и угол между ними | $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ |
| описанный около окружности многоугольник | $S = p r$ |

### Обозначения

$S$ — площадь; $a$, $b$, $c$ — стороны; $h_a$, $h_b$, $h_c$ — высоты к сторонам $a$, $b$, $c$; $\gamma$, $\alpha$, $\beta$ — углы; $p$ — полупериметр; $R$ — радиус описанной окружности; $r$ — радиус вписанной; $d_1$, $d_2$ — диагонали; $\varphi$ — угол между диагоналями.

### Эталон для проверки

Треугольник $13$, $14$, $15\ \text{см}$: $p = 21\ \text{см}$, $S = 84\ \text{см}^2$, $h_b = 12\ \text{см}$, $r = 4\ \text{см}$, $R = 8{,}125\ \text{см}$.

### Синусы, которые нужны чаще всего

$\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 90^\circ = 1$; $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$.

## Любопытное

- Герон Александрийский, чьим именем названа формула, жил в первом веке нашей эры и был прежде всего инженером: он описал прообраз паровой турбины, автомат для продажи святой воды и театр самодвижущихся фигурок. Формула площади — побочный результат его работ по практическим измерениям.
- Треугольник со сторонами $13$, $14$, $15\ \text{см}$ математики называют героновым: у него и стороны целые, и площадь целая ($84\ \text{см}^2$). Таких треугольников бесконечно много, но встречаются они редко — почти любой набор целых сторон даёт иррациональную площадь.
- Формулу $S = \frac{abc}{4R}$ можно прочитать наоборот: у всех треугольников, вписанных в одну и ту же окружность, отношение произведения сторон к площади одинаково и равно $4R$ — какими бы разными эти треугольники ни были.