Площадь треугольника — $84\ \text{см}^2$. Какой длины высота, опущенная на сторону $15\ \text{см}$?

Высоту по этим данным не найти

В тупоугольном треугольнике высота к стороне $a$ попала вне фигуры: её основание лежит на продолжении стороны. Что делать с формулой $S = \frac{1}{2} a h_a$?

Ничего: длины стороны и высоты подставляются как есть

Уменьшить высоту вдвое: часть её лежит вне треугольника

Заменить высоту на сторону, к которой она проведена, и удвоить результат

Отказаться от этой формулы: для тупоугольных нужна формула Герона

Две стороны треугольника закреплены, а угол между ними можно менять. При каком угле площадь окажется наибольшей?

Только при прямом угле $90^\circ$

При угле, близком к $0^\circ$

При угле $60^\circ$, как в равностороннем треугольнике

При угле, близком к $180^\circ$

В треугольнике $a = 6\ \text{см}$, $b = 5\ \text{см}$, а площадь равна $15\ \text{см}^2$. Чему равен угол между этими сторонами?

Данных мало: нужна ещё третья сторона

Ученик подставил в формулу Герона стороны $2$, $3$ и $9\ \text{см}$ и получил под корнем отрицательное число. О чём это говорит?

Он ошибся в арифметике: под корнем в формуле Герона отрицательного числа не бывает

Нужно взять модуль подкоренного выражения и извлечь корень из него

Формула Герона работает только для остроугольных треугольников

Теорема 5.5 обобщает равенство $S = pr$ с треугольника на другие фигуры. На какие именно?

На многоугольники, описанные около окружности

На многоугольники, вписанные в окружность, и на них одних

На правильные многоугольники

На любые выпуклые четырёхугольники без исключения

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $8\ \text{см}$ и $15\ \text{см}$, а угол между ними — $150^\circ$. Чему равна площадь фигуры?

Площадь найти нельзя: угол тупой

У треугольника со сторонами $13$, $14$ и $15\ \text{см}$ площадь равна $84\ \text{см}^2$. Чему равен радиус описанной окружности?

Радиус найти нельзя: не хватает углов

Что обозначает буква $p$ в формуле Герона?

Полупериметр треугольника

Периметр треугольника

Произведение сторон треугольника

Наибольшую сторону треугольника

В треугольнике известны стороны $a$ и $b$, а угол $\gamma$ между ними оказался тупым. Что произойдёт с формулой $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$?

Ничего: синус тупого угла положителен, формула считает верно

Площадь получится отрицательной, знак придётся поменять

Формула даст площадь внешней части, её нужно вычесть из прямоугольника

Синус придётся заменить на косинус того же угла

Даны только длины трёх сторон. В каком порядке действовать, чтобы получить $R$?

Сначала Герон даёт $S$, затем $R = \frac{abc}{4S}$

Сначала $r = \frac{S}{p}$, затем $R = 2r$

Сначала $R = \frac{abc}{4p}$, затем $S = pr$

Радиус описанной окружности по трём сторонам найти невозможно

Дан параллелограмм с соседними сторонами $a$ и $b$. В каких границах лежит его площадь?

Больше $0$, но не больше $ab$

От $\frac{ab}{2}$ до $ab$, если угол острый

Диагонали квадрата перпендикулярны. Во что превращается формула $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$?

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \cos \varphi$

У двух треугольников стороны $a$ и $b$ одинаковы, но углы между ними разные: $50^\circ$ и $130^\circ$. Как соотносятся их площади?

Площадь второго больше, ведь угол больше

Площадь первого больше в два раза

Сравнить нельзя без длин сторон

Сравни треугольник со сторонами $13$, $14$, $15\ \text{см}$ и треугольник со сторонами $5$, $12$, $13\ \text{см}$: у какого радиус вписанной окружности больше?

