Разложено
Разложено
Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь

Рациональные дроби

Рациональные дроби помогают записывать и преобразовывать выражения, в которых числа и переменные соединены действиями. Главное здесь не запомнить отдельные правила, а научиться видеть ограничения: какое значение нельзя подставлять, какое преобразование сохраняет значение дроби и какой порядок действий выбрать.

Читать урок
Алгебра
Алгебра
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Просвещение, 2022 · 7-е издание, стереотипноес. 5–9
3 частей · 45 минсреднийчитаешь как гость
Рациональные дроби | Алгебра 8 класс
длительность неизвестнана площадке
О чём видео
одним куском
  • Из чего состоит рациональное выражение
  • Сохраняем и упрощаем дробь
  • Действия с рациональными дробями

Почему выражение, которое выглядит как обычная дробь, иногда нельзя вычислить, подставив любое число вместо переменной? И как превратить громоздкую алгебраическую дробь в короткую, не изменив её значения?

Вернёмся к нему в конце урока.
Ментальная карта
как связаны идеи урока
После урока ты сможешь

  1. находить допустимые значения переменных и область определения рационального выражения

  2. сокращать рациональные дроби и выполнять с ними сложение, вычитание, умножение и деление

  3. преобразовывать выражения с рациональными дробями и выбирать подходящий способ для решения задачи

1
Часть 1 · 14 мин

Из чего состоит рациональное выражение

Сначала выясним, какие выражения относят к рациональным и где у них границы допустимого

Начнём с различия между двумя похожими записями. В выражении 73\frac{7}{3} деление идёт на число, отличное от нуля. В выражении 7x\frac{7}{x} деление идёт на выражение с переменной, поэтому значение зависит от того, чему равна xx.

Определение
Классификация выражений

Целые выражения — выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число. Дробные выражения — выражения, которые содержат деление на выражение с переменными. Рациональные выражения — целые и дробные выражения.

Схема классификации выражений с выделенными группами целых, дробных и рациональных выражений.
Схема классификации рациональных выражений, целых и дробных выражений и рациональных дробей.

Рациональная дробь выглядит как дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются многочленами. Например, x+2x−5\frac{x+2}{x-5} и 3x2−12x+7\frac{3x^2-1}{2x+7} — рациональные дроби. Запись 4x+1\frac{4}{x+1} тоже подходит: число 44 является многочленом.

Формула
Каноническое определение

Рациональная дробь: AB\frac{A}{B}, где AA и BB — многочлены, причём BB — не нулевой многочлен.

Ассоциация
Образ и способ запомнить

Представь рациональную дробь как коробку: сверху лежит числитель, снизу — знаменатель. Дно коробки не должно исчезать, поэтому знаменатель нельзя превращать в нуль. Мнемоника: «дробь держится на знаменателе».

Допустимыми будут не все значения переменной. Нужно найти те, при которых знаменатель не равен нулю. Для x+2x−5\frac{x+2}{x-5} запрещено только x=5x=5, потому что тогда знаменатель равен нулю. Все остальные значения допустимы.

Определение
Допустимые значения

Допустимые значения переменных, входящих в рациональное выражение — все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл (то есть замена переменных числами не приводит к делению на нуль).

Находим допустимые значения

  1. Рассмотрим выражение 2x−1x2−9\frac{2x-1}{x^2-9}. Ограничение создаёт только знаменатель.

  2. Приравняем знаменатель к нулю: x2−9=0x^2-9=0. Отсюда x=3x=3 или x=−3x=-3.

  3. Исключаем эти два значения. Допустимые значения: все xx, кроме 33 и −3-3.

Какое значение нельзя подставить в выражение 52x+6\frac{5}{2x+6}?

показать

Нельзя подставить x=−3x=-3, потому что 2x+6=02x+6=0.

Почему проверяем именно знаменатель

Числитель может быть равен нулю: тогда значение дроби равно нулю, если знаменатель не равен нулю. Нельзя делить именно на нуль, поэтому область допустимых значений находят по знаменателю.

Проверь себя
мини-тест части 1 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3средний

Какое из следующих утверждений верно описывает определение рациональной дроби?

1 из 3
2
Часть 2 · 15 мин

Сохраняем и упрощаем дробь

Основное свойство объясняет, почему дробь можно преобразовать, не меняя её значения

У дроби есть удобное свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится. Это алгебраический аналог того, как 23\frac{2}{3} и 46\frac{4}{6} обозначают одну и ту же долю.

Формула
Основное свойство алгебраической дроби

Если CC — выражение, не равное нулю, то AB=A⋅CB⋅C\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C} и A⋅CB⋅C=AB\frac{A\cdot C}{B\cdot C}=\frac{A}{B} при допустимых значениях переменных.

Ассоциация
Как не перепутать правило

Представь, что числитель и знаменатель — верхняя и нижняя чаши весов. Чтобы весы остались в равновесии, обе чаши умножают на один и тот же ненулевой множитель. Запомни: «умножили верх — умножь и низ; разделили верх — раздели и низ».

