Окружность
Окружность и круг, их части — радиус, хорда, диаметр; как проверить, лежит ли точка в круге, и как по одному расстоянию между центрами узнать, пересекутся ли две окружности.
Крышка люка круглая, а не квадратная. Дело не в красоте: квадратную крышку можно уронить в собственный люк, а круглую — нет. Какое свойство окружности этому мешает?
Различать окружность и круг и правильно называть их части: центр, радиус, хорду, диаметр
Определять положение точки относительно круга по расстоянию до центра
По радиусам и расстоянию между центрами определять взаимное расположение двух окружностей
Окружность, круг и их части
Возьмите верёвку, привяжите к колышку, натяните и обойдите вокруг. След, который останется на земле, и есть окружность. Важно, что верёвка всё время одной длины — именно это, а не «круглость», делает фигуру окружностью.
Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).
Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.
Теперь по деталям. Ваша верёвка от колышка до руки — это радиус. Отрезок между двумя следами на земле — хорда. А хорда, случайно прошедшая ровно через колышек, — диаметр.
Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.
— диаметр в 2 раза больше радиуса.
Диаметр проходит через центр, а значит распадается на два радиуса, приложенных друг к другу: от края до колышка и от колышка до другого края. Отсюда и множитель 2.
Способ запомнить: диаметр — слово длиннее, и сам отрезок длиннее. Правило самопроверки: радиус не может быть больше диаметра. Получилось больше — вы разделили не то на то.
Радиус колеса 30 см. Диаметр: , подставляем — см.
Обратная задача: диаметр тарелки 24 см, найти радиус. Из следует .
Подставляем: см.
Самопроверка: меньше — радиус меньше диаметра, всё сходится.
Осталось отделить окружность от круга. Окружность — это только сама линия, без внутренности. Круг — это уже заполненная фигура.
Часть плоскости, ограниченная окружностью.
«Круг и окружность — одно и то же, просто разные слова».
Окружность — линия (обод колеса, ободок часов). Круг — вся область внутри вместе с границей (диск, блин, монета целиком).
Почему круглую крышку люка нельзя уронить в люк, а квадратную — можно?
показать
Почему круглую крышку люка нельзя уронить в люк, а квадратную — можно?
У квадрата диагональ длиннее стороны, и крышку можно развернуть так, что она провалится. У круга любая хорда не длиннее диаметра, поэтому крышка ни в каком повороте не пройдёт в отверстие.
Какой отрезок с концами на окружности самый длинный?
Где лежит точка
Вышка мобильной связи добивает на 3 км. Ваш дом в 2 км от неё — связь есть. Дом друга в 4 км — связи нет. Вы только что решили геометрическую задачу: определили, лежит ли точка в круге. Всё, что для этого нужно, — одно расстояние и одно сравнение.
Неравенство принадлежности точки кругу: , где — расстояние от точки до центра круга, — его радиус.
Круг — это зона действия вышки, — дальность сигнала, — насколько вы от неё отошли. Пока не ушли дальше, чем берёт вышка, вы внутри зоны.
Почему знак нестрогий: равенство означает, что точка стоит ровно на окружности. Граница принадлежит кругу, поэтому она входит в условие. Правило самопроверки: сравнивайте всегда с радиусом, а не с диаметром — самая частая потеря балла именно здесь.
Точка на расстоянии . Сравниваем: — условие выполнено, точка внутри круга.
Точка на расстоянии . Сравниваем: — выполнено, точка лежит на окружности и принадлежит кругу.
Точка на расстоянии . Сравниваем: — неверно, точка кругу не принадлежит.
Итог: одна проверка разбирает все три случая, отдельные правила не нужны.
Из определения окружности следует ещё один факт, который на первый взгляд кажется мелочью, а на деле работает в доказательствах постоянно.
Никакие три точки окружности не лежат на одной прямой.
Почему трёх точек быть не может
Пусть три точки прямой лежат на окружности — тогда все три одинаково удалены от центра . Но если двигаться по прямой, расстояние до точки сначала убывает, доходит до наименьшего значения и дальше только растёт. Одно и то же значение такое движение даёт не более двух раз — по одному на каждую сторону от ближайшей точки. Третьему разу взяться неоткуда.
Прямая пересекла окружность. Сколько общих точек у них может быть?
показать
Прямая пересекла окружность. Сколько общих точек у них может быть?
Не больше двух — именно это и означает теорема о трёх точках.
Точка удалена от центра круга радиуса 5 на расстояние 5. Где она находится?
Две окружности рядом
Две шестерёнки в механизме: если развести оси слишком далеко, зубцы не сцепятся; сдвинуть слишком близко — заклинит. Между этими крайностями есть рабочий диапазон. Геометрия описывает его точно, и для этого хватает трёх чисел: двух радиусов и расстояния между центрами.