У первого: $r = 4\ \text{см}$ против $r = 2\ \text{см}$

У второго: он прямоугольный, а в прямоугольный вписывается более крупная окружность

Радиусы равны: у обоих есть сторона $13\ \text{см}$

Сравнить нельзя: у второго треугольника вписанной окружности нет

Геометрия · 9 класс · Тригонометрия. Теоремы косинусов и синусов. Решение треугольников

Формулы для нахождения площади треугольника

Урок-сводка: семь формул площади треугольника и четырёхугольника, разложенные по принципу «что дано — ту формулу и бери». Через весь урок проходит один и тот же треугольник со сторонами $13$ , $14$ , $15\ \text{см}$ — на нём можно проверить каждую формулу и поймать себя на ошибке.

Читать урок

4 частей · 45 минсреднийчитаешь как гость

Тебе дают картонный треугольник и линейку, но чертить на нём запрещено — можно только измерять по краю. Стороны получились $13$ , $14$ и $15\ \text{см}$ . Высоту не провести, углы не измерить. Можно ли узнать площадь?

Вернёмся к нему в конце урока.

Связи урока

что нужно знать → урок → что откроет

нужно знать

Синус, косинус и решение треугольниковПлощадь треугольника через тригонометрию

уже пройденонужно, но ещё не пройденооткроется следующимдальше по программе, пока закрыто

После урока ты сможешь

После урока ты сможешь выбирать формулу площади под то, что дано в условии: сторону с высотой, две стороны с углом, три стороны или радиус одной из окружностей.
После урока ты сможешь находить площадь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ и по формулам $S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$ , а также разворачивать их назад — в $r = \frac{S}{p}$ и $R = \frac{abc}{4S}$ .
После урока ты сможешь считать площадь параллелограмма по двум сторонам и углу ( $S = ab \sin \alpha$ ) и площадь любого выпуклого четырёхугольника по диагоналям и углу между ними ( $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ ).

Часть 1 · 17 мин

От высоты к углу: две формулы, одна идея

Одна идея в трёх равноправных записях / Когда высоту не измерить, а угол известен

Любой треугольник — это ровно половина параллелограмма: приставь к нему такой же, перевёрнутый, и получится параллелограмм с тем же основанием и той же высотой. Отсюда и берётся половина в формуле.

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Вершин три, значит и высот три: $h_a$ идёт к стороне $a$ , $h_b$ — к стороне $b$ , $h_c$ — к стороне $c$ . Каждая пара «сторона и её высота» даёт одну и ту же площадь — выбирай ту, что известна из условия.

Формула

Основная формула площади

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Три записи — не три разные формулы, а одна и та же: основанием по очереди назначают разные стороны, а ответ выходит один.

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия. Треугольный ломтик — ровно половина прямоугольного куска: сложи два одинаковых треугольных ломтика — получишь прямоугольник со сторонами «основание» и «высота». Площадь ломтика — половина этого прямоугольника.

Мнемоника: пара обязана быть родной. Сторона идёт со своей высотой: $a$ с $h_a$ , $b$ с $h_b$ , $c$ с $h_c$ . Чужая пара — чужой ответ.

Опорное число урока. Треугольник со сторонами $13$ , $14$ и $15\ \text{см}$ : его площадь $S = 84\ \text{см}^2$ , а высота к стороне $14\ \text{см}$ равна $12\ \text{см}$ . Проверка: $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$ . Этот треугольник будет всплывать до конца урока.

Правило самопроверки. Умножил сторону на высоту и забыл про половину — ответ выйдет ровно вдвое больше настоящего.

Одна площадь — три пары
Сторона	Её высота	Как считается площадь
$a = 13\ \text{см}$	$h_a \approx 12{,}92\ \text{см}$	$\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12{,}92 \approx 84\ \text{см}^2$
$b = 14\ \text{см}$	$h_b = 12\ \text{см}$	$\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$
$c = 15\ \text{см}$	$h_c = 11{,}2\ \text{см}$	$\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11{,}2 = 84\ \text{см}^2$

Площадь по стороне и высоте

Дано: сторона $b = 14\ \text{см}$ , высота к ней $h_b = 12\ \text{см}$ .
Берём ту запись формулы, где стоит именно эта пара: $S = \frac{1}{2} b h_b$ .
Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12$ .
Считаем по шагам: $\frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ , затем $7 \cdot 12 = 84$ .
Ответ: $S = 84\ \text{см}^2$ .

