Что всегда представляет собой результат суммы или разности двух рациональных дробей?

Целое выражение без знаменателя.

Иррациональное выражение.

Числовая константа.

Каким образом целое выражение $3c$ представляется в виде дроби при вычитании из рациональной дроби $\frac{21c^2}{7c-2}$?

В виде дроби со знаменателем $1$: $\frac{3c}{1}$.

В виде дроби со знаменателем $7c-2$: $\frac{3c}{7c-2}$.

В виде дроби $\frac{3c}{3c}$.

В виде дроби $\frac{1}{3c}$.

Согласно формуле $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$, какими являются дополнительные множители для первой и второй дробей соответственно?

Для первой дроби — $D$, для второй дроби — $B$.

Для первой дроби — $B$, для второй дроби — $D$.

Для обеих дробей дополнительный множитель одинаков и равен $B \cdot D$.

Для первой дроби — $C$, для второй дроби — $A$.

Какое преобразование знаков необходимо выполнить в дроби $\frac{6}{7-n}$, чтобы привести её к общему знаменателю с дробью $\frac{10n+14}{(n-7)(n+7)}$?

Вынести знак «минус» из знаменателя $7-n$, заменив его на $(n-7)$ и изменив знак перед дробью на противоположный.

Умножить только числитель на $-1$, не меняя знаменатель.

Заменить знаменатель $7-n$ на $n+7$ без изменения знака перед дробью.

Возвести знаменатель $7-n$ в квадрат.

Чем всегда являются сумма и разность двух рациональных дробей?

Одночленами нулевой степени.

Исключительно целыми выражениями.

Иррациональными числами.

Какая формула соответствует правилу сложения двух рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$ при $B \ne 0$ и $D \ne 0$?

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot B + C \cdot D}{B \cdot D}$

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A + C}{B + D}$

Какое выражение целесообразно выбрать в качестве общего знаменателя, если знаменатели дробей не имеют общих множителей?

Произведение знаменателей данных дробей.

Сумму знаменателей данных дробей.

Разность числителей данных дробей.

Квадрат знаменателя первой дроби.

Зачем при нахождении общего знаменателя рациональных дробей часто предварительно раскладывают их знаменатели на множители?

Чтобы найти наиболее удобный (наименьший) общий знаменатель и избежать громоздких вычислений.

Чтобы изменить знаки у всех переменных в числителе.

Чтобы сразу превратить сложение дробей в сложение целых чисел.

Чтобы полностью исключить необходимость умножать числители на дополнительные множители.

Как нужно представить целое выражение (например, $3c$) для вычитания его из рациональной дроби?

В виде дроби со знаменателем $1$, то есть $\frac{3c}{1}$.

Умножив целое выражение только на числитель исходной дроби.

В виде дроби с числителем $1$, то есть $\frac{1}{3c}$.

Возведя целое выражение в квадрат.

Как изменится знак перед дробью, если в её знаменателе выражение $(7 - n)$ заменить на противоположное $(n - 7)$?

Знак перед дробью изменится на противоположный.

Знак перед дробью останется прежним.

Знак перед дробью всегда становится плюсом.

Дробь обращается в ноль.

Ученик выполнил сложение по правилу $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$. В чём заключается его ошибка?

Он сложил числители и знаменатели напрямую, вместо приведения дробей к общему знаменателю.

Он не изменил знаки в числителях перед вычислением.

Ошибки нет, это стандартное правило для быстрых вычислений.

Он должен был перемножить числители и вычесть знаменатели.

Как нужно преобразовать знаменатель $25 - 10a + a^2$ при поиске общего знаменателя для вычитания дробей?

Свернуть по формуле квадрата разности в выражение $(5 - a)^2$ или $(a - 5)^2$.

Приравнять к $25 + a^2$, убрав средний член.

Разложить по формуле разности квадратов на $(5 - a)(5 + a)$.

Вынести общий множитель $5$ за скобки.

Алгебра · 8 класс · Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Name: аудио-обзор «Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями»
Uploaded: 2026-09-25T06:22:57.909Z
Duration: 307 s
Description: Как складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели — разные многочлены.

