Основное свойство рациональной дроби

Находим допустимые значения: слева знаменатель $7m$, значит $m \ne 0$. Справа знаменатель $7$ — ограничений нет.

При $m \ne 0$ дробь слева можно сократить на $m$: $\frac{3m^2}{7m} = \frac{3m \cdot m}{7 \cdot m} = \frac{3m}{7}$.

Равенство верно при всех допустимых $m$ (то есть при $m \ne 0$) — это тождество.

Одночлены $6a^3b^2$ и $24a^2b^4$ имеют общий множитель $6a^2b^2$ (берём наименьший коэффициент-делитель и наименьшие степени каждой буквы).

Выносим его: $\frac{6a^3b^2}{24a^2b^4} = \frac{a \cdot 6a^2b^2}{4b^2 \cdot 6a^2b^2}$.

Сокращаем на $6a^2b^2$: получаем $\frac{a}{4b^2}$. Допустимые значения те же, что у исходной дроби: $a \ne 0$, $b \ne 0$.

В числителе — сумма, а сокращать можно только множители. Раскладываем: $3x + 15y = 3(x + 5y)$.

$\frac{3x + 15y}{3x} = \frac{3(x + 5y)}{3x}$ — теперь сверху и снизу есть общий множитель $3$.

Сокращаем на $3$: $\frac{x + 5y}{x}$ при $x \ne 0$. Дальше сокращать нельзя: $x$ в числителе — слагаемое, а не множитель.

Раскладываем числитель по формуле квадрата суммы: $y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2$.

Раскладываем знаменатель, вынося общий множитель: $y^2 + 2y = y(y + 2)$.

$\frac{(y + 2)^2}{y(y + 2)}$ — общий множитель $y + 2$. Сокращаем: $\frac{y + 2}{y}$.

Не забываем ограничения исходной дроби: её знаменатель $y(y + 2)$ не равен нулю, значит $y \ne 0$ и $y \ne -2$. Ответ $\frac{y + 2}{y}$ тождественно равен исходной дроби именно при этих $y$ — множитель $y + 2$, на который сократили, тоже не должен быть нулём.

Раскладываем: $4a - 20 = 4(a - 5)$, $5a - a^2 = a(5 - a)$.

Множители $a - 5$ и $5 - a$ — «перевёрнутые» разности: $5 - a = -(a - 5)$. Значит $a(5 - a) = -a(a - 5)$.

$\frac{4(a - 5)}{-a(a - 5)}$ — сокращаем на $a - 5$: $\frac{4}{-a}$.

Минус переносим перед дробь: $-\frac{4}{a}$. Ограничения — из исходного знаменателя $a(5 - a) \ne 0$: $a \ne 0$ и $a \ne 5$; при $a = 5$ мы сокращали бы на ноль.

Ищем дополнительный множитель: $15ab^3c^5 = 5bc^3 \cdot 3ab^2c^2$, значит $C = 3ab^2c^2$.

Умножаем числитель и знаменатель на $3ab^2c^2$: $\frac{a^2 \cdot 3ab^2c^2}{5bc^3 \cdot 3ab^2c^2}$.

Ответ: $\frac{3a^3b^2c^2}{15ab^3c^5}$. Дополнительный множитель $3ab^2c^2$ не должен быть нулём, поэтому появляется новое ограничение $a \ne 0$ (к старым $b \ne 0$, $c \ne 0$) — равенство тождественно при этих значениях.

Раскладываем новый знаменатель: $a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$. Дополнительный множитель — $a - 2b$.

$\frac{a}{a + 2b} = \frac{a(a - 2b)}{(a + 2b)(a - 2b)} = \frac{a^2 - 2ab}{a^2 - 4b^2}$.

Ограничения: было $a + 2b \ne 0$, добавилось $a - 2b \ne 0$ (множитель не должен быть нулём) — то есть $a \ne \pm 2b$.

Новый знаменатель — «перевёрнутый» старый: $3b - 2a = -(2a - 3b)$. Дополнительный множитель — число $-1$.

$\frac{a - b}{2a - 3b} = \frac{(a - b) \cdot (-1)}{(2a - 3b) \cdot (-1)} = \frac{b - a}{3b - 2a}$.

Произведение знаменателей — $54a^6b^9$, громоздко. Собираем удобный: НОК чисел $9$ и $6$ — это $18$; $a$ в наибольшей степени — $a^4$; $b$ — $b^6$. Общий знаменатель $18a^4b^6$.

Дополнительный множитель первой дроби: $18a^4b^6 = 9a^2b^6 \cdot 2a^2$, то есть $2a^2$. Получаем $\frac{2m \cdot 2a^2}{9a^2b^6 \cdot 2a^2} = \frac{4a^2m}{18a^4b^6}$.

Для второй: $18a^4b^6 = 6a^4b^3 \cdot 3b^3$, множитель $3b^3$. Получаем $\frac{5n^2 \cdot 3b^3}{6a^4b^3 \cdot 3b^3} = \frac{15b^3n^2}{18a^4b^6}$.

Допустимые значения не изменились: $a \ne 0$, $b \ne 0$ — дополнительные множители $2a^2$ и $3b^3$ при таких $a$ и $b$ ненулевые.

Сначала раскладываем знаменатели: $a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6)$, $a^2 + 6a = a(a + 6)$.

Общий знаменатель — каждый множитель по одному разу: $a(a + 6)(a - 6)$.

Первой дроби не хватает множителя $a$: $\frac{4a^2}{(a + 6)(a - 6)} = \frac{4a^3}{a(a + 6)(a - 6)} = \frac{4a^3}{a^3 - 36a}$.

Второй не хватает $a - 6$: $\frac{6}{a(a + 6)} = \frac{6(a - 6)}{a(a + 6)(a - 6)} = \frac{6a - 36}{a^3 - 36a}$.

Ограничения объединяются: $a \ne 0$, $a \ne 6$, $a \ne -6$ — общий знаменатель $a(a + 6)(a - 6)$ не должен обращаться в ноль.