Обратный ход: ищем высоту

Дано: $S = 84\ \text{см}^2$ , сторона $c = 15\ \text{см}$ ; найти $h_c$ .
Пишем формулу для этой пары: $S = \frac{1}{2} c h_c$ .
Выражаем высоту: $h_c = \frac{2S}{c}$ .
Подставляем: $h_c = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15}$ .
Ответ: $h_c = 11{,}2\ \text{см}$ .

Неверно

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 = 90\ \text{см}^2$ — взяли сторону $c = 15\ \text{см}$ и высоту $h_b = 12\ \text{см}$ , потому что оба числа стояли рядом в условии.

Верно

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$ — высота $h_b$ работает в паре со своей стороной $b = 14\ \text{см}$ , а к стороне $c = 15\ \text{см}$ идёт своя высота $h_c = 11{,}2\ \text{см}$ .

Сторона треугольника равна $20\ \text{см}$ , высота к ней — $7\ \text{см}$ . Какова площадь?

показать

$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 = 70\ \text{см}^2$ .

Высоту в реальной задаче взять неоткуда: её надо построить, а на местности или на готовом чертеже это редко возможно. Угол же измеряется транспортиром или прямо даётся в условии. Значит, высоту надо выразить через угол.

Опустим высоту $h_a$ из вершины $A$ на сторону $a$ . Получился прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — сторона $b$ , а угол при вершине $C$ — тот самый угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ . Катет, лежащий против этого угла, и есть наша высота: $h_a = b \sin \gamma$ .

Формула

Теорема 5.1

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними (Теорема 5.1).

Это не новая идея, а прежняя формула, где высота заменена на то, чем её можно измерить: подставь $h_a = b \sin \gamma$ в $S = \frac{1}{2} a h_a$ — получишь ровно это равенство.

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия. Раскрывающийся веер: две планки закреплённой длины, скреплённые в одной точке. Планки сомкнуты, угол близок к $0^\circ$ — площади между ними нет. Раскрываем до прямого угла — площадь наибольшая. Раскрываем дальше, к $180^\circ$ — площадь снова тает. Длины планок не менялись, всё решает угол.

Мнемоника. «Половина произведения сторон на синус зажатого между ними угла». Слово «зажатого» тут главное: угол должен быть между этими самыми сторонами, а не напротив одной из них.

Опорное число. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ , поэтому при угле $30^\circ$ площадь равна четверти произведения сторон: $S = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{1}{2} = \frac{ab}{4}$ . Удобная прикидка в уме.

Правило самопроверки. Ответ не может быть больше $\frac{ab}{2}$ : синус не превосходит единицы. Вышло больше — ищи ошибку.

Почему тупой угол не ломает формулу

Синусы углов, дополняющих друг друга до $180^\circ$ , равны: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ . Геометрически это видно так: у тупоугольного треугольника высота падает вне стороны, но её длина по-прежнему равна $b \sin \gamma$ . Поэтому $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ считает одинаково верно для острого, прямого и тупого угла, и никакого минуса в ней не появляется.

Площадь по двум сторонам и углу

Дано: $a = 8\ \text{см}$ , $b = 10\ \text{см}$ , угол между ними $\gamma = 30^\circ$ .
Формула: $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ .
Значение синуса: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .
Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20$ .
Ответ: $S = 20\ \text{см}^2$ .

Обратный ход: ищем угол

Дано: $a = 6\ \text{см}$ , $b = 5\ \text{см}$ , $S = 15\ \text{см}^2$ ; найти угол $\gamma$ между этими сторонами.
Записываем формулу с неизвестным синусом: $15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin \gamma$ .
Считаем числовой множитель: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ , значит $15 = 15 \sin \gamma$ .
Отсюда $\sin \gamma = 1$ , а синус равен единице у прямого угла.
Ответ: $\gamma = 90^\circ$ ; треугольник прямоугольный, а стороны $a$ и $b$ — его катеты.

