Решение текстовых задач
Урок про решение текстовых задач: как перевести условие на язык уравнения, чем этот способ отличается от решения «по действиям» и как применить оба на задачах про фигуры, детали и движение. Это один параграф темы «Уравнения и неравенства»: правила преобразования уравнений, само линейное уравнение с одной переменной, линейное уравнение с двумя переменными и системы уравнений разбираются в соседних параграфах этого же блока.
Одну и ту же задачу про фермерский сад двое одноклассников решили по-разному: один — пятью отдельными вычислениями «по действиям», другой — одной короткой строчкой с буквой x. У обоих сошёлся правильный ответ. Как одна короткая запись заменяет собой всю цепочку вычислений?
Переводить условие текстовой задачи в уравнение, обозначив неизвестное буквой
Решать задачу и проверять, соответствует ли найденный корень смыслу условия
Различать решение «по действиям» и решение через уравнение и выбирать способ по ситуации
Как перевести условие задачи на язык уравнения
Текстовая задача — это условие на обычном языке: «в саду вдвое больше яблонь, чем груш», «мастер обработал на 15 деталей больше». Чтобы посчитать ответ, условие нужно перевести в математическую запись — так же, как переводят с одного языка на другой.
Математическая модель ситуации — уравнение (или иная математическая конструкция), составленное по условию реальной ситуации.
Условие задачи на русском языке и уравнение на языке математики рассказывают об одном и том же. «В саду в 3 раза больше яблонь, чем груш» и «3x, если груш x» — это буквальный перевод одной и той же мысли на другой язык, а не два разных факта.
Алгоритм (схема) решения текстовых задач с помощью уравнений состоит из трёх шагов: 1) по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель); 2) решить полученное уравнение; 3) выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ.
Опорная фраза для запоминания порядка шагов: «Модель → Число → Смысл» — сначала переводим условие в уравнение (модель), потом находим число (решаем), в конце проверяем смысл и отвечаем.
Шаг 1 (модель): пусть груш x, тогда яблонь — 3x. Всего деревьев 48, значит уравнение: x + 3x = 48
Шаг 2 (решение): 4x = 48, отсюда x = 12
Шаг 3 (проверка смысла): 12 груш и 3·12 = 36 яблонь. Число деревьев — целое и положительное, условию соответствует
Ответ: 12 груш и 36 яблонь
Шаг 1 (модель): пусть BC = x, тогда AB = 3x, а CD = DE = EA = x. Периметр — сумма всех сторон: 3x + x + x + x + x = 35
Шаг 2 (решение): 7x = 35, отсюда x = 5
Шаг 3 (проверка смысла): BC = CD = DE = EA = 5 см, AB = 15 см — длины положительные, сумма 5+5+5+5+15 = 35 совпадает с условием
Ответ: четыре стороны по 5 см, одна сторона 15 см
В задаче про сад шаг 3 — это решение уравнения или проверка смысла ответа?
показать
В задаче про сад шаг 3 — это решение уравнения или проверка смысла ответа?
Проверка смысла: решение уравнения — это шаг 2, а шаг 3 — убедиться, что корень подходит по смыслу задачи
В саду в 4 раза больше слив, чем абрикосов, а всего 40 деревьев. Если абрикосов обозначить x, какое уравнение верно опишет условие?
Один ответ — двумя способами
Задачу про сад (48 деревьев, яблонь втрое больше груш) можно решить и совсем без буквы x — раскладывая условие на равные доли и считая шаг за шагом.
Арифметический способ («решение по действиям») — способ решения задач, при котором ответ получают в результате последовательного вычисления значений числовых выражений.
Разложим все деревья на равные доли: груши — 1 доля, яблони — 3 доли, всего 1 + 3 = 4 доли
Одна доля равна 48 : 4 = 12 — это число груш
Яблонь втрое больше: 12 · 3 = 36
Проверка: 12 + 36 = 48 — совпадает с условием. Ответ тот же, что и через уравнение
| Способ | Как считают | Когда удобнее |
|---|---|---|
По действиям | Раскладывают на равные доли и считают шаг за шагом, без буквы | Когда связь между величинами — простое деление на равные части |
Через уравнение | Обозначают неизвестное буквой x и составляют равенство | Когда связи в условии сложнее, чем деление на равные доли |
Если задачу решили по действиям, значит через уравнение её решить нельзя
Любую такую задачу можно решить и через уравнение — это просто два разных пути к одному и тому же верному ответу
В задаче про сад через уравнение получили x = 12 груш. Какое число получилось при решении по действиям на том же шаге про доли?
