При каких натуральных значениях $n$ выражение $\frac{n + 6}{n}$ принимает целые значения?

При любых натуральных $n$

Упростите выражение $\frac{y^2 + y}{(y - 6)(y + 2)} + \frac{y + 36}{(6 - y)(y + 2)}$.

$\frac{y^2 + 2y + 36}{(y - 6)(y + 2)}$

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Name: аудио-обзор «Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями»
Uploaded: 2026-09-17T13:52:41.829Z
Duration: 347 s
Description: Учимся складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели совпадают: работаем только с числителями, а знаменатель остаётся неизменным.

Учимся складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели совпадают: работаем только с числителями, а знаменатель остаётся неизменным.

3 частей · 20 минлёгкийчитаешь как гость

аудио-обзор «Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями»05:47

00:00 / 05:47на площадке

О чём видео

05:47 · одним куском

Сложение дробей с одинаковым знаменателем
Вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Упрощаем результат и помним про ОДЗ

Дробь $\frac{7}{x-2}$ выглядит страшнее, чем обычная $\frac{7}{5}$ — а складывать такие дроби с одинаковым знаменателем на самом деле даже проще, чем числовые дроби с разными знаменателями. Почему тут не нужен общий знаменатель?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

Дроби с одинаковым знаменателем

Основные правила

Сложение

Сложить числители

Знаменатель оставить прежним

Формула: (a/c) + (b/c) = (a+b)/c

Вычитание

Вычесть числители

Знаменатель оставить прежним

Формула: (a/c) - (b/c) = (a-b)/c

Алгоритм преобразования

Раскрытие скобок в числителе

Приведение подобных слагаемых

Сокращение дроби

Смена знака в знаменателе

Программные требования

Допустимые значения переменных

Основное свойство дроби

Область определения

Вычисление значения дроби

Типы задач

Упрощение выражений

Доказательство тождеств

Выделение целой части

Поиск целых значений выражения

Текстовые задачи (скорость, расстояние)

Свойства выражений

Независимость от значения переменной

Доказательство положительности/отрицательности

Нахождение экстремумов

После урока ты сможешь

Складывать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями
Вычитать рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, не теряя знак у числителя
Приводить подобные слагаемые в числителе после сложения/вычитания и указывать недопустимые значения переменной

Часть 1 · 7 мин

Сложение дробей с одинаковым знаменателем

Складываем только числители

Если знаменатели у двух дробей одинаковые, дробь уже «нарезана» на одинаковые кусочки — осталось только сосчитать их. $\frac{a}{c}$ — это $a$ кусков размера $c$ -х долей, $\frac{b}{c}$ — ещё $b$ таких же кусков.

Формула

Правило сложения

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Ассоциация

Представь пиццу, разрезанную на $c$ одинаковых кусков. Съели $a$ кусков утром и $b$ кусков вечером — всего съедено $a+b$ кусков, а размер каждого куска (знаменатель) не изменился. Так же ведут себя и дроби с буквами: буквы — просто «номера кусочков», сама нарезка $c$ не трогается.

Способ запомнить (самопроверка): у ответа знаменатель должен быть точно таким же, как у исходных дробей. Появился новый знаменатель — где-то ошибка.

Складываем числовую и буквенную дробь

$\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}$ — знаменатель $9$ не тронули, сложили только числители.
$\frac{3x}{x+1} + \frac{2}{x+1} = \frac{3x+2}{x+1}$ — та же логика: знаменатель $x+1$ остаётся, в числителе получаем $3x+2$ .

Прикинь в уме: чему равно $\frac{4}{7}+\frac{1}{7}$ ?

показать

$\frac{5}{7}$ — числители $4$ и $1$ сложили, знаменатель $7$ оставили без изменений.

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое из следующих утверждений верно описывает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями?

1 из 3

Часть 2 · 8 мин

Вычитание дробей с одинаковым знаменателем

Осторожно со скобками

Вычитание работает по тому же принципу, но здесь легко ошибиться со знаком, если числитель второй дроби — не одно число, а целое выражение.

