В чем заключается основное отличие непозиционной системы счисления от позиционной?

Количественное значение цифры не зависит от её позиции в записи числа

В ней всегда используется только один символ

В ней нельзя записывать дробные числа

Она использует только буквы латинского алфавита

Что такое «развёрнутая форма записи числа»?

Представление числа в виде суммы произведений цифр на веса разрядов

Запись числа с указанием его основания внизу

Представление числа в виде последовательности остатков от деления

Запись числа в системе счисления с основанием $10$

Какое из преимуществ двоичной системы счисления является ключевым для компьютерной техники?

Надёжность и помехоустойчивость представления данных двумя состояниями

Отсутствие необходимости в математическом аппарате

Удобство восприятия кодов человеком

Компактность записи чисел по сравнению с другими системами

Для чего в программировании используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы?

Для сокращения длины двоичных кодов при их анализе специалистами

Потому что компьютер обрабатывает данные напрямую в этих системах

Это единственные системы, поддерживающие буквы в алфавите

Для выполнения арифметических операций быстрее, чем в двоичной системе

Что представляет собой алфавит шестнадцатеричной системы счисления для значений от $10$ до $15$?

Буквы латинского алфавита от $A$ до $F$

Римские цифры $I, V, X$

Греческие буквы $\alpha, \beta, \gamma$

Специальные символы #, $, %, &

Для чего в компьютерной технике преимущественно используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Для компактной записи двоичных кодов

Для ускорения арифметических вычислений в процессоре

Потому что они являются непозиционными

Для экономии электроэнергии при передаче данных

Какое правило применяется в римской системе счисления, если меньшая цифра стоит слева от большей (например, $IV$)?

Значение меньшей цифры вычитается из большей

Такая запись считается математически неверной

Значения цифр всегда складываются

Цифры перемножаются между собой

Как называется представление числа в виде $A_q = \pm(a_{n-1} \cdot q^{n-1} + a_{n-2} \cdot q^{n-2} + \dots + a_0 \cdot q^0)$?

Экспоненциальная форма записи

Алгоритмическая форма записи

Свёрнутая форма записи

Что необходимо делать на первом шаге алгоритма перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием $q$?

Последовательно делить число на $q$

Умножать число на степени $q$

Представить число в виде суммы степеней двойки

Заменить каждую цифру на её эквивалент в новой системе

Какое из перечисленных достоинств НЕ относится к позиционным системам счисления согласно тексту?

Бесконечное количество символов в алфавите

Возможность записи любых чисел

Ограниченное количество символов

Простота выполнения арифметических операций

Информатика · 8 класс · Системы счисления

Системы счисления

Как из двух состояний — «есть ток» / «нет тока» — получаются любые числа. Разбираемся, что такое система счисления, чем позиционные системы отличаются от непозиционных, как устроены двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и римская системы и как переводить числа между ними и десятичной.

4 частей · 37 минсреднийчитаешь как гость

аудио-обзор «Системы счисления»21:37

00:00 / 21:37на площадке

О чём видео

21:37 · одним куском

Позиционные и непозиционные системы счисления
Двоичная система счисления
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы
Арифметика в двоичной системе и сравнение чисел

Компьютер не умеет писать цифры от 0 до 9 — он различает только «ток есть» и «тока нет», то есть всего два состояния. Как из этих двух состояний получаются вообще любые числа?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

Системы счисления

Общие сведения

Определение

Знаковая система правил записи чисел

Элементы

Цифры

Алфавит

Виды чисел

Узловые

Алгоритмические

Типы систем

Унарная

Один символ (палочки, узелки)

Система бирок

Непозиционные

Значение не зависит от позиции

Примеры: Древнеегипетская, Римская

Позиционные

Значение зависит от позиции

Основание (q)

Развернутая форма записи

Свернутая форма записи

Конкретные позиционные системы

Двоичная (q=2)

Алфавит: 0, 1

Двоичная арифметика

Основа компьютерной техники

Восьмеричная (q=8)

Алфавит: 0-7

Сокращенная запись двоичного кода

Шестнадцатеричная (q=16)