Как складывать и вычитать рациональные дроби, у которых знаменатели — разные многочлены.

3 частей · 25 минсреднийчитаешь как гость

аудио-обзор «Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями»05:07

00:00 / 05:07на площадке

О чём видео

05:07 · одним куском

Что такое общий знаменатель дробей
Складываем и вычитаем: формулы
Общий знаменатель для многочленов

Сложи $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$ — здесь дроби с разными «знаменателями-буквами», и просто написать одну дробь над другой не получится. Как быть?

Вернёмся к нему в конце урока.

Ментальная карта

как связаны идеи урока

Дроби с разными знаменателями

Основные формулы

Сумма: (AD + CB) / BD

Разность: (AD - CB) / BD

Обозначения: A, B, C, D — многочлены

Ограничения: B ≠ 0, D ≠ 0

Алгоритм действий

Приведение к общему знаменателю

Применение основного свойства дроби

Сложение/вычитание числителей

Сохранение общего знаменателя

Методы поиска общего знаменателя

Произведение знаменателей

Разложение на множители

Нахождение НОК для числовых коэффициентов

Типы задач и упражнений

Упрощение выражений

Преобразование в дробь

Доказательство тождеств

Вычисление при заданных значениях

Работа с целыми выражениями

Программные требования

Определение допустимых значений (ОДЗ)

Сокращение дробей

Преобразование сложных выражений

Выражение переменных из формул

Важные свойства

Результат — всегда рациональная дробь

Тождественные преобразования

Инвариантность значения от переменных

После урока ты сможешь

Находить общий знаменатель для дробей с разными, в том числе буквенными, знаменателями
Складывать и вычитать рациональные дроби по формуле, приводя их к общему знаменателю
Замечать и не допускать ошибку сложения числителей и знаменателей по отдельности

Часть 1 · 8 мин

Что такое общий знаменатель дробей

Ты уже складывал обычные дроби с разными знаменателями: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ . Чтобы это сделать, дроби приводили к общему знаменателю — например, к $6$ . С рациональными дробями, где вместо чисел стоят многочлены, работает та же идея: нельзя сложить $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}$ «в лоб» — сначала знаменатели нужно сделать одинаковыми.

Определение

Правило приведения к общему знаменателю

Чтобы выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями, их с помощью основного свойства рациональной дроби приводят к общему знаменателю (к дробям с одинаковыми знаменателями), а затем складывают или вычитают по правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Ищем общий знаменатель

Даны дроби $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{x+1}$ — знаменатели $x$ и $x+1$ разные и общих множителей не имеют.
В качестве общего знаменателя берём произведение $x(x+1)$ — оно делится и на $x$ , и на $x+1$ .
Первую дробь умножаем на $\frac{x+1}{x+1}$ , вторую — на $\frac{x}{x}$ : получаем $\frac{2(x+1)}{x(x+1)}$ и $\frac{3x}{x(x+1)}$ .

Какой общий знаменатель у дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{5}{a+3}$ ?

показать

$a(a+3)$

Проверь себя

мини-тест части 1 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 2средний

Как согласно правилу выполняется сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?

1 из 2

Часть 2 · 10 мин

Складываем и вычитаем: формулы

Когда знаменатели уже одинаковы (или ты их только что уравнял), дроби складывают и вычитают по единому правилу.

Формула

Сложение дробей

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$

Здесь $A$ , $B$ , $C$ , $D$ — многочлены (выражения), где $B \ne 0$ , $D \ne 0$ .

Формула

Вычитание дробей

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$

Ассоциация

Почему знаменатели перемножаются

Общий знаменатель $B \cdot D$ — это как общая мера для двух разных «кусков»: одна дробь измеряется в долях $B$ , другая — в долях $D$ , и превратить обе в доли $B \cdot D$ можно, домножив каждую на недостающий кусок. А чтобы не перепутать, где в дроби знаменатель: ЗНаменатель — начинается на буквосочетание ЗН, подсказывая, что он находится ЗНизу дроби.