Формула

Правило вычитания

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тот же.

Ассоциация

Та же пицца из $c$ кусков: было $a$ кусков, у тебя забрали $b$ кусков — осталось $a-b$ кусков того же размера $c$ .

Способ запомнить (самопроверка): если числитель второй дроби — сумма из нескольких букв, при вычитании он берётся в скобки целиком, а минус раскрывается на каждое слагаемое: $-(x+2) = -x-2$ , а не $-x+2$ . Забыл скобки — потерял знак.

Неверно

$\frac{5x}{x+3} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{5x - x - 2}{x+3}$

Верно

$\frac{5x}{x+3} - \frac{x-2}{x+3} = \frac{5x - (x-2)}{x+3} = \frac{5x - x + 2}{x+3} = \frac{4x+2}{x+3}$

Вычитаем дроби с буквенным числителем

$\frac{7}{y} - \frac{3}{y} = \frac{7-3}{y} = \frac{4}{y}$
$\frac{2x+1}{x-5} - \frac{x-4}{x-5} = \frac{(2x+1)-(x-4)}{x-5} = \frac{2x+1-x+4}{x-5} = \frac{x+5}{x-5}$

Прикинь: $\frac{9}{n} - \frac{4}{n}$ — что получится?

показать

$\frac{5}{n}$ — вычли числители, знаменатель $n$ оставили.

Сложение и вычитание рядом
	Сложение	Вычитание
Что делаем с числителями	складываем $a+b$	вычитаем $a-b$
Знаменатель	не меняется ( $c$ )	не меняется ( $c$ )
Частая ошибка	почти не бывает	забыть скобки вокруг числителя второй дроби

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Как правильно выполнить вычитание $\frac{a}{c} - \frac{b - d}{c}$ ?

1 из 3

Часть 3 · 5 мин

Упрощаем результат и помним про ОДЗ

Подобные слагаемые и недопустимые значения

После сложения или вычитания в числителе часто можно привести подобные слагаемые и получить более простой ответ. А ещё важно помнить: знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю — значения переменной, при которых это происходит, называются недопустимыми (область допустимых значений, ОДЗ).

Приводим подобные в числителе

$\frac{3x+4}{x-1} + \frac{x-4}{x-1} = \frac{3x+4+x-4}{x-1} = \frac{4x}{x-1}$
Здесь важно: $x \ne 1$ , иначе знаменатель $x-1$ обратится в нуль и дробь потеряет смысл.

В дроби $\frac{5}{x+2}$ какое значение $x$ недопустимо?

показать

$x = -2$ — при нём знаменатель $x+2$ равен $0$ .

Кстати: умение уверенно складывать и вычитать дроби с одинаковым знаменателем — первый шаг к заданиям ОГЭ на дробно-рациональные неравенства (№20), где несколько дробей сначала собирают в одну, а потом уже решают неравенство.

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

При каком условии можно складывать рациональные дроби по формуле $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ ?

1 из 3

Общий знаменатель не нужен, потому что он у дробей уже общий: обе дроби разбиты на кусочки одинакового размера $c$ (или $x-2$ , если это буквы). Остаётся только посчитать сами кусочки — сложить или вычесть числители, а знаменатель просто переписать без изменений: $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ .

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Одинаковые знаменатели складываются и вычитаются без поиска общего знаменателя — работаем только с числителями.
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ , а $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$ .
При вычитании числитель второй дроби берётся в скобки целиком, чтобы не потерять знак.
Знаменатель в ответе всегда совпадает с исходным — это способ проверить себя.
Значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, недопустимы (ОДЗ).

Термины урока

Рациональная дробь

Дробь вида $\frac{a}{c}$ , где $a$ и $c$ — числа или алгебраические выражения, $c \ne 0$ .

Числитель

Верхняя часть дроби — то, что складывается или вычитается при одинаковых знаменателях.