Неверно

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin \alpha$ , где $\alpha$ — угол, лежащий против стороны $a$ .

Верно

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin \gamma$ , где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$ . Угол напротив стороны в этой формуле не участвует.

Стороны $4\ \text{см}$ и $9\ \text{см}$ образуют угол $150^\circ$ . Чему равна площадь треугольника?

показать

$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ , поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 9\ \text{см}^2$ .

Проверь себя

мини-тест части 1 · 6 вопросов

Вопрос 1 из 6лёгкий

Чему равна площадь треугольника с основанием $14\ \text{см}$ и высотой $12\ \text{см}$ , проведённой к этому основанию?

1 из 6

Часть 2 · 8 мин

Формула Герона: три стороны — и больше ничего

Ни высоты, ни угла в условии нет

Бывает, что ни высоту, ни угол взять неоткуда: есть три измеренные стороны, и всё. Кажется, данных мало. Но три стороны задают треугольник однозначно — по признаку равенства треугольников по трём сторонам двух разных треугольников с одним набором сторон не бывает. Раз форма определена, определена и площадь: она обязана выражаться через одни лишь $a$ , $b$ и $c$ .

Способ такой: сначала считают полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$ , потом три разности «полупериметр минус сторона».

Формула

Теорема 5.2 — формула Герона

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ , где $p = \frac{a + b + c}{2}$

Площадь $S$ треугольника вычисляется по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, $p$ — его полупериметр (Теорема 5.2).

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия. Три стороны — как три ножки табурета: закрепил длины, и табурет собирается ровно одним способом, пошатать его нельзя. Треугольник из трёх реек тоже жёсткий — в отличие от четырёхугольника, который перекашивается. Раз форма зафиксирована, площадь можно вытащить из одних длин.

Мнемоника: «полупериметр и три остатка». Порядок действий один и тот же: сначала $p$ , потом три скобки $p - a$ , $p - b$ , $p - c$ , потом перемножить все четыре числа и извлечь корень. Скобок ровно три — по числу сторон, и в каждой вычитается своя сторона.

Опорное число. Стороны $13$ , $14$ , $15$ : $p = 21$ , скобки дают $8$ , $7$ , $6$ , произведение $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056$ , корень $\sqrt{7056} = 84$ . Держи этот набор в голове как эталон — на нём легко проверить, что вспомнил формулу правильно.

Правило самопроверки. Все три скобки обязаны быть положительными. Если хоть одна вышла нулём или отрицательной — треугольника с такими сторонами не существует, и площадь искать бессмысленно.

Площадь по трём сторонам

Дано: $a = 13\ \text{см}$ , $b = 14\ \text{см}$ , $c = 15\ \text{см}$ .
Полупериметр: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\ \text{см}$ .
Скобки: $p - a = 21 - 13 = 8$ , $p - b = 21 - 14 = 7$ , $p - c = 21 - 15 = 6$ .
Произведение под корнем: $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056$ .
Извлекаем корень: $S = \sqrt{7056} = 84$ .
Ответ: $S = 84\ \text{см}^2$ .

Откуда под корнем берётся неравенство треугольника

Скобка $p - a$ равна $\frac{b + c - a}{2}$ : это половина от того, насколько сумма двух сторон превышает третью. Значит, все три скобки положительны тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других — то есть когда треугольник действительно существует. Формула Герона не просто считает площадь: она заодно проверяет исходные данные на осмысленность.

Неверно

$p = 13 + 14 + 15 = 42$ , дальше $S = \sqrt{42 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}$ — подставили периметр.

Верно

$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ , дальше $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ . В формуле стоит полупериметр: буква $p$ означает половину суммы сторон.

Стороны треугольника — $6$ , $8$ и $10\ \text{см}$ . Найди $p$ , все три скобки и площадь.

показать

$p = 12\ \text{см}$ ; скобки: $12 - 6 = 6$ , $12 - 8 = 4$ , $12 - 10 = 2$ . Тогда $S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24\ \text{см}^2$ .

