Свойства степени с целым показателем

Учебный справочник: Свойства степени с целым показателем

Данный учебный справочник представляет собой комплексное руководство по теме «Свойства степени с целым показателем». В нем систематизированы основные теоретические сведения, теоремы, доказательства, разобранные примеры, а также представлены контрольные вопросы с ответами, темы для развернутых эссе и глоссарий ключевых терминов.

1. Теоретический материал и ключевые формулы

Свойства степени с натуральным показателем, изучаемые в 7 классе, остаются справедливыми и для степени с любым целым показателем.

Сводная таблица свойств степени

№ · Название свойства / Теорема · Формула · Ограничения и условия

• 1 — Основное свойство степени (Умножение степеней); $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $a \neq 0$; $m, n \in \mathbb{Z}$
• 2 — Возведение степени в степень; $(a^m)^n = a^{mn}$; $a \neq 0$; $m, n \in \mathbb{Z}$
• 3 — Возведение произведения в степень; $(ab)^n = a^n b^n$; $a \neq 0, b \neq 0$; $n \in \mathbb{Z}$
• 4 — Деление степеней (Теорема 9.3); $a^m : a^n = a^{m-n}$; $a \neq 0$; $m, n \in \mathbb{Z}$
• 5 — Возведение дроби в степень (Теорема 9.4); $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$; $a \neq 0, b \neq 0$; $n \in \mathbb{Z}$

Формулировки теорем и доказательства

Теорема 9.1

Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$ выполняются равенства:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. $(a^m)^n = a^{mn}$

Для любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$ и любого целого $n$ выполняется равенство:

3. $(ab)^n = a^n b^n$

Доказательство основного свойства степени ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для отрицательных показателей: Если $m$ и $n$ — целые отрицательные числа, то $-m$ и $-n$ — натуральные числа. Используя определение степени с отрицательным показателем и свойство для натуральных показателей, получаем: $$a^{-m} \cdot a^{-n} = a^{-m + (-n)} = a^{-m-n}$$ Следовательно: $$a^m \cdot a^n = \frac{1}{a^{-m}} \cdot \frac{1}{a^{-n}} = \frac{1}{a^{-m} \cdot a^{-n}} = \frac{1}{a^{-m-n}} = \frac{1}{a^{-(m+n)}} = a^{m+n}$$

Примечание: Полное доказательство требует также рассмотрения случаев:

• Один из показателей ($m$ или $n$) отрицательный, а другой — положительный;
• Один или оба показателя равны нулю.

Равенства $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$ доказываются аналогично.

Теорема 9.3

Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$ выполняется равенство: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$

Доказательство: $$a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^m \cdot a^{-n} = a^{m + (-n)} = a^{m-n}$$

Теорема 9.4

Для любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$ и любого целого $n$ выполняется равенство: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Доказательство: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(a \cdot b^{-1}\right)^n = a^n \cdot \left(b^{-1}\right)^n = a^n \cdot b^{-n} = a^n \cdot \frac{1}{b^n} = \frac{a^n}{b^n}$$

Разбор типовых примеров

Пример 1: Представление выражения в виде степени с основанием $a$

1. $a^{-14} \cdot a^{12} = a^{-14 + 12} = a^{-2}$
2. $a^{-5} : a^{-9} = a^{-5 - (-9)} = a^{-5 + 9} = a^4$
3. $(a^{-4})^{-2} \cdot a^{-7} : a^6 = a^{-4 \cdot (-2)} \cdot a^{-7} : a^6 = a^8 \cdot a^{-7} : a^6 = a^{8 + (-7) - 6} = a^{-5}$

Пример 2: Нахождение значения числового выражения

1. $(5^{-5})^{-4} : (5^{-7})^{-3} = 5^{20} : 5^{21} = 5^{20 - 21} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$
2. $16^{-9} \cdot 8^{12} = (2^4)^{-9} \cdot (2^3)^{12} = 2^{-36} \cdot 2^{36} = 2^{-36 + 36} = 2^0 = 1$
3. $\frac{6^{-3}}{18^{-3}} = \left(\frac{6}{18}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$
4. $\left(1\frac{11}{25}\right)^{-8} \cdot \left(\left(\frac{5}{6}\right)^3\right)^{-5} = \left(\frac{36}{25}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-15} = \left(\left(\frac{6}{5}\right)^2\right)^{-8} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-15} = \left(\frac{6}{5}\right)^{-16} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-15} = \left(\frac{5}{6}\right)^{16} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{-15} = \frac{5}{6}$

Пример 3: Упрощение алгебраических выражений

1. $0,6m^2 n^{-6} \cdot \frac{1}{3}m^{-4}n^3 = \left(0,6 \cdot \frac{1}{3}\right) \cdot (m^2 \cdot m^{-4}) \cdot (n^{-6} \cdot n^3) = 0,2m^{-2}n^{-3}$
2. $(a^{-2} + 9)(a^{-2} - 4) - (a^{-2} + 6)(a^{-2} - 6) = a^{-4} - 4a^{-2} + 9a^{-2} - 36 - (a^{-4} - 36) = a^{-4} + 5a^{-2} - 36 - a^{-4} + 36 = 5a^{-2}$