Алфавит: 0-9, A-F

Компактное представление данных

Десятичная (q=10)

Алфавит: 0-9

Методы перевода

В десятичную

Вычисление развернутой формы

Из десятичной в систему q

Последовательное деление на q

Запись остатков в обратном порядке

Применение в ИТ

Надежность и помехоустойчивость

Простота технической реализации

Математический аппарат логики

После урока ты сможешь

Различать позиционные и непозиционные системы счисления, находить основание и алфавит любой системы
Переводить целые числа от 0 до 1024 между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления
Складывать двоичные числа и сравнивать числа, записанные в разных системах счисления

Часть 1 · 10 мин

Позиционные и непозиционные системы счисления

Алфавит, основание и развёрнутая форма записи

Открой калькулятор и набери $19$ — привычная запись, «девятнадцать». А теперь взгляни на $10011$ . Это то же самое число — девятнадцать, — просто записанное по другим правилам, через нолики и единички. Правила, по которым знаки складываются в число, и есть то, что мы сейчас разберём.

Определение

Система счисления — это знаковая система, определяющая правила записи чисел.

Ассоциация

Представь систему счисления как набор правил дорожного движения для чисел: знаки — это «дорожные знаки», а правила говорят, как из них собрать нужное значение. Мнемоническая зацепка: система счисления — это «система счёта», то есть правила записи чисел.

Знаки, которыми записывают числа, называются цифрами, а их полный набор — алфавитом системы счисления. В привычной нам системе алфавит — это десять цифр: от $0$ до $9$ .

Определение

Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Определение

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Самая древняя и самая простая система счисления вообще обходится без разных цифр — в ней один-единственный символ.

Определение

Простейшая и самая древняя система — унарная система счисления: для записи любых чисел используется всего один символ (палочка, узелок, зарубка, камушек); также называется системой бирок.

В унарной системе каждая палочка «весит» одинаково: где её ни поставь, она всё равно значит $1$ . А вот в записи $300$ тройка стоит не $3$ , а $300$ — её значение зависит от того, на каком она месте. Это ключевое различие.

Определение

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры не зависит от её положения (позиции) в записи числа.

Ассоциация

Представь набор одинаковых жетонов: какой бы жетон ни оказался в ряду, он всегда означает одну и ту же единицу. Мнемоническая зацепка: в непозиционной системе «позиция не важна» — место цифры не меняет её значение.

Определение

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.

Ассоциация

Представь шкаф с ящиками единиц, десятков и сотен: одна и та же цифра получает разный вес в зависимости от ящика. Мнемоническая зацепка: в позиционной системе «позиция важна» — место цифры меняет её значение.

Неверно

Основание системы счисления — это самая большая цифра в её алфавите

Верно

Основание — это количество цифр в алфавите: в десятичной системе цифры $0$ – $9$ , всего десять цифр, поэтому основание — $10$ , а не $9$ .

Определение

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Определение

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число $q > 1$ . Алфавитом позиционной системы счисления с основанием $q$ служат числа $0, 1, \ldots, q-1$ , каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является $0$ .

Формула

Развёрнутая форма записи числа (1)

$A_q = \pm(a_{n-1}\cdot q^{n-1} + a_{n-2}\cdot q^{n-2} + \ldots + a_0\cdot q^0)$ — где $A$ — само число, $q$ — основание системы счисления, $a_i$ — цифры из алфавита, $n$ — количество разрядов, а $q^i$ — «вес» $i$ -го разряда.

Ассоциация

Представь кошелёк с разрядами: тысячи, сотни, десятки, единицы. Одна и та же цифра «весит» по-разному в зависимости от места — тройка в разряде сотен стоит $300$ , а в разряде единиц — всего $3$ . Формула (1) — это и есть сумма таких «весов»: каждая цифра умножается на основание в степени своего разряда. Способ запомнить: считай разряды справа налево, начиная с нулевого — самый правый разряд всегда имеет вес $q^0$ , то есть равен просто самой цифре.

Определение

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи.

Определение

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде $\pm a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0$ .