Сокращение — это применение основного свойства в обратную сторону. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители, затем убери одинаковый ненулевой множитель. Нельзя сокращать отдельные слагаемые: в выражении x+3x\frac{x+3}{x} нельзя «сократить xx».

Сокращаем рациональную дробь

  1. Рассмотрим x2−9x2+3x\frac{x^2-9}{x^2+3x}. Разложим числитель: x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3).

  2. Разложим знаменатель: x2+3x=x(x+3)x^2+3x=x(x+3).

  3. Получаем (x−3)(x+3)x(x+3)\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}. При x≠0x\ne0 и x≠−3x\ne-3 сокращаем общий множитель x+3x+3 и получаем x−3x\frac{x-3}{x}.

  4. Ограничения исходной дроби сохраняются: x≠0x\ne0 и x≠−3x\ne-3, даже если в сокращённой записи значение x=−3x=-3 уже не видно в знаменателе.

Частая ошибка
Типичная ошибка

Неверно: x+5x=5\frac{x+5}{x}=5. Сокращать можно только общий множитель, а x+5x+5 — сумма, не произведение. Верно оставить дробь x+5x\frac{x+5}{x} или преобразовывать её другим способом.

Какой множитель можно сократить в дроби (a−2)(a+1)(a+1)(a+5)\frac{(a-2)(a+1)}{(a+1)(a+5)}?

показать

Можно сократить общий множитель a+1a+1, учитывая исходные ограничения a≠−1a\ne-1 и a≠−5a\ne-5.

Зачем сохранять ограничения

Сокращённая запись может иметь смысл при значении, которое было запрещено исходной дробью. Например, после сокращения исчезает множитель знаменателя, но исходное выражение при соответствующем значении всё равно не определено.

Проверь себя
мини-тест части 2 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3средний

Какое действие, согласно программе, является ключевым при применении основного свойства алгебраической дроби?

1 из 3
3
Часть 3 · 16 мин

Действия с рациональными дробями

Выбираем действие по знакомому числовому правилу и не забываем об ограничениях

С рациональными дробями действуют почти так же, как с числовыми. При умножении перемножают числители и знаменатели. При делении умножают первую дробь на дробь, обратную второй. При сложении и вычитании сначала приводят дроби к общему знаменателю.

Формула
Порядок действий

Для сложения или вычитания используют общий знаменатель: AC+BC=A+BC\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}. Для умножения: AB⋅CD=ACBD\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}. Для деления: AB:CD=AB⋅DC\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}.

Ассоциация
Бытовая аналогия и память

Сложение дробей похоже на складывание кусочков пиццы: сначала куски должны быть одного размера, то есть нужен общий знаменатель. Умножение соединяет числители с числителями и знаменатели со знаменателями. Деление переворачивает вторую дробь. Мнемоника: «сложить — общий низ, умножить — по этажам, разделить — вторую перевернуть».

Складываем дроби с разными знаменателями

  1. Вычислим 2x+3x+1\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}. Ограничения: x≠0x\ne0 и x≠−1x\ne-1.

  2. Общий знаменатель равен x(x+1)x(x+1). Домножаем первую дробь на x+1x+1, вторую — на xx.

  3. Получаем 2(x+1)x(x+1)+3xx(x+1)\frac{2(x+1)}{x(x+1)}+\frac{3x}{x(x+1)}.

  4. Складываем числители: 2(x+1)+3xx(x+1)=5x+2x(x+1)\frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}=\frac{5x+2}{x(x+1)}.

Умножаем и делим

  1. Для произведения xx−2⋅x2−43x\frac{x}{x-2}\cdot\frac{x^2-4}{3x} раскладываем x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2).

  2. Получаем xx−2⋅(x−2)(x+2)3x\frac{x}{x-2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{3x}. При допустимых значениях сокращаем xx и x−2x-2, результат равен x+23\frac{x+2}{3}.

  3. Для деления x+1x:x+1x−2\frac{x+1}{x}:\frac{x+1}{x-2} умножаем на обратную дробь: x+1x⋅x−2x+1=x−2x\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x-2}{x+1}=\frac{x-2}{x}. Ограничения исходного выражения: x≠0x\ne0, x≠−1x\ne-1, x≠2x\ne2.

Какой общий знаменатель удобно выбрать для 1a−2+2a+2\frac{1}{a-2}+\frac{2}{a+2}?

показать

Удобный общий знаменатель — (a−2)(a+2)(a-2)(a+2), при этом a≠2a\ne2 и a≠−2a\ne-2.

Правило
Алгоритм преобразования

Сначала выпиши ограничения по исходным знаменателям. Затем разложи многочлены на множители, выбери действие, выполни его, сократи общие множители и проверь, не потерялись ли исходные ограничения.