Проверь себя

мини-тест части 2 · 2 вопроса

Вопрос 1 из 2лёгкий

Стороны треугольника равны $13$ , $14$ и $15\ \text{см}$ . Чему равен его полупериметр $p$ ?

1 из 2

Часть 3 · 12 мин

Через окружности: вписанную и описанную

Две связи, каждая работает в обе стороны

У каждого треугольника есть две особые окружности. Вписанная касается всех трёх сторон изнутри, её радиус обозначают $r$ . Описанная проходит через все три вершины, её радиус — $R$ . Обе связаны с площадью, и обе связи работают в обе стороны: зная площадь, находишь радиус; зная радиус, находишь площадь.

Формула

Теорема 5.4: вписанная окружность

$S = p r$ , и обратно $r = \frac{S}{p}$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S = pr$ (Теорема 5.4). Это одна связь, записанная в две стороны: из неё же выражается радиус — $r = \frac{S}{p}$ .

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия: разрезанная пицца. Соедини центр вписанной окружности $O$ с тремя вершинами — треугольник распадётся на три ломтика. У каждого ломтика основание — сторона треугольника, а высота одна и та же, равная $r$ : радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне. Складываем площади: $\frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = \frac{a + b + c}{2} \cdot r = p r$ .

Мнемоника. «Полупериметр на радиус». В формуле $S = pr$ нет ни высот, ни синусов, ни корней — всего две буквы, самая короткая формула площади в уроке.

Опорное число. Наш треугольник $13$ , $14$ , $15$ : $p = 21\ \text{см}$ , $S = 84\ \text{см}^2$ , значит $r = \frac{84}{21} = 4\ \text{см}$ — ровное, целое число.

Правило самопроверки. Диаметр $2r$ не может быть больше наименьшей высоты треугольника: окружность обязана поместиться внутри. Здесь $2r = 8\ \text{см}$ , а самая короткая высота — $11{,}2\ \text{см}$ , всё сходится.

Вторая окружность — описанная — устроена иначе: она не касается сторон, а проходит через вершины. И связь с площадью у неё другая: в формулу входят все три стороны сразу.

Формула

Теорема 5.3: описанная окружность

$S = \frac{a b c}{4 R}$ , и обратно $R = \frac{a b c}{4 S}$

Площадь $S$ треугольника со сторонами $a$ , $b$ , $c$ и радиусом $R$ описанной окружности вычисляется по формуле $S = \frac{abc}{4R}$ (Теорема 5.3). Перевернув это равенство, получаем рабочий способ искать сам радиус: $R = \frac{abc}{4S}$ .

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия: обруч на трёх колышках. Описанная окружность — обруч, натянутый на три вершины. Чем более приплюснут треугольник (стороны длинные, а площадь маленькая), тем шире приходится делать обруч. Ровно это и написано в формуле $R = \frac{abc}{4S}$ : площадь стоит в знаменателе, поэтому маленькая площадь даёт большой радиус.

Мнемоника: «три стороны сверху, четыре площади снизу». $R = \frac{abc}{4S}$ . А чтобы не путать сами буквы: большая $R$ — большая окружность, она снаружи, по вершинам; маленькая $r$ — маленькая, она внутри, по сторонам.

Опорное число. Для треугольника $13$ , $14$ , $15$ : $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$ . Сравни с $r = 4\ \text{см}$ : внутренняя окружность вдвое меньше внешней.

Правило самопроверки. Радиус описанной окружности не бывает меньше половины самой длинной стороны: любая сторона — хорда этой окружности, а хорда не длиннее диаметра. Здесь $2R = 16{,}25\ \text{см}$ больше $15\ \text{см}$ — сходится.

Оба радиуса одного треугольника

Дано: $a = 13\ \text{см}$ , $b = 14\ \text{см}$ , $c = 15\ \text{см}$ ; площадь уже найдена по Герону: $S = 84\ \text{см}^2$ .
Полупериметр: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\ \text{см}$ .
Вписанная окружность: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\ \text{см}$ .
Описанная окружность: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$ .
Проверка: $2R = 16{,}25\ \text{см}$ больше самой длинной стороны $15\ \text{см}$ — данные не противоречат друг другу.
Ответ: $r = 4\ \text{см}$ , $R = 8{,}125\ \text{см}$ .