Знаменатель

Нижняя часть дроби — при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями остаётся без изменений.

ОДЗ (область допустимых значений)

Значения переменной, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Шпаргалка

Формулы

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

сложение — сложить числители

$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$

вычитание — вычесть числители

Проверка себя

Знаменатель ответа: совпадает с исходным
Числитель при вычитании: берётся в скобках целиком
ОДЗ: знаменатель $\ne 0$

Сложение vs вычитание

	Сложение	Вычитание
Числители	$a+b$	$a-b$
Опасность	почти нет	потерять знак без скобок

Секретный факт

Слово «дробь» появилось от того, что число буквально «дробится» на части: числитель показывает, сколько частей взяли, знаменатель — как назван размер каждой части.

Секретный факт

Дробная черта — это застывший знак деления: $\frac{a}{c}$ означает то же самое, что $a : c$ , только записано горизонтально.

Повторялка

осталось ещё 55 · круг ≈ 14 мин

Вопрос1/55

Как сформулировать правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/55

Нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

3 задания по теме «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202720

Решите неравенство $x \le \frac{9}{x}$ .

Задание ОГЭ 2027 года, номер 20 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202620

Решите систему уравнений $\begin{cases} (x - 6)(y - 7) = 0, \\ \dfrac{y - 4}{x + y - 10} = 3. \end{cases}$

Задание ОГЭ 2026 года, номер 20 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202520

Решите неравенство $-\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0$ .

Задание ОГЭ 2025 года, номер 20 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

Задание экзамена здесь появится в старших классах — сначала формула, экзамен потом.

Босс урока

случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 8трудный

Какое из следующих равенств верно описывает правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями?

1 из 8

Конспект

весь параграф сжатым текстом — для повторения перед контрольной

Учебное пособие: Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Данное пособие систематизирует знания о рациональных дробях, правилах их сложения и вычитания при наличии общих знаменателей, а также методах преобразования сложных алгебраических выражений.

1. Основные концепции и правила

Определение и правила операций

Рациональные дроби складываются и вычитаются по тем же правилам, что и обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

Сложение: Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
- Формула: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
Вычитание: Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.
- Формула: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

Важные аспекты преобразований

Изменение знака: Если знаменатели дробей отличаются только знаками (например, $2a - 1$ и $1 - 2a$ ), необходимо использовать тождество $1 - 2a = -(2a - 1)$ , чтобы привести их к общему виду.
Упрощение результата: Полученную после сложения или вычитания дробь часто можно сократить, используя основное свойство дроби и формулы сокращенного умножения (например, разность квадратов или квадрат разности).
Представление в виде целого выражения: Дробь вида $\frac{2n^2 + 3n - 15}{n}$ можно представить как сумму или разность целого и дробного выражений путем почленного деления числителя на знаменатель: $2n + 3 - \frac{15}{n}$ .

2. Алгоритмы решения типовых задач

Пример 1: Вычитание с последующим упрощением

При выполнении вычитания $\frac{y^2 + 2y}{y^2 - 25} - \frac{12y - 25}{y^2 - 25}$ :

Записываем разность числителей под общим знаменателем: $\frac{y^2 + 2y - (12y - 25)}{y^2 - 25}$ .
Раскрываем скобки: $\frac{y^2 + 2y - 12y + 25}{y^2 - 25} = \frac{y^2 - 10y + 25}{y^2 - 25}$ .
Применяем формулы сокращенного умножения: $\frac{(y - 5)^2}{(y + 5)(y - 5)}$ .
Сокращаем дробь: $\frac{y - 5}{y + 5}$ .

Пример 2: Нахождение значений при условии

Если известно значение отношения переменных (например, $\frac{m}{n} = -3$ ), то для нахождения значения выражения $\frac{2m + n}{m}$ следует:

Разложить дробь на слагаемые: $\frac{2m}{m} + \frac{n}{m} = 2 + \frac{n}{m}$ .
Найти обратное значение: если $\frac{m}{n} = -3$ , то $\frac{n}{m} = -\frac{1}{3}$ .
Вычислить результат: $2 - \frac{1}{3} = 1 \frac{2}{3}$ .