В римской системе счисления используются непозиционные знаки: $I=1$ , $V=5$ , $X=10$ , $L=50$ , $C=100$ , $D=500$ , $M=1000$ . Узловые числа обозначаются отдельными знаками, а остальные получают сложением или вычитанием соседних значений.

Определение

Римская система счисления — непозиционная система, в которой числа записываются знаками $I$ , $V$ , $X$ , $L$ , $C$ , $D$ , $M$ , имеющими значения $1$ , $5$ , $10$ , $50$ , $100$ , $500$ , $1000$ .

Правило

Сложение и вычитание в римской системе

Если меньший знак стоит после большего, его значение прибавляется: $VI=5+1=6$ . Если меньший знак стоит перед большим, его значение вычитается: $IV=5-1=4$ . Поэтому $XIV=10+5-1=14$ , а $XIX=10+10-1=19$ .

Ассоциация

Представь римские знаки как старинные жетоны разного достоинства: жетон справа от более крупного добавляет стоимость, а жетон слева перед ним отнимает. Мнемоническая зацепка: «слева от большего — минус, справа — плюс».

В числе $234$ — сколько «весит» цифра $3$ в этой записи?

показать

$3 \cdot 10^1 = 30$ — она стоит в разряде десятков.

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Как называется совокупность знаков, используемых для записи чисел в конкретной системе счисления?

1 из 3

Часть 2 · 10 мин

Двоичная система счисления

Как компьютер считает всего двумя цифрами

У электронной схемы нет способа надёжно различить десять разных уровней сигнала — зато отличить «есть ток» от «нет тока» она может почти без ошибок. Поэтому компьютерам подходит система, где всего две цифры.

Определение

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1.

Ассоциация

Представь обычный выключатель света: либо горит, либо нет — третьего не дано, только два состояния. В двоичной системе то же самое: на каждом месте может стоять только $0$ или $1$ . Готовая зацепка: двоичная система счисления — «двое»: в алфавите всего две цифры, $0$ и $1$ .

Формула

Развёрнутая форма для двоичного числа (1')

$a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0 = a_{n-1}\cdot 2^{n-1} + a_{n-2}\cdot 2^{n-2} + \ldots + a_0\cdot 2^0$ — та же формула (1), но $q=2$ .

Переводим двоичное число в десятичное

Берём число $10011_2$ и подписываем вес каждого разряда справа налево: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4$
Умножаем каждую цифру на её вес: $1\cdot2^4 + 0\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0$
Нулевые слагаемые пропадают: $2^4 + 2^1 + 2^0$
Складываем: $16 + 2 + 1 = 19$
Ответ: $10011_2 = 19_{10}$

Правило

Перевод десятичного числа в систему с основанием

q

1) последовательно делить число и получаемые целые частные на основание новой системы счисления до частного, равного нулю; 2) полученные остатки привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего полученного остатка.

Переводим десятичное число в двоичное

Берём $11_{10}$ и делим на $2$ : $11 : 2 = 5$ , остаток $1$
Делим частное $5$ на $2$ : $5 : 2 = 2$ , остаток $1$
Делим частное $2$ на $2$ : $2 : 2 = 1$ , остаток $0$
Делим частное $1$ на $2$ : $1 : 2 = 0$ , остаток $1$ — частное стало нулём, останавливаемся
Читаем остатки снизу вверх: $1, 0, 1, 1$
Ответ: $11_{10} = 1011_2$

Неверно

$10_2$ — это число «десять»

Верно

$10_2 = 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0 = 2_{10}$ — индекс внизу указывает основание, и это не «десять», а «два».

К числу $111_2$ прибавили единицу. Что получится, если рассуждать так же, как $999+1=1000$ ?

показать

$1000_2$ — перенос происходит во все разряды сразу, ровно как в десятичной системе при переходе через $999$ .

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Чему равен десятичный эквивалент двоичного числа $10011_2$ ?

1 из 2

Часть 3 · 10 мин

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Зачем нужны ещё системы и как переводить между ними

Запись двоичного числа быстро становится длинной и неудобной для чтения человеком. Чтобы сократить запись, придумали системы с основанием $8$ и $16$ — они тесно связаны с двоичной.