Складываем дроби с разными знаменателями

Знаменатели $x+2$ и $x-2$ общих множителей не имеют, общий знаменатель — их произведение $(x+2)(x-2)$ .
По формуле: $A=1$ , $B=x+2$ , $C=3$ , $D=x-2$ . Числитель: $1\cdot(x-2)+3\cdot(x+2) = x-2+3x+6 = 4x+4$ .
Получаем $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-2} = \frac{4x+4}{(x+2)(x-2)}$ .

Вычитаем дроби с разными знаменателями

Общий знаменатель для $\frac{5}{x} - \frac{2}{x+1}$ — $x(x+1)$ .
Числитель по формуле: $5\cdot(x+1) - 2\cdot x = 5x+5-2x = 3x+5$ .
Итог: $\frac{5}{x} - \frac{2}{x+1} = \frac{3x+5}{x(x+1)}$ .

Неверно

$\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x-2} = \frac{1+3}{(x+2)+(x-2)} = \frac{4}{2x}$

Верно

Числители и знаменатели по отдельности не складывают — сначала приводят к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$ , потом складывают числители по формуле.

Проверь себя

мини-тест части 2 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какая из формул выражает правило вычитания рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$ ?

1 из 3

Часть 3 · 9 мин

Общий знаменатель для многочленов

Знаменатели рациональных дробей часто оказываются многочленами, которые можно разложить на множители, — тогда общий знаменатель ищут не как прямое произведение, а через разложение.

Определение

Как выбрать общий знаменатель

При нахождении общего знаменателя рациональных дробей можно выбрать выражение, равное произведению знаменателей данных дробей, либо предварительно разложить знаменатели дробей на множители.

Разложение знаменателей перед сложением

Даны $\frac{3}{x^2-4} + \frac{2}{x-2}$ . Раскладываем $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ по формуле разности квадратов.
Теперь у дробей знаменатели $(x-2)(x+2)$ и $x-2$ — общий знаменатель $(x-2)(x+2)$ , а не их прямое произведение.
Дополнительный множитель для второй дроби — $(x+2)$ : $\frac{3}{(x-2)(x+2)} + \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{3+2x+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x+7}{(x-2)(x+2)}$ .

Заметь: результат сложения — снова дробь вида $\frac{A}{B}$ , то есть рациональная. Сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями — с результатом можно снова складывать, вычитать или упрощать дальше.

Зачем это нужно на ОГЭ

Приведение дробей к общему знаменателю — рабочий приём при решении дробно-рациональных неравенств вроде $x \le \frac{9}{x}$ : чтобы сравнить части с разными знаменателями, их переносят в одну сторону и приводят к общему знаменателю, а уже потом анализируют знак результата. Так это спрашивают на ОГЭ.

Как разложить знаменатель $x^2-9$ перед поиском общего знаменателя?

показать

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

Проверь себя

мини-тест части 3 · вопросы наугад

Вопрос 1 из 3средний

Какое выражение МОЖНО выбрать в качестве общего знаменателя при сложении рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$ ?

1 из 3

Привести обе дроби к общему знаменателю $x(x+1)$ и сложить числители по формуле $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ : получится $\frac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}$ .

Возвращаемся к вопросу урока

Главное за минуту

что нужно унести из урока

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю по основному свойству дроби.
Сложение: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ ; вычитание — так же, но со знаком минус между слагаемыми числителя.
Перед поиском общего знаменателя знаменатели выгодно разложить на множители.
Числители и знаменатели по отдельности складывать нельзя — это частая ошибка.
Сумма и разность рациональных дробей — снова рациональная дробь.

Термины урока

Общий знаменатель

Выражение, на которое делится каждый из знаменателей складываемых дробей

Дополнительный множитель

То, на что умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель

Рациональная дробь

Дробь вида $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ — многочлены, $B \ne 0$

Шпаргалка

Формулы сложения и вычитания

$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$

сложение дробей с разными знаменателями

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$

вычитание дробей с разными знаменателями

Порядок действий

Знаменатели: разложить на множители, если можно
Общий знаменатель: взять произведение или общее выражение
Множители: найти дополнительный для каждой дроби
Числители: умножить и сложить или вычесть
Результат: сократить дробь, если возможно

Частые ошибки

Сложили числители и знаменатели: неверно: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\ne\frac{A+C}{B+D}$
Забыли множитель у второй дроби: числитель умножают на весь недостающий множитель

Секретный факт

Сумма и разность двух рациональных дробей — тоже рациональная дробь.

