Расчёт количества теплоты. Уравнение теплового баланса

Учебное пособие: Расчёт количества теплоты и уравнение теплового баланса

1. Краткие справочные материалы и ключевые формулы

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты, переданное телу или выделенное им, зависит от массы тела, его удельной теплоёмкости и изменения температуры.

1. При нагревании тела (когда конечная температура $t_2$ больше начальной $t_1$): $$Q = c m (t_2 - t_1)$$
2. При охлаждении тела (когда конечная температура $t_2$ меньше начальной $t_1$): $$Q = c m (t_1 - t_2)$$

Обозначения и единицы измерения

Обозначение · Величина · Единица измерения в СИ / Быту

• $Q$ — Количество теплоты; Джоуль (Дж), килоджоуль (кДж)
• $c$ — Удельная теплоёмкость вещества; $\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{С}}$
• $m$ — Масса тела; Килограмм (кг), грамм (г)
• $V$ — Объём вещества; Метр кубический ($\text{м}^3$), литр (л)
• $\rho$ — Плотность вещества; $\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
• $t_1$ — Начальная температура; Градус Цельсия ($^\circ\text{C}$)
• $t_2$ — Конечная температура; Градус Цельсия ($^\circ\text{C}$)
• $t$ — Установившаяся (конечная) температура смеси; Градус Цельсия ($^\circ\text{C}$)

Уравнение теплового баланса

Уравнение теплового баланса имеет вид: $$Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$$

• Физический смысл: Математическое выражение закона сохранения энергии при теплообмене.
• Условие справедливости: Уравнение справедливо, если теплообмен происходит в замкнутой системе тел, которая не обменивается энергией с окружающей средой (потери энергии отсутствуют или пренебрежимо малы).
• Практическое применение: Уравнение применяется для вычисления конечной (установившейся) температуры смеси, определения необходимого количества вещества для достижения заданной температуры, а также для экспериментального нахождения удельной теплоёмкости веществ.

Историческая справка: калория

• Калория (кал) — первая единица измерения количества теплоты, введённая во второй половине XVIII века (до появления понятий «работа» и «энергия»).
• Определение: Количество теплоты, необходимое для нагревания $1\text{ г}$ воды на $1^\circ\text{C}$.
• Соотношение с джоулем: $1\text{ кал} = 4,1868\text{ Дж}$.
• Современное применение: Используется в быту для указания энергетической ценности продуктов питания.

2. Практические вопросы и задачи (с короткими ответами)

Концептуальные вопросы

1. Как рассчитывают количество теплоты, сообщённое телу при его нагревании или выделяющееся при его охлаждении?

• Ответ: По формулам $Q = c m (t_2 - t_1)$ — при нагревании, и $Q = c m (t_1 - t_2)$ — при охлаждении, где $c$ — удельная теплоёмкость, $m$ — масса, $t_1$ и $t_2$ — начальная и конечная температуры.

2. Какое уравнение называют уравнением теплового баланса и в каком случае оно справедливо?

• Ответ: Уравнение $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$. Оно справедливо для системы тел, не обменивающейся энергией с окружающей средой.

Задачи из упражнений

3. Какое количество теплоты необходимо передать льду массой $1,5\text{ кг}$ при температуре $-30^\circ\text{C}$ для его нагревания на $20^\circ\text{C}$?

• Формула: $Q = c m \Delta t$, где $\Delta t = 20^\circ\text{C}$.

4. Вода массой $2\text{ кг}$ остыла от $95^\circ\text{C}$ до $25^\circ\text{C}$. На сколько при этом изменилась её внутренняя энергия?

• Решение: Изменение внутренней энергии равно выделенному количеству теплоты $Q = c m (t_1 - t_2)$. При $c = 4200\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot^\circ\text{C})$, $m = 2\text{ кг}$, $\Delta t = 70^\circ\text{C}$: $Q = 4200 \cdot 2 \cdot 70 = 588\,000\text{ Дж} = 588\text{ кДж}$.

5. Определение массы по графику (Рис. 28 из источника):

• Условие: На графике показана зависимость температуры медного тела от переданного количества теплоты. Начальная температура $40^\circ\text{C}$, при передаче $8\text{ кДж}$ ($8000\text{ Дж}$) температура возрастает до $80^\circ\text{C}$.
• Формула: $Q = c m (t_2 - t_1) \implies m = \frac{Q}{c (t_2 - t_1)}$.