Определение

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ассоциация

Представь, что в двоичном коде цифры собрали в тройки, как слова разбивают на слоги — так читать проще. Готовая зацепка: восьмеричная система счисления — восемь цифр: от $0$ до $7$ .

Формула

Развёрнутая форма для восьмеричного числа (1'')

$a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0 = a_{n-1}\cdot 8^{n-1} + a_{n-2}\cdot 8^{n-2} + \ldots + a_0\cdot 8^0$ — та же формула (1), но $q=8$ .

Переводим восьмеричное число в десятичное

Берём $1063_8$ и подписываем веса разрядов: $8^3, 8^2, 8^1, 8^0$
Умножаем: $1\cdot8^3 + 0\cdot8^2 + 6\cdot8^1 + 3\cdot8^0$
Считаем: $512 + 0 + 48 + 3$
Ответ: $1063_8 = 563_{10}$

Определение

Шестнадцатеричная система счисления: основание $q=16$ , алфавит $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$ . Для цифр с десятичными эквивалентами $10$ – $15$ используются первые пять букв латинского алфавита.

Ассоциация

Как только цифр $0$ – $9$ не хватает, в ход идут буквы — $A$ значит $10$ , $B$ — $11$ и так далее до $F$ , что равно $15$ . Готовая зацепка: шестнадцатеричная система счисления — шестнадцать знаков: $0$ – $9$ и $A$ – $F$ .

Переводим шестнадцатеричное число в десятичное

Берём $3AF_{16}$ ; помним, что $A=10$ , $F=15$
Подписываем веса: $16^2, 16^1, 16^0$
Умножаем: $3\cdot16^2 + 10\cdot16^1 + 15\cdot16^0$
Считаем: $768 + 160 + 15$
Ответ: $3AF_{16} = 943_{10}$

Переводим десятичное число в восьмеричное и шестнадцатеричное

Тот же способ деления с остатком, что и для двоичной, но делим на $8$ или на $16$
$103_{10}$ : делим на $8$ раз за разом, читаем остатки снизу вверх — получаем $147_8$
Для $154_{10}$ первое деление: $154 : 16 = 9$ , остаток $10$ , то есть $A$
Делим полученное частное: $9 : 16 = 0$ , остаток $9$ ; частное стало нулём, останавливаемся
Читаем остатки снизу вверх: $9$ , затем $A$ — получаем $9A_{16}$

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы удобны ещё и тем, что переводятся в двоичную без всякого деления — простой группировкой битов.

Группируем биты: из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную

Берём уже знакомое число $10011_2 = 19_{10}$
Для перевода в восьмеричную разбиваем на группы по 3 бита справа налево, при нехватке дополняем нулями слева: $010\ 011$
Каждую тройку переводим в одну восьмеричную цифру: $010 = 2$ , $011 = 3$ — получаем $23_8$
Проверка: $23_8 = 2\cdot8 + 3 = 19_{10}$ — совпадает
Для перевода в шестнадцатеричную разбиваем на группы по 4 бита: $0001\ 0011$
Каждая четвёрка — одна шестнадцатеричная цифра: $0001 = 1$ , $0011 = 3$ — получаем $13_{16}$
Проверка: $13_{16} = 1\cdot16 + 3 = 19_{10}$ — совпадает

Переводим из восьмеричной и шестнадцатеричной в двоичную

Каждую восьмеричную цифру заменяем трёхбитовой группой: $23_8 = 010\ 011_2 = 10011_2$ ; начальный ноль можно убрать
Каждую шестнадцатеричную цифру заменяем четырёхбитовой группой: $13_{16} = 0001\ 0011_2 = 10011_2$ ; начальные нули можно убрать
Правило: одна цифра в системе с основанием $8$ соответствует трём битам, а одна цифра в системе с основанием $16$ — четырём битам