Секретный факт

Общий знаменатель необязательно брать как произведение знаменателей — иногда выгоднее сначала разложить знаменатели на множители.

Повторялка

осталось ещё 60 · круг ≈ 15 мин

Вопрос1/60

Как звучит основное правило сложения рациональных дробей с разными знаменателями?

нажми, чтобы перевернуть

Ответ1/60

Привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить их по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

отметь: знал или нет

выучено0%

Так это спрашивают на экзамене

демоверсии ФИПИ

3 задания по теме «Алгебраические выражения. Алгебраическая дробь» — как вопрос выглядит на самом экзамене

ОГЭ 202720

Решите неравенство $x \le \frac{9}{x}$ .

Задание ОГЭ 2027 года, номер 20 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202620

Решите систему уравнений $\begin{cases} (x - 6)(y - 7) = 0, \\ \dfrac{y - 4}{x + y - 10} = 3. \end{cases}$

Задание ОГЭ 2026 года, номер 20 — Оригинал задания из демоверсии

2 балла

ОГЭ 202520

Решите неравенство $-\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \le 0$ .

2 балла

ОГЭ

Решите неравенство $x \le \frac{9}{x}$ .

Босс урока

случайные вопросы по всему уроку — каждый раз новые

Босс: собери всё вместе

итоговый тест урока

Вопрос 1 из 8трудный

Каков первый шаг при выполнении сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями?

1 из 8

Инфографика

весь урок одной картинкой — нажми, чтобы рассмотреть

Слайды

13 слайдов по всему уроку — нажми на слайд, чтобы рассмотреть

Конспект

весь параграф сжатым текстом — для повторения перед контрольной

показать целикомсвернуть

Учебное пособие: Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

1. Теоретические основы и ключевые концепции

1.1. Понятие алгебраической (рациональной) дроби и область определения

Алгебраическая (рациональная) дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$ , где числитель $A$ и знаменатель $B$ являются многочленами (выражениями).
Допустимые значения переменных (область определения) — это значения переменных, входящих в выражение, при которых знаменатель рациональной дроби не равен нулю ( $B \neq 0$ ). Если знаменатель обращается в ноль, выражение теряет смысл (функция не определена).

1.2. Основное свойство рациональной дроби

Применяя основное свойство рациональной дроби, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями спреобразуют к действиям с дробями с одинаковыми знаменателями. Данное свойство также позволяет выполнять сокращение дробей путём деления числителя и знаменателя на общий множитель.

1.3. Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Чтобы выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями, необходимо:

Привести дроби к общему знаменателю, используя основное свойство рациональной дроби.
Выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Математические формулы

Сложение: $ $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ $
Вычитание: $ $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$ $

где $A, B, C, D$ — многочлены (выражения), причём $B \neq 0$ и $D \neq 0$ .

1.4. Стратегии поиска общего знаменателя

При нахождении общего знаменателя рациональных дробей применяются два основных подхода:

Выбор произведения знаменателей: В качестве общего знаменателя берется выражение $B \cdot D$ .
Разложение знаменателей на множители: Предварительное разложение знаменателей исходных дробей на множители (аналогично нахождению наименьшего общего кратного в арифметике обыкновенных дробей). Данный метод позволяет найти наименее громоздкий общий знаменатель.

> Важное свойство: Сумма и разность двух рациональных дробей всегда являются рациональными дробями.