Теорема 5.5: не только треугольник

Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности: $S = pr$ (Теорема 5.5). Рассуждение то же, что и с пиццей: соединяем центр со всеми вершинами и получаем столько треугольников, сколько у фигуры сторон. У каждого высота равна $r$ , а сумма оснований — периметр. Для пятиугольника ломтиков пять, для шестиугольника шесть, а итог один и тот же: $S = pr$ .

Неверно

$R = \frac{4S}{abc}$ — «радиус равен четырём площадям, делённым на произведение сторон».

Верно

$R = \frac{abc}{4S}$ — наверху произведение сторон, внизу учетверённая площадь. Проверить легко на опорном треугольнике: $\frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$ — правдоподобный радиус, а перевёрнутая дробь дала бы $0{,}123\ \text{см}$ , что меньше половины любой стороны и потому невозможно.

У треугольника $S = 30\ \text{см}^2$ и $p = 15\ \text{см}$ . Чему равен радиус вписанной окружности?

показать

$r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2\ \text{см}$ .

Проверь себя

мини-тест части 3 · 3 вопроса

Вопрос 1 из 3лёгкий

В треугольнике полупериметр равен $21\ \text{см}$ , а радиус вписанной окружности — $4\ \text{см}$ . Найди площадь.

1 из 3

Часть 4 · 8 мин

От треугольника к четырёхугольнику

Те же две длины и синус угла между ними

Параллелограмм — это два равных треугольника, склеенных по диагонали. Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два треугольника со сторонами $a$ , $b$ и углом $\alpha$ между ними; они равны по трём сторонам. Площадь каждого — $\frac{1}{2} a b \sin \alpha$ , а всего параллелограмма вдвое больше. Половина при удвоении и сокращается.

Формула

Площадь параллелограмма

$S = a b \sin \alpha$

Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними. По сравнению с треугольной формулой множитель $\frac{1}{2}$ исчез — именно потому, что параллелограмм состоит из двух одинаковых треугольников.

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия: раздвижная решётка. Складная сушилка для белья или решётка на окне: планки те же самые, длины не меняются, но стоит наклонить конструкцию — и просвет между планками сжимается. Стороны $a$ и $b$ закреплены, всю площадь определяет угол.

Мнемоника. «У треугольника — половина, у параллелограмма — целое»: $S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ , $S_{\text{пар}} = a b \sin \alpha$ . Запись одна и та же, разница лишь в исчезнувшей половине, потому что фигур-близнецов две.

Опорное число. При $\alpha = 90^\circ$ синус равен единице, и формула превращается в школьное $S = ab$ для прямоугольника. Это лучшая проверка памяти: подставил прямой угол — получил знакомое.

Правило самопроверки. Площадь параллелограмма не может превысить $ab$ : синус не больше единицы. Получилось больше — где-то ошибка.

А если четырёхугольник произвольный: ни параллельных сторон, ни равных углов? Тогда работают не стороны, а диагонали. Они разрезают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, и после сложения их площадей остаётся на удивление короткая формула.

Формула

Площадь четырёхугольника через диагонали

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $\varphi$ — угол между ними.

Ассоциация

Как это запомнить

Бытовая аналогия: два скрещённых карандаша. Положи два карандаша крест-накрест — их длины это $d_1$ и $d_2$ , а угол скрещивания $\varphi$ . Обведи четыре конца — получится четырёхугольник. Какой бы кособокой ни вышла фигура, её площадь зависит ровно от этих трёх чисел.

Мнемоника. Формула — родная сестра треугольной: «половина произведения двух отрезков на синус угла между ними». Там отрезками были стороны, здесь — диагонали.

Опорное число. У квадрата и ромба диагонали перпендикулярны, $\sin 90^\circ = 1$ , и формула сворачивается в знакомое $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ — ту самую формулу площади ромба.