показать
В задаче про сад через уравнение получили x = 12 груш. Какое число получилось при решении по действиям на том же шаге про доли?
Тоже 12 — одна доля при делении 48 на 4 доли
В задаче про сад (48 деревьев, яблонь втрое больше груш) при решении «по действиям» всего получилось 4 равные доли. Сколько деревьев в одной доле?
Задачи на детали и на движение
В текстовых задачах числа почти всегда идут вместе с единицами: детали, километры, часы, скорость в км/ч. Их нельзя перепутывать местами — единица подсказывает, какая величина перед тобой.
Шаг 1 (модель): во второй день деталей x + 15. Всего за два дня: x + (x + 15) = 71
Шаг 2 (решение): 2x + 15 = 71, значит 2x = 56, x = 28
Шаг 3 (проверка смысла): в первый день 28 деталей, во второй 28 + 15 = 43. Оба числа целые и положительные, сумма 28 + 43 = 71 совпадает с условием
Ответ: в первый день — 28 деталей
Шаг 1 (модель): пусть x — часы в пути у мотоциклиста. К этому моменту велосипедист в пути уже x + 2 часа. Расстояние велосипедиста: 15(x + 2), расстояние мотоциклиста: 45x. В момент встречи расстояния равны: 45x = 15(x + 2)
Шаг 2 (решение): 45x = 15x + 30, значит 30x = 30, x = 1
Шаг 3 (проверка смысла): за 1 час мотоциклист проедет 45 км; велосипедист за 1 + 2 = 3 часа проедет 15·3 = 45 км — расстояния совпали
Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста через 1 час после своего старта
Раз мотоциклист едет втрое быстрее велосипедиста (45 против 15 км/ч), значит он догонит его втрое быстрее, чем через 2 часа форы, то есть примерно за 40 минут
Скорость и время связаны не так просто — нужно составить уравнение расстояний и решить его; на самом деле верный ответ 1 час, что видно только из уравнения, а не из прикидки на глаз
Какая единица измерения у числа 45 в задаче про мотоциклиста?
показать
Какая единица измерения у числа 45 в задаче про мотоциклиста?
км/ч — это скорость
У мастера в первый день было x деталей, во второй — на 15 больше, всего за два дня 71 деталь. Какое уравнение верно опишет условие?
Уравнение — это и есть модель всей задачи целиком, сжатая в одну строку: x + 3x = 48 хранит в себе то же самое условие, что и пять отдельных вычислений «по действиям» (посчитать доли, найти одну долю, найти три доли, сложить, проверить). Оба ученика по сути проделали одну и ту же работу — просто один расписал её пошагово руками, а другой один раз доверил её алгебраической записи. Ответ поэтому и совпал: 12 груш и 36 яблонь, каким способом ни считай.
Математическая модель задачи — уравнение или другая математическая запись условия
Алгоритм решения через уравнение — три шага: составить, решить, проверить смысл и ответить
Арифметический способ («по действиям») и решение через уравнение — разные пути к одному верному ответу
Числа в задаче всегда идут с единицами (детали, км, ч, км/ч) — путать их местами нельзя
Уравнение (или иная математическая конструкция), составленное по условию реальной ситуации
Решение задачи последовательным вычислением значений числовых выражений, без уравнения
- Модель
уравнение, составленное по условию
- По действиям
решение без переменной, последовательными вычислениями
- Единицы величин
нельзя переставлять местами в уравнении
- Составить уравнение
запиши условие как равенство
- Решить уравнение
найди значение переменной
- Проверить и ответить
проверь смысл корня, дай ответ
Задачи «на движение» и «на работу», которые решают через равные доли или через уравнение, — один из самых старых типов задач в математике: похожие по духу формулировки про путников и сосуды встречаются в математических текстах прошлого.
Математическая модель ситуации
Уравнение (или иная математическая конструкция), составленное по условию реальной ситуации
Так это спрашивают на экзамене
демоверсии ФИПИРешите уравнение .
В коробке жёлтых кубиков вдвое больше, чем синих. Всего 30 кубиков. Если синих x, каким уравнением это запишется?