2. Алгоритмы и методические подходы к решению задач

На основе учебного материала выделяются ключевые сценарии преобразования дробей с разными знаменателями:

Одночленный общий знаменатель: Если знаменатели представляют собой одночлены (например, $abc$ и $a^2c$ ), то общим знаменателем станет одночлен наименьшей степени, содержащий все переменные в их максимальных степенях (в данном случае $a^2bc$ ).
Вынесение общего множителя за скобки: Перед приведением к общему знаменателю необходимо вынести общие множители из знаменателей: $ $\frac{m}{7m+7n} - \frac{n}{7m-7n} = \frac{m}{7(m+n)} - \frac{n}{7(m-n)}$ $
Использование формул сокращенного умножения и изменение знаков:

Применение разности квадратов: $n^2 - 49 = (n-7)(n+7)$ .
Изменение знака в знаменателе: $7-n = -(n-7)$ , что меняет знак перед дробью.
Применение квадрата двучлена: $25 - 10a + a^2 = (5-a)^2 = (a-5)^2$ .

Действия с целыми выражениями и многочленами: При сложении или вычитании рациональной дроби и целого выражения (или одночлена/многочлена) целое выражение представляется в виде дроби со знаменателем $1$ : $ $\frac{21c^2}{7c-2} - 3c = \frac{21c^2}{7c-2} - \frac{3c}{1} = \frac{21c^2 - 3c(7c-2)}{7c-2} = \frac{6c}{7c-2}$ $

3. Практикум: Задания с кратким ответом

Тестовые и процедурные вопросы

Какое из приведенных ниже выражений является целым?

А) $\frac{m+n}{m}$
Б) $\frac{m+n}{7}$
В) $\frac{m+n}{7m}$
Г) $m + \frac{n}{7m}$

Ответ: Б

При каком значении переменной выражение $\frac{3a}{2a-10}$ не имеет смысла?

Ответ: 5 (так как при $a=5$ знаменатель $2a-10 = 0$ ).

При каких значениях аргумента функция $y = \frac{x+2}{x^2-1}$ не определена?

Ответ: $-1$ и $1$ (знаменатель $x^2-1 = 0$ при $x = \pm 1$ ).

Сократите дробь $\frac{21a^6}{14a^3}$ .

Ответ: $\frac{3a^3}{2}$

Какой дроби тождественно равна дробь $\frac{5b-15}{b^2-9}$ ?

Ответ: $\frac{5}{b+3}$ (так как $\frac{5(b-3)}{(b-3)(b+3)} = \frac{5}{b+3}$ ).

Сократите дробь $\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1}$ .

Ответ: $4c$ (так как $\frac{4c(3c-1)}{3c-1} = 4c$ ).

Выполните вычитание: $\frac{5x}{x-2} - \frac{10}{x-2}$ .

Ответ: 5 (так как $\frac{5x-10}{x-2} = \frac{5(x-2)}{x-2} = 5$ ).

Представьте выражение $\frac{3n^2}{n-6} - 3n$ в виде дроби.

Ответ: $\frac{18n}{n-6}$ (так как $\frac{3n^2 - 3n(n-6)}{n-6} = \frac{3n^2 - 3n^2 + 18n}{n-6}$ ).

Упростите выражение $\frac{a-12}{a^2+4a} - \frac{a-4}{a} + \frac{a}{a+4}$ .

Ответ: $\frac{4}{a}$

Найдите значение выражения $\frac{6}{5x-20} - \frac{x-5}{x^2-8x+16}$ при $x = 5$ .

- Ответ: $1,2$ (Выражение упрощается до $\frac{x+1}{5(x-4)^2}$ ; при $x=5$ получаем $\frac{6}{5 \cdot 1^2} = 1,2$ ).

Укажите число, обратное числу $-3\frac{5}{6}$ .

- Ответ: $-\frac{6}{23}$ (так как $-3\frac{5}{6} = -\frac{23}{6}$ ).

Выполните деление арифметических дробей: $\frac{5}{18} : \left(-\frac{25}{27}\right)$ .

- Ответ: $-\frac{3}{10}$ (или $-0,3$ ).

4. Вопросы для глубокого анализа и нестандартные задачи (Эссе / Исследования)

Исследование методов сокращения каскадных многочленных дробей.

Вопрос: На примере доказательства тождества: $ $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^16} = \frac{32}{1-a^{32}}$ $ Подробно опишите метод пошагового (каскадного) объединения слагаемых. Какую роль играет формула разности квадратов на каждом шаге сложения?