6. Охлаждение стакана с молоком:

• Условие: В стеклянный стакан массой $120\text{ г}$ ($0,12\text{ кг}$) налили $200\text{ г}$ ($0,2\text{ кг}$) молока при $80^\circ\text{C}$. Какое количество теплоты выделится при охлаждении стакана с молоком до $20^\circ\text{C}$?
• Формула: Общее количество теплоты состоит из тепла, отданного молоком и стаканом: $Q = Q_{\text{стакана}} + Q_{\text{молока}} = c_{\text{ст}} m_{\text{ст}} (t_1 - t_2) + c_{\text{мол}} m_{\text{мол}} (t_1 - t_2)$.

7. Смешивание воды в аквариуме:

• Условие: Налито $10\text{ л}$ воды при $10^\circ\text{C}$. Долита вода при $40^\circ\text{C}$. Установившаяся температура $20^\circ\text{C}$. Определите объём долитой воды.
• Логика решения: По уравнению теплового баланса $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}} \implies c m_2 (40 - 20) = c m_1 (20 - 10) \implies 20 m_2 = 10 m_1 \implies m_2 = 0,5 m_1$. Так как $V_1 = 10\text{ л}$, объём долитой воды $V_2 = 5\text{ л}$.

8. Определение удельной теплоёмкости металлического тела экспериментально:

• Условие: Вода $250\text{ г}$ ($20^\circ\text{C}$), металлическое тело $100\text{ г}$ ($100^\circ\text{C}$). Равновесная температура $24,5^\circ\text{C}$.
• Случай а: Без учёта стакана и окружающей среды: $c_{\text{тела}} m_{\text{тела}} (100 - 24,5) = c_{\text{воды}} m_{\text{воды}} (24,5 - 20)$.
• Случай б: С учётом алюминиевого стакана массой $60\text{ г}$: $c_{\text{тела}} m_{\text{тела}} (100 - 24,5) = (c_{\text{воды}} m_{\text{воды}} + c_{\text{ал}} m_{\text{ст}}) (24,5 - 20)$.

9. Задача на калории:

• Условие: На сколько градусов нагреется вода массой $250\text{ г}$, если ей сообщить $2200\text{ кал}$?
• Решение: $2200\text{ кал} = 2200 \cdot 4,1868\text{ Дж} = 9210,96\text{ Дж}$. Из формулы $Q = c m \Delta t \implies \Delta t = \frac{Q}{c m}$. При $c = 4200\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot^\circ\text{C})$ и $m = 0,25\text{ кг}$: $\Delta t = \frac{9210,96}{4200 \cdot 0,25} \approx 8,77^\circ\text{C}$.

3. Темы для развёрнутых ответов и эссе

1. Закон сохранения энергии в тепловых явлениях и границы применимости уравнения теплового баланса.

• Направления для анализа: Опишите, как закон сохранения энергии проявляется при теплообмене между телами. Разберите понятие замкнутой (изолированной) системы. Объясните, почему на практике (например, при смешивании кипятка и холодной воды в термокружке или нагревании воды в котелке на костре) часть энергии теряется во внешней среде или расходуется на нагрев самого сосуда. Проанализируйте, в каких случаях этими потерями можно пренебречь, а в каких их необходимо учитывать при расчетах.

2. Эволюция единиц измерения количества теплоты: от калории к джоулю.

• Направления для анализа: Рассмотрите историю введения единицы измерения «калория» во второй половине XVIII века, до формирования научных представлений о механической работе и внутренней энергии. Дайте точное физическое определение калории через нагревание воды. Объясните связь между калорией и джоулем ($1\text{ кал} = 4,1868\text{ Дж}$) и причины перехода современной физики к джоулям в системе СИ, а также сохранение калории в пищевой промышленности и быту для оценки энергетической ценности продуктов.

4. Глоссарий терминов

• Градус Цельсия ($^\circ\text{C}$) — Единица измерения температуры.
• Джоуль (Дж) — Единица измерения количества теплоты, работы и энергии в системе СИ.
• Калория (кал) — Вносистемная единица измерения количества теплоты, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания $1\text{ г}$ воды на $1^\circ\text{C}$ ($1\text{ кал} = 4,1868\text{ Дж}$).
• Количество теплоты ($Q$) — Энергия, которую тело получает или теряет при теплообмене.
• Удельная теплоёмкость ($c$) — Физическая величина, показывающая, какое количество теплоты необходимо для изменения температуры вещества массой $1\text{ кг}$ на $1^\circ\text{C}$. Измеряется в $\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{С}}$.
• Уравнение теплового баланса — Математическое выражение закона сохранения энергии при теплообмене ($Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}$), утверждающее, что в изолированной системе количество теплоты, отданное одними телами, равно количеству теплоты, полученному другими телами.