Правило самопроверки. При пересечении диагоналей получаются четыре угла, но брать можно любой: смежные углы дают одинаковый синус ( $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$ ), так что выбором угла ошибиться нельзя.

Параллелограмм по двум сторонам и углу

Дано: соседние стороны $a = 6\ \text{см}$ и $b = 9\ \text{см}$ , угол между ними $\alpha = 30^\circ$ .
Формула: $S = a b \sin \alpha$ — без половины, это не треугольник.
Подставляем: $S = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$ .
Ответ: $S = 27\ \text{см}^2$ .

Четырёхугольник по диагоналям

Дано: $d_1 = 8\ \text{см}$ , $d_2 = 15\ \text{см}$ , угол между диагоналями $\varphi = 150^\circ$ .
Формула: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ .
Синус тупого угла: $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ .
Подставляем: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 30$ .
Ответ: $S = 30\ \text{см}^2$ .

Неверно

Для параллелограмма со сторонами $6$ и $9\ \text{см}$ и углом $30^\circ$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 13{,}5\ \text{см}^2$ .

Верно

$S = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27\ \text{см}^2$ . У параллелограмма множителя $\frac{1}{2}$ нет — он остался в треугольной формуле, а тут треугольников два.

Что дано — ту формулу и бери
Что известно	Формула	Пример из урока
Сторона и высота к ней	$S = \frac{1}{2} a h_a$	$\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84\ \text{см}^2$
Две стороны и угол между ними	$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$	$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20\ \text{см}^2$
Три стороны	$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	$\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\ \text{см}^2$
Полупериметр и вписанная окружность	$S = p r$	$21 \cdot 4 = 84\ \text{см}^2$
Три стороны и описанная окружность	$S = \frac{abc}{4R}$	$\frac{2730}{4 \cdot 8{,}125} = 84\ \text{см}^2$
Параллелограмм: две стороны и угол	$S = a b \sin \alpha$	$6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27\ \text{см}^2$
Четырёхугольник: диагонали и угол	$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$	$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 30\ \text{см}^2$

Диагонали ромба равны $10\ \text{см}$ и $24\ \text{см}$ . Чему равна его площадь?

показать

Диагонали ромба перпендикулярны, $\sin 90^\circ = 1$ , поэтому $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\ \text{см}^2$ .

Проверь себя

мини-тест части 4 · 2 вопроса

Вопрос 1 из 2лёгкий

У параллелограмма $ABCD$ соседние стороны равны $6\ \text{см}$ и $9\ \text{см}$ , а угол $\alpha$ между ними составляет $30^\circ$ . Найди площадь.

1 из 2

Можно, и способ ровно один: формула Герона, которой хватает трёх сторон. Полупериметр $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\ \text{см}$ , дальше $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\ \text{см}^2$ . А как только площадь известна, этот же треугольник отвечает на любые другие вопросы: высота к стороне $14\ \text{см}$ равна $12\ \text{см}$ , радиус вписанной окружности $r = \frac{84}{21} = 4\ \text{см}$ , радиус описанной $R = \frac{2730}{336} = 8{,}125\ \text{см}$ .

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Основная формула — $S = \frac{1}{2} a h_a$ : сторона на свою высоту пополам. Три записи (через $a$ , $b$ или $c$ ) — это одна и та же формула, а не три разные.
Высоты нет, но известен угол между двумя сторонами — бери $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ ; известны одни лишь три стороны — формулу Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ с $p = \frac{a+b+c}{2}$ .
Окружности: вписанная даёт $S = pr$ и $r = \frac{S}{p}$ , описанная — $S = \frac{abc}{4R}$ и $R = \frac{abc}{4S}$ . Большая буква $R$ — большая окружность, она снаружи.
Четырёхугольники: параллелограмм — $S = a b \sin \alpha$ (половины нет), любой выпуклый по диагоналям — $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ .
Эталон для самопроверки: треугольник $13$ , $14$ , $15\ \text{см}$ — $p = 21\ \text{см}$ , $S = 84\ \text{см}^2$ , $h_b = 12\ \text{см}$ , $r = 4\ \text{см}$ , $R = 8{,}125\ \text{см}$ .