Переводим шестнадцатеричное число в восьмеричное и обратно

Переводим $2F_{16}$ в двоичную: $2F_{16} = 0010\ 1111_2 = 101111_2$
Группируем двоичную запись по 3 бита справа налево: $101\ 111_2$ — получаем $57_8$
Для обратного перевода $57_8$ заменяем цифры группами: $5=101$ , $7=111$ , поэтому $57_8 = 101111_2 = 2F_{16}$

Перевод чисел между системами счисления

A_q = a_4\cdot q^4 + a_3\cdot q^3 + a_2\cdot q^2 + a_1\cdot q^1 + a_0\cdot q^0

Основание системы счисления

Цифра 4-го разряда

Цифра 3-го разряда

Цифра 2-го разряда

Цифра 1-го разряда

Цифра 0-го разряда

Десятичное значение числа

Решение19

Что больше: $101_2$ или $6_8$ ?

показать

$101_2 = 5_{10}$ , а $6_8 = 6_{10}$ — значит $6_8$ больше. Проще всего сравнивать числа из разных систем, переведя оба в десятичную.

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Какое из утверждений о представлении цифр в шестнадцатеричной системе счисления верно?

1 из 2

Часть 4 · 7 мин

Арифметика в двоичной системе и сравнение чисел

Складываем, умножаем и сравниваем без ошибок

В двоичной системе всего две цифры, поэтому сложение устроено даже проще, чем в десятичной, — надо запомнить всего одно правило переноса.

Формула

Правило двоичного сложения

$1 + 1 = 10_2$ : в младший разряд пишем $0$ , а единица переносится в старший разряд.

Ассоциация

Это работает точно как в десятичной системе при переходе через десяток: $9 + 1 = 10$ — пишем $0$ , единицу переносим влево. В двоичной «десяток» наступает уже после $1+1$ , а не после $9+1$ . Способ запомнить: если при сложении цифр в столбик получилась сумма $2$ (то есть $1+1$ ) — пиши $0$ и неси единицу дальше, как обычный перенос через разряд.

Складываем двоичные числа

Складываем $101_2$ и $11_2$ в столбик, выравнивая по правому краю: $101 + 011$
Младший разряд: $1+1=10_2$ — пишем $0$ , переносим $1$
Следующий разряд: $0+1+1(\text{перенос})=10_2$ — пишем $0$ , переносим $1$
Следующий разряд: $1+0+1(\text{перенос})=10_2$ — пишем $0$ , переносим $1$
Старший разряд: только перенос $1$ — пишем $1$
Ответ: $101_2 + 11_2 = 1000_2$

Умножение ещё проще: $0\cdot0=0$ , $0\cdot1=0$ , $1\cdot1=1$ — то есть результат ненулевой только там, где обе цифры — единицы.

Умножаем двоичные числа

Умножаем $11_2$ на $10_2$
По разрядам множителя $10_2$ : на месте $0$ — строка нулей, на месте $1$ (со сдвигом на один разряд влево) — сама строка $11_2$
Складываем строки со сдвигом: $110_2$
Ответ: $11_2 \cdot 10_2 = 110_2$ (проверка в десятичной: $3\cdot2=6$ , а $110_2 = 6_{10}$ — совпадает)

Почему именно двоичная система в технике

В компьютерной технике используется двоичная система счисления: двоичные числа представляются с помощью технических элементов с двумя устойчивыми состояниями; представление посредством двух состояний надёжно и помехоустойчиво; двоичная арифметика наиболее проста; существует математический аппарат для логических преобразований двоичных данных. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы применяются для сокращённой (в три и четыре раза соответственно) записи двоичных кодов.

Не считая точно: число, у которого в двоичной записи 10 разрядов, — оно больше или меньше тысячи?

показать

Однозначно определить нельзя: 10-разрядные двоичные числа лежат в диапазоне от $1000000000_2 = 512_{10}$ до $1111111111_2 = 1023_{10}$ , поэтому конкретное число может быть меньше или больше тысячи. Самое маленькое 11-разрядное двоичное число равно $10000000000_2 = 1024_{10}$ .

Проверь себя

мини-тест части 4 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 1средний

Чему равен результат сложения $1_2 + 1_2$ в двоичной системе счисления?