Анализ условий независимости значения выражения от переменных.

Вопрос: Докажите, что значение выражения $\frac{24-2a}{a^2-16} - \frac{a}{2a-8} + \frac{4}{a+4}$ не зависит от значений переменной $a$ при всех её допустимых значениях. Раскройте алгебраический смысл понятия «допустимые значения» в контексте данного доказательства.

Симметрия и изменения знака в знаменателях с несколькими переменными.

Вопрос: Разберите доказательство тождества: $ $\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-a)(b-c)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1$ $ Каковы правила вынесения знака «минус» из факторов знаменателя для выстраивания циклического порядка $(a-b)$ , $(b-c)$ , $(c-a)$ ?

Логический и делимостный анализ целых и дробных математических моделей.

Задача 1: Может ли чётное число иметь нечётных делителей больше, чем чётных? Докажите свой вывод.
Задача 2: Верно ли утверждение, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n+7)^2 - (n-1)^2$ делится нацело на 48? Примените алгебраические преобразования для обоснования.

Прикладное применение выражений из формул и задач на движение.

Задача на сообразительность: Два парома одновременно отплывают от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам с постоянными, но разными скоростями. Встреча происходит на расстоянии 720 м от одного из берегов. Достигнув противоположных берегов, паромы сразу разворачиваются и повторно встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки? Постройте математическую модель задачи.
Вопрос теории: Раскройте алгоритм выражения неизвестных переменных из физических, геометрических и бытовых формул с использованием правил работы с алгебраическими дробями.

5. Глоссарий терминов

Термин · Определение / Описание

Алгебраическая (рациональная) дробь — Дробное выражение вида $\frac{A}{B}$ , где числитель $A$ и знаменатель $B$ — многочлены (выражения), причем $B \neq 0$ .
Допустимые значения переменных — Множество значений переменных, входящих в выражение, при которых выражение имеет смысл (все его знаменатели отличны от нуля).
Область определения выражения — Множество всех допустимых значений переменных для данного алгебраического выражения или функции.
Основное свойство рациональной дроби — Правило, согласно которому при умножении или делении числителя и знаменателя дроби на один и тот же ненулевой многочлен получается тождественно равная ей дробь.
Сокращение дроби — Деление числителя и знаменателя рациональной дроби на их общий ненулевой множитель.
Общий знаменатель — Выражение (обычно многочлен), делящееся нацело на знаменатель каждой из исходных дробей.
Целое выражение — Выражение, не содержащее деления на переменные (может содержать деление только на числа).
Тождество — Равенство, выполняющееся при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

Таблица понятий

термин, определение и пример в одном месте

показать целикомсвернуть

Термин	Определение	Пример
Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями	Процесс приведения дробей к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей, основанный на основном свойстве дроби, с последующим сложением или вычитанием числителей при сохранении общего знаменателя.	$\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$ или $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$
Основное свойство рациональной дроби	Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная данной. Это свойство позволяет приводить дроби к новому знаменателю.	$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D}$ или $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$
Общий знаменатель рациональных дробей	Выражение, кратное знаменателям всех дробей (часто наименьшее общее кратное), к которому они приводятся для выполнения операций. Находится путем перемножения знаменателей или их предварительного разложения на множители.	Для дробей $\frac{b+1}{abc}$ и $\frac{1-a}{a^2c}$ общим знаменателем является a^2bc .
Алгоритм приведения к общему знаменателю	Процесс, включающий разложение знаменателей на множители, нахождение общего знаменателя и умножение числителя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.	$\frac{m}{7m+7n} - \frac{n}{7m-7n} = \frac{m}{7(m+n)} - \frac{n}{7(m-n)} = \frac{m(m-n) - n(m+n)}{7(m^2-n^2)}$
Рациональная дробь (Алгебраическая дробь)	Дробное выражение вида $\frac{A}{B}$ , где A и B — многочлены. Сумма и разность таких дробей всегда являются рациональными дробями.	$\frac{a + b}{a - b}$

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

разбор готов

Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

разбор готов