Термины урока

Высота треугольника: Перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Обозначается $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ — по той стороне, к которой проведён.
Полупериметр: Половина суммы всех сторон: $p = \frac{a + b + c}{2}$ . Входит в формулу Герона и в формулу $S = pr$ .
Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — способ найти площадь треугольника по трём его сторонам, без высот и углов (Теорема 5.2).
Вписанная окружность: Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника изнутри. Её радиус $r$ связан с площадью равенством $S = pr$ (Теоремы 5.4 и 5.5).
Описанная окружность: Окружность, проходящая через все вершины треугольника. Её радиус $R$ входит в формулу $S = \frac{abc}{4R}$ (Теорема 5.3).
Угол между диагоналями: Угол $\varphi$ , под которым пересекаются диагонали $d_1$ и $d_2$ выпуклого четырёхугольника; входит в формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ .

Шпаргалка

Треугольник

| Что дано | Формула |
| --- | --- |
| сторона и высота к ней | $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ |
| две стороны и угол между ними | $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ |
| три стороны | $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ , где $p = \frac{a + b + c}{2}$ |
| полупериметр и вписанная окружность | $S = p r$ , обратно $r = \frac{S}{p}$ |
| три стороны и описанная окружность | $S = \frac{a b c}{4 R}$ , обратно $R = \frac{a b c}{4 S}$ |

Четырёхугольник

| Что дано | Формула |
| --- | --- |
| параллелограмм: две стороны и угол | $S = a b \sin \alpha$ |
| любой выпуклый: диагонали и угол между ними | $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi$ |
| описанный около окружности многоугольник | $S = p r$ |

Обозначения

$S$ — площадь; $a$ , $b$ , $c$ — стороны; $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ — высоты к сторонам $a$ , $b$ , $c$ ; $\gamma$ , $\alpha$ , $\beta$ — углы; $p$ — полупериметр; $R$ — радиус описанной окружности; $r$ — радиус вписанной; $d_1$ , $d_2$ — диагонали; $\varphi$ — угол между диагоналями.

Эталон для проверки

Треугольник $13$ , $14$ , $15\ \text{см}$ : $p = 21\ \text{см}$ , $S = 84\ \text{см}^2$ , $h_b = 12\ \text{см}$ , $r = 4\ \text{см}$ , $R = 8{,}125\ \text{см}$ .

Синусы, которые нужны чаще всего

$\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ ; $\sin 90^\circ = 1$ ; $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ .

Секретный факт

Герон Александрийский, чьим именем названа формула, жил в первом веке нашей эры и был прежде всего инженером: он описал прообраз паровой турбины, автомат для продажи святой воды и театр самодвижущихся фигурок. Формула площади — побочный результат его работ по практическим измерениям.

Секретный факт

Треугольник со сторонами $13$ , $14$ , $15\ \text{см}$ математики называют героновым: у него и стороны целые, и площадь целая ( $84\ \text{см}^2$ ). Таких треугольников бесконечно много, но встречаются они редко — почти любой набор целых сторон даёт иррациональную площадь.

Секретный факт

Формулу $S = \frac{abc}{4R}$ можно прочитать наоборот: у всех треугольников, вписанных в одну и ту же окружность, отношение произведения сторон к площади одинаково и равно $4R$ — какими бы разными эти треугольники ни были.

Карточки урока

5 карточек · переворачивай и отмечай, что уже знаешь

0 из 5 знаю

1 из 5

Площадь треугольника через сторону и высоту

Показать ответ

Ответ

$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ — сторона умножается на свою высоту, результат делится пополам.

щёлкни карточку, чтобы перевернуть · пробел тоже переворачивает · листают кнопки

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

1 задание по этой теме — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202516

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45^\circ$ , $AB = 6\sqrt{2}$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 61 балл

Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.

Босс урока

10 вопросов по всему уроку

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 10лёгкий

Какого набора данных достаточно, чтобы применить формулу $S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ ?

1 из 10

Тригонометрия — наука об измерении треугольников

готовится

Вневписанная окружность треугольника

готовится