Электронная схема надёжно различает только два состояния — «есть ток» и «нет тока». Это и есть цифры $0$ и $1$ двоичной системы. Дальше работает та же позиционная идея, что и в десятичной системе: каждый разряд имеет свой «вес» — $2^0, 2^1, 2^2$ и так далее. Складывая эти веса по формуле (1'), из двух простых состояний можно собрать абсолютно любое число, а через кодировки — и буквы, и цвета, и звук.

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Позиционная система — значение цифры зависит от её места в записи; непозиционная — нет
Основание $q$ — это число цифр в алфавите: $2$ у двоичной, $8$ у восьмеричной, $16$ у шестнадцатеричной
Любое число раскладывается по весам разрядов: $A_q = a_{n-1}q^{n-1} + \ldots + a_0q^0$
Перевод в десятичную — подставить веса разрядов и сложить; перевод из десятичной — делить на основание и собрать остатки снизу вверх
В двоичном сложении $1+1=10_2$ — перенос в старший разряд, точно как $9+1=10$ в десятичной

Термины урока

Система счисления

Знаковая система, определяющая правила записи чисел.

Алфавит системы счисления

Совокупность знаков (цифр), с помощью которых записываются числа.

Основание

Количество цифр в алфавите позиционной системы счисления.

Непозиционная система

Система, в которой количественный эквивалент цифры не зависит от её позиции в записи числа.

Позиционная система

Система, в которой количественный эквивалент цифры зависит от её позиции в записи числа.

Развёрнутая форма

Запись числа как суммы цифр, умноженных на веса разрядов: $A_q=a_{n-1}q^{n-1}+\ldots+a_0q^0$ .

Свёрнутая форма

Обычная запись числа подряд идущими цифрами: $\pm a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0$ .

Двоичная система

Позиционная система с основанием 2, использует цифры 0 и 1.

Восьмеричная система

Позиционная система с основанием 8, использует цифры 0–7.

Шестнадцатеричная система

Позиционная система с основанием 16, использует цифры 0–9 и буквы A–F.

Шпаргалка

Формулы

$A_q=a_{n-1}q^{n-1}+\ldots+a_0q^0$

сумма цифр на веса разрядов — перевод в десятичную

$1+1=10_2$

перенос единицы в следующий разряд

Алфавиты систем

Двоичная ( $q=2$ ): цифры 0, 1
Восьмеричная ( $q=8$ ): цифры 0–7
Шестнадцатеричная ( $q=16$ ): цифры 0–9, A–F (10–15)

Перевод из десятичной в систему с основанием

q

1: делим число на $q$ , запоминаем остаток
2: делим получившееся частное на $q$ снова
3: повторяем, пока частное не станет 0; остатки снизу вверх — ответ

Три системы рядом

	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
Основание	2	8	16
Цифр в алфавите	2	8	16
1 цифра заменяет	1 бит	3 бита	4 бита

Секретный факт

Компьютеры считают в двоичной системе не потому, что так удобнее людям, а потому что электронным схемам проще надёжно различать только два состояния — «есть ток» и «нет тока»: так меньше шансов на ошибку из-за помех.

Секретный факт

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы придумали не для процессора, а для человека: одна восьмеричная цифра заменяет ровно три двоичных, а шестнадцатеричная — четыре, поэтому длинный двоичный код читается втрое-вчетверо короче.

Секретный факт

Самая старая система счисления в мире — унарная: одна палочка, один узелок, один камешек — один и тот же принцип счёта, независимо изобретённый задолго до появления привычных цифр.

Повторялка

осталось ещё 65 · круг ≈ 16 мин

Вопрос1/65

Как называется знаковая система, определяющая правила записи чисел?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/65

Система счисления

отметь: знал или нет

выучено0%

ОГЭ

Переведите десятичное число $103$ в восьмеричную систему счисления по правилу деления с остатком и укажите, сколько цифр в получившейся записи.

Босс урока

случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 8трудный

Как называется система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от её позиции в записи числа?