Для окружностей с радиусами и () и расстоянием между центрами:
— две общие точки (пересекаются): ;
— одна общая точка (внешнее касание): ;
— одна общая точка (внутреннее касание): .
Положите на пол два обруча и разводите их. Пока они наезжают друг на друга, пересечений два. В момент, когда обручи только соприкоснулись снаружи, между центрами ровно сумма радиусов — дальше общих точек не остаётся. Если же маленький обруч лежит внутри большого и прижался к нему изнутри, расстояние между центрами равно разности радиусов.
Способ запомнить: снаружи — сумма , изнутри — разность , а всё, что между ними, даёт две точки. Правило самопроверки: посчитайте обе границы прежде, чем отвечать: почти все ошибки — от того, что посчитали одну.
Три случая выше — те, где общие точки есть. Но на рисунке из учебника вариантов шесть, и остальные три — это случаи, когда общих точек нет вовсе. Разобрать их проще всего тем же сравнением с двумя границами.
— Внешнее расположение: . Окружности разошлись, каждая целиком вне другой.
— Внутреннее расположение без касания: . Меньшая лежит внутри большей и до неё не достаёт.
— Концентрические окружности — частный случай предыдущего: , центры совпадают, одна окружность внутри другой на одинаковом расстоянии по всем направлениям.
| Расстояние между центрами | Общих точек | Как выглядит |
|---|---|---|
Нет | Разошлись, каждая вне другой | |
Одна | Соприкоснулись снаружи | |
Две | Накладываются друг на друга | |
Одна | Меньшая прижата к большей изнутри | |
Нет | Меньшая внутри большей, не касаясь | |
Нет | Концентрические: центры совпали |
Даны , , . Сначала считаем границы: сумма , разность .
Сравниваем с суммой: , то есть .
Это случай внешнего касания — общая точка ровно одна.
Изменим условие: пусть . Проверяем диапазон: , значит .
Вывод: окружности пересекаются в двух точках.
Радиусы и . При каком расстоянии между центрами будет внутреннее касание?
показать
Радиусы и . При каком расстоянии между центрами будет внутреннее касание?
При .
Две окружности имеют ровно одну общую точку, и каждая лежит вне другой. Как называется такое расположение?
Мешает то, что у круга нет «длинной диагонали». У квадратной крышки диагональ длиннее стороны: поверни её на 45 градусов, поставь на ребро — и она провалится в собственный проём. У круглой крышки самый длинный отрезок с концами на границе — это диаметр, и он один и тот же в любом направлении. Любая другая хорда короче диаметра, но ни одна не длиннее. Поэтому как крышку ни поворачивай, её наибольший размер всегда равен диаметру люка — и она ложится на края, а не проходит внутрь. Это же свойство объясняет, почему круглую крышку можно катить, а не нести.
Окружность — все точки плоскости на одном расстоянии от центра; круг — часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус соединяет центр с точкой окружности, хорда — две точки окружности, диаметр — хорда через центр и самая большая из хорд
Диаметр и радиус связаны как
Точка принадлежит кругу, когда ; знак нестрогий, потому что граница входит в круг
Для двух окружностей: две общие точки при , внешнее касание при , внутреннее — при ; общих точек нет при и при (в том числе у концентрических, когда )
- Окружность
Геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки (центра окружности).
- Центр окружности
Точка, от которой все точки окружности находятся на равном расстоянии.
- Радиус окружности
Отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.
- Хорда окружности
Отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Диаметр окружности
Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр является самой большой хордой.
- Круг
Часть плоскости, ограниченная окружностью.
Окружность — линия равноудалённых от центра точек; круг — область внутри вместе с границей. Радиус — центр и точка окружности; хорда — две точки окружности; диаметр — хорда через центр, самая большая, . Точка в круге: . Три точки окружности не лежат на одной прямой. Две окружности (, — между центрами): общих точек нет при (разошлись) и при (меньшая внутри большей, частный случай — концентрические); одна общая точка при (внешнее касание) и при (внутреннее касание); две общие точки при .
Круглые люки делают круглыми не ради красоты: это единственная простая форма, крышка которой не может провалиться в собственный проём ни при каком повороте.
Теорема «никакие три точки окружности не лежат на одной прямой» — причина, по которой через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность, и притом ровно одну.
Окружность
Геометрическая фигура из всех точек плоскости, расположенных на одном и том же расстоянии от данной точки — центра
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИНайдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.
Известно, что около четырёхугольника можно описать окружность и что продолжения сторон и четырёхугольника пересекаются в точке . Докажите, что треугольники и подобны.
Касательные в точках и к окружности с центром в точке пересекаются под углом . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме проведена диагональ . Точка является центром окружности, вписанной в треугольник . Расстояния от точки до точки и прямых и соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма .
В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты: , . Найдите медиану этого треугольника.
Основание равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Что такое хорда окружности?