Пример 4: Действия с числами в стандартном виде

Выполнить умножение $(3,4 \cdot 10^{14}) \cdot (7 \cdot 10^{-8})$ и записать результат в стандартном виде: $$(3,4 \cdot 7) \cdot (10^{14} \cdot 10^{-8}) = 23,8 \cdot 10^6 = (2,38 \cdot 10) \cdot 10^6 = 2,38 \cdot 10^7$$

2. Задачи и вопросы для проверки знаний (с краткими ответами)

1. Вопрос: Чему равно произведение $a^m \cdot a^n$ согласно основному свойству степени?

• Ответ: $a^{m+n}$ (при $a \neq 0$).

2. Вопрос: Найдите значение выражения $9^5 \cdot 9^{-7}$.

• Ответ: $9^{5 + (-7)} = 9^{-2} = \frac{1}{81}$.

3. Вопрос: Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение $a^{-5} : a^{-9}$.

• Ответ: $a^{-5 - (-9)} = a^4$.

4. Вопрос: Вычислите значение выражения $16^{-9} \cdot 8^{12}$.

• Ответ: 1. (Так как $(2^4)^{-9} \cdot (2^3)^{12} = 2^{-36} \cdot 2^{36} = 2^0 = 1$).

5. Вопрос: Чему равно значение выражения $\frac{6^{-3}}{18^{-3}}$?

• Ответ: 27. (Так как $\left(\frac{6}{18}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$).

6. Вопрос: Упростите выражение $3a^{-3} \cdot 4a^{-4}$.

• Ответ: $12a^{-7}$.

7. Вопрос: Упростите выражение $0,6m^2 n^{-6} \cdot \frac{1}{3}m^{-4}n^3$.

• Ответ: $0,2m^{-2}n^{-3}$.

8. Вопрос: Запишите результат умножения $(3,4 \cdot 10^{14}) \cdot (7 \cdot 10^{-8})$ в стандартном виде.

• Ответ: $2,38 \cdot 10^7$.

9. Вопрос: Если порядок числа $a$ равен $-4$, чему равен порядок числа $100a$?

• Ответ: $-2$. (Так как $100a = 10^2 \cdot a \cdot 10^{-4} \sim 10^{-2}$).

10. Вопрос: Чему равно значение выражения $(a^{-2} + 9)(a^{-2} - 4) - (a^{-2} + 6)(a^{-2} - 6)$?

• • Ответ: $5a^{-2}$.

3. Вопросы для развернутого ответа и эссе

1. Анализ доказательства основного свойства степени для целых отрицательных показателей:

• Задание: Раскройте математическую логику доказательства равенства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для случая, когда $m < 0$ и $n < 0$. Объясните, почему переход к противоположным числам $(-m$ и $-n)$ позволяет использовать правила действия с натуральными показателями. Опишите оставшиеся случаи (разные знаки показателей, нулевой показатель), необходимые для полного завершения доказательства теоремы.

2. Взаимосвязь операций умножения, деления и возведения в степень для степеней с целым показателем:

• Задание: Подробно опишите, каким образом Теорема 9.3 ($a^m : a^n = a^{m-n}$) и Теорема 9.4 ($\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$) выводятся из свойств умножения и возведения произведения в степень. Объясните роль отрицательного показателя как связующего звена между операциями умножения и деления.

3. Применение свойств степеней с целым показателем при преобразовании сложных алгебраических и числовых выражений:

• Задание: На основе разобранных в материале примеров проанализируйте основные методические приемы упрощения выражений: приведение оснований к простым числам (на примере $16^{-9} \cdot 8^{12}$), переход к взаимно обратным дробям, вынесение за скобки степени с наименьшим показателем и использование формул сокращенного умножения для степеней с отрицательными показателями.

4. Глоссарий терминов

Термин · Определение / Пояснение

• Основание степени ($a, b$) — Число (действительное число, отличное от нуля), которое возводится в степень.
• Показатель степени ($m, n$) — Число (целое число: натуральное, ноль или целое отрицательное), указывающее степень, в которую возводится основание.
• Основное свойство степени — Равенство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, выполняющееся для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$.
• Свойства степени с целым показателем — Совокупность пяти тождеств: умножения степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$), возведения произведения в степень ($(ab)^n = a^n b^n$), деления степеней ($a^m : a^n = a^{m-n}$) и возведения дроби в степень ($\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$).
• Стандартный вид числа — Запись числа в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.
• Порядок числа — Показатель степени $n$ в записи числа $a \cdot 10^n$, представленного в стандартном виде. Отражает масштаб величины.