1 из 8

Конспект

весь параграф сжатым текстом — для повторения перед контрольной

Системы счисления: Комплексное учебное руководство

Это руководство представляет собой синтез теоретических основ, математических правил и практических заданий по теме «Системы счисления». Оно предназначено для глубокого изучения способов записи чисел, методов их перевода между различными системами и основ двоичной арифметики.

1. Основные теоретические концепции

Понятие системы счисления

Система счисления — это знаковая система, определяющая правила записи чисел.

Цифры — это знаки, с помощью которых записываются числа.
Алфавит — совокупность всех цифр системы счисления.
Узловые числа — числа, служащие для обозначения самих цифр.
Алгоритмические числа — все остальные числа, получаемые из узловых в результате определенных операций.

Классификация систем счисления

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел.

Тип системы · Описание · Примеры

Унарная (система бирок) — Самая древняя система. Для записи используется всего один символ (палочка, узелок). Длина записи прямо связана с величиной числа.; Зарубки на кости, камушки.
Непозиционная — Количественное значение цифры не зависит от её позиции в записи числа. Числа образуются путем сложения или вычитания узловых чисел.; Римская система (I, V, X, L, C, D, M), Древнеегипетская система.
Позиционная — Количественный эквивалент цифры зависит от её положения (разряда) в записи числа.; Десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы.

Параметры позиционных систем

Основание ( $q$ ): Любое натуральное число $q > 1$ , равное количеству цифр в алфавите.
Алфавит: Числа от $0$ до $q-1$ . Младшая цифра — всегда $0$ .
Развернутая форма записи: Представление числа в виде суммы произведений цифр на «веса» соответствующих разрядов ( $q^i$ ).

- Формула: $A_q = \pm(a_{n-1} \cdot q^{n-1} + a_{n-2} \cdot q^{n-2} + \dots + a_0 \cdot q^0)$

Свернутая форма записи: Привычное представление числа в виде последовательности цифр ( $\pm a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1a_0$ ).

2. Обзор ключевых позиционных систем

Двоичная система ( $q=2$ )

Алфавит: 0, 1.
Применение: Основа компьютерной техники. Представление данных через два устойчивых состояния надежно и помехоустойчиво.
Пример: $10011_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 19_{10}$ .

Восьмеричная ( $q=8$ ) и Шестнадцатеричная ( $q=16$ ) системы

Алфавиты:
- Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Шестнадцатеричная: 0–9 и латинские буквы A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).
Применение: Используются специалистами для сокращенной записи двоичных кодов (длина кода уменьшается в 3 и 4 раза соответственно).
Пример шестнадцатеричной записи: $3AF_{16} = 3 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 943_{10}$ .

3. Алгоритмы перевода чисел

Перевод в десятичную систему

Для перевода из системы с основанием $q$ в десятичную необходимо записать число в развернутой форме и вычислить значение полученного выражения.

Перевод из десятичной системы в систему с основанием $q$

Последовательно делить исходное целое число и получаемые частные на основание $q$ до тех пор, пока частное не станет равным нулю.
Выписать полученные остатки, приведя их в соответствие с алфавитом новой системы.
Составить искомое число, записывая остатки в обратном порядке (начиная с последнего).

4. Двоичная арифметика

Арифметика в двоичной системе крайне проста и сводится к базовым таблицам:

Сложение:

$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 10$ (0 остается в разряде, 1 переносится в старший)

Умножение:

$0 \times 0 = 0$
$0 \times 1 = 0$
$1 \times 0 = 0$
$1 \times 1 = 1$
Процесс умножения сводится к сдвигам множимого и последующему сложению.

5. Глоссарий важных терминов

Алфавит системы счисления — Совокупность всех символов (цифр), используемых для записи чисел в данной системе.
Основание ( $q$ ) — Количество цифр в алфавите позиционной системы счисления.
Разряд — Позиция цифры в записи числа.
Вес разряда — Значение, равное основанию системы, возведенному в степень, соответствующую номеру позиции ( $q^i$ ).
Развернутая форма записи — Запись числа в виде суммы произведений цифр на веса их разрядов.
Свернутая форма записи — Представление числа в виде последовательности его цифр (позиционная запись).
Система бирок — Другое название унарной системы счисления.