Такой порядок нужен не только для примеров. Если в формуле величина записана через дробь, преобразование помогает выразить нужную переменную. Например, из равенства S=ab2S=\frac{ab}{2} можно получить a=2Sba=\frac{2S}{b} при b≠0b\ne0: умножаем обе части на 22, затем делим на bb.

Проверка результата

После преобразования можно подставить любое допустимое число и сравнить исходное и полученное выражения. Например, для x=2x=2 выражение с ограничением x≠2x\ne2 проверять нельзя: это не допустимое значение исходной записи.

Проверь себя
мини-тест части 3 · вопросы наугад
Вопрос 1 из 3средний

Что обязан уметь ученик в рамках блока «Рациональные дроби» при работе с формулами из физики или геометрии?

1 из 3

Знаменатель показывает границу допустимого: если он становится нулём, выражение не имеет смысла. Поэтому для AB\frac{A}{B} сначала исключают значения, при которых B=0B=0. Затем дробь можно преобразовывать по основному свойству, сокращать общие множители и выполнять действия, сохраняя эти ограничения.

Возвращаемся к вопросу урока
Главное за минуту
что нужно унести из урока

  • Рациональная дробь имеет вид AB\frac{A}{B}, где AA и BB — многочлены, а BB — не нулевой многочлен.

  • Допустимые значения находят по условию: знаменатель не должен быть равен нулю.

  • Числитель и знаменатель можно умножать или делить на одно и то же ненулевое выражение.

  • Сокращают только общие множители, а при сложении и вычитании сначала приводят дроби к общему знаменателю.

  • При любом преобразовании сохраняют ограничения исходного выражения.

Термины урока
Целые выражения

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число.

Дробные выражения

Выражения, содержащие деление на выражение с переменными.

Рациональные выражения

Целые и дробные выражения.

Допустимые значения переменных

Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл и не возникает деления на нуль.

Рациональная дробь

Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

Шпаргалка
Формулы дробей
AC+BC=A+BC\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C}

сложение дробей с общим знаменателем

AB⋅CD=ACBD\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}

умножение дробей

AB:CD=AB⋅DC\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}

деление — умножение на обратную

Работа с дробями
Ограничения

C=0C = 0 → значение исключить

Разложение

разложить многочлены на множители

Сокращение

сокращать только общие множители, не слагаемые

Сложение/вычитание

привести к общему знаменателю

Деление

умножить на обратную дробь

Итог

сохранить исходные ограничения

Секретный факт

Одна и та же рациональная дробь может иметь разные записи: преобразования позволяют выбрать форму, удобную для вычисления или решения задачи.

Секретный факт

Сокращение дроби похоже на удаление общего множителя, но область допустимых значений определяется исходной, а не только сокращённой записью.

Повторялка
осталось ещё 52 · круг ≈ 13 мин
Вопрос1/52

Что такое рациональная дробь?

нажми, чтобы перевернуть
Ответ1/52

Это выражение вида AB\frac{A}{B}, где AA и BB — многочлены, причем BB не является нулевым.

отметь: знал или нет
выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ
3 задания по теме «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» — как вопрос выглядит на самом экзамене
ОГЭ 202720

Решите неравенство x≤9xx \le \frac{9}{x}.

Задание ОГЭ 2027 года, номер 20
Оригинал задания из демоверсии
2 балла
ОГЭ 202620

Решите систему уравнений {(x−6)(y−7)=0,y−4x+y−10=3.\begin{cases} (x - 6)(y - 7) = 0, \\ \dfrac{y - 4}{x + y - 10} = 3. \end{cases}

Задание ОГЭ 2026 года, номер 20
Оригинал задания из демоверсии
2 балла
ОГЭ 202520

Решите неравенство −12x2−7x−8≤0-\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0.

Задание ОГЭ 2025 года, номер 20
Оригинал задания из демоверсии
2 балла
ОГЭ

Упростите выражение x2−25x2+5x\frac{x^2-25}{x^2+5x} и найдите его значение при x=10x=10. Укажите ограничения на xx.

Босс урока
случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые
Босс: собери всё вместе
итоговый тест урока
Вопрос 1 из 8трудный

Какое из следующих определений соответствует понятию «рациональная дробь»?

1 из 8

Инфографика

весь урок одной картинкой — нажми, чтобы рассмотреть
инфографика «Рациональные дроби»

Слайды

15 слайдов по всему уроку — нажми на слайд, чтобы рассмотреть
Слайд page-0001.jpg
Слайд page-0002.jpg
Слайд page-0003.jpg
Слайд page-0004.jpg
Слайд page-0005.jpg
Слайд page-0006.jpg
Слайд page-0007.jpg
Слайд page-0008.jpg
Слайд page-0009.jpg
Слайд page-0010.jpg
Слайд page-0011.jpg
Слайд page-0012.jpg
Слайд page-0013.jpg
Слайд page-0014.jpg
Слайд page-0015.jpg