3. Краткий тест (Short-answer quiz)

Ответьте на вопросы, опираясь на правила работы с рациональными дробями:

Сформулируйте правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Какое действие необходимо выполнить в первую очередь при упрощении выражения $\frac{x-7y}{xy} - \frac{x-4y}{xy}$ ?
Как изменится знак перед дробью, если изменить знак в её знаменателе на противоположный?
Чему равно значение выражения $\frac{a^2}{a+3} - \frac{9}{a+3}$ после максимально возможного упрощения?
При каких натуральных значениях $n$ выражение $\frac{n+6}{n}$ будет принимать целые значения?

4. Темы для глубокого изучения и эссе

Используйте данные вопросы для аналитической работы и подготовки развернутых ответов:

Анализ зависимости значения выражения от переменной. На примере выражения $\frac{17y + 5}{21y - 3} - \frac{9 - 11 y}{21y - 3}$ докажите, что результат операции может не зависеть от значения переменной $y$ . Какие условия должны выполняться в числителе и знаменателе для достижения такого результата?
Метод выделения целой части из рациональной дроби. Опишите алгоритм представления дроби $\frac{2n^2 + 3n - 15}{n}$ в виде суммы целого и дробного выражений. Объясните практическую значимость этого метода для поиска натуральных значений переменных, при которых дробь становится целым числом.
Исследование знака рационального выражения. На основе примера $\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4}$ объясните, как доказать, что выражение принимает только положительные значения при всех допустимых значениях переменной. Какую роль в этом играет четная степень в знаменателе?

5. Глоссарий

Алгебраическая дробь — Выражение вида $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ — многочлены.
Допустимые значения переменных — Значения переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю (область определения выражения).
Основное свойство дроби — Возможность умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение, что позволяет сокращать дроби.
Рациональная дробь — Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами; частный случай алгебраического выражения.
Тождество — Равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Сокращение дроби — Процесс деления числителя и знаменателя на их общий множитель для упрощения вида выражения.

Таблица понятий

термин, определение и пример в одном месте

термин	определение	пример	Источник
Сложение рациональных дробей с одинаковыми знаменателями	Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.	$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$	[1], [2]
Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями	Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тот же.	$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$	[1], [2]
Алгоритм сложения (вычитания) дробей	Последовательность действий при работе с одинаковыми знаменателями: 1) записать числители под общей чертой с соответствующим знаком; 2) выполнить упрощение в числителе; 3) если возможно, сократить полученную дробь.	$\frac{x+1}{y} + \frac{x-1}{y} = \frac{x+1+x-1}{y} = \frac{2x}{y}$	[2]
Упрощение рационального выражения	После выполнения сложения или вычитания числителей полученную дробь, если это возможно, следует сократить.	$\frac{y^2 + 2y}{y^2 - 25} - \frac{12y - 25}{y^2 - 25} = \frac{(y - 5)^2}{(y + 5)(y - 5)} = \frac{y - 5}{y + 5}$	[1]
Вычитание дробей с противоположными знаменателями	Для вычитания дробей, знаменатели которых являются противоположными выражениями, следует изменить знак перед второй дробью на противоположный и изменить знаки в ее знаменателе.	$\frac{4}{2a - 1} - \frac{2a - 3}{1 - 2a} = \frac{4}{2a - 1} + \frac{2a - 3}{2a - 1}$	[1]
Представление дроби в виде суммы или разности выражений	Дробь можно представить в виде суммы или разности целого и дробного выражений путем почленного деления слагаемых числителя на знаменатель.	$\frac{2m + n}{m} = \frac{2m}{m} + \frac{n}{m} = 2 + \frac{n}{m}$	[1]
Алгебраическая дробь	Выражение вида $\frac{A}{B}$ , где A и B — многочлены.	$\frac{x + y}{2x - 3}$	[2]