6. Тест для самопроверки (короткие ответы)

Как называется система счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее позиции?
Какое минимальное натуральное число может быть основанием позиционной системы счисления?
Переведите число $11_{10}$ в двоичную систему.
Чему равен десятичный эквивалент числа $101010_2$ ?
Какие латинские буквы используются в алфавите шестнадцатеричной системы и какие десятичные значения они имеют?
Выполните сложение в двоичной системе: $1010 + 1010$ .
Для какой цели программисты используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы вместо двоичной?

7. Темы для эссе и дискуссий

«Преимущества двоичной системы счисления в компьютерной архитектуре». Исследуйте причины, по которым электронные устройства используют именно два состояния для хранения и обработки данных. Затроньте вопросы помехоустойчивости и простоты аппаратной реализации.
«Анатомическое происхождение систем счисления». Проанализируйте, почему системы с основаниями 5, 10, 12 и 20 считаются связанными с физиологией человека.
«Эволюция записи чисел: от унарной системы до современных позиционных кодов». Опишите исторический путь развития систем счисления, выделяя недостатки непозиционных методов и революционность позиционного принципа.
«Роль непозиционных систем в современной культуре». Где и почему мы до сих пор используем римскую систему счисления, несмотря на сложность выполнения арифметических операций в ней?

Таблица понятий

термин, определение и пример в одном месте

термин	определение	пример	Источник
Система счисления	Знаковая система (способ записи чисел), определяющая правила записи чисел с помощью определенного набора знаков.	Двоичная, десятичная, восьмеричная, римская системы.	[1-3]
Позиционная система счисления	Система, в которой количественный эквивалент (значение) цифры зависит от её положения (позиции/разряда) в записи числа.	Число 14351 в десятичной системе; 10011_2 ; в числе 555 цифры имеют разный вес.	[1-3]
Непозиционная система счисления	Система, в которой количественное значение цифры не зависит от её положения в записи числа.	Римская система (числа XIII , XXI ); унарная система (система бирок).	[1-3]
Алфавит системы счисления	Совокупность всех знаков (цифр, букв), используемых для записи чисел в данной системе.	\{0, 1\} для двоичной системы.	[1-3]
Основание системы счисления	Количество цифр (различных знаков), составляющих алфавит позиционной системы счисления; любое натуральное число q > 1 .	q = 2 для двоичной системы, q = 10 для десятичной, q = 16 для шестнадцатеричной.	[1-3]
Цифра	Знаки, с помощью которых записываются числа.	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в десятичной системе.	[1, 2]
Узловые числа	Числа, используемые для обозначения ключевых величин в системе счисления, для обозначения которых используются отдельные цифры.	I, V, X, L, C, D, M в римской системе; 0, 1, 2 в десятичной системе.	[1, 2]
Алгоритмические числа	Числа, которые получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.	Число III в римской системе; число 10 в десятичной системе.	[1, 2]
Развёрнутая форма записи числа	Запись числа в виде суммы произведений значений цифр на веса соответствующих разрядов (степени основания системы счисления).	$1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$ ; $A_q = a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_0 \cdot q^0$ ; $101 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$	[1-3]
Свёрнутая форма записи числа	Представление числа в виде последовательности цифр (привычная форма записи).	14351 ; $\pm a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1a_0$	[1, 2]
Двоичная система счисления	Позиционная система счисления с основанием 2 , использующая цифры 0 и 1 .	10011_2 , 1011_2 , 10101_2	[1-3]
Восьмеричная система счисления	Позиционная система счисления с основанием 8 , использующая цифры от 0 до 7 .	1063_8 , 175_8	[1, 3]
Шестнадцатеричная система счисления	Позиционная система счисления с основанием 16 , использующая цифры 0 – 9 и латинские буквы A – F .	$3AF_{16} , 1A_{16}$	[1-3]
Унарная система счисления	Простейшая система счисления, использующая только один символ для записи чисел.	Палочки, зарубки, камушки.	[2]
Арифметические операции в двоичной системе	Правила сложения и умножения двоичных чисел на основе таблицы истинности.	1 + 